MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP SỬ DỤNG HÀM GIẢI BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC ĐẠI SỐ

Bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một hàm số hay biểu thức là một trong những bài toán quan trọng của bộ môn Toán. Bài toánđó luôn khơi gợi lòng say mê, sự sáng tạo trong tƣ duy của những học sinh khágiỏi. Những năm gần đây, trong đề thi ĐH – CĐ thƣờng xuất hiện những câu hỏitìm min – max của biểu thức đại số nên việc học giải bài toán này cũng là một trong những nội dung ôn thi THPTQG. Hàm số (hay hàm) là khái niệm giữ vai trò chủ đạo xuyên suốt chƣơng trình toán học phổ thông. Sử dụng hàm tốt làm cho học sinh phát triển tƣ duy không chỉ trong nội bộ môn Toán mà trong cả việc nhận thức thế giới sự vật hiện tƣợng. Vì vậy, mỗi thầy cô giáo nên rèn học sinh xem xét bài toán theo “ý tƣởng hàm” để đƣa bài toán về bài toán đơn giản hơn . Trong đó, việc sử dụng hàm để giải các bài toán tìm max – min của biểu thức đại số thƣờng mang lại hiệu quả cao

CHUYÊN ĐỀ:

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG HÀM GIẢI BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

CỦA BIỂU THỨC ĐẠI SỐ

Đào Thùy Linh

PHẦN I Mở đầu 1.1 Lý do chọn chuyên đề

Bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một hàm

số hay biểu thức là một trong những bài toán quan trọng của bộ môn Toán Bài toán

đó luôn khơi gợi lòng say mê, sự sáng tạo trong tư duy của những học sinh khá giỏi Những năm gần đây, trong đề thi ĐH – CĐ thường xuất hiện những câu hỏi tìm min – max của biểu thức đại số nên việc học giải bài toán này cũng là một trong những nội dung ôn thi THPTQG

Hàm số (hay hàm) là khái niệm giữ vai trò chủ đạo xuyên suốt chương trình toán học phổ thông Sử dụng hàm tốt làm cho học sinh phát triển tư duy không chỉ trong nội bộ môn Toán mà trong cả việc nhận thức thế giới sự vật hiện tượng Vì vậy, mỗi thầy cô giáo nên rèn học sinh xem xét bài toán theo “ý tưởng hàm” để đưa bài toán về bài toán đơn giản hơn Trong đó, việc sử dụng hàm để giải các bài toán tìm max – min của biểu thức đại số thường mang lại hiệu quả cao

Vì vậy, tôi chọn chuyên đề là “Một số phương pháp sử dụng hàm giải bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số”

1.2 Mục tiêu của chuyên đề

Chuyên đề được đưa nhằm giúp học sinh có được phương pháp cơ bản sử dụng hàm để giải quyết lớp bài toán min – max của biểu thức đại số Sử dụng hàm

ở đây không giới hạn ở việc sử dụng đạo hàm làm công cụ giải toán Yếu tố này được mở rộng hơn khi người học dùng sự nhận biết tương ứng của hàm (ánh xạ, toàn ánh ) vào việc tìm lời giải cho bài toán Cụ thể như sau:

a) Về kiến thức:

- Định nghĩa GTLN, GTNN của hàm số Phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm

số liên tục trên một đoạn

- Tri thức phương pháp giảm biến của biểu thức đại số để sử dụng hàm (đặc biệt là đạo hàm) tìm GTLN, GTNN

- Tri thức phương pháp miền giá trị tìm GTLN, GTNN của hàm số, biểu thức đại số

1.3 Đối tượng sử dụng chuyên đề

Nội dung chuyên đề tập trung chủ yếu cho học sinh khá, giỏi lớp 12 THPT Tuy nhiên, một số bài toán vẫn có thể giải đƣợc khi sử dụng kiến thức Toán lớp

10, lớp 11 nên đây cũng là một tài liệu tham khảo cho các em

PHẦN II Một số phương pháp sử dụng hàm giải bài toán tìm GTLN, GTNN cuả biểu thức đại số 2.1 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

2.1.1 Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên miền D

2.1.2 Tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn

*) Tìm GTNN, GTLN của hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b]

S'       t t  ;    S là hàm nghịch biến trên đoạn [2 2 4];

Vậy minS S( )4   7 khi x = 0 ; maxSS(2 2)  5 2 2 khi x = 4 hoặc x = -4

1 8

S g( t ) ( t ) t với    1 t 1, g(t) liên tục trên đoạn [-1;1]

2.2 Phương pháp quy về một biến tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số

2.2.1 Phương pháp thế

Đây là phương pháp đơn giản nhất trong việc quy biểu thức đại số về theo một biến Tuy nhiên, cách chọn biến để thay thế và tìm tập xác định cho biến mới, hay cách xử lý hàm thu được sẽ có mức độ khó dần như các ví dụ sau đây:

Phát hiện tương ứng: Nhận thấy mỗi giá trị x tương ứng một và chỉ một giá trị y

và mỗi cặp giá trị (x, y) cho tương ứng với một giá trị A nên thực chất mỗi giá trị x cho tương ứng một giá trị A, chính vì vậy ta có thể thấy A là một hàm của x Ngoài

ra sự tương ứng còn thể hiện ở chỗ khi y 0 biến đổi thì x biến đổi theo nhưng chỉ

Phát hiện tương ứng: Ta giải bài toán tương tự ví dụ 1, tuy nhiên cấp độ hàm

thu được khó khảo sát hơn

Lời giải

Từ giả thiết ta có y =1-x, 0<x<1 Khi đó K viết lại thành 1

Phát hiện tương ứng: Từ giả thiết, khi thế y bằng biểu thức của x thì P là một hàm theo x Ở bài toán này,việc tìm điều kiện cho x tăng lên một cấp độ

Phát hiện tương ứng: Ta dễ thấy việc phải “thế” 2

y bởi một biểu thức chứa x

nhờ điều kiện 3

yx để đánh giá P f ( x ) , f(x) là một hàm số nào đó

Lời giải TH1: x 0

Bài 4 Cho x, y >0 thỏa mãn: 1 1 5

HD: Từ dữ kiện bài toán, ta thế biến y theo x để thu được đánh giá P f ( x )

Bài 6 Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn x y 4 Tìm GTLNN của biểu thức

Phát hiện tương ứng: Trong bài toán này, ta có thể nhận thấy các biểu thức ở

cả giả thiết và kết luận đều đối xứng với x, y Mặt khác, ta biết rằng mọi biểu thức đối xứng như vậy đều có thể viết về x+y và xy Lại có x + y = 1 nên dễ thấy T sẽ là một hàm theo biến t = xy Việc còn lại là tìm điều kiện cho t

4 4

2 2

1 1

(Đề thi thử ĐH chuyên Nguyễn Tất Thành – Yên Bái 2012)

Phát hiện tương ứng: Ở bài toán này, các biến đối xứng và có bậc 4 ở tử thức Theo giả thiết, cả tử thức và mẫu thức của P đều quy đƣợc về xy Tuy nhiên, tìm điều kiện cho xy ở đây không còn đơn giản

1

; 2

2 2 )

2 6 0

) 2 (

6 1 0 )

(

l t

t t

Lời giải

4

S  x y,Pxy,S  P

Giả thiết suy ra 3 2

4

S

S   P S  S Với mọi u > 0, v> 0 thì 3 3  3    3 3  3 3



Vậy min M  f ( )2   1 2khi S     2 x y 1

Ví dụ 5 Cho x, y, z > 0 và x + y + z 1 Tìm GTNN của biểu thức

Phát hiện tương ứng: Tăng số lượng biến nhưng vẫn đảm bảo tính đối xứng

Tương tự ví dụ 4, ta phải đánh giá được S  f ( t ) với t = x + y + z

 f(t) nghịch biến trên nửa khoảng (0;1] 

0 1

244 1

Suy ra minA 2 khi x 0 hay (a,b,c) là hoán vị của bộ ( , , )0 0 1

Ví dụ 7: Cho x, y,z  0 thỏa mãn x  y z 1 Chứng minh 1 1 16

xz  yz 

Phát hiện tương ứng: Trong kết luận của bài toán, hai biến x, y có vai trò nhƣ

nhau Lại có x  y z 1 nên khi thế z bởi 1 ( x  y ) thì kết luận của bài toán chỉ

quy về BĐT hai biến có tính đối xứng với x, y

Lời giải

Đặt t  x y từ giả thiết ta có z  1 t và 0  t 1

HD: Biến đổi P về theo biến t = x + y

Bài 4 Cho x,y thỏa mãn 2 2

HD: Biến đổi P về theo biến t = xy

Bài 5.[B2009] Cho x,y thỏa mãn: 3

HD: Bài toán này quy về ẩn t  x y z

HD: Bài toán này quy về ẩn t  x y z

Bài 8 Cho x, y, z 0 1; thỏa mãn: xyz (1 x )(1 y )(1 z ) Tìm GTNN của:

Bài 9 [DB A-2009] Cho x, y,z 1 3; và x  y z 8 Tìm GTLN của

Phát hiện tương ứng: Vì tử số và mẫu số của A là các biểu thức đẳng cấp bậc nhất nên khi chia cả tử và mẫu của A cho y ta thu đƣợc hàm số của biến t x

y

 Lời giải

 bằng cách chia tử số và mẫu số của S cho 2

y Tuy nhiên, biến y

có thể bằng 0 nên lời giải đƣợc trình bày nhƣ sau:

Lời giải

TH1: y = 0  22 1

x S x

t

- 1 3

2

 

1 3

2

 

+

S’ - 0 + 0 -

S 1 2 3

2 3  2

3

2 3  2

1 2

Kết hợp TH1 và TH2 ta có : 3

2 3  2  S 

3

2 3  2

Vậy minS = 3

2 3  2 khi

2

x y

 

2 3  2 khi

2

x y

 

Ví dụ 3 [B2008] Cho x, y thỏa mãn: 2 2

1

x y  Tìm GTLN, GTNN của

2

2





HD: Ta có chú ý 2 2

1  x  y nên

2

P





  Giải bài toán tương tự như ví

dụ 2, ta thu được: maxP 3 khi 3 1

6

Ví dụ 4 [Dự bị A2006] Cho x, y thỏa mãn: 2 2

3

x xyy  Chứng minh rằng

3

Ax xyy ,B x xy y thì 0  A 3.

+) Nếu A = 0 thì x=y=0 nên B=0

+) Nếu A 0 thì

3

.



Khi y 0 thì 2

3

B x , bất dẳng thức luôn đúng

Khi y 0 thì

2

2

3 1

Phát hiện tương ứng: Mẫu thức của các phân thức trong P đều thuần nhất

Do đó, ta thử lấy P là một tương ứng của a + b + c Việc cần làm là đánh giá

chia: 2 vế của các ràng buộc trong giả thiết, cả tử và mẫu thức của các phân thức

trong P cho x Tuy nhiên, biểu thức P thu đƣợc theo các biến mới khá cồng kềnh

Ta xét lại từng biểu thức trong P:

Như vậy, P trở thành biểu thức đơn giản hơn và đối xứng với hai biến z , x

y z Ta cần bất đẳng thức phụ đánh giá 1 1

*) Với a, b dương thỏa mãn ab 1 ta có bất đẳng thức 1 1 2

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ab hoặc ab 1

*) Theo giả thiết, ta có z x . x 1

t

t t

Bài 2 Cho x, y là các số thực không đồng thời bằng 0 Tìm GTLN và GTNN của

“tham số” mà việc tìm GTLN, GTLN của hàm mới đó đơn giản hơn

Ví dụ 1 Cho x, y,z  [0,2] Tìm GTLN của A 2( x y z ) ( xy yzzx )

Phát hiện tương ứng: Nếu cố định y và z thì A f ( x ) là hàm bậc nhất

biến x Vì x 0 2, nên A max{f ( ), f ( )0 2 } Nhƣ vậy, bài toán đƣợc giải quyết đơn giản hơn

Lời giải

Ta có: A ( 2  y z )x 2( yz )yz f ( x ).

Vì y = f(x) là hàm số bậc nhất theo biến x, x 0 2, nên Amax{f ( ), f ( )0 2 }

Lại có yz 0  f ( )2   4 yz 4

y,z  f ( ) ( yz )yz ( y )( z ) ;

Vậy max{f ( ), f ( )0 2 }= 4 hay max A = 4 khi x 0, y 0,z 2 chẳng hạn

Ví dụ 2: Cho a,b,c 0 thỏa mãn a b c   3 Chứng minh 2 2 2

4

a b  c abc Lời giải

  Ta có điều phải chứng minh

Sau đây, ta cùng xét một ví dụ đơn giản của phương pháp “dạt ra biên” mà biểu thức đang xét không chỉ là hàm bậc nhất như trong hai ví dụ trên

Ví dụ 3 : Cho a,b,c là các số thực dương thỏa a 2b Chứng minh rằng:

  Vì vậy, ta có thể quy bài toán trên về bài toán: chứng minh hàm số

x y





  

Giả sử zmin{ x, y,z} , khi đó biến đổi f(x,y,z) thành một hàm bậc nhất biến t = xy,

z là tham số Ta được max f(x,y,z) = 7

27

1 3

*) Tìm min f(x,y,z):

Sử dụng biến đổi tương đương để đưa f(x,y,z) thành một hàm bậc hai của biến z và

chỉ có tham số y Dùng đạo hàm tìm được min f(x,y,z)=0 0

Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 1

Như vậy: Kĩ thuật xét biến độc lập là kĩ thuật xử lí các biến một cách riêng lẻ nhưng cùng chung một tương ứng hàm Sau đó, tổng hợp lại thì ta có được lời giải cho bài toán

Ví dụ 2 Cho a, b, c là các số thực không âm có tổng bằng 1 Chứng minh rằng:

1

a b c 

Phát hiện tương ứng: theo giả thiết ta có a b c   1 Do đó, theo kết luận

của bài toán, ta có thể nghĩ ngay đến việc chứng minh 2 2 2

Dấu bằng xảy ra khi a = 1, b = c = 0 chẳng hạn

Ví dụ 3 Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện 2 2 2

Tuy nhiên, khi sử dụng đạo hàm ta chỉ thu được f ( t )   0, t 0; 3. Như vậy, việc chọn hàm như trên là hỏng Ta phải xét mỗi hạng tử trên theo một tương ứng khác

Phát hiện tương ứng: Vì a b c   3 nên ta đánh giá 2

giá tương tự cho hai biểu thức còn lại

Tuy nhiên, chứng minh các ràng buộc đó đều không thành công Do đó, ta nghĩ đến tương ứng 23 2 2

*)Với mọit 0 3; , ta chứng minh 2 3 2 2 4   8

  tại điểm có hoành

độ t = 1 (đúng như dự đoán tương ứng a = b = c = 1) và nằm phía trên đồ thị đó

b) Phương pháp tiếp tuyến

a  b c

Ví dụ 6 Cho a,b,c 0 , a b c   3 Chứng minh rằng a b c ab bc ca

Phát hiện tương ứng: Vì a b c   3 nên ta có biến đổi sau:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm f(t) tại điểm (1;3) là y = 3t

Ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 7[A-2003] Cho các số dương x, y và z thoả mãn x + y + z  1 Chứng minh rằng:

Ví dụ 8 Cho các số dương a, b, c thoả mãn 4( a b c )    9 0 Tìm giá trị lớn nhất

Bài 1 Chứng minh rằng a,b  1 thì a b  1 b a  1 ab.

HD: Độc lập các biến bằng cách chia hai vế cho ab

Bài 2 Cho a,b,c( ; )0 1 và ab bc ca   1 Tìm GTNN của 2 2 2

 với

2

a ; sử dụng bất đẳng thức phụ để đánh giá biểu thức T theo

tổng ab + bc + ca.

Bài 3 Chứng minh rằng: với ba số thực a, b, c không âm thỏa mãn 2 2 2

2.2.6 Phương pháp lượng giác hóa

Phương pháp lượng giác hóa rất hữu hiệu để giải một lớp bài toán tìm GTLN,

GTNN của biểu thức chứa hai biến x, y thỏa mãn điều kiện 2 2 2

x y a , a là hằng

số Bởi lẽ, với ràng buộc trên ta nghĩ đến tương ứng ( x; y ) ( a cos t;a sint ) Tùy

vào đặc điểm giả thiết của mỗi bài, ta đặt điều kiện cho biến t sao cho biểu thức

lượng giác thu được trở nên đơn giản

Trong các bài toán sử dụng lượng giác hóa, người học có thể không sử dụng trực tiếp công cụ đạo hàm Tuy nhiên phương pháp lượng giác hóa lại thể hiện rõ

“quan điểm hàm” khi tìm lời giải bài toán max – min của biểu thức đại số

Ví dụ 1 Cho x, y là các số thực thỏa mãn 2 2

1

x y  Tìm GTLN và GTNN của các biểu thức sau:

B x  x y y Lời giải

Vậy maxA = 0 khi

Từ đó, ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 4 Cho hai số thực a, b không âm thỏa mãn a + b = 2 Chứng minh rằng:

2.3 Phương pháp miền giá trị của hàm số

Dựa trên định nghĩa toàn ánh của hàm, bài toán “tìm GTLN, GTNN của

A=f(x), xD ” tương đương với bài toán tìm A để phương trình f(x) = A có nghiệm

ẩn xD Từ điều kiện đó, ta thu được miền giá trị của A

Ví dụ 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số 2 1

1

x y





 

Lời giải

Do x2    x 1 0, x  nên ta có:

2 2

3 x sin 2 x cos y

HD: Đưa về điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai

Bài 2 Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:

sin x y

a) Đặt sinx = t Tìm y để phương trình bậc nhất thu được có nghiệm thuộc [-1;1]

b) Đưa về điều kiện có nghiệm của phương trình Asinx+Bcosx=C

Bài 3 Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức sau:

a) A=3x 4y 2 với x, y thỏa mãn 2 2

x xy y  b)

HD: a) Thế 4y 3x  2 A vào điều kiện (1) Tìm giá trị của A để phương trình bậc hai ẩn x thu được có nghiệm

Bài 4 Cho a, b là các số thực thỏa mãn a  1 , b  4 4, a b  1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Phần III Kết luận

Chuyên đề đã trình bày được những nội dung như sau:

1) Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số và phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn

2) Phương pháp giải bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số nhờ sử dụng hàm sau khi quy về một biến

3) Phương pháp miền giá trị của hàm số tìm GTLN, GTNN của hàm số hoặc biểu thức đại số

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song chuyên đề không tránh khỏi những thiếu sót Tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy, cô giáo và các em học sinh Tôi xin chân thành cảm ơn!

Tài liệu tham khảo

1 Trần Văn Hạo, Giải tích 12, NXB Giáo dục

2 Trần Văn Hạo, Sách giáo viên Giải tích 12, NXB Giáo dục

3 Đoàn Quỳnh, Tài liệu chuyên Toán bài tập giải tích 12, NXB Giáo dục

4 Cao Thị Xuân Phương, Bài tập chuyên đề môn phương pháp tư duy, Cao học

K19-LL&PPDH Toán– Đại học Sư Phạm Hà Nội

5 Trần Phương, Các phương pháp và kĩ thuật chứng minh bất đẳng thức, NXB

Thành phố Hồ Chí Minh