De thi thu vao lop 10 truong THPT chuyen ha noi amsterdam

b Tìm tất cả các giá trị của x để A nhận giá trị nguyên dương.. Câu 2 Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài đường chéo là 13 m và chiều dài lớn hơn chiều rộng 7m.. Tính chiều dài và

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG

MÔN TOÁN 9 TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÀ NỘI AMSTERDAM NĂM 2017

9

x



a) Rút gọn B, tìm x để AB

b) Tìm tất cả các giá trị của x để A nhận giá trị nguyên dương

Câu 2) Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài đường chéo là 13 m và chiều dài lớn hơn

chiều rộng 7m Tính chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đó

Câu 3) Trên hệ trục tọa độ Oxy cho Parabol   2

:

P y x và đường thẳng   2

: 2 1

d y xm 

a) Khi m   3 , chứng tỏ rằng  d luôn cắt  P tại 2 điểm phân biệt A B Từ đó tính , diện tích tam giác OAB

b) Với giá trị nào của m thì  d cắt  P tại 2 điểm phân biệt D E sao cho khoảng cách từ ,

D đến trục Oy bằng khoảng cách từ E đến trục Oy

Câu 4) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp O R;  đường cao AD BE cắt nhau tại , H , BE kéo

dài cắt  O tại F

a) Chứng minh: Tứ giác CDH E nội tiếp

b) Chứng minh: Tam giác AH F cân

c) Gọi M là trung điểm của AB Chứng minh: M E là tiếp tuyến của đường tròn ngoại

tiếp tam giác CDE

d) Giả sử BC cố định và BC R 3 , xác định vị trí A trên đường tròn để DH DA lớn nhất

Câu 5) Cho 2 số thực dương x y, sao cho 2xy  4 x y Tìm GTNN của P xy 12 12

x y

HƯỚNG DẪN GIẢI

9

x



c) Rút gọn B, tìm x để AB

d) Tìm tất cả các giá trị của x để A nhận giá trị nguyên dương

Giải:

a) Ta có:

9

B

x



AB 12 7 2 12 2 1  3 7 2 7 5 18 0

x



7

x

x



  



(TMĐK)

b) Ta có :  

7

2

Vì A là số nguyên dương nên ta có:

1 7

0

2 2

A A

A







25

x

x



9

x

x



Câu 2) Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài đường chéo là 13 m và chiều dài lớn hơn

chiều rộng 7m Tính chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đó

Giải:

Gọi chiều dài hình chữ nhật là x (m) , điều kiện x 7

Chiều rộng hình chữ nhật là: x 7 (m) Vì độ dài đường chéo là 13 m nên theo định lý Pitago ta

x  x   x  x   x x  x ( do x 7)

Đối chiếu với điều kiện ta thấy x 12 thỏa mãn điều kiện Vậy chiều dài hình chữ nhật là 12m, chiều rộng hình chữ nhật là 5 m

Câu 3) Trên hệ trục tọa độ Oxy cho Parabol   2

:

P y x và đường thẳng   2

: 2 1

d y xm 

c) Khi m   3 , chứng tỏ rằng  d luôn cắt  P tại 2 điểm phân biệt A B Từ đó tính , diện tích tam giác OAB

d) Với giá trị nào của m thì  d cắt  P tại 2 điểm phân biệt D E sao cho khoảng cách từ ,

D đến trục Oy bằng khoảng cách từ E đến trục Oy

Giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của  d và  P là: x2 2x m 2 1 x22x 1 m2  0

a) Khi m   3 thì 2

x  x  , ta có      và nên phương trình luôn có 2 ' 1 2 3 0 nghiệm phân biệt x x Hay 1, 2  d luôn cắt  P tại 2 điểm phân biệt A B ,

Theo hệ thức Viet ta có: x x    nên hai giao điểm 1 2 2 0 A B nằm về 2 phía trục Oy , giả sử ,

 1; 1,  2; 2

A x y B x y với x10x2 ta có hình vẽ:

Gọi H K lần lượt là hình chiếu vuông góc ,

của A B lên trục Oy thì , AH  x1  x1,

BK  x x , đường thẳng  d cắt trục Oy

tại I0; 2 OI 2

2 2

S S S  AH OI BK OI

1

.2

2 x x x x

2

OAB

S  x x  x x  x x

Theo hệ thức Viet ta có: x1x2  2,x x1 2   suy ra 2 S2 12S OAB 2 3

b) Phương trình hoành độ giao điểm

của  d và  P là:x2 2x m 2  1

x  x m  Ta có  ' m , để 2

 d cắt  P tại 2 điểm phân biệt thì  ' 0

2

    Khi đó 2 giao điểm

 1; 1 , 2; 2

D x y E x y , gọi M N lần lượt là ,

hình chiếu vuông góc của D E lên trục Oy ,

thì khoảng cách từ D E đến trục Oy tương ứng ,

là độ dài của đoạn thẳng DM EN Ta có: , DM  x1 , EN  x2 , yêu cầu bài toán tương đương

với x1 2 x2  x1 2 x2 0 (*), do vai trò D E như nhau nên điều kiện (*) có thể viết lại ,

x  x x  x    x  x  x x    x x  x x  x x 

Theo hệ thức Viet ta có: 1 2 2

1 2

2 1

x x

x x m

  





 



suy ra 2x1x224x x1 25 x x1 2  0

Trường hợp 1: 1m2 0m hoặc 1 m  1 đẳng thức (1) trở thành:

1 4 4 0

3

m   m   m   loại

Trường hợp 2: 1m2 0  1 m đẳng thức (1) trở thành: 1

5 1 4 1 8 0

9 3

          thỏa mãn điều kiện

Tóm lại 1

3

m   là các giá trị cần tìm

Câu 4) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp O R;  đường cao AD BE cắt nhau tại , H , BE kéo

dài cắt  O tại F

e) Chứng minh: Tứ giác CDH E nội tiếp

f) Chứng minh: Tam giác AH F cân

g) Gọi M là trung điểm của AB Chứng minh: M E là tiếp tuyến của đường tròn ngoại

tiếp tam giác CDE

h) Giả sử BC cố định và BC R 3 , xác định vị trí A trên đường tròn để DH DA lớn nhất

Giải:

90

H DC H EC  nên 4 điểm

, , ,

C D H E cùng nằm trên 1 đường tròn đường

kính HC hay tứ giác CDH E nội tiếp

gọi I là trung điểm của HC thì CDH E nội tiếp

đường tròn ;

2

HC I

 

b) Ta có F AC FBC  (cùng chắn cung FC )

Lại có EBC DAC (cùng phụ với ACB) suy ra F ACDAC, tam giác AH F có AE là

đường cao đồng thời cũng là trung tuyến nên AH F là tam giác cân

c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE cũng là đường tròn ngoại tiếp tứ giác CDH E

Tam giác AEB vuông tại E , M là trung điểm cạnh huyền AB nên MAME

M EAM AE(2), tam giác H EC vuông tại C có I là trung điểm cạnh huyền HC nên

IEIC suy ra IEC ICE(2) Từ (2),(3) ta có:     0

90

M EA IEC M AEICE suy ra M E

là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE

d) Xét tam giác vuông BDH và tam giác vuông ACD ta có: H BDDAC (cùng phụ



ACB ) suy ra BH DACD(g.g) BD AD DH DA BDCD

H D CD

3

2

3

4

R

DH DA  , dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi BD CD  ABC cân tại A , hay A là điểm chính giữa cung lớn BC

Câu 5) Cho 2 số thực dương x y, sao cho 2xy  4 x y Tìm GTNN của P xy 12 12

x y

Giải:

2 2 4 2

1 1 x y xy xy xy x y 4x y 18xy 16

Từ giả thiết ta có: 2xy  4 x y 0 xy Ta cũng có: 2

2xy4  xy 4xyx y 5xy 4 0 xy1 xy4  do 0 xy  suy ra 2 xy  4

Ta chứng minh:

3 3 2 2

3 3 2 2

2 2

2

x y x y xy

x y x y xy

x y

xy x y  xy  Do xy  nên bất đẳng thức luôn đúng Dấu đẳng thức xảy ra khi 4

và chỉ khi xy 4 x y 2

x y











Vậy GTNN của P là 9

2