Bài tập về dao động tắt dần trong chương trình vật lí 12 thường là dạng bài tập khó. Để giải quyết được bài toán này yêu cầu học sinh phải sử dụng thành thạo định luật bảo toàn và chuyển hóa năng lượng và nắm rõ được các bản chất vật lí trong quá trình dao động. Đề thi Đại Học một số năm gần đây cũng đưa ra một số bài về dao động tắt dần tuy nhiên nhiều học sinh còn lúng túng khi giải quyết các bài toán phần này. Chuyên đề này tôi trình bày từ cơ sở lý thuyết đến các dạng bài tập cơ bản điển hình về dao động tắt dần của con lắc lò xo và con lắc đơn. Trong mỗi phần đều có các ví dụ minh họa cụ thể. Chuyên đề giúp học sinh sử dụng các định luật bảo toàn và chuyển hóa năng lượng vào bài toán một cách hiệu quả hơn đặc biệt học sinh làm tốt hơn các bài tập về dao động tắt dần.
Trang 1CHUYấN ĐỀ ễN THI THPT QUỐC GIA BÀI TẬP VỀ DAO ĐỘNG TẮT DẦN
LỜI NểI ĐẦU
Bài tập về dao động tắt dần trong chương trỡnh vật lớ 12 thường là dạng bài tập khú Đểgiải quyết được bài toỏn này yờu cầu học sinh phải sử dụng thành thạo định luật bảo toàn
và chuyển húa năng lượng và nắm rừ được cỏc bản chất vật lớ trong quỏ trỡnh dao động
Đề thi Đại Học một số năm gần đõy cũng đưa ra một số bài về dao động tắt dần tuy nhiờn nhiều học sinh cũn lỳng tỳng khi giải quyết cỏc bài toỏn phần này
Chuyờn đề này tụi trỡnh bày từ cơ sở lý thuyết đến cỏc dạng bài tập cơ bản điển hỡnh về dao động tắt dần của con lắc lũ xo và con lắc đơn Trong mỗi phần đều cú cỏc vớ dụ minh họa cụ thể
Chuyờn đề giỳp học sinh sử dụng cỏc định luật bảo toàn và chuyển húa năng lượng vào bài toỏn một cỏch hiệu quả hơn đặc biệt học sinh làm tốt hơn cỏc bài tập về dao động tắt dần
I CƠ SỞ Lí THUYẾT
1 Dao động tắt dần
* Dao động tắt dần là dao động
cú biờn độ giảm dần theo thời gian
* Nguyờn nhõn: Lực cản của mụi
trường tỏc dụng lờn vật làm giảm cơ năng
của vật Cơ năng giảm thỡ thế năng cực
đại giảm , do đú biờn độ A giảm dẫn tới
dao động tắt dần Dao động tắt dần càng
nhanh nếu mụi trường càng nhớt
* Khi lực cản môi trờng là
không đổi, chu kì của dao
t
O
Trang 2Với con lắc đơn dao động điều hòa: W = 1
)(
1 2
a n a a n
II CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: dao động tắt dần của con lắc lò xo.
1 Tìm vị trí cân bằng của con lắc khi dao động
Vị trí cân bằng là vị trí hợp lực bằng không: Fms = Fđh hay µmg = k x
suy ra x0 = ± µmg/k
2 Tốc độ cực đại của vật khi dao động
Tốc độ lớn nhất đạt được khi vật qua vị trí cân bằng lần đầu tiên
Vận tốc cực đại khi dao động đạt được tại vị trí x0 :
)(2
12
2 k A x kx A x
→ v= ω (A−x0)
3 Xác định độ giảm biên độ sau n chu kì dao động
* Xét một con lắc lò xo dao động tắt dần, có biên độ ban đầu là A0 Biên độ củacon lắc giảm đều sau từng chu kỳ
* Gọi biên độ sau một nửa chu kỳ đầu tiên là A1
* Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng ta có: 2 2
2kA −2kA = −F s.Trong đó F là lực cản tác dụng vào quả cầu con lắc khi con lắc dao động tắt dần và s làquãng đường mà vật đi được sau một nửa chu kỳ đầu tiên Ta có s = A1 + A0
Trang 3* Gọi A2 là biên độ sau một nửa chu kỳ tiếp theo (hay là biên độ ở cuối chu kỳ
4 Năng lượng để duy chì dao động
• Năng lượng để duy trì dao động là :
* Nếu sau mỗi chu kì biên độ giảm ∆A (%)
⇒ Độ giảm năng lượng mỗi chu kì (tính ra phần trăm): %∆E = 1 - (1 - ∆A%)2
* Năng lượng để duy trì n dao động là E = n∆E (J)
5 Xác định số nửa chu kì thực hiện được cho tới khi dừng lại
Số nửa chu kì dao động là số nguyên của đẳng thức
∆ nếu q > 5 thì số nửa chu kì là N = p + 1
Nếu q≤5 thì số nửa chu kì là N = p
6 Xác định quãng đường đi được cho tới khi dừng lại
∆ là số nguyên thì vật sẽ dừng lại tại gốc tọa độ o ( vị trí ban đầu của vật )
9 Tìm vận tốc của vật khi nó đi được quãng đường S
Để làm được bài toán này cần xác định được li độ của vật khi vật đi được quãng đường s
Trang 4Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng ta có
A
ω
11 Tìm quãng đường vật đi được khi vật còn biên độ là A1
Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng ta có
Ví dụ 1: Một con lắc lò xo có k=100N/m , có m= 100g dao động với biên độ ban đầu là
A= 10cm Trong quá trình dao động vật chịu một lực cản không đổi , sau 20s vật dừng lạitại vị trí cân bằng, (lấy π2=10 ) Lực cản có độ lớn là?
Ví dụ 2: Gắn một vật có khối lượng m = 200g vào lò xo có độ cứng K = 80N/m Một đầu
lò xo được giữ cố định Kéo m khỏi VTCB một đoạn 10cm dọc theo trục của lò xo rồi thả nhẹ cho vật dao động Biết hệ số ma sát giữa m và mặt nằm ngang là µ = 0,1 Lấy g =
10m/s2
a) Tìm chiều dài quãng đường mà vật đi đợc cho đến khi dừng lại
b) Chứng minh rằng độ giảm biên độ dao động sau mỗi một chu kì là một số không đổi.c) Tìm thời gian dao động của vật
Vậy quãng đường đi được là : s = 2.N.A0 – N2.∆A1 = 200 cm =2m
Trang 5b) Giả sử tại thời điểm vật đang ở vị trí có biên độ A1 Sau nửa chu kì , vật đến vị trí cóbiên độ A2 Sự giảm biên độ là do công của lực ma sát trên đoạn đường (A1 + A2) đã làmgiảm cơ năng của vật
c) Độ giảm biên độ sau mỗi một chu kì là: ∆ = ∆ =A 2 A1 1cm
Số chu kì thực hiện là: n = 2.N = 10 chu kì Vậy thời gian dao động là: t = n.T = 3,14(s)
Ví dụ 3: Cho cơ hệ gồm 1 lò xo nằm ngang 1 đầu cố định gắn vào tường, đầu còn lại
gắn vào 1 vật có khối lượng M=1,8kg , lò xo nhẹ có độ cứng k=100N/m Một vật khối lượng m=200g chuyển động với vận tốc v=5m/s đến va vào M (ban đầu đứng yên) theo hướng trục lò xo Hệ số ma sat trượt giãu M và mặt phẳng ngang là µ=0,2 Xác định tốc
độ cực đại của M sau khi lò xo bị nén cực đại, coi va chạm là hoàn toàn đàn hồi xuyên tâm
Giải: Gọi v0 và v’là vận tốc của M và m sau va chạm.; chiều dương là chiều chuyển động ban đầu của m
6,3 = 3,6 cm Khi đó:
2 max
Mv
+ 2
Mv
=
2
)( 2 2
0 x A
0 −
- 2µg(A0-x) = 0,2494 => v max = 0,4994 m/s = 0,5 m/s
Ví dụ 4: Con lắc lò xo dao động trên mặt phẳng nằm ngang, khối lượng m=100g
k=10N/m hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng ngang là 0,1 kéo vật đến vị trí lò xo dãn 10cm, thả không vận tôc đầu tổng quãng đường đi được trong 3 chu kỳ đầu tiên?
Trang 6Độ giảm biên độ sau 1/2 chu kỳ: A 2 mg 2(cm)
Vậy, sau 3 chu kỳ, vật tắt hẳn và dừng lại tai VTCB
Vậy, quãng đường đi được:
2
1
c ms
kA W
Ví dụ 5: Con lắc lo xo dao động trên mặt phẳng nằm ngang, khối lượng m=100g
k=10N/m hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng ngang là 0,1 kéo vật đến vị trí lò xo dãn 10cm, thả không vận tôc đầu.Vị trí vật có động năng bằng thế năng lần đầu tiên là
b) Số dao động và thời gian mà vật thực hiện cho tới lúc dừng?
0, 4
k
rad s m
4.0,01.10
1,6.10 ( ) 0,16( )(5 )
Ví dụ 7: Một con lắc lò xo dao động tắt dần Cứ sau mỗi chu kì, biên độ của nó giảm
0,5% Hỏi năng lượng dao động của con lắc bị mất đi sau mỗi dao động toàn phần là baonhiêu % ?
ĐS: Ta có:
A
A A
W
= 0,9952 = 0,99 = 99%, do đóphần năng lượng của con lắc mất đi sau mỗi dao động toàn phần là 1%
Ví dụ 8: Một con lắc lò xo ngang có k = 100N/m dao động trên mặt phẳng ngang Hệ số
ma sát giữa vật và mặt phẳng ngang là µ = 0,02 Kéo vật lệch khỏi VTCB đoạn 10cm rồibuông tay cho vật dao động
a) Quãng đường vật đi được đến khi dừng hẳn
ĐS: a) 25m
b) Để vật đi được 100m thì dừng ta phải thay đổi hệ số ma sát µ bằng bao nhiêu?
ĐS: b) 0,005
Ví dụ 9: Một con lắc lò xo gồm một vật có khối lượng l00g gắn vào lò xo có độ cứng
0,01N/cm dao động tắt dần chậm từ thời điểm t = 0 với biên độ ban đầu là l0cm Trongquá trình dao động, lực cản tác dụng vào vật có độ lớn không đổi 10-3 N Tính tốc độ lớnnhất của vật sau thời điểm t = 21,4s Lấy π2 = l0.
Trang 7Giải : Ta tính được : k
m
ω = = π (rad/s)
T = 2 ( s) mỗi nửa chu kì là 1s, A = 100 mm
Độ giảm biên độ sau nửa chu kì : ΔA = 2 F c /K = 2mm.
Sau 21 s vật thực hiện được 21 nửa chu kì Sau 0,5s ( một phần tư chu kì) tiếp theo vật cóvận tốc cực đại tại nửa chu kì thứ N = 22
Áp dụng công thức :
Vmax = −( −1).∆ −∆2
A A N
A
vmax = 40 2cm/s ⇒ đáp án D
Cách 2 : Vì cơ năng của con lắc giảm dần nên vận tốc của vật sẽ có giá trị lớn nhất tại vị
trí nằm trong đoạn đường từ lúc thả vật đến lúc vật qua VTCB lần thứ nhất (0≤x≤ A):
2
1 2
1
kx
mv +
) thì quãng đường đi được là (A - x)
Độ giảm cơ năng của con lắc = |Ams| , ta có:
A mg kA
x mg kx
mv x
A mg kx
mv
2
1 2
1 ( 2
(*)Xét hàm số: y = mv2 = f(x) = −kx2+2µmg.x+kA2−2µmg.A
Trang 8Dễ thấy rằng đồ thị hàm số y = f(x) có dạng là parabol, bề lõm quay xuống dưới
(a = -k < 0), như vậy y = mv2 có giá trị cực đại tại vị trí k m
mg a
Thay x = 0,02 (m) vào (*) ta tính được vmax = 40 2cm/s ⇒ đáp án D
Câu 2: Một con lắc lò xo đặt trên mặt phẳng nằm ngang, lò xo có độ cứng 10(N/m), vật
nặng có khối lượng m = 100(g).Hệ số ma sát trượt giữa vật và mặt phẳng ngang là μ = 0,2 Lấy g = 10(m/s2); π = 3,14 Ban đầu vật nặng được thả nhẹ tại vị trí lò xo dãn 6(cm) Tốc độ trung bình của vật nặng trong thời gian kể từ thời điểm thả đến thời điểm vật qua
vị trí lò xo không bị biến dạng lần đầu tiên là :
Khi lò xo không biến dạng → x = 0 ⇒ cos10t = -1/2 = cos2π/3 ⇒ t = π/15 s
vtb = π/615 3,14= 90 ≈ 28,66 cm/s
Câu 3: một con lắc lò xo dao động tắt dần trên mạt phẳng nằm ngang với các thông số
như sau: m=0,1Kg, A0 =10 cm, K = 20N/m, μ=0.05 Tính độ lớn vận tốc của vật khi vật điđược 34cm
Câu 4: Một lò xo nằm ngang, k=40N/m, chiều dài tự nhiên=50cm, đầu B cố định, đầu O
gắn vật có m=0,5kg Vật dao động trên mặt phẳng nằm ngang hệ số ma sát =0,1 Ban đầu vật ở vị trí lò xo có độ dài tự nhiên kéo vật ra khỏi vị trí cân bằng 5cm và thả tự do, chọn câu đúng:
A.điểm dừng lại cuối cùng của vật là O
B.khoảng cách ngắn nhất của vật và B là 45cm
C điểm dừng cuối cùng cách O xa nhất là 1,25cm
D.khoảng cách giữa vật và B biến thiên tuần hoàn và tăng dần
Trang 9Câu 5: Một con lắc lò xo gồm vật nhỏ khối lượng 0,2 kg và lò xo có độ cứng k =20 N/m.
Vật nhỏ được đặt trên giá đỡ cố định nằm ngang dọc theo trục lò xo Hệ số ma sát trượt giữa giá đỡ và vật nhỏ là 0,01 Từ vị trí lò xo không bị biến dạng, truyền cho vật vận tốc ban đầu 1m/s thì thấy con lắc dao động tắt dần trong giới hạn đàn hồi của lò xo Lấy g =
10 m/s2 Độ lớn lực đàn hồi cực đại của lò xo trong quá trình dao động bằng
Câu 6: Một con lắc lò xo đặt nằm ngang gồm 1 vật có khối lượng m=100(g) gắn vào 1
lò xo có độ cứng k=10(N/m) Hệ số ma sát giữa vật và sàn là 0,1 Đưa vật đến vị trí lò xo
bị nén một đoạn rồi thả ra Vật đạt vận tốc cực đại trong quá trình dao động là
vmax=60(cm/s) Quãng đường vật đi được đến lúc dừng lại là:
A.24,5cm B 24cm C.21cm D.25cm
Giải: vị trí vật có tốc độ cực đại là: x0 = µmg/k = 0,01m
Tốc độ cực đại : v= ω (A−x0) Thay số →A0 = 7cm
Độ giảm biên độ sau một nửa chu kì là: ∆A1= 2 mg
)10.928203,
6.(
102 − 2 2
= 0,24 m = 24 cm Chọn B Câu 7: Con lắc lò xo nằm ngang có k = 100N/m, vật m = 400g Kéo vật ra khỏi VTCB
một đoạn 4cm rồi thả nhẹ cho vật dao động Biết hệ số ma sát giữa vật và sàn là μ = 5.10
-3 Xem chu kỳ dao động không thay đổi, lấy g = 10m/s2 Quãng đường vật đi được trong 1,5 chu kỳ đầu tiên là:
A 24cm B 23,64cm C 20,4cm D 23,28cm
Trang 10Sau mỗi nửa chu kì A giảm 2
Câu 8: Một con lắc lò xo nằm ngang gồm vật có khối lượng 600 g, lò xo có độ cứng
100N/m Người ta đưa vật ra khỏi vị trí cân bằng một đoạn 6,00 cm rồi thả nhẹ cho nódao động, hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng ngang là 0,005 Lấy g = 10 m/s2 Khi đó sốdao động vật thực hiện cho đến lúc dừng lại là
06,0.100
A N
µ
Câu 9: Một con lắc lò xo thẳng đứng gồm lò xo nhẹ có độ cứng k = 100N/m, 1 đầu cố
định, 1 đầu gắn vật nặng khối lượng m = 0,5kg Ban đầu kéo vật theo phương thẳng đứng khỏi VTCB 5cm rồi buông nhẹ cho dao động Trong quá trình dao động vật luôn chịu tác dụng của lực cản có độ lớn bằng 1/100 trọng lực tác dụng lên vật Coi biên độ của vật giảm đều trong từng chu kỳ, lấy g=10 m/s2 Số lần vât qua VTCB kể từ khi thả vật đến khi
nó dừng hẳn là:
Giải: Gọi ∆A là độ giảm biên độ mỗi lần vật qua VTCB
)'(01,02
')'(2
'
2
2 2
2
A A mg
kA A A F kA
A F kA
'(2)
100
10.5,0.02,002
Câu 10: Một con lắc lò xo có độ cứng k = 2 N/m, khối lượng m = 80g dao động tắt dần
trên mặt phẳng nằm ngang do có ma sát, hệ số ma sát µ = 0,1 Ban đầu vật kéo ra khỏi VTCB một đoạn 10cm rồi thả ra Cho gia tốc trọng trường g = 10m/s2 Thế năng của vật ở vị trí
mà tại đó vật có tốc độ lớn nhất là:
Bài giải Chọn gốc tính thế năng ở VTCB
Theo định luật bảo toàn năng lượng ta có Wt,max = Wđ + Wt + Ams
Wt,max: là thế năng ban đầu của con lắc
Wđ , Wt :là động năng và thế năng của con lắ tại vị trí có li độ x
Ams : là công của lực ma sát kể từ khi thả đến li độ x Ams = mg(x0 – x) với x0 = 10cm = 0,1m
Khi đó ta có: kx0 /2 = Wđ + kx2/2 + mg(x0 – x)
• O
Trang 11Suy ra Wđ = kx0/2 - kx2/2 - mg(x0 – x) ( đây là hàm bậc hai của động năng với biến x)Vận tốc của vật lớn nhất thì động năng của vật lớn nhất Động năng của
Vật lớn nhất khi x = mg/k = 0,04 m
Vậy thế năng tại vị trí đó là 1,6mJ Chọn đáp án D
Câu 11: Một con lắc lò xo nằm ngang k = 20N/m, m = 40g Hệ số ma sát giữa mặt bàn
và vật là 0,1 Lấy g = 10m/s2 đưa con lắc tới vị trí lò xo nén 10cm rồi thả nhẹ Tính quãngđường đi được từ lúc thả đến lúc vectơ gia tốc đổi chiều lần thứ 2:
-Ban đầu buông vật thì vật chuyển động nhanh dần ,trong giai đoạn đó thì vận tốc và gia tốc cùng chiếu, tức là hướng sang phải ,tới vị trí mà vận tốc của vật đạt cực đại thì gia tốc đổi chiều lần 1, khi đó vật chưa đến vị trí cân bằng và cách vtcb một đoạn được xác định
từ pt:F đh−F Ms =0(vì khi vận tốc cực đại gia tốc bằng không)
k
mg
x= =0,2 =>vật đi được 9,8cm thì vận tốc cực đại và gia tốc đổi chiểu lần 1
và vận tiếp tục sang vị trí biên dương, lúc này gia tốc hướng từ phải sang trái
-Độ giảm biên độ sau mỗi chu kì là
- Vậy quãng đường đi dực cho tới khi gia tốc đổi chiều lần 2 là:S=10+ 9.6 + 9,4=29cm
Câu 12: Một con lắc lò xo gồm vật m1 (mỏng, phẳng) có khối lượng 2kg và lò xo có độcứng k = 100N/m đang dao động điều hòa trên mặt phẳng nằm ngang không ma sát vớibiên độ A= 5 cm Khi vật m1 đến vị trí biên thì người ta đặt nhẹ lên nó một vật có khốilượng m2 Cho hệ số ma sát giữa m2 và m1 là µ =0.2 Giá trị của m2 để nó không bị trượttrên m1là
F=− ) và lực ma sát nghỉ Fn Để vật không trượt: F qmax≤F nmax
Để vật m2 không trượt trên m1 thì lực quán tính cực đại tác dụng lên m2 có độ lớn không vượt quá lực ma sát nghỉ giữa m1 và m2 tức là F msn ≥F qtmax
0
x
x
Trang 12)(5,02 2
1
2 max
2
m m
k g
A g
a m
Điều kiện để m2 khụng bị trượt trong quỏ trỡnh dao động là
amax = ω2A ≤ a2 suy ra g
m m
1
=> àg(m1 + m2) ≥ k A 2(2 + m2) ≥ 5 => m 2≥ 0,5 kg Chọn đỏp ỏn C
TỔNG QUÁT: ⇔m a0 max ≤àn N ⇔m A0 ω2 ≤àn m g0
2 max
max
0(1)
xo không biến dạng truyền cho vật vận tốc ban đầu 1m/s thì thấy con lắc dao động tắt dần trong giới hạn đàn hồi của lò xo.độ lớn của lực đàn hồi cực đại của lò xo trong quá trình dao động là:
A 19,8N B.1,5N C.2,2N D.1,98N
Giải: Gọi A là biờn độ cực đại của dao động Khi đú lực đàn hồi cực đại của lũ xo trong
quỏ trỡnh dao đụng: Fđhmax = kA
Để tỡm A tạ dựa vào ĐL bảo toàn năng lượng: mv = kA +F ms A= kA +àmgA
22
2
2 2
Cõu 14: Một con lắc lũ xo nằm ngang gồm lũ xo cú độ cứng k = 40N/m và quả cầu nhỏ
A cú khối lượng 100g đang đứng yờn, lũ xo khụng biến dạng Dựng quả cầu B giống hệt quả cầu A bắn vào quả cầu A dọc theo trục lũ xo với vận tốc cú độ lớn 1m/s; va chạm giữahai quả cầu là đàn hồi xuyờn tõm Hệ số ma sỏt giữa A và mặt phẳng đỡ là à = 0,1; lấy g =10m/s2 Sau va chạm thỡ quả cầu A cú biờn độ lớn nhất là:
A 5cm B 4,756cm C 4,525 cm D 3,759 cm
Giải: Theo ĐL bảo toàn động lượng vận tốc của quả cầu A sau va chạm v = 1m/s.
Trang 13Theo ĐL bảo toàn năng lượng ta có:
22
22
2 2
2
mgA kA
mv A
Câu 15: Con lắc đơn dao động trong môi trường không khí.Kéo con lắc lệch phương
thẳng đứng một góc 0,1 rad rồi thả nhẹ biết lực căn của không khí tác dụng lên con lắc là không đổi và bằng 0,001 lần trọng lượng của vật.coi biên độ giảm đều trong từng chu kỳ.số lần con lắc qua vị trí cân băng đến lúc dừng lại là:
A: 25 B: 50 C: 100 D: 200
Giải: Gọi ∆α là độ giảm biên độ góc sau mỗi lần qua VTCB (∆α< 0,1)
Cơ năng ban đầu W0 = mgl(1-cosα) = 2mglsin22
[
2
2 2
mgl
(1)Công của lực cản trong thời gian trên: Acản = Fc s = 0,001mg(2α - ∆α)l (2)
Từ (1) và (2), theo ĐL bảo toàn năng lượng: ∆W = Ac
[2 ( ) ]
2
2
αα
1,
Tổng quãng đường vật đi được đến lúc dừng lại; s = 7 + 5x2 + 3x2 + 1 = 24 cm Đáp án B