TUYỂN tập bộ BA câu PHÂN LOẠI TRONG các đề THI THỬ THPTQG GIẢI CHI TIẾT

Bộ 20 đề cơ bản ôn thi THPT Quốc gia môn Toán 2019 được biên soạn dựa theo cấu trúc đề minh họa của Bộ GD năm 2019, tập trung vào 2 mức độ cơ bản (Nhận biết và Thông hiểu) phù hợp cho đa số đối tượng học sinh, đặc biệt là học sinh trung bình ôn luyện chắc kiến thức căn bản.

Tuyển tập

Bộ ba câu phân loại

Trong các đề thi thử THPT Quốc Gia 2015

Trong các đề thi thử THPT Quốc Gia

Mục lục

1.1 Hệ tọa độ 14

1.2 Phương trình đường thẳng 14

1.2.1 Vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của đường thẳng: 14

1.2.2 Phương trình đường thẳng 14

1.2.3 Vị trí tương đối của 2 điểm và 1 đường thẳng 15

1.3 Góc và khoảng cách 15

1.4 Phương trình đường tròn 16

1.5 Phương trình Elip 16

2 Một số kĩ thuật cơ bản 17 2.1 Kĩ thuật xác định tọa độ điểm 17

2.1.1 Dựa vào hệ điểm 17

2.1.2 Xác định tọa độ giao điểm của hai đường 17

2.1.3 Điểm thuộc đường 18

2.2 Tìm tọa độ hình chiếu của một điểm lên một đường thẳng 19

2.3 Tìm tọa độ điểm đối xứng của một điểm qua một đường thẳng 19

2.4 Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, cách 1 điểm cho trước một khoảng cho trước 20

2.5 Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, tạo với 1 đường thẳng khác một góc cho trước 21

2.6 Viết phương trình đường phân giác trong của một góc 21

2.7 Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm 23

2.8 Viết phương trình đường thẳng đi qua hai tiếp điểm của đường tròn 23

3 Phương pháp giải toán 24 3.1 Phương pháp chung 24

3.2 Một số hướng khai thác giả thiết 24

3.3 Ví dụ 25

II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 29 1 Trục căn thức 29 1.1 Trục căn thức để xuất hiện nhân tử chung 29

1.1.1 Phương pháp 29

1.1.2 Ví dụ 29

1.2 Đưa về “hệ tạm” 30

1.2.1 Phương pháp 30

1.2.2 Ví dụ 30

2 Biến đổi về phương trình tích 31 2.1 Các biến đổi thường dùng 31

2.2 Ví dụ 31

3 Phương pháp đặt ẩn phụ 33

3.1 Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường 33

3.2 Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến 35

3.2.1 Phương trình dạng:a.A (x) + bB (x) = cpA (x) B (x) 36

3.2.2 Phương trình dạng:αu + βv =pmu2+ nv2 37

3.3 Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn 38

4 Phương pháp đưa về hệ phương trình 39 4.1 Đặt ẩn phụ đưa về hệ thông thường 39

4.2 Đặt ẩn phụ đưa về hệ đối xứng loại II 41

4.2.1 Hệ đối xứng 41

4.2.2 Dạng hệ gần đối xứng 42

5 Phương pháp lượng giác hóa 44 5.1 Một số kiến thức cơ bản 44

5.2 Xây dựng phương trình vô tỉ bằng phương pháp lượng giác hóa 44

5.3 Một số ví dụ 45

6 Phương pháp dùng Bất đẳng thức 46 7 Phương pháp hàm số 48 III MỘT SỐ KĨ THUẬT CHỨNG MINH BĐT 51 1 Những BĐT cổ điển thường dùng 51 1.1 BĐT hai biến 51

1.2 BĐT ba biến 51

2 Một số kĩ thuật chứng minh BĐT 51 2.1 Kĩ thuật ghép đối xứng 51

2.2 Kĩ thuật tách ghép 53

2.3 Kỹ thuật dùng BĐT cơ bản 55

2.4 Kĩ thuật dùng miền xác định của biến số 58

2.5 Một số cách biến đổi điều kiện thường gặp 60

2.6 BĐT thuần nhất 62

2.7 Kĩ thuật sử dụng hàm số 65

IV BỘ BA CÂU PHÂN LOẠI TRONG MỘT SỐ ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 68 1 Đề minh hoạ THPT 68

2 Đề Sở GD-ĐT Phú Yên 68 3 THTT số 453 tháng 04 năm 68

6 THPT Chu Văn An (Hà Nội) 69

33 THPT chuyên Vĩnh Phúc - Khối AB 78

40 Trung tâm dạy thêm văn hóa (THPT Chuyên Lê Hồng Phong - TP HCM) 80

13 THPT Lục Ngạn số 1 (Bắc Giang) 110

40 Trung tâm dạy thêm văn hóa - THPT Chuyên Lê Hồng Phong (TP HCM) 166

67 THPT Sông Lô (Vĩnh Phúc) 215

I PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT

1.2.1 Vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của đường thẳng:

• Vectơ−→u (−→u 6=−→0 ) là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu nó có giá song song hoặctrùng với đường thẳngd

• Vectơ→−n (−→n 6=→−0 )là vectơ pháp tuyến của đường thẳngdnếu nó có giá vuông góc với đườngthẳngd

• Đường thẳngax + by + c = 0có một vectơ pháp tuyến là→−n = (a;b)

• Hai đường thẳng song song có cùng vectơ chỉ phương (vectơ pháp tuyến)

• Hai đường thẳng vuông góc có vectơ pháp tuyến của đường thẳng này là vectơ chỉ phươngcủa đường thẳng kia

• Nếu−→u , −→n lần lượt là vectơ chỉ phương, vectơ pháp tuyến của đường thẳngd thì→−u −→n = 0

Do đó, nếu−→u = (a;b)thì−→n = (b;−a)

• Một đường thẳng có vô số vectơ pháp tuyến, vô số vectơ chỉ phương Nếu→−n là một vectơpháp tuyến (vectơ chỉ phương) của đường thẳngd thì k−→n (k 6= 0)cũng là một vectơ pháptuyến, vectơ chỉ phương củad

* Đường thẳng đi quaM (x0; y0)và nhận vectơ−→n = (p; q)làm vectơ chỉ phương, có phương

– Không phải đường thẳng nào cũng có hệ số góc Các đường thẳng dạngx = akhông

có hệ số góc Do vậy, khi giải các bài toán dùng hệ số góc, ta phải xét cả trường hợpđặc biệt này

– Nếu→−n = (a;b),(b 6= 0) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng thì hệ số góc của nó là

• Nếu¡ax A + byA + c ¢ ¡ax B + byB + c¢ < 0thìA, B ở về hai phía khác nhau đối với∆

• Nếu¡ax A + byA + c ¢ ¡ax B + byB + c¢ > 0thìA, B ở cùng một phía đối với∆

• Khoảng cách giữa hai điểmA(x A; y A), B (xB ; yB)là:

• Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểmM (x0; y0)

(x0− a)(x − x0) + (y0− b)(y − y0) = 0 (16)

• Vị trí tương đối của đường thẳng∆và đường tròn¡C ¢tâmI, bán kínhR

– Nếud (I ;∆)> R thì∆và¡C ¢không cắt nhau

– Nếud (I ;∆) = R thì∆và¡C ¢tiếp xúc tạiI0là hình chiếu củaI lênd

– Nếud (I ;∆) < Rthì∆và¡C ¢cắt nhau tại hai điểmM , N Khi đó trung điểmH củaM N làhình chiếu củaI lênM N và

• Các điểm A1(−a;0), A2(a; 0), B1(0; −b), B2(0; b) được gọi là các đỉnh của elip Đoạn thẳng

A1A2= 2ađược gọi là trục lớn,B1B2= 2bđược gọi là trục nhỏ.

• Phương trình chính tắc của Elip có hai tiêu điểmF1(−c;0),F2(c; 0)là:

• Tâm saie = c

a

• Cho elip (E ) có phương trình chính tắc (18) Hình chữ nhật PQRS với P (−a;b), Q(a; b),

• NếuM ∈ (E)vàM , F1, F2không thẳng hàng thì đường thẳng phân giác ngoài của gócFà1M F2

chính là tiếp tuyến của(E )tạiM

2 Một số kĩ thuật cơ bản

2.1 Kĩ thuật xác định tọa độ điểm

2.1.1 Dựa vào hệ điểm

Xác định tọa độ điểmM thỏa mãn điều kiện nào đó với hệ các điểmA1, A2, , An Đối với bài toánnày, ta đặtM (x; y)và khai thác giả thiết

Cho tam giácABC có trọng tâmG(1; 2), trực tâmH (−1;3) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoạitiếpI của tam giác

2.1.2 Xác định tọa độ giao điểm của hai đường

Giao của hai đường thẳng

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳngd1: ax + by + c = 0,d2: mx + ny + p = 0(nếu có) là nghiệmcủa hệ phương trình:

(20)

Giao của đường thẳng và Elip

Giao của hai đường tròn

Tọa độ giao điểm của hai đường tròn:

Vậy hai đường tròn cắt nhau tạiA(6; 2), B (1; −3).

2.1.3 Điểm thuộc đường

Để tìm tọa độ điểmM thuộc đường thẳngd :







x = x0+ mt

Ta lấy điểmM (x0+ mt ; y0+ nt )và áp dụng giả thiết, ta thu được phương trình ẩnt

Như thế, ta gọi là tham số hóa tọa độ điểmM

Cho điểmA(2; −1) Tìm tọa độ điểmM thuộc đường thẳngd : 2x − y − 4 = 0sao choAM =p2

Ví dụ 3

Lời giải

• Cách 1: Viết phương trình đường thẳng∆đi qua

M và vuông góc với d Điểm H chính là giaođiểm củadvà∆

• Cách 2: Tham số hóa tọa độ của H ∈ d và dựavào điều kiệnM H ⊥ d

Cho điểmM (−1;−1)và đường thẳngd : x − y + 2 = 0

Tìm tọa độ hình chiếuHcủa điểmM lên đường thẳngd

Ví dụ 4

Lời giải Cách 1

Đường thẳng∆đi quaM và vuông góc với đường thẳngdcó phương trình dạng:

2.3 Tìm tọa độ điểm đối xứng của một điểm qua một đường thẳng

Để tìm tọa độ điểm đối xứngM0củaMqua đường thẳng

dta có 2 cách:

• Cách 1: Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu của M

lênd DoHlà trung điểmM M0nên áp dụng công

thức tìm tọa độ trung điểm, ta tìm đượcM

• Cách 2: Giả sử M0(x; y) và H là trung điểm của

Tìm tọa độ điểmM0là đối xứng của điểmM (1; 1)qua đường thẳngd : x + y + 2 = 0.

Ví dụ 5

Lời giải

Cách 1

Đường thẳngd có vectơ chỉ phương−→u = (1;−1)

Hình chiếu củaM lên đường thẳngd làH (h; −h − 2) ∈ d Ta có:−−→M H = (h − 1;−h − 3) Do đó:

Cách 2

Đường thẳngd có vectơ chỉ phương−→u = (1;−1)

Giả sửM0(x; y) Khi đó trung điểmM M0làH

2.4 Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, cách 1 điểm cho trước

một khoảng cho trước

−

→n = (a;b), (a2+ b2> 0) và áp dụng công thức tínhkhoảng cách - công thức (13)

Viết phương trình đường thẳng∆đi quaA(1; 3)và cách điểmB (−2;1)một khoảng bằng3

• b = 0, chọna = 1ta có∆1: x − 1 = 0.

• b =12

5 a, chọna = 5,b = 12ta có∆2: 5x + 12y − 41 = 0

Vậy có 2 đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán là:∆1: x − 1 = 0;∆2: 5x + 12y − 41 = 0

2.5 Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, tạo với 1 đường thẳng

khác một góc cho trước

Để viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm

M và tạo với đường thẳng d một góc bẳng α ta

thường giả sử vectơ pháp tuyến của đường thẳng là

Vậy có 2 đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán là:∆1: 5x + y − 11 = 0;∆2: −x + 5y − 3 = 0.

2.6 Viết phương trình đường phân giác trong của một góc

Để viết phương trình đường phân giác trong của gócB AC ta có nhiều cách Dưới đây là 3 cáchthường sử dụng:

Cách 1:

Dựa vào tính chất đường phân giác là tập hợp các

điểm cách đều hai đường thẳngAB : ax +by +c = 0

Hai đường thu được là phân giác trong và phân

giác ngoài của gócABC d

phân giác trong, phân giác ngoài Cụ thể, nếuB,C ở cùng một phía thì đó là phân giác ngoài, ởkhác phía thì là phân giác trong.

¶

Ta có:−−→AB0+−−→AC0=µ 14

65; − 865

¶

.Vậy vectơ chỉ phương của đường phân giác cần tìm là:−→u = (7;−4) Do đó phương trình đườngphân giác cần tìm là:

2.7 Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm

Để viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm, ta sử dụng phương trình dạng (15) và thay tọa

độ ba điểm đó vào, thu được 1 hệ phương trình

Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giácABC biết: A(1; 3),B (−1;−1),C (2; 0)

2.8 Viết phương trình đường thẳng đi qua hai tiếp điểm của đường tròn

Cho điểmA ¡x A ; y A¢

nằm ngoài đường tròn(C )tâmI bán kínhR TừA, kẻ hai tiếp tuyếnAT1,AT2

tới(C ) Hãy viết phương trình đường thẳngT1, T2

Giả sửT (x; y),I (a; b)là tiếp điểm (T làT1hoặcT2) Khi đó, ta có:

¡x − xA¢ (x − a) + ¡y − y A¢ (y − b) = 0 (23)

Trừ từng vế 2 phương trình của (23) ta thu được 1 phương trình đường thẳng Đó là phương trìnhcần tìm

Cho đường tròn(C ) có phương trình(x − 4)2+ y2= 4 và điểm M (1; −2) Tìm tọa độ điểm N

thuộcO y sao cho từ N kẻ được 2 tiếp tuyến N A, N B đến(C ) (A, B là tiếp điểm) đồng thờiđường thẳngAB đi quaM

3 Phương pháp giải toán

Phương pháp chung để giải quyết bài toán hình học giải tích phẳng gồm các bước sau:

• Vẽ hình, xác định các yếu tố đã biết lên hình

• Khám phá các tính chất khác của hình (nếu cần) Chú ý tìm các đường vuông góc, songsong, đồng quy; các đoạn bằng nhau, góc bằng nhau; các góc đặc biệt; quan hệ thuộc giữađiểm và đường thẳng, đường tròn,

• Xác định các điểm, đường thẳng (theo các kĩ thuật đã học) để thực hiện yêu cầu bài toán

3.2 Một số hướng khai thác giả thiết

Dưới đây là một số hướng khai thác các giả thiết của đề bài Dĩ nhiên, tùy vào từng bài cụ thể, tacòn có những hướng sử dụng khác

1 Phương trình đường thẳngd:

• Tham số hóa tọa độ của các điểm thuộcd

• Xét được vị trí tương đối, tìm được giao điểm củad và đường tròn hoặc đường thẳngkhác

• Viết được phương trình đường thẳng:

– Song song hoặc vuông góc vớid

– Cácdmột khoảng cho trước

– Tạo vớidmột góc cho trước

• Lấy đối xứng được quad Tìm được hình chiếu của 1 điểm lênd

• Xét được vị trí tương đối của hai điểmA, B so vớid

2 Phương trình đường tròn(C )

• Tìm được tâm và bán kính

• Xét được vị trí tương đối, tìm được giao điểm của(C )và đường thẳng hoặc đường trònkhác

3 ĐiểmGlà trọng tâm tam giác ABC

• Áp dụng công thức tính tọa độ trọng tâm

• Gcùng với trực tâmH, tâm ngoại tiếpI thẳng hàng và−−→G H = −2−→G I

4 ĐiểmH là trực tâm của tam giácABC

• AH ⊥BC

• −−→

AH = 2−−→I M, vớiI là tâm đường tròn ngoại tiếp cònM là trung điểmBC

• Điểm đối xứng củaH quaAB, AC , BC thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giácABC

• Tứ giácB HC A0là hình bình hành, vớiA0là đối xứng củaA qua tâm đường tròn ngoạitiếp

• Hcùng với trọng tâmG, tâm ngoại tiếpI thẳng hàng và−−→G H = −2−→G I.

5 ĐiểmI là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

• I A = I B = IC = R

• I nằm trên đường trung trực các cạnh

• I cùng với trọng tâmG, trực tâmHthẳng hàng và−−→G H = −2−→G I

6 Jlà tâm đường tròn nội tiếp tam giácABC

• J cách đều các cạnh của tam giác

• Tìm được bán kính nội tiếp tam giác:r = d (J ,AB )

• A J , B J ,C Jlà các đường phân giác trong của các góc trong tam giác

7 dlà đường phân giác trong gócB AC

• A, J , K ∈ d Trong đóJ , K lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC và bàng tiếpcạnhBC

• Lấy đối xứng điểmM ∈ AB quadta đượcM0∈ AC

• d (M ,AB ) = d (M ,AC ), ∀M ∈ d

• d cắt đường tròn ngoại tiếp tam giácABC tại điểm chính giữa cungBC

8 Tứ giác nội tiếp

• Viết được phương trình đường tròn ngoại tiếp

• Sử dụng được tính chất: các góc nội tiếp chắn cùng 1 cung thì bằng nhau

• Chứng minh được 1 điểm cách đều các điểm khác

Các cách chứng minh tứ giácABC D nội tiếp:

(a) Bốn đỉnh cùng cách đều 1 điểm

(b) Có hai góc đối diện bù nhau

(c) Hai đỉnh cùng nhìn đoạn thẳng (tạo bởi hai đỉnh còn lại) hai góc bằng nhau

(e) I A.IC = I D.I BvớiIlà giao điểm hai đường chéo

(f ) Tứ giác đó là hình thang cân, hình chữ nhật, hình vuông,

Từ đó suy raC (9; −7),Bµ 6

5;

1415

Đường phân giác lần này lại xuất hiện cùng với

đường tròn ngoại tiếp nên ta liên tưởng đến tính

chất đường phân giác sẽ cắt đường tròn ngoại tiếp

tại điểm chính giữa cungBC

(

3x − y − 8 = 0 (x − 1)2+ y2= 10 ⇐⇒

2 ; y = −1 + 3

p32

x =5 +

p3

2 ; y =3

p

3 − 12

!,

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm I ĐiểmM (2; −1)là trung điểm cạnh BC

và điểmEµ 31

13; − 113

1

1

2 I

C A

B

M

E H

• Viết phương trình đường thẳngM E

• Tìm tọa độH

• Viết phương trìnhB H (đi quaH và vuông vớiAC

• Tham số hóa tọa độ củaB,C và sử dụng giả thiếtM là trung điểm Tìm đượcB,C

• Viết phương trìnhAI đi quaE và vuông vớiB E

• Tìm được tọa độ củaA = AI ∩ AC

Đáp án:Hµ 41

13;

2313

¶

,B H : 2x − 3y − 1 = 0,B (−1;−1),C (5; −1),A(1; 5)

Cho tam giác ABC Gọi A0, B0,C0 là các điểm sao cho AB A0C , BC B0A vàC AC0B là hình bìnhhành Biết H1(0; −2), H2(2; −1) và H3(0; 1) là trực tâm của các tam giác BC A0,C AB0 và ABC0.Tìm tọa độ các đỉnh củaABC

Ví dụ 14

Hướng dẫn

Bằng việc vẽ hình và vẽ thử đường tròn ngoại tiếp tam giácH1H2H3ta nhận ra rằngA, B,C nằmtrên đường tròn này

Do đóB,C nằm trên đường tròn đường kính AH1 GọiI là trung điểmAH1.

Chứng minh tương tự, ta suy raA, B,C , H1, H2, H3cùng nằm trên đường tròn tâmI Hơn nữa,I làtrung điểm củaAH1, B H2,C H3

Đến đây ta có các bước tiếp theo như sau:

• Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểmH1, H2, H3 Tìm được tọa độ củaI

• Áp dụng tính chất trung điểm củaI, tìm đượcA, B,C

Đáp án:A(1; 1), B (2; −1),C (1;−2)

II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

(x − 2) A (x) = 0để thực hiện được điều đó ta phải nhóm, tách các số hạng như sau:

p

x2+ 12 − 4 = 3x − 6 +px2+ 5 − 3

⇐⇒ x

2− 4p

x2+ 12 + 4= 3 (x − 2) +

x2− 4p

( không có dấu hiệu trên ).

Ta có thể chia cả hai vế choxvà đặtt = 1

x thì bài toán trở nên đơn giản hơn

2 Biến đổi về phương trình tích

2.1 Các biến đổi thường dùng

Giải phương trình:p3x + 1 +p3 x2=p3x +p3 x2+ x

Ví dụ 21

Hướng dẫn

Dễ thấyx = 0không phải là nghiệm của phương trình

Vớix 6= 0, chia hai vế chox, ta được:

Giải phương trình:2p

x + 3 = 9x2− x − 4

Ví dụ 25

Đối với nhiều phương trình vô tỉ, để giải chúng ta có thể đặtt = f (x) và chú ý điều kiện củat.Nếu phương trình ban đầu trở thành phương trình chứa một biếntquan trọng hơn ta có thể giảiđược phương trình đó theot thì việc đặt phụ xem như “hoàn toàn” Nói chung những phươngtrình mà có thể đặt hoàn toànt = f (x)thường là những phương trình dễ

Từ đó ta cóx = 1(thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhấtx = 1

Giải phương trình:2x2− 6x − 1 =p4x + 5

Ví dụ 28

Lời giải

Từ đó tìm được các nghiệm của phương trình đã cho là:x = 1 −p2, x = 2 +p3.

Cách 2: Ta có thể bình phương hai vế của phương trình với điều kiện2x2− 6x − 1 ≥ 0

2 (loại)

y =1 +

p21

2 (loại)

y =−1 +

p172

y =−1 −

p17

2 (loại)

Từ đó ta tìm đượcx =11 −

p17

2 là nghiệm duy nhất của phương trình

¶+ 3

3.2 Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến

Ta nhắc lại cách giải phương trình:

• Nếuv 6= 0, chia cả hai vế chov2, phương trình trở thành:

µu v

¶2

+ α

µu v

¶

+ β = 0

Có một số dạng phương trình cũng quy được về (28)

2

Giải phương trình:x2− 3x + 1 = −

p33

2 v

u =1 +

p5

2 v

Dou, v ≥ 0nênu =1 +

p5

2 v ⇐⇒ x2+ 2x =1 +p5

2 (2x − 1)

Đến đây bài toán được giải quyết

+ (9 + 2α) x2− 8αsao cho∆t có dạng số chính phương.

Nhận xét: Thông thường ta chỉ cần nhóm sao cho hết hệ số tự do thì sẽ đạt được mục đích.

4 Phương pháp đưa về hệ phương trình

Giải hệ này ta tìm được nghiệm(2; 3), (3; 2).

Suy ra nghiệm của phương trình đã cho làx = 2, x = 3.

4.2 Đặt ẩn phụ đưa về hệ đối xứng loại II

việc giải hệ này khá đơn giản

Bây giờ ta sẽ biến hệ thành phương trình Từ phương trình thứ nhất của (34), ta suy ra:

Ta tìm được nghiệm của phương trình là:x = 2 +p2.

Đặt2y −13

4 =p3x + 1thì chúng ta không thu được hệ phương trình mà chúng ta có thể giải được

Để thu được hệ (35) ta đặt:αy + β =p3x + 1chọnα,βsao cho hệ có thể giải được

Ta có hệ:

(

¡

αy + β¢2= 3x + 1 4x2− 13x + 5 = −αy − β ⇐⇒

* Vớix = y, ta cóx =15 −

p97

8

* Với2x + 2y − 5 = 0ta cóx =11 +

p73

8 Kết luận: tập nghiệm của phương trình là:

(

15 −p97

8 ;

11 +p738

Nếu từ(i i )tìm được hàm ngược y = g (x)thay vào(i )ta được 1 phương trình

Như vậy để xây dựng phương trình theo lối này ta cần xem xét để có hàm ngược và tìm được vàhơn nữa hệ phải giải được

5 Phương pháp lượng giác hóa

⇐⇒ (1 + tan α)(1 + tan β)(1 + tan γ) = 2(1 + tan α tanβ tanγ) (38)

5.2 Xây dựng phương trình vô tỉ bằng phương pháp lượng giác hóa

Từ các phương trình lượng giác đơn giản:cos 3t = sin t ta có thể tạo ra được phương trình vô tỉ.Chú ý:cos 3t = 4cos3t − 3cos tta có phương trình vô tỉ:

Nếu thayxbằng 1

x ta lại có phương trình:

4 − 3x2= x2px2− 1 (40)Nếu thayxtrong phương trình (40) bởi(x − 1)ta sẽ có phương trình vô tỉ khó:

4x3− 12x2+ 9x − 1 =p2x − x2 (41)Việc giải phương trình (40) và (41) không đơn giản chút nào ?

Tương tự như vậy từ công thứcsin 3x, sin 4x, bạn hãy xây dựng những phương trình vô tỉ theokiểu lượng giác