SKKN một số biện pháp dạy học nhằm củng cố và mở rộng giới hạn của dãy số

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự do – Hạnh phúc TÊN ĐỀ TÀI: MỘT SỐ BIỆN PHÁP DẠY HỌC NHẰM CỦNG CỐ VÀ MỞ RỘNG GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH LỚP 11, CHƯƠNG

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

TÊN ĐỀ TÀI:

MỘT SỐ BIỆN PHÁP DẠY HỌC NHẰM CỦNG CỐ VÀ MỞ RỘNG GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

(ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH LỚP 11, CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN)

1 Phần mở đầu

1.1 Lý do chọn đề tài

Trong sách giáo khoa Đại số và giải tích 11 (chương trình chuẩn), chương IV: GIỚI HẠN, đã đưa vào định nghĩa giới hạn hữu hạn, giới hạn vô cực của dãy số dưới dạng mô tả

Giới hạn của dãy số là nội dung quan trọng, làm nền tảng cho Giới hạn của hàm số, đạo hàm và các ứng dụng

Học sinh lần đầu tiên tiếp xúc với một khái niệm giải tích, gắn liền với tư tưởng vô hạn nên chắc chắn sẽ gặp nhiều khó khăn Cùng với đó khả năng vận dụng kiến thức cũ đã học của các em để giải quyết các dạng toán giới hạn còn hạn chế

Vì vậy, tôi thực hiện viết đề tài: “Một số biện pháp dạy học nhằm củng cố

và mở rộng giới hạn của dãy số” với mục đích góp phần làm sáng tỏ và giúp học

sinh nắm chắc, hiểu sâu, tổng quát hóa vấn đề trừu tượng của Giải tích gặp phải trong quá trình dạy học phần Giới hạn nêu trên

1.2 Điểm mới của đề tài

Trong đề tài sử dụng kiến thức giáo viên và học sinh tìm hiểu được qua sách giáo khoa Đại số và giải tích 11 (chương trình chuẩn), chương IV: GIỚI HẠN, §1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ để dẫn dắt, lập luận đưa vào phần mở rộng định nghĩa

giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực của dãy số một cách tổng quát

Trên cơ sở đó, định hướng rằng khi học sinh làm bài tập ở phần này khi sử dụng đến các giới hạn đặc biệt của dãy số, các định lí về giới hạn hữu hạn, định lí liên hệ giữa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực của dãy số là hoàn có thể chứng minh được chứ không hoàn toàn thừa nhận một cách bị động

Trong đề tài, phần phân dạng toán có lồng ghép từ các ví dụ quen thuộc để

mở rộng định nghĩa giới hạn của dãy số và ngay sau đó là các ví dụ để hiểu bản chất định nghĩa cũng như vận dụng để giải toán, tương đối phù hợp với các đối tượng học sinh

Đề tài có thể áp dụng trong giảng dạy nội dung Giới hạn dãy số của môn Đại

số và giải tích 11 (chương trình chuẩn, chương trình nâng cao)

Có thể làm tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh trung học phổ thông

2 Phần nội dung

2.1 Thực trạng của nội dung nghiên cứu

Trong sách giáo khoa Đại số và giải tích 11 (chương trình chuẩn)

Chương IV GIỚI HẠN

§1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

I Giới hạn hữu hạn của dãy số

1 Định nghĩa

Xét dãy số  u với n n 1

n

u  Biểu diễn  u dưới dạng khai triển: n

a) Nhận xét khoảng cách từ u n tới 0, tức là u n 0 trở nên càng nhỏ khi n trở nên

Vậy từ số hạng thứ 1001 trở đi, khoảng cách từ u n tới 0 nhỏ hơn 0,001

Như vậy ta cũng chứng minh được rằng n 0 1

n

u   có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, nghĩa là u có thể nhỏ bao nhiêu cũng được n

miễn là chọn n đủ lớn Khi đó ta nói dãy số  u với n n 1

n

u  có giới hạn là 0 khi n

dần tới dương vô cực

1 4

1

1 2

u2

u100

0

Định nghĩa 1 Dãy số  u có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực nếu n u có n

thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi

n



2 Một vài giới hạn đặc biệt

Từ định nghĩa suy ra các kết quả:

II Định lí về giới hạn hữu hạn

Việc tìm giới hạn bằng định nghĩa khá phức tạp nên ta thường dung các công thức giới hạn đặc biệt nêu trên và định lí thừa nhận sau

1 2

n n





Giải Ta có

2 2

2

n n

Do đó, với mọi số nguyên dương n ta có 2

n n

III Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Cấp số nhân vô hạn  u có công bội q, với n q 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô

1

n S

IV Giới hạn vô cực

Xét bài toán: Có nhiều tờ giấy giống nhau,

mỗi tờ có bề dày 0,1mm Ta xếp chồng liên tiếp,

giả sử có thể thực hiện việc này một cách vô hạn

Gọi u1 là bề dày của một tờ giấy,

Biểu diễn bảng sau đây, cho ta biết bề dày của một số chồng giấy

a) Quan sát bảng trên, nhận xét:

giá trị của u n tăng lên vô hạn khi n tăng lên vô hạn

b) Để chồng giấy có bề dày lớn hơn khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trăng

(khoảng cách này ở một thời điểm xác định là 3 9

384.10 km384.10 mm) thì phải

có un 384.109 hay 9

384.1010

Kí hiệu: limu n   hay u n   khi n 

Dãy số  u có giới hạn n  khi n  +, nếu lim( u n)  

Kí hiệu: limu n   hay u n   khi n 

Nhận xét: limu n   limu n 

Ví dụ 6 Cho dãy số  u với n 2

n n

u  Biểu diễn các số hạng của  u trên trục số n

Ta thấy, khi n tăng lên vô hạn thì u nn2 trở nên rất lớn

Ta chứng minh được limu n , nghĩa là u n có thể lớn hơn một số dương bất kì,

2 Một vài giới hạn đặc biệt

Ta thừa nhận các kết quả sau

 , ta được

5 2

2 5 3n 3n

2.2 Các giải pháp

I Củng cố kiến thức

1 Giới hạn hữu hạn của dãy số

a) limu n   0 u n có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi

b) Nếu u n  0 với mọi n và limu n a thì a  0 và lim u n  a

5 Định lí liên hệ giữa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực

a) Nếu limu n a và limv n   thì lim n 0

6 Cấp số nhân lùi vô hạn

a) Cấp số nhân vô hạn  u có công bội q, với n q 1 được gọi là cấp số

nhân lùi vô hạn

b) Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn  u là n

II Phân loại dạng toánvà mở rộng định nghĩa giới hạn dãy số

Dạng 1 Chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn, giới hạn vô cực

1 Phương pháp giải

Sử dụng định nghĩa giới hạn hữu hạn, giới hạn vô cực của dãy số

Ví dụ 1 Chứng minh dãy số  u với n  

2

1 n

n n

Vậy lim lim( 1)2 0

n n

limn  (theo giới hạn đặc biết) nên 2

n có thể lớn hơn một số dương lớn tùy

Hay limun a nếu lim una 0

Như vậy: limun  a với mỗi số dương  cho trước, tồn tại một số nguyên

dương n0 sao cho n > n0  u n  a 

c) Dãy số  u có giới hạn là + n  và viết limu n  hay u n   khi n 

nếu với mỗi số dương A cho trước, tồn tại một số nguyên dương N0 sao cho

n > N0  u n  A

3 Nhận xét

Với việc mở rộng định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn, dãy số có giới hạn vô hạn

ta có thể chứng minh được các giới hạn đặc biệt cũng như các định lí thừa nhận được nêu ở phần trên

Chẳng hạn:

a) limu n   0 limu n  0

b) Cho hai dãy số  u và n  v n

Nếu u n v n với mọi n và limv n  0 thì limu n  0

c) Chứng minh limq n  0 nếu q  1

Giải Nếu q = 0 thì limq n  lim 0n  0

Lấy số nguyên dương n0 12

Ví dụ 1 Cho dãy số  u có giới hạn bằng 1 Chứng minh, kể từ số hạng nào đó n

trở đi, tất cả các số hạng của  u đều nằm trong khoảng n

Vậy tất cả các số hạng của  u đều nằm trong khoảng (0,9; 1,1) n

b) Lấy số dương này là 0,01 (tức là số dương bé tùy ý  0, 01) bằng 1, 01 0, 99

2



,

ta có u n  1 0, 01   0, 01 u n  1 0, 01  0,99 u n 1, 01 kể từ một số hạng nào đó trở đi

Vậy tất cả các số hạng của  u đều nằm trong khoảng (0,99; 1,01) n

Ví dụ 2 Biết dãy số  u thỏa mãn n u n n 21

n

Do đó, v có thể nhỏ hơn một số dương bé túy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi n

Mặt khác theo giả thiết ta có u n v n  v n

Suy ra u có thể nhỏ hơn một số dương bé túy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi n

Vậy theo định nghĩa, ta có limu 0

Dạng 2 Tính giới hạn của dãy số

Tìm công thức công thức tổng quát u ncủa dãy số  u bằng cách dự đoán cho phép n

tính u n theo n và chứng minh bằng công thức quy nạp

Sau đó tìm giới hạn của  u qua công thức tổng quát n u n

2 Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1 Cho dãy số  u xác định bởi n 1

1

2 2

Vì u n 0 nên limu n a0 Vậy limu n 2

Ví dụ 2 Cho dãy số  u xác định bởi công thức truy hồi n

1

1

1212

Dạng 4 Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

1 Phương pháp giải

Sử dụng công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Các bài toán có yêu cầu tìm cấp số nhân lùi vô hạn khi biết một số điều kiện: Ta dung công thức đó để tìm số hạng đầu và công bội

Viết một số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng một phân số hữu tỉ: Khai triển

số đã cho dưới dạng tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn và tính tổng này

2 Các ví dụ minh họa

22

Ví dụ 3 Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số hữu tỉ

2;131313

a (chu kì 13)

Giải

100 2

100 10000 100

1 100

III Bài tập củng cố

Bài 1 Nếu dãy số  u có giới hạn là 0 Khi đó dãy số n u có giới hạn 0 hay không n

? Ngược lại có đúng không ?

Bài 2 Chứng minh dãy số  u với n u n   1n không có giới hạn 0 Từ đó chứng

minh giới hạn

2lim

Bài 3 Cho dãy số  u có giới hạn hữu hạn, dãy số n  v không có giới hạn hữu n

hạn Dãy số u n v n có giới hạn hữu hạn không ?

Bài 4 Cho hai dãy số dương  u và n  v đều có giới hạn 0 Chứng minh n

0lim n n

n

n n

   2 3

13lim

n n

u u

với n  1 Dãy số  u có giới hạn hay không khi n n  + Nếu có, hãy tính limu n

Bài 13 Cho dãy số xác định bởi công thức truy hồi

với n  1 Dãy số  u có giới hạn hay không khi n n  + Nếu có, hãy tính limu n

Bài 14 Tính giới hạn của dãy số  u xác định bởi công thức truy hồi n

1

2 1

Bài 19 Cho dãy số  u có số hạng tổng quát n 2

sin sin sinn n

IV Phần hướng đáp số, hướng dẫn giải

Bài 1 Vì  u có giới hạn 0 nên n u có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ n

một số hạng nào đó trở đi

Mặt khác, u n  u n có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào

đó trở đi Hay dãy số  u với n u n  u n có giới hạn 0

Điều ngược lại cũng còn đúng

Bài 2 Vì u n  1 nên không thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi Chẳng hạn u không thể nhỏ hơn 0,5 với mọi n n

(1 n

n n

nq q

(1 n

n n

b) Sử dụng câu a) tính tổng n số nguyên dương, ta có 2 1

n n

Qua giới hạn hệ thức truy hồi ta có

n n

sin ;sin ; ;sinn là cấp số nhân vô hạn công bội q sin 

Vì sin  1 nên dãy là cấp số nhân lùi vô hạn

3 Phần kết luận

3.1 Ý nghĩa của đề tài

Đề tài tóm tắt kiến thức giáo khoa về giới hạn của dãy số nảy sinh vấn đề là hạn chế về mặt bản chất của định nghĩa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực của dãy

số, định nghĩa được trình bày mức độ mô tả nên hạn chế về mặt tổng quát Hầu hết các định lí cụ thể là các phép toán giới hạn cũng như các giới hạn đặc biệt là thừa nhận Do vậy, bằng cách nào đó khi truyền đạt được ý tưởng của đề tài đến học sinh

có thể giúp học sinh hiểu rõ kiến thức, các em có thể hiểu, tự chứng minh được các định lí là các phép toán giới hạn để khi sử dụng trong quá trình giải bài tập không còn bị động

Trong quá trình viết, việc đưa vào phần mở rộng định nghĩa giới hạn dãy số được xuất phát từ các ví dụ trong sách giáo khoa hoặc ví dụ đơn giản làm cơ sở Mặc

dù sử dụng ngôn ngữ “số dương bé tùy ý” của “Giải tích hiện đại” song học sinh vẫn

có thể tiếp thu và là nền tảng khi các em tiếp tục học chương trình Toán năm đầu của hầu hết các trường Đại học, cao đẳng

Song song với đó, đề tài dựa vào kiến thức được tóm tắt là hệ thống dạng toán được phân loại ở mức độ cơ bản (dành cho học sinh trung bình) và một số bài tập cần phối hợp nhiều kỹ năng biến đổi (dành cho học sinh khá, giỏi)

Cuối cùng, phần bài tập củng cố được chọn lọc và sắp xếp theo hệ thống kiến thức đưa ra và có phần giải, hướng dẫn giải

3.2 Kiến nghị, đề xuất

Trên đây là nội dung đầu tiên nhưng có thể nói rất quan trọng trong chương trình Toán THPT bởi vì lần đầu tiên học sinh tiếp cận với giải tích, gắn với tư tưởng vô hạn nên bỡ ngỡ Bản thân đã đầu tư và sắp xếp chọn lọc kiến thức và các ví dụ bài tập minh họa cho ý tưởng của đề tài và giúp cho học sinh của mình được nhiều hơn

Tuy nhiên không tránh khỏi những thiếu sót, hạn chế Kính mong sự góp ý phê bình của các thầy cô đã đọc để bản thân tiếp tục hoàn thiện và mở rộng, phát triển bước tiếp theo của đề tài