PHƯƠNG PHÁP vẽ yếu tố PHỤ TRONG GIẢI TOÁN HÌNH học THCS

Các bài toán hình họccó lời giải phải vẽ thêm yếu tố phụ là các bài toán khó đối với học sinh THCS.. Để tạo ra yếu tố phụ có liên kết các mối quan hệ toán học giữa các điều kiện đã cho v

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập - Tự do – Hạnh phúc

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHƯƠNG PHÁP VẼ YẾU TỐ PHỤ TRONG GIẢI TOÁN

Quảng Ninh, tháng 10 năm 2018

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập - Tự do – Hạnh phúc

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHƯƠNG PHÁP VẼ YẾU TỐ PHỤ TRONG GIẢI TOÁN

HÌNH HỌC THCS

Họ và tên: Võ Thị Hồng Lê

Chức vụ: Giáo viên

Đơn vị công tác: Trường THCS Hải Ninh

1 Phần mở đầu.

1.1 Lý do chọn đề tài, sáng kiến, giải pháp:

Ngày nay, sự ra đời và phát triển của công nghệ thông tin đã thực sự cần thiết để đưa ứng dụng toán học vào cuộc sống và mang lại hiệu quả to lớn trong mọi lĩnh vực của đời sống và xã hội Toán học có vị trí đặc biệt trong việc nâng cao

và phát triển dân trí và không ngừng cung cấp cho con người những kĩ năng tính toán cần thiết mà còn là điều kiện chủ yếu rèn luyện cho con người một khả năng

tư duy logic

Trong quá trình giảng dạy môn Toán, điều quan trọng là phải hướng dẫn học sinh cách suy nghĩ, phân tích, tìm tòi lời giải và phát triển bài toán Bởi đây là một

bộ môn tương đối khó, thông qua việc coi trọng khâu rèn luyện phương pháp tìm lời giải cho bài toán chính là cơ sở cho việc rèn luyện khả năng làm việc độc lập sáng tạo của học sinh

Thực tế qua một số năm trực tiếp giảng dạy môn Toán ở trường THCS bản thân tôi nhận thấy chất lượng của bộ môn Toán còn chưa cao đặc biệt là phân môn Hình học Trong quá trình giảng dạy tôi thấy đa số các em chưa có phương pháp học tập khoa học Kỹ năng chứng minh bài toán hình học còn hạn chế, hầu hết các

em không biết cách phân tích để tìm ra lời giải Chính vì vậy mà chất lượng phân môn Hình học còn chưa cao và phần lớn các em chưa hứng thú học Hình học

Các bài toán hình họccó lời giải phải vẽ thêm yếu tố phụ là các bài toán khó đối với học sinh THCS Bởi vì để giải các bài toán này không chỉ yêu cầu học sinh nắm vững kiến thức mà nó còn đòi hỏi học sinh cần có một kĩ năng giải toán nhất định Để tạo ra yếu tố phụ có liên kết các mối quan hệ toán học giữa các điều kiện

đã cho với điều kiện cần phải tìm đòi hỏi phải thực hiện các thao tác tư duy: Phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự hóa, đặc biệt hóa Hay nói cách khác giải một bài toán phải vẽ thêm yếu tố phụ là một sáng tạo nhỏ Vẽ thêm một yếu tố phụ để giải bài toán hình về mặt phương pháp là biểu diễn ở mức độ cao của kĩ năng, thể hiện các tình huống hình học phù hợp với một định lí, định nghĩa nào đó Như vậy, để học tốt các bài toán hình có lời giải phải vẽ thêm yếu tố phụ có tác dụng rất lớn trong việc phát triển năng lực trí tuệ và tư duy khoa học của học sinh

Trên thực tế, đối với học sinh khi giải các bài toán dạng này cần phải có rất nhiều thời gian nghiên cứu Nhưng việc đi sâu vào nghiên cứu và tìm tòi các cách giải toán hình có vẽ thêm yếu tố phụ đối với học sinh còn hạn chế Việc nắm vững

về mục đích, yêu cầu khi vẽ các yếu tố phụ cũng như kiến thức về một số loại đường kẻ phụ đa số học sinh còn hạn chế Các tài liệu viết riêng về dạng toán này cũng không có nhiều nên việc tham khảo của học sinh gặp khó khăn.Chính vì sự lúng túng của học sinh khi giải các bài toán hình cần vẽ thêm yếu tố phụ nên tôi

chọn sáng kiến kinh nghiệm: “Phương pháp vẽ yếu tố phụ trong giải toán hình học

THCS” nhằm giúp các em có thêm những kĩ năng trong việc tìm lời giải cho bài

toán góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy môn toán trong nhà trường

- Phạm vi nghiên cứu: Phương pháp vẽ yếu tố phụ trong giải toán hình học THCS để giải bài toán hình học

- Đối tượng nghiên cứu: Thực hiện ở học sinh THCS

- Thời gian thực hiện: Năm học 2017 – 2018

- Phương pháp nghiên cứu:

+ Trao đổi với đồng nghiệp

+ Nghiên cứu tài liệu tham khảo

+ Điều tra, khảo sát học sinh

1.2 Điểm mới của đề tài, sáng kiến, giải pháp:

- Rèn luyện khả năng tư duy sáng tạo, kỹ năng vẽ yếu tố phụ trong giải toán hình học ở bậc THCS, tính cẩn thận chính xác, tính kiên trì cho học sinh

- Giúp các em có hứng thú học tập, ham mê học Toán và phát huy năng lực sáng tạo khi gặp các dạng toán khó

- Giúp học sinh nắm vững các phương pháp vẽ yếu tố phụ trong giải toán hình học ở bậc THCS, phát hiện và vận dụng các phương pháp giải phù hợp với từng bài toán cụ thể ở các dạng khác nhau

2 Phần nội dung.

2.1 Thực trạng các nội dung cần nghiên cứu.

a Thuận lợi:

- Trong hoạt động chuyên môn, Ban Giám hiệu nhà trường luôn tạo mọi điều kiện cho giáo viên phấn đấu, học tập và nghiên cứu, phát huy các phương pháp đổi mới sáng tạo nhằm nâng cao chất lượng dạy học của nhà trường

- Tổ chuyên môn: Tổ chức sinh hoạt chuyên môn theo hướng nghiên cứu bài học, luôn tìm tòi, học hỏi đồng nghiệp, trao đổi kinh nghiệm và giải pháp để có thể giúp các em học tốt được bộ môn Toán

- Bên cạnh đócác giáo viên giảng dạy bộ môn toán cũng thấy được sự cần thiết phải trang bị cho học sinh những kiến thức về việc vẽ thêm các yếu tố phụ để

có phương án tìm ra lời giải cho những bài tập hình

b Khó khăn:

- Hình học là bộ môn khó đòi hỏi sự tư duy cao đặc biệt là những bài tập cần

vẽ thêm yếu tố phụ

- Qua khảo sát thực tế về môn Toán đến từng đối tượng học sinh tôi thấy rằng phần lớn các em đều chưa biết cách chứng minh một bài toán Hình học và từ đó nhiều em còn ngại học môn Hình học

2

- Các em chưa có phương pháp học tập khoa học mà chỉ theo lối thụ động, chỉ biết trả lời các câu hỏi mà giáo viên đưa ra hoặc làm lại bài giải khi giáo viên trình bày qua, các em học còn yếu những kĩ năng cơ bản như kĩ năng phân tích đề bài, kĩ năng sử dụng sơ đồ suy luận ngược để tìm lời giải, kĩ năng đề xuất vẽ thêm yếu tố phụ để tìm lời giải…

- Học sinh luôn chờ giáo viên giải mẫu rồi mới làm các bài chứng minh tương

tự hoặc giáo viên hướng dẫn từng bước rồi mới hoàn thành bài làm Học sinh chỉ chờ vào sự gợi ý mà không tự mình suy nghĩ phân tích để tìm ra hướng chứng minh

- Với những thực trạng như vậy tôi đã đi sâu tìm hiểu và nhận thấy rằng có thể là do những nguyên nhân sau:

+Học toán thực chất là giải toán, nếu giáo viên không khéo léo khi giảng dạy

sẽ làm cho học sinh nhàm chán, thụ động và máy móc khi vận dụng

+Một số học sinh còn máy móc khi vận dụng vẽ yếu tố phụ trong giải toán Hình học

+Giáo viên thiếu những điều kiện thuận lợi thiếu thời gian để phân tích, tìm tòi lời giải

+Hệ thống bài toán giáo viên đưa ra còn dàn trải không mang tính đặc trưng +Điều kiện thiết bị dạy học còn nhiều hạn chế cũng góp phần không nhỏ đến việc nắm kiến thức của học sinh

+ Một số phụ huynh không quan tâm đến việc học ở nhà của con em mình còn phó thác việc học của con em cho nhà trường và thầy cô

+ Trình độ nhận thức của các em còn chậm và không đồng đều cùng với điều kiện học tập chưa tốt cũng ảnh hưởng nhiều đến hoạt động dạy – học

- Trong quá trình nghiên cứu tôi đã tổ chức khảo sát về mức độ hứng thú và mức độ kiến thức chứng minh hình học

Kết quả như sau:

- Mức độ hứng thú Hình học:

số

Mức độ hứng thú

- Mức độ nắm kiến thức Hình học:

Lớp Tổng

số

2.2 Các giải pháp:

- Với phạm vi nghiên cứu của đề tài tôi xin trình bày một vài kinh nghiệm nhỏ của bản thân trong việc phân tích tìm hiểu những yếu tố phụ thông qua một số bài tập quen thuộc

- Trước hết giáo viên cần cung cấp một số cơ sở kiến thức để xác định yếu tố phụ Qua đó giúp học sinh thấy được vai trò của việc kẻ thêm đường phụ sẽ giúp cho việc tìm lời giải trở nên đơn giản hơn

2.2.1 Một số cơ sở để xác định yếu tố phụ:

Ta có thể dựa trên cở sở là: Để xác định yếu tố phụ thì yếu tố cần vẽ là đường gì? Và vẽ từ đâu?

Phương pháp 1:Vẽ đoạn thẳng, tia, đường thẳng, đường tròn

- Khi có trung điểm của một cạnh trong tam giác, ta thường kẻ đường trung tuyến, đường trung bình

- Khi cần tạo góc ngoài của tam giác, ta thường kẻ tia đối của tia chứa một cạnh của tam giác

- Kẻ hai đường chéo của tứ giác

- Kẻ đường trung bình của hình thang khi có trung điểm của hai cạnh bên

Phương pháp 2: Vẽ giao điểm của hai đường thẳng.

- Chú ý vẽ giao điểm của hai đường thẳng nếu hình vẽ tạo ra các tam giác, tứ giác liên quan đến các quan hệ nêu trong đề bài; vẽ giao điểm của đường thẳng và đường tròn nếu hình vẽ tạo ra các cung có liên quan đến các dữ kiện có trong bài

- Vẽ giao điểm của hai đường thẳng nếu hình vẽ tạo ra những hình mới có lợi trong chứng minh (tạo ra các tam giác đặc biệt, những tam giác bằng nhau, những tam giác đồng dạng, những cung bằng nhau hay bù nhau )

Phương pháp 3: Vẽ trung điểm của đoạn thẳng, vẽ đoạn thẳng bằng đoạn

thẳng cho trước

- Trong một tam giác, khi đã có trung điểm của một cạnh, ta thường vẽ thêm trung điểm của một cạnh khác

- Trong hình thang, khi đã có trung điểm của một cạnh bên, ta thường vẽ thêm trung điểm của cạnh bên thứ hai

- Việc vẽ thêm một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho trước nhằm tạo ra: + Một tam giác mới bằng một tam giác trong bài toán

+ Một tam giác cân giúp thuận lợi trong chứng minh

+ Tổng hiệu của hai đoạn thẳng

Phương pháp 4: Vẽ tia phân giác của một góc, vẽ góc bằng góc cho trước.

Ta thường vẽ tia phân giác của một góc nếu góc đó gấp đôi một góc khác trong bài toán Việc vẽ một góc bằng góc cho trước thường nhằm tạo ra một tam giác cân, một hình thang cân, hai tam giác bằng nhau, hai tam giác đồng dạng

2.2.2 Một số bài tập sử dụng yếu tố phụ:

4

H K D

Bài toán 1:Cho tam giác ABC có AB = 10cm; BC = 12cm, D là trung điểm

của cạnh AB Vẽ DH vuông góc với BC ( HBC), DH = 4cm Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A

1 Phân tích bài toán:Bài

cho tam giác ABC có AB =

10cm; BC = 12cm, D là

trung điểm của cạnh AB

Vẽ DH vuông góc với BC (

HBC) và DH = 4cm Yêu

cầu Chứng minh tam giác

ABC cân tại A

2 Hướng suy nghĩ: ABC

cân tại A  AB = AC Ta

đã biết trong một tam giác,

nếu đường trung tuyến

đồng thời là đường cao ứng

với một cạnh thì tam giác

đó là tam giác cân nên ta

nghĩ đến đường trung tuyến

AK Vậy yếu tố phụ cần vẽ

là trung tuyến AK

3 Chứng minh

GT

ABC; AB = 10cm;

BC = 12 cm; ; DH  BC

DH = 4 cm

KL  ABC cân tại A

Kẻ đường trung tuyến AK xuống BC, ta có: BK = KC

=cm

Lại cóD là trung điểm của AB =>BD == 5 cm Xét  HBD có: BHD = 900 ( gt) theo định lí Pitago ta có: DH2 + BH2 = BD2

 BH2 = BD2 - DH2 = 52– 42 = 9  BH = 3 ( cm) Vậy BH=nên BH = HK ( = 3 cm) => DH là đường trung tuyến của  DBK

Mặt khác DH  BC (gt)

=>DH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của tam giác BDK => DBK cân tại D

=>BD = DK

Xét  ABK có DK là đường trung tuyến mà DK = BD (cmt) hay DK =

=> ABK (có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy)=> ABK vuông tại K nên:

AK  BC hay AK là đường cao của  ABC Mặt khác AK là đường trung tuyến của  ABC

=> ABC cân tai A (đpcm)

A

C

D

M 2 1

1 2

Bài toán 2:Cho tam giác ABC có AB < AC Gọi M là trung điểm của BC So sánh

và ?( Bài 7/ 24 SBT toán 7 tập 2)

1) Phân tích bài toán:

Bài cho tam giác ABC có

AB < AC, M là trung điểm

của BC

Yêu cầu : So sánh và ?

2) Hướng suy nghĩ:

Hai góc BAM và MAC

không thuộc về một tam

giác Do vậy ta tìm một

tam giác có một góc bằng

góc BAM và tam giác đó

chứa góc MAC và liên

quan đến AB, AC vì đã có

AB < AC Từ đó dẫn đến

việc lấy điểm D trên tia đối

của tia MA sao cho MD =

MA Điểm D là yếu tố phụ

cần vẽ thêm để giải được

bài toán này

3) Lời giải:

GT ABC; AB < AC

M là trung điểm BC KL

So sánh và ?

Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho: MD = MA

Xét  MAB và  MDC ta có:

 MA = MD ( theo cách lấy điểm D)

 M1 = M2 (vì đối đỉnh)

 MB = MC ( Theo gt)

 MAB =  MDC ( c - g - c)

AB=CD(2 cạnh tương ứng) (1) và(2 góc tương ứng).(2)

Ta có: AB = CD (Theo (1)), mà AB < AC ( gt)

CD < AC (3) Xét ACD có:

CD < AC (theo (3))

 (Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác) (4)

Từ (2) và (4) suy ra:

hay<

Bài toán 3: Cho tứ giác ABCD có + = 900

Chứng minh rằng: AB2 + CD2 = AC2 + BD2

6

Vì + = 900< 1800 nên hai

đường thẳng AD và BC cắt

nhau, gọi E là giao điểm của

AD và BC

Từ đây ta có = 900 Các

tam giác EAB, ECD, EAC,

EBD đều vuông tại E, áp

dụng định lý Pi - ta - go vào

các tam giác này sẽ cho ta

kết quả cần chứng minh

Như vậy, điểm E là điểm

cần vẽ thêm

AD và BC cắt nhau Gọi E là giao điểm của AD và BC

Vì rECD có + = 900

nên = 900 Các tam giác EAB, ECD, EAC và EBD vuông tại E nên theo định

lí Pi - ta - go, ta có:

EA2 + EB2 = AB2 (1); EC2 + ED2 = CD2 (2);

EA2 + EC2 = AC2 (3); EB2 + ED2 = BD2 (4);

Từ (1) và (2) ta có:

EA2 + EB2 + EC2 + ED2 = AB2 + CD2

Từ (3) và (4) ta có:

EA2 + EC2 + EB2 + ED2 = AC2 + BD2

Do đó: AB2 + CD2 = AC2 + BD2

Bài toán 4: Cho đường tròn (O; r) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC tại D Vẽ

đường kính DE; AE cắt BC tại M Chứng minh rằng: BD = CM

Từ hình vẽ của bài toán cho ta

nghĩ đến vẽ thêm tiếp tuyến

HEK của đường tròn (O) , );

vì ta có được

EK CM

HK =BC

ta chỉ còn chứng minh rằng

D

EK B

HK =BC

là tìm đến lời giải

của bài toán Vẽ tiếp tuyến HEK của đường tròn (O)

(,); ;

=> HK//BC

Gọi N là tiếp điểm của đường tròn (O) tiếp xúc với AC

OK, OC là hai tia phân giác của hai góc kề bù EON và NOD (tính chất tiếp tuyến) => = 900

Xét rOEK và rOEC có:

= ( = 900), = (cùng phụ với góc EOK)

Do đó: rOEK ~rOEC (g.g)

hay

O =CD r =C

Tương tự cũng có BD

HE r

r =

,

Do vậy: = => = Hay = (1) Trong rABM có HE//BM, áp dụng hệ quả của định lý Ta-lét trong tam giác ta có:

E

HE A

BM =AM

Tương tự cũng có:

E

EK A

CM =AM

Do đó: = => = hay = => = (2)

Từ (1) và (2) cho ta BD = CM

Bài toán 5: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O đường kính AC.

Trên tia AB lấy điểm D sao cho AD = 3AB Đường thẳng Dy vuông góc với DC tại

D cắt tiếp tuyến Ax của đường tròn (O) tại E Chứng minh tam giác BDE là tam giác cân

Cách 1 : Gọi F là giao điểm

của CD với (O), H là giao

điểm của AF và CB K là

giao điểm của EH và AD I là

trung điểm của BD Chứng

minh tứ giác AEDH và BEIH

là hình bình hành Từ đó có

lời giải bài toán

Cách 1 :

Gọi F là giao điểm của CD với (O), H là giao điểm của

AF và CB K là giao điểm của EH và AD I là trung điểm của BD

Ta có: = = 900 (vì B, F thuộc đường tròn đường kính AC)

rADC có AF, CB là hai đường cao cắt nhau tại H

=> H là trực tâm của rADC =>

AE//DH (cùng vuông góc với AC), ED//AH (cùng

8

Cách 2 : Vẽ

với J là trung điểm của EC

Chứng minh rằng IB = ID ta

có điều cần chứng minh

Cách 3 :

Vẽ Chứng minh rằng

rIDE ~ rBCD và

vuông góc với DC)

=> Tứ giác AEDH là hình bình hành

=> K là trung điểm của EH và AD

Mà AB = BI = ID (AD = 3AB và I là trung điểm BD)

=> K là trung điểm BI

Tứ giác BEIH có K là trung điểm của BI và EH nên là hình bình hành => BH//EI

Mà do đó: Tam giác BDE có EI vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến

=>rBDE cân tại E

Cách 2:

Vẽ B thuộc đường tròn đường kính AC

=> = 900

Ta có = = 900=> A, D cùng thuộc đường tròn đường kính EC

=> A, D, E, C cùng thuộc đường tròn tâm J là trung điểm của EC

Vẽ

Ta có MB = MD (định lý đường kính vuông góc dây cung) và BC//EI (cùng vuông góc với AD)

Hình thang EICB có EI//BC, J là trung điểm của EC nên M là trung điểm của BI;

Vì MA = MD; MB = MI => AB = ID mà AD = 3 AB (g/t) do đó IB = ID

Tam giác BDE có EI vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên là tam giác cân tại E

Cách 3: