ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN TAYLOR – GALERKIN GIẢI BÀI TOÁN DÒNG CHẢY HỞ MỘT CHIỀU KHÔNG ỔN ĐỊNH CÓ SỰ XÁO TRỘN Ở ĐÁY LÒNG DẪN Huỳnh Phúc Hậu 1,* , Nguyễn Thế Hùng 2 1,* Trường
Trang 1ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN TAYLOR – GALERKIN GIẢI BÀI TOÁN DÒNG CHẢY HỞ MỘT CHIỀU KHÔNG ỔN ĐỊNH CÓ SỰ XÁO TRỘN Ở ĐÁY LÒNG DẪN
Huỳnh Phúc Hậu 1,*
, Nguyễn Thế Hùng 2
1,* Trường Cao đẳng Giao Thông Vận Tải trung ương V, 28-Đường Ngô Xuân Thu-Hòa Hiệp Bắc-Liên Chiểu -Thành phố Đà Nẵng
2 Trường Đại học Bách Khoa, Đại học Đà Nẵng, 54-Đường Nguyễn Lương Bằng -Thành phố Đà Nẵng.
*Email: hauhp@caodanggtvt2.edu.vn
Tóm tắt: Trong bài báo này phương pháp phần tử hữu hạn Taylor-Galerkin được áp dụng để rời
rạc hóa bài toán dòng chảy hở một chiều không ổn định có sự xáo trộn ở đáy lòng dẫn, với độ chính xác bậc ba theo thời gian và không gian Quá trình giải theo Taylor-Galerkin, việc rời rạc theo thời gian được thực hiện trước nhờ khai triển Taylor rồi sau đó mới đến rời rạc không gian theo Galerkin Trong rời rạc thời gian, trong bài báo này chúng tôi thực hiện việc khai triển véc tơ
ẩn số chiều sâu và lưu lượng dòng chảy (h,Q) n+1 trong một chuỗi Taylor theo thời đoạn Tquanh mốc thời gian t=t n ; đến bậc ba; tiếp theo, thế phương trình mô tả và đạo hàm thời gian của nó vào chuỗi Taylor đã khai triển Trong rời rạc không gian, chúng tôi sử dụng hàm nội suy và tích phân trọng số bậc hai Kết quả tính toán được so sánh với số liệu đo đạc, cho thấy có sự phù hợp tốt
Từ khóa: Taylor-Galerkin, phương pháp phần tử hữu hạn, dòng chảy 1 chiều, xáo trộn đáy lòng
dẫn
1 Mở đầu
Trước đây, hệ phương trình mô tả dòng chảy một chiều được xây dựng dựa trên giả thuyết đơn giản hóa là dòng chảy chỉ có vận tốc chuyển động theo chiều dọc trục sông; thường được gọi là hệ phương trình Saint-Venant Để có thể đưa thêm nhiều thông tin vào hệ phương trình mô tả, các tác giả
đã xây dựng mô hình toán suy rộng của dòng chảy một chiều dưới ảnh hưởng của trường trọng lực, khi có kể đến xáo trộn ở đáy lòng dẫn Hệ phương trình thu được có áp suất phi thủy tĩnh, các đặc trưng thủy động lực học như vận tốc, mực nước khác với hệ phương trình Saint - Venant một chiều thông thường [10]
Trong bài báo này, hệ phương trình vi phân đạo hàm riêng của dòng chảy một chiều khi có kể đến xáo trộn ở đáy lòng dẫn sẽ được giải số bằng phương pháp phần tử hữu hạn Taylor– Galerkin và lập trình trên Matlab
2 Phương trình dòng chảy một chiều khi có kể đến xáo trộn ở đáy lòng dẫn
(1)
(2)
Trang 2(4)
Trong đó vec-tơ ẩn p=(h,Q)T
h: chiều sâu dòng chảy;
Q: lưu lượng dòng chảy;
q: lưu lượng bổ sung dọc sông (m2
/s);
A: diện tích mặt cắt ướt:
b0: bề rộng đáy;
m: tổng 2 hệ số mái dốc;
R: bán kính thủy lực;
w*: vận tốc chiều đứng tại đáy lòng dẫn; gia tốc a:
g: gia tốc trọng trường;
i: độ dốc đáy lòng dẫn;
n: hệ số nhám lòng dẫn
(5)
3 Rời rạc theo thời gian
Thực hiện khai triển véc tơ ẩn bằng chuỗi Taylor theo t lân cận bên phải điểm thời gian t= ; đến bậc ba, nhận được:
(6) Trong đó: là trọng số ẩn, là đạo hàm bậc nhất theo thời gian của p đánh giá tại t= Và tương tự như vậy, là đạo hàm bậc hai:
(7) Như vậy:
(8) Bây giờ ta thay thế (7) và (8) vào phương trình (6):
(9)
4 Rời rạc theo không gian
Gọi chiều dài phần tử 1 chiều bậc 2 là 2L, có 3 nút 1,2,3 Chọn gốc tọa độ địa phương tại nút đầu 1, hướng x dương từ nút đầu 1 đến nút cuối 3 Chọn hàm nội suy bậc 2, ta có:
Trang 3Viết đạo hàm của f và S theo hình thức tựa tuyến tính Áp dụng tích phân trọng số cho phương trình (9) ở trên, áp dụng tích phân từng phần cho đạo hàm bậc 2 ta được:
θ2∆t2ψi′,DpDp∂p∂xn−13−θ2∆t2ψi,BpDp∂p∂xn−13−θ2∆t2ψi,DpSpn02L+13−θ2∆t2ψi′,DpSpn
+13−θ2∆t2ψi,BpSpn−θ2+16∆t2ψi,Dprrn+102L
(10) Trong đó:
i,j,k là các chỉ số nút không gian; là trọng số ẩn
Tuyến tính hóa:
Phương trình (10) được giải để tìm pn+1
là số nút, số ẩn của hệ thống tuyến tính do đó là 2N Nói chung, ma trận là không đối xứng với các block 2x2
5 Phương trình ma trận phần tử:
(11)
Trong đó:
(12)
Trang 46 Phương trình ma trận tổng thể:
(14)
Trong đó: là ma trận kích thước (2*(2e+1), 2*(2e+1));
Với e là số lượng phần tử
7 Lập trình trên Matlab:
Chương trình tính các thông số dòng chảy khi có xáo trộn tại đáy bao gồm 4 mô đun: Chương trình chính "MAIN" để đọc số liệu đầu vào, gọi các mô đun khác, chuyển đổi chỉ số thời gian tính Chương trình con "MTPT" để tính các ma trận phần tử Chương trình con "MTTT" để tính ma trận tổng thể từ các ma trận phần tử, sau đó gán các điều kiện biên Chương trình con "SOLVE" để tính các vectơ ẩn số và ghi vào các file đầu ra
Hình 1: Sơ đồ khối chương trình tính các thông số dòng chảy khi có xáo trộn tại đáy
8 Chuẩn bị điều kiện ban đầu và điều kiện biên:
Chương trình tính với số liệu đoạn sông dài 60m hạ lưu đập dâng Đô Lương-Nghệ An, tiết diện chữ nhật Hệ số nhám 0.02 Độ dốc đáy 6%
Đoạn sông được chia thành 3 phần tử 1 chiều bậc 2, mỗi phần tử có 3 nút, có tổng cộng 7 nút Khoảng cách 2 nút liên tiếp là 10m
Bảng 1 Các thông số mặt cắt ngang
Bề rộng đáy(m) 414.0328 377.8224 428.927 404.4132 441.5123 391.7058 388.4918
Bảng 2 Điều kiện ban đầu
Chiều sâu h(m) 6.65181 7.11091 7.53550 7.99597 8.42489 9.90056 11.56936
Lưu lượng Q (m3/s) 3266.31 3266.31 3266.31 3266.31 3266.31 3266.31 3266.31
Trang 5Nút 1 2 3 4 5 6 7 Vận tốc đứng
Bảng 3 Điều kiện biên chiều sâu h và lưu lượng Q ở thượng lưu và hạ lưu:
Chỉ số thời gian thời gian t (s) h thượng lưu
(m)
Q thượng lưu (m/s) h hạ lưu (m)
9 Kết quả và thảo luận
Bảng 4 Kết quả chiều sâu h(m)
Trang 616 8.470 9.379 10.244 11.078 11.890 12.684 13.466
Bảng 5 Kết quả lưu lượng Q (m 3 /s)
Hình 2 và 3 cho thấy kết quả tính bám sát giá trị thực đo chứng tỏ kết quả tính chính xác, chương trình tính có độ tin cậy cao
Hình 2: So sánh kết quả tính và giá trị thực đo chiều sâu tại thời điểm 9/27/2007 4:18:17
0 2 4 6 8 10 12 14
h tính(m)
h đo(m)
nút
Trang 7Hình 3: So sánh kết quả tính và giá trị thực đo lưu lượng tại thời điểm 9/27/2007 4:18:17
10 Kết luận:
Bài báo này đã giải được bài toán dòng chảy hở một chiều không ổn định có sự xáo trộn ở đáy lòng dẫn bằng phương pháp phần tử hữu hạn Taylor –Galerkin với độ chính xác bậc 3 theo thời gian, hàm nội suy được chọn bậc hai Lời giải nhận được bằng lập trình trên Matlab Kết quả giải số phù hợp tốt với số liệu đo đạc, đặc biệt là đường mặt nước, cho thấy thuật toán chương trình tính có độ tin
cậy rất cao
Tài liệu tham khảo
[1] D Ambrosi and L Quartapelley A Taylor Galerkin Method for Simulating Nonlinear Dispersive Water
Waves Journal of computational physics, 146, (1998)
[2] Environmental Modeling Research Laboratory of Brigham Young University, Surface water modeling
system, Brigham young university, (2002)
[3] Hung The Nguyen Mathematical model of the two dimensional vertical flow Journal of Vietnam National
Science & Technology, 7+8, Hanoi (1990)
[4] Hung The Nguyen, The FEM influid dynamics,Hanoi construction press (2004)
[5] M Hanif Chaudhry, Open Chanel Flow, Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey (1993)
[6] Rainer Ansorge, Mathematical models of fluiddynamics, Wiley-VCH GmbH &Co KgaA (2003)
[7] S.Vedula, P.P and Mujumdar, Water Resources Systems : Modelling Techniques and Analysis,
Tata-McGraw Hill (2005)
[8] Ven-te-chow, David R Maidment, Larry W.Mays, Applied Hydrology, McGraw-Hill, Inc (1998)
[9] Weiming Wu, Computational River Dynamics, Taylor and Francis e-Library (2007)
[10] Huỳnh Phúc Hậu, Nguyễn Thế Hùng, Mô hình toán dòng chảy hở một chiều suy rộng, tuyển tập công trình
hội nghị cơ học thủy khí2015, Hà Nội (2016)
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
Q tính(m3/s)
Q đo(m3/s)
nút