Một số bài tập thẳng hàng đồng quy (ver 1)

2 1.1 Một số định lí thẳng hàng đồng qui trong tam giác Định lí Sodat: Cho tam giác ABC và tam giác DEF thỏa các đường thẳng qua A, B, C lần lượt vuông với EF, DF, DE đồng qui tại X.. Ch

Một số bài đồng qui thẳng hàng mang tính đối

xứng

Group Hình Học Phẳng Ngày 27 tháng 11 năm 2017

Mục lục

1.1 Một số định lí thẳng hàng đồng qui trong tam giác 1 1.2 Một số định lí thẳng hàng đồng qui trong tứ giác 2 1.3 Từ thẳng hàng đến conic 2

1.1 Một số định lí thẳng hàng đồng qui trong tam giác

Định lí Sodat: Cho tam giác ABC và tam giác DEF thỏa các đường thẳng qua

A, B, C lần lượt vuông với EF, DF, DE đồng qui tại X Các đường thẳng qua

D, E, F lần lượt vuông BC, AC, AB đồng qui tại Y Các đường AD, BE, CF đồng qui tại Z Chứng minh rằng X, Y, Z thẳng

Định lí Terquem Cho tam giác ABC và điểm M bất kì Giao của AM, BM, CM

và BC, AC, AB là D, E, F Giao của (DEF ) và BC, AC, AB là X, Y, Z Chứng minh rằng AX, BY, CZ đồng qui

Định lí về cực và đối cực: 3 cực thẳng hàng tương dương 3 đối cực đồng qui Định lí cevian nest Cho tam giác ABC Điểm P bất kì trong tam giác giao của AP, BP, CP và BC, AC, AB là D, E, F Trong DEF lấy Q Giao của

DQ, EQ, F Q và EF, DF, DE là X, Y, Z Chứng minh rằng AX, BY, CZ đồng qui

Tổng quát: Cho tam giác ABC Trên BC, AC, AB lấy D, E, F Trên EF, DF, DE lấy X, Y, Z Chứng minh rằng nếu 2 trong 3 điều sau đúng thì suy ra điều còn lại đúng:

(1): AD, BE, CF đồng qui

(2): DX, EY, F Z đồng qui

(3): AX, BY, CZ đồng qui

Định lí về orthotransversal Cho tam giác ABC Điểm P vất kì Đường thẳng qua P vuông AP, BP, CP cắt BC, AC, AB tại X, Y, Z Chứng minh rằng

X, Y, Z thẳng

Định lí về cực trực giao Cho tam giác ABC Đường thẳng d bất kì Hình chiếu của A, B, C lên d là X, Y, Z Chứng mình rằng đường thẳng qua X, Y, Z vuông BC, AC, AB đồng qui

Định lí về trillinear pole Cho tam giác ABC Đường thẳng d bất kì cát

BC, AC, AB tại D, E, F Trên đường thẳng BC lấy X thỏa (DXBC) = −1 tương tự dựng Y, Z Chứng minh rằng AX, BY, CZ đồng qui

Định lí Monge D’Alembert: Tâm vị tự ngoài của 3 đường tròn thì đồng qui Định lí Jerabek: Cho tam giác ABC 2 điểm P, Q bất kì Giao của AP, BP, CP với (ABC) là X, Y, Z Giao của AQ, BQ, CQ và (ABC) là D, E, F Chứng minh rằng tam giác tạo bới XD, Y E, ZF thấu xạ với 4ABC

Định lí Steinbart: Cho tam giác ABC Đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với

BC, AC, AB tại D, E, F Điểm Q bất kì trong DEF Giao của DQ, EQ, F Q với (I) là X, Y, Z Chứng minh rằng AX, BY, CZ đồng qui

1.2 Một số định lí thẳng hàng đồng qui trong tứ giác

Định lí về cực trực giao: Cho tứ giác ABCD Chứng minh rằng cực trực giao của các tam giác ABC, BCD, CDA, DAB thẳng hàng

1.3 Từ thẳng hàng đến conic

Bổ đề 1: Cho tam giác ABC Nếu P Q đi qua tâm ngoại tiếp 4ABC thi đẳng giác của P, Q nằm trên 1 đường hyperbola chứ nhật

Hệ quả: Nếu P, Q là ảnh của nhau qua (ABC) thì đẳng giác của chúng đi qua tâm của hyperbola

Bài 1 :(ELMO shortlist 2014) Cho tam giác ABC Điểm Lemoine là K Trên

BC lấy A1 thỏa A1K, BC, AB, AC tạo thành 1 tứ giác ngoại tiếp Tương tự dựng B1, C1 Chứng minh rằng A1, B1, C1thẳng hàng

Mở rộng: (Telv Cohl) Cho 2 điểm P, Q nằm trên hyperbola chứ nhật Đường thẳng qua Q lần lượt vuông AP, BP, CP cắt BC, AC, AB tại X, Y, Z Chứng minh rằng X, Y, Z thẳng

Bài 2: (ELMO shortlist 2014) Cho tam giác ABC trên BC, AC, AB lấy D, E, F thỏa AD, BE, CF vuông EF, DF, DE Tâm của (DEF ) là O Giao của (DEF )

và BC, AC, AB tại R, S, T Giao của AR, BS, CT là Y Các đường thẳng qua

D, E, F vuông BC, AC, AB đồng qui tại X Chứng minh rằng X, O, Y thẳng Tính chất phụ (Telv Cohl) Điểm dẳng giác của Y trong 4ABC nằm trên dường thẳng Euler

Bài 3: (ELMO shortlist 2013) Cho tam giác ABC Đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc BC, AC, AB tại D, E, F Giao của (AEF ), (BF D), (CDE) và (ABC) là

X, Y, Z Chứng minh rằng đường thẳng qua A, B, C vuông AX, BY, CZ đồng qui

Bài 4: (ELMO shortlist 2011) Cho tam giác ABC Cho 3 đường tròn (O1), (O2), (O3) thỏa (O1) tiếp xúc với AB, AC tương tự cho 2 đường tròn kia Tâm vị tự trong của (O2) và (O3) là PA tương tự ta được PB, PC Chứng minh rằng

APA, BPB, CPC đồng qui

Bài 5: (USA TST 2015) Cho tam giác ABC Trung điểm BC, AC, AB là

MA, MB, MC Điểm S bất kì nằm trên đường thẳng Euler Giao của MAS, MBS, MCS với (MAMBMC) là X, Y, Z Chứng minh rằng AX, BY, CZ đồng qui

Tổng quát: (Trần Quang Hùng) Cho tam giác ABC và 2 điểm dẳng giác P, P0 Hình chiếu của P lên BC, AC, AB là D, E, F Điểm Q bất kì trên P P0 Giao của DQ, EQ, F Q và (DEF ) là X, Y, Z Chứng mình rằng AX, BY, CZ đồng qui

Tổng quát cho conic (Telv Cohl) Cho tam giác ABC 2 điềm bất kì P, Q Giao của AP, BP, CP với BC, AC, AB là D, E, F Giao của AQ, BQ, CQ với

BC, AC, AB là X, Y, Z Conic qua D, E, F, X, Y, Z gọi là ω Điểm R bất kì nằm trên P Q Giao của DR, ER, F R và ω là M, N, L Chứng minh rằng AM, BN, CL đồng qui

Bai 6: (USA TST 2017) Cho tam giác ABC nội tiếp (O) Trên BC lấy T thỏa

6 T AO = 90 Giao của (AT ) và (BOC) là A1, A2 Tương tự ta có B1, B2, C1, C2 i) Chứng minh rằng AA1.BB1, CC! đồng qui

ii) Chứng minh rằng AA2, BB2, CC2 đồng qui trên đường thẳng Euler

Bài 7: (China TST 2017) Cho tam giác ABC Đường tròn nội tiếp (I) Trung điểm BC, AC, AB là D, E, F Đường thằng qua D tiếp xúc (I) khác BC cắt EF tại X Tương tự ta dựng Y, Z Chứng minh rằng X, Y, Z thẳng Bài 8: (China TST 2012) Cho tam giác ABC Đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc BC, AC, AB tại D, E, F Đối xứng của D qua EF là X Giao của AX vả BC là A1 Tương

tự dựng B1.C1 Chứng minh rằng A1, B1, C1 thẳng hàng

Bài 9: (China TST 2005) Cho tam giác ABC Đường đối trung AD với D ∈ BC Đường thẳng qua D song song AB, AC cắt AC, AB tại E, F

i) Chứng minh rằng B, C, E, F thuộc 1 đường tròn

ii) Gọi tâm của (BCE) là A1 Tương tự ta dựng được B1, C1 Chứng minh rằng

AA1, BB1, CC1đồng qui

Bài 10: (China south east MO 2011) Cho tam giác ABC Giao của 3 đường phân giác và BC, AC, AB là D, E, F Đương thẳng qua D song song BE, CF cắt AC, AB tại GH Giao của GH và BC là X Tương tự ta dựng được Y, Z Chứng minh ràng X, Y, Z thẳng

Tổng quát: (Luis Gonzales) Cho tam giác ABC Điểm P bất kì Giao của

AP, BP, CP và BC, AC, AB là D, E, F Qua D dựng đường thẳng song song

BE, CF cắt AC, AB tại G, H Giao của GH và BC là X Tương tự dựng Y, Z Chứng minh rằng X, Y, Z thẳng

Bài 11: (North Korea TST 2013) Cho tam giác ABC Đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc BC, AC, AB tại D, E, F Giao của AI và (ABC) là A1 Giao của EF

và BC là A2 Giao của A1A2 và (ABC) là A3 Tương tự dựng B3, C3 Chứng minh rằng AA3, BB3, CC3 đồng qui

Bài 12 (Iran MO (3rd) 2010): Cho tam giác ABC Tâm nội tiếp, tâm ngoại tiếp

là I, O Đối xưng I qua O là X Hinh chiếu của X lên BC, AC, AB là D, E, F Chứng minh rằng AD, BE, CF đồng qui

Bài 13 (Iran MO (3rd) 2011): Cho tam giác ABC Phân giác ngoại tại A cắt

BC tại D Đương tròn bàng tiếp góc A là (J ) Tâm dường tròn nội tiếp I Đương thẳng qua I vuông J D cắt (ABC) tại A1 Tương tự ta có B1, C1 Chứng minh rằng AA1, BB1, CC1 đồng qui

Bài 14 (Korea MO 2010) Cho tam giác ABC Đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc

BC, AC, AB tại D, E, F Đường tròn qua B, C tiếp xúc (I) tại X Tương tự ta được Y, Z Chứng minh rằng DX, EY, CZ đồng qui

Bài 15 (Tuymaada 2007) Cho tam giác ABC Các đường cao AD, BE, CF Đường tròn qua E, F tiếp xúc (ABC) tại cung BC không chứa A là A1 Tương

tự ta dựng được B1, C1 Chứng minh ràng AA1, BB1, CC1 đồng qui

Bài 16 (Romanian Master of Mathematics 2012) Cho tam giác ABC nội tiếp (O) Đường tròn nội tiếp (I) Đương tròn qua B, C tiếp xúc (I) là (OA) Tương

tự ta có (OB), (OC) Giao của (OB), (OC) là A1 Tương tự B1, C1 Chứng minh rằng AA1, BB1, CC1đồng qui trên OI

Bài 1 : Dùng định lí về cực và đối xứng cho đường tròn Lemoine thứ nhất Bài 2 : Dùng định lí Terquem và Sodat

Bài 3 : Dựng điểm đối xứng của I qua O (O là tâm đường tròn ngoại tiếp ) Bài 4 : Dùng định lí Monge D’Alembert

Bài 5 : Dùng định lí cevian nest và Pascal

Bài 6 :

i) Đồng qui tại điểm lemoine

ii) Nghịch đảo

Bài 7 : Dung trillinear pole Bài 8 : Chúng cùng nằm trên đường thẳng Euler của 4DEF

Bài 9 :

i) Trung điềm EF nằm trên AD

ii) Dùng đường tròn Lemoine thứ nhất

Bài 10 : Dùng định lí trillinear pole

Bài 11 : Dung định lí cevian nest

Bài 12 : Dùng định lí cevian nest

Bài 13 : Dựng thêm đường tròn Mixtillinear

Bài 14 : Đưng thêm các tâm bàng tiếp và dùng định lí cevian nest

Bài 15 : Dùng định lí steinbart

4 Một số bài tập khác

Bài toán 1 : (Trần Quang Hùng) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi (Oa),(Ob),(Oc) lần lượt là đường tròn Mixtilinear nội của góc A, B, C Gọi (X) là đường tròn qua B, C và tiếp xúc với (Oa) tại D ( (X) Khác (O)) Tương

tự ta được E, F Chứng minh rằng AD, BE, CF đồng quy tại 1 điểm

Bài toán 2 : (Trần Quang Hùng) Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I) có Ge là điểm Gergonne Gọi (O1), (O2), (O3) lần lượt là các đường tròn qua

B, C và tiếp xúc (I); qua C, A và tiếp xúc (I); qua A, B và tiếp xúc (I) (O1) cắt CA, AB tại U, V Gọi D là cực của U V với (I) Tương tự xác định E, F Khi đó AD, BE, CF đồng quy trên IGe

Bài toán 3 : (Trần Quang Hùng) Cho tam giác ABC có tâm Euler là N Gọi

Na, Nb, Nclần lượt là tâm Euler của các 4N BC, 4N CA, 4N AB Đường thẳng qua Na vuông góc với N Na cắt BC tại X Tương tự có Y, Z Chứng minh rằng

X, Y, Z thẳng hàng

Bài toán 4 : (Tổng quát từ điểm Feuerbach) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và điểm P bất kì Gọi AP, BP, CP cắt (O) lần lượt tại D, E, F Gọi

U, V, W lần lượt là đối xứng của D, E, F qua BC, CA, AB Gọi P U, P V, P W lần lượt cắt BC, CA, AB tại X, Y, Z Chứng minh rằng X, Y, Z nằm trên một đường thẳng đi qua điểm Poncelet

Bài toán 5: (Morendo) Cho tam giác ABC có tâm ngoại tiếp là O và tâm nội tiếp là I Gọi Ka là điểm Lemoine của 4BIC, tương tự có được Kb, Kc Gọi X là trung điểm của AI và xác định Y, Z tương tự Chứng minh rằng

XKa, Y Kb, ZKc, OI là đồng quy

Bài toán 6: (Unknown) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có AD, BE, CF

là ba phân giác trong Gọi (Oa), (Ob), (Oc) lần lượt là đường tròn Mixtilinear nội ứng với các góc A, B, C của 4ABC Tiếp tuyến tại E, F tới (Oa) khác

AC, AB cắt nhau tại X Tương tự có Y, Z Chứng minh rằng AX, BY, CZ đồng quy tại một điểm

Bài toán 7 : (Luis González) Cho tam giác ABC có O, H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và trực tâm của 4ABC Gọi AD, BE, CF là ba đường cao của 4ABC Gọi la, lb, lclần lượt là các đường thẳng qua D, E, F và vuông góc với OD, OE, OF Gọi XY Z là tam giác tạo bởi la, lb, lc Chứng minh rằng

DX, EY, F Z đồng quy trên OH

(*Lưu ý : X = lb giao lc; Y = lc giao la; Z = la giao lb )

Bài toán 8: (Phan Quang Trí) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB Gọi (Oa) là đường tròn qua E, F và tiếp xúc trong với (O) tại A1 Tương tự tìm được B1, C1 Chứng minh rằng AA1, BB1, CC1 đồng quy trên đường thẳng Euler của 4ABC

Bài toán 9: (Mở rộng Feuerbach) Cho tam giác ABC và điểm P bất kì Gọi

D, E, F lần lượt là hình chiếu của P lên BC, CA, AB Gọi AP, BP, CP cắt

BC, CA, AB tại X, Y, Z Gỉa sử EF cắt Y Z tại A0 Tương tự có B0, C0 Chứng minh rằng DA0, EB0, F C0 đồng quy tại 1 điểm

Bài toán 10 : (AOPS) Cho tam giác ABC với P là một điểm bất kì Gọi Q

là điểm đẳng giác của P với tam giác ABC Gọi 4XY Z ,4DEF lần lượt là

tam giác Cevian của P đối với 4ABC và tam giác pedal của Q đối với 4ABC Đường thẳng qua P vuông góc với P D cắt Y Z tại A1 Tương tự B1, C1 Chứng minh rằng A1, B1, C1 thẳng hàng

Bài toán 11 : (Trần Quang Hùng) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi (Oa), (Ob), (Oc) lần lượt là đường tròn Mixtilinear nội góc A, B, C (Oa) tiếp xúc (O) và AB, AC lần lượt tại X, Y, Z Đường thẳng qua X vuông góc với Y Z cắt (Oa) tại D Tương tự có E, F Chứng minh rằng AD, BE, CF đồng quy tại 1 điểm