Bài giảng của thầy Trần Quang Hùng tạiTrường Đông Toán học

Chứng minh rằng P H luôn đi qua điểm cố địnhkhi P thay đổi Bài 4: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn O, điểm P bất kỳ thayđổi trên đoạn AB.. Chứng minh rằng tâm của QST thuộcmột đường

Bài giảng của thầy Trần Quang Hùng tại

Trường Đông Toán học 2017

Nguyễn Kim Phương Trang

2018

Bài viết là tổng hợp các bài tập hình học được thầy Trần QuangHùng giảng dạy tại Phú Yên vào 2 ngày 25-26/11/2017

Bài 1: Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O), ngoại tiếp đường tròn(I) Qua I kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt (O) lần lượt tại

M, N Các đường thẳng AM, AN cắt BC lần lượt tại P, Q Chứngminh rằng A, I, P, Q cùng thuộc một đường tròn

Gọi D, X lần lượt là giao điểm của AI với BC, (O) XN giao BC tại

2∠BAC + ∠ACB = ∠ANK suy ra 4 điểm A, D, N, Kcùng thuộc một đường tròn Do đó XN.XK = XD.XA = XI2

⇒ ∠KIX = ∠INX Ta có: ∠ANI = ∠ANX − ∠INX = ∠KDX −

∠KIX = ∠IKQ ⇒ NQ⊥KI ⇒ Q là trực tâm của ∆IKN Do đó

∠IQC = ∠INK = 180−∠MN X = 180−∠MAX = ∠P AI

Vậy A, I, P, Q cùng thuộc một đường tròn

∠B = ∠D F là giao điểm của AC và BD Chứng minh rằng EF ⊥BC

Gọi K là trực tâm của ∆BCF ⇒ KF ⊥BC Ta có KB là đường trungtrực của AC, KC là đường trung trực của BD suy ra KA là tia phângiác của ∠BAE, KD tia là phân giác của ∠CDE

Do đó KE là đường phân giác của ∠AED Gọi M, N lần lượt là giaođiểm của AE, DE với đường thẳng BC Dễ thấy ∆ABM =∆CDM (g.c.g)

⇒ ∠M = ∠N nên EK⊥BC Vậy EF ⊥BC

Bài 3: Cho ∆ABC, P thuộc tia phân giác trong ∠A trong tam giác.

D, E, F là hình chiếu của P lên BC, CA, AB (DEF ) ∩ BC = D, G H

là trực tâm ∆GEF Chứng minh rằng P H luôn đi qua điểm cố địnhkhi P thay đổi

Bài 4: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), điểm P bất kỳ thayđổi trên đoạn AB Các điểm M, N lần lượt thuộc đoạn AD, BC saocho P M//BD, P N//AC (AP M )∩ AC = A, S; (BP N )∩ BD = B, T (AP M ) ∩ (BP N ) = P, Q Chứng minh rằng tâm của (QST ) thuộcmột đường thẳng cố định

Gọi X là giao điểm của AC và BD Ta có:∠T QS = ∠T QP −∠SQP =180−∠ABX − ∠BAX = ∠T XS suy ra X ∈ (QST ).

Tương tự: P T //AD do đó: SASC=P AP B=T DT B Gọi (XAD)∩(XBC)=X,Y

∆Y AC ∼ ∆Y DB(g.g) nên ∆Y AS ∼ ∆Y DT ⇒ ∠Y XA = ∠Y T Dhay Y ∈ (QST ) nên tâm của (QST ) thuộc đường trung trực của XY

Vì X, Y cố định khi P thay đổi nên tâm của (QST ) luôn thuộc mộtđường thẳng cố định khi P thay đổi

Bài 5: Cho hình thang ABCD(AB//CD) Đường tròn (K) tiếp xúcvới các cạnh DA, AB, BC; đường tròn (L) tiếp xúc với các cạnh

BC, CD, DA Gọi BN là tiếp tuyến của (L) xuất phát từ B khácBC; DM là tiếp tuyến của (K) xuất phát từ C khác DA Chứngminh rằng BN//DM

Gọi các tiếp điểm của 2 đường tròn (K), (L) với các cạnh của hìnhthang như hình vẽ N Q giao AB tại G, M P giao CD tại H

Do đó GP = BG − BP = BN − BX = BY − BX = XY

Tương tự HQ = ZT nên GP HQ là hình bình hành ⇒ ∠G = ∠H

Bài 6: Cho tứ giác ABCD có AD = BC Đường tròn (K) tiếpxúc với các cạnh AB, AD, CD; đường tròn (L) tiếp xúc với các cạnh

AB, BC, CD Chứng minh rằng đường trung trực của các đoạn thẳng

AB, CD, KL đồng quy

Gọi Q là giao điểm của AB và CD Ta có K, L, Q thẳng hàng vì cùngthuộc tia phân giác trong của ∠AQD Gọi M là giao điểm thứ hai của(QBC) với KL ⇒ M B = M C = M L Gọi N là giao điểm thứ hai của(QAD) với KL ⇒ N A = N D = N K Ta có ∠AND = 180−∠AQD =

∠BM C Lại có AD = BC nên ∆ADN =∆BCM (g.c.g) ⇒ ML = NK.Gọi P là giao điểm của 2 đường trung trực của AB và CD Dễ chứngminh được P M = P N nên P thuộc đường trung trực của KL

Vậy các đường trung trực của AB, CD, KL đồng quy

Bài 7: Cho ∆ABC, các điểm D, E, F bất kỳ thuộc các cạnh BC, CA, AB.Gọi X, Y, Z lần lượt là tâm của (AEF ), (BF D), (CDE) M là giaođiểm của 3 đường tròn đó Gọi K là tâm của (XY Z) Chứng minhrằng đường tròn (K, KM ) luôn đi qua điểm cố định khi D, E, F thayđổi

Tương tự ∆M Y Z ∼ ∆M BC, ∆M ZX ∼ ∆M CA Do đó M là tâmđồng dạng biến ∆XY Z thành ∆ABC nên biến K thành O, với O làtâm ngoại tiếp tam giác ABC Suy ra ∆M XA ∼ ∆M KO

Bài 8: Cho ∆ABC nội tiếp (O), đường tròn qua A, B và tiếp xúc với

BC cắt CA tại E; đường tròn qua A, C và tiếp xúc với BC cắt BA tại

F Gọi M, N lần lượt là giao điểm của BE, CF với (O) P, Q là hìnhchiếu của E, F lên M N R là giao điểm của EQ và F P Chứng minhrằng AR chia đôi BC

Bổ đề: Cho tam giác AKL, 2 điểm E, F thuộc đường thẳng AK, ALsao cho ∠ELK = ∠F KL Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu của E, F lên

KL R là giao điểm của EQ và F P Khi đó AR chia đôi KL

Qua R kẻ đường thẳng song song với KL cắt AK, AL tại S, T

Gọi H là hình chiếu của R lên KL Ta có: RT

Trở lại bài toán

Gọi K, L lần lượt là giao điểm của M N với AC, AB khi đó ∠AEM =

∠ABC = ∠ALK ⇒ Tứ giác AEML nội tiếp Tương tự: Tứ giác

AF N K nội tiếp, do đó ∠ELK = 180−∠BAC = ∠F KL Áp dụng bổ

đề trên ta có AR chia đôi KL Vậy AR chia đôi BC

Bài 9: Cho ∆ABC, đường cao BE, CF , (J ) là đường tròn bàng tiếp

góc A của ∆ABC Tiếp tuyến chung trong của (AEF ) và (J ) cắt BC

tại M, N Chứng minh rằng BM = CN

Tham khảo lời giải tại

https://nguyenvanlinh.files.wordpress.com/2017/08/sharygin-final-2017.pdf

Bài 10: Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O) cố định; B, C cố định, A

di động (I) là đường tròn nội tiếp tam giác Gọi AK, AL lần lượt là

đường phân giác trong của ∆IAB, ∆IAC Gọi M, N là giao điểm thứ

2 của (ABK), (ACL) với AI BM cắt CN tại R Chứng minh rằng

IR luôn qua điểm cố định khi A di động trên (O)

AI giao (O) tại P , P O giao (O) tại Q Gọi J là tâm nội tiếp ∆P BC.

nên 2 điểm I, J liên hợp đẳng giác trong ∆IBC

Mặt khác, Q là tâm của (J BC) Kẻ đường kính J D của (Q)

Gọi G, H là giao điểm của P Q với (IBC) Ta có QG.QH = QB2 =

QD2 ⇒ (DJ, GH) = −1 Vì IG⊥IH nên ID, IJ đối xứng nhau qua

IG Do đó ID ≡ IR Vì D cố định khi A thay đổi trên (O) nên IRluôn qua điểm cố định

Bài 11: Cho tứ giác ABCD, 2 điểm E, F thay đổi thuộc các cạnh

BC, AD Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm của EF, DE, F C Giả sử(P QR) tiếp xúc với EF Chứng minh rằng đường trung trực của EF

đi qua điểm cố định

Gọi X là giao điểm của AD và BC Ta có:∠P QR = ∠RP E = ∠XEF ,tương tự ∠P RQ = ∠XF E nên ∆XEF ∼ ∆P QR(g.g)

Gọi O là tâm của (XCD) suy ra OX2 − OE2 = OX2 − OF2

⇒ OE = OF do đó O thuộc đường trung trực của EF

Vì O cố định khi E, F thay đổi nên đường trung trực của EF luôn điqua điểm cố định

Bài 12: Cho ∆ABC, H là trực tâm Gọi E, F là trung điểm của

AC, AB Trên đường thẳng qua A song song với BC lấy M, N saocho F M ⊥ F H, EN ⊥ EH EM giao F N tại P Chứng minh rằng

AP, BC, đường thẳng Euler của tam giác ABC đồng quy

Bài 13: Cho hình chữ nhật ABCD, điểm P thuộc cạnh AB, M làtrung điểm của CD H là trực tâm của tam giác CDP J là trungđiểm của P H, K là hình chiếu của J lên M P Chứng minh rằngđường trung trực của HP tiếp xúc với (KAB)

Đường trung trực của HP cắt đường trung trực của AB tại X

Gọi E, F là trung điểm của P C, P D Dễ thấy J là trực tâm ∆P EF Gọi O là tâm của (P CD) Vì J và O đối xứng nhau qua trung điểmcủa EF nên X và O đối xứng nhau qua EF Gọi N đối xứng với K qua

EF Theo tính chất trên: N thuộc (P EF ), ∠P NO=90, P N là đườngđối trung của ∆P CD nên N thuộc (OCD) Vì ∆XAB và ∆ODC đốixứng nhau qua EF nên K thuộc (XAB) Vậy đường trung trực của

HP tiếp xúc với (KAB)

Bài 14: Cho ∆ABC nội tiếp (O) cố định, BC cố định, A di độngtrên (O) E, F lần lượt đối xứng với B, C qua AC, AB CE cắt AB tại

M , BF cắt AC tại N Chứng minh rằng đường thẳng qua A vuônggóc với M N luôn đi qua điểm cố định

Bổ đề: ∆ABC nội tiếp (O) Đường phân giác BE, CF (J ) là đườngtròn bàng tiếp góc A của ∆ABC Khi đó OJ ⊥ EF

Trở lại bài toán

Gọi P là giao điểm của BF và CE Khi đó A là tâm nội tiếp ∆P BC

Vì ∠BP C = 180−∠BOC nên P ∈ (OBC) = (X) Gọi J đối xứng với

A qua O, khi đó J là tâm bàng tiếp góc P của ∆P BC

Theo bổ đề XJ ⊥ M N Gọi K đối xứng với X qua O

suy ra AK ⊥ M N Vậy đường thẳng qua A vuông góc với M N luôn

đi qua điểm đối xứng với tâm của (OBC) qua O

Bài 15: Cho ∆ABC nội tiếp (O) cố định, BC cố định, A di động trên(O) E, F thuộc tia CA, BA sao cho CE = BC = BF S là trungđiểm của EF I là tâm nội tiếp của ∆ABC Chứng minh rằng IS điqua điểm cố định

(I) tiếp xúc với AB, AC tại P, Q IB, IC giao RQ tại M, N Khi đó

M, N lần lượt là trung điểm của CF, BE Gọi T là giao điểm 2 tiếptuyến tại B, C của (O) IB, IC giao (T, T B) tại K, L Chứng minh

Bài 16: Cho ∆ABC nội tiếp (O) cố định, BC cố định, A di động trên(O) E, F đối xứng với B, C qua CA, AB M là trung điểm của EF Chứng minh rằng AM luôn đi qua điểm cố định

Tương tự bài 15

AM qua giao 2 tiếp tuyến tại B, C của (OBC)

Bài 17: Cho ∆ABC, BC cố định, A di động Hình chữ nhậtBCM N cố định Dựng các hình chữ nhật CAP Q, ABRS đồng dạngvới BCM N SM giao P N tại T Chứng minh rằng AT luôn đi quađiểm cố định

Gọi X là điểm đối xứng với tâm của (BCM N ) qua M N

Hạ BK ⊥ SM ⇒ K ∈ (ABRS) AK giao (BCM N ) tại điểm thứ hai

2∠CNM = ∠CNX nên U ∈ NX Tương tự hạ CL ⊥ P N , AL giao(BCM N ) tại V thì V ∈ M X Áp dụng định lý Pascal cho 6 điểm

M, N, U, V, L, K suy ra A, T, X thẳng hàng Vậy AT luôn đi qua điểmđối xứng với tâm của (BCM N ) qua M N

Bài 18: Cho ∆ABC, điểm P bất kỳ X, Y, Z là tâm đường tròn Eulercủa các tam giác P BC, P CA, P AB Chứng minh rằng đường thẳngqua X, Y, Z vuông góc với P A, P B, P C đồng quy

Gọi D, E, F, K, L, M lần lượt là trung điểm của các cạnh

BC, CA, AB, P A, P B, P C (KF L)∩ (KEM ) = K, Q

(QL, QM ) ≡ (QL, QK) + (QK, QM ) ≡ (F L, F K) + (EK, EM ) ≡(P A, DM ) + (DL, P A) ≡ (DL, DM )(modπ)

⇒ Q ∈ (DLM ) do đó (X), (Y ), (Z) đồng quy tại Q

Ta có: (XY, XZ) ≡ (QM, QL) ≡ (DM, DL) ≡ (P B, P C)(modπ)

Gọi S là giao điểm của đường thẳng qua Y vuông góc với P B vàđường thẳng qua Z vuông góc với P C Ta có: (SY, SZ) ≡ (P B, P C) ≡(XY, XZ)(modπ) ⇒ S ∈ (XY Z) ⇒ (SX, SZ) ≡ (Y X, Y Z) ≡ (P A, P C)

⇒ (SX, P A) ≡ (SZ, P C) ≡ 90(modπ) suy ra SX ⊥ P A

Vậy các đường thẳng qua X, Y, Z vuông góc với P A, P B, P C đồng quy

Bài 19: Cho ∆ABC, đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với BC, CA, ABtại D, E, F Gọi X, Y, Z lần lượt là trực tâm của ∆AEF , ∆BF D,

∆CDE P, Q, R là trung điểm của BC, CA, AB Chứng minh rằng

P X, QY, RZ đồng quy

Bổ đề: Các đường thẳng Euler của ∆IBC, ∆ICA, ∆IAB đồng quy

Bài 20: Cho tứ giác ABCD nội tiếp Điểm P trong tứ giác thỏa

∠P AB = ∠P BC = ∠P CD = ∠P DA Chứng minh ABCD là tứ giácđiều hòa

180-∠P CQ ⇒ Tứ giác BP CQ nội tiếp Mà 180-∠P BC = ∠BCQ ⇒ BP CQ làhình thang cân ⇒ P Q = BC Áp dụng định lý Ptolemy cho tứ giác nộitiếp BP CQ: BC.P Q = BP.CQ + BQ.CP Vì BC

BC.AD = P B.P D +P A.P D Tương tự: AB.CD = P B.P D +P A.P C

do đó AB.CD = AD.BC Vậy ABCD là tứ giác điều hòa

Bài 21: Cho ∆ABC nội tiếp (O) D thuộc (O) thỏa AD là đườngđối trung của ∆ABC AM, AN là tiếp tuyến của (OBC) M N giao

AC, AB tại E, F Chứng minh rằng DA là phân giác của ∠EDF

suy ra X ∈ (OBC) ⇒ OX⊥AD ⇒ X là trung điểm của AD CX giao

AB tại R, BX giao AC tại Q Vì QA2 = QX.QB, RA2 = RX.RCnên RQ là trục đẳng phương của (A, 0) và (OBC) ⇒ R, Q lần lượt làtrung điểm của AB, AC suy ra RX//ED, QX//F D Kết hợp XA làphân giác của ∠RXQ Vậy DA là phân giác của ∠EDF

Bài 22: Cho ∆ABC, điểm P trong tam giác D, E, F đối xứng với

P qua BC, CA, AB Oa, Ob, Oc là tâm ngoại tiếp của ∆P BC, ∆P CA,

∆P AB Ka, Kb, Kc là tâm ngoại tiếp của ∆OaBC, ∆ObCA, ∆OcAB

P Ka ∩ DOa = X Điểm Y, Z xác định tương tự Chứng minh rằngđường thẳng qua X, Y, Z vuông góc với P Ka, P Kb, P Kc cắt P A, P B, P Ctại các điểm thẳng hàng