SKKN Cải tiến cách XD hệ thống câu hỏi và bài tập về bất đẳng thức trong chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển năng lực học sinh

TÊN SÁNG KIẾN, LĨNH VỰC ÁP DỤNG - Là nhóm tác giả đề nghị xét công nhận sáng kiến: Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập về Bất đẳng thức trong chương trình Đại số 10 theo

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập - Tự do – Hạnh phúc

ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN

Kính gửi: Hội đồng sáng kiến cấp ngành, Sở GDĐT Ninh Bình

Chúng tôi, gồm:

1 Nguyễn Tiên Tiến

Sinh ngày: 08 tháng 06 năm 1981

Nơi công tác: Trường THPT Gia Viễn B, Ninh Bình

Chức vụ: Phó Hiệu trưởng

Trình độ chuyên môn: Thạc sỹ

Tỷ lệ (%) đóng góp vào việc tạo ra sáng kiến: 60%

2 Hoàng Thị Năm

Sinh ngày: 04 tháng 10 năm 1985

Nơi công tác: Trường THPT Gia Viễn B, Ninh Bình

Chức vụ: Giáo viên

Trình độ chuyên môn: Cử nhân

Tỷ lệ (%) đóng góp vào việc tạo ra sáng kiến: 30%

3 Phùng Thị Hằng

Sinh ngày: 10 tháng 03 năm 1989

Nơi công tác: Trường THPT Gia Viễn B, Ninh Bình

Chức vụ: Giáo viên

Trình độ chuyên môn: Cử nhân

Tỷ lệ (%) đóng góp vào việc tạo ra sáng kiến: 10%

I TÊN SÁNG KIẾN, LĨNH VỰC ÁP DỤNG

- Là nhóm tác giả đề nghị xét công nhận sáng kiến: Cải tiến cách xây dựng

hệ thống câu hỏi và bài tập về Bất đẳng thức trong chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển năng lực học sinh

- Lĩnh vực áp dụng: Giảng dạy bộ môn Toán cấp THPT, đặc biệt là lớp 10

Giáo viên giảng dạy theo tiến trình trong sách giáo khoa Cách làm này có

ưu điểm là học sinh dễ theo dõi bài giảng của giáo viên với việc xem sách giáo khoa Tuy nhiên, do khuôn khổ số trang nên sách giáo khoa không trình bày đầy đủ các dạng bất đẳng thức thường gặp trong các kỳ thi và lời giải của các ví dụ mặc

dù được trình bày chi tiết nhưng lại không có sự phân tích để học sinh nhận biết, thông hiểu từng định nghĩa hoặc đơn vị kiến thức Đồng thời, học sinh không được cung cấp thêm ví dụ minh họa để hiểu rõ bản chất của khái niệm toán học hoặc đơn

vị kiến thức đó

Giáo viên thường sử dụng các ví dụ và bài tập tự luận trong giảng dạy lý thuyết Sau khi làm xong ví dụ hoặc bài tập thì học sinh không được cung cấp bài tập tự luyện để có “cơ hội” thực hành Hệ thống câu hỏi trắc nghiệm khách quan chưa được xây dựng đủ ở các bốn mức độ và còn nằm rải rác trong các sách tham khảo, được giảng dạy tách rời với phần tự luận Điều này vừa mất nhiều thời gian vừa hạn chế việc rèn kỹ năng làm bài tập tự luận, câu hỏi trắc nghiệm cho học sinh

Giáo viên sử dụng các câu hỏi trắc nghiệm khách quan trong tiết ôn tập, tiết

tự chọn hoặc học thêm buổi chiều và câu hỏi được xây dựng thành chủ đề nhưng các câu hỏi lại rời rạc, riêng lẻ, ít liên quan đến nhau và không thành hệ thống Cách làm này có ưu điểm là học sinh được tập trung rèn luyện kỹ năng làm bài trắc nghiệm và dễ nhận dạng các câu hỏi trắc nghiệm khách quan Học sinh giải được bài nào chỉ biết bài đó chứ chưa biết cách đặt vấn đề khai thác hoặc phát triển bài toán hoặc tìm ra bài toán “họ hàng” Do đó, học sinh sẽ khó hình dung các yêu cầu

sẽ được đặt ra trước những thông tin, dữ liệu cho trước

2 Giải pháp mới cải tiến

Trên cơ sở kết quả lấy phiếu điều tra đối với giáo viên, cũng như đánh giá những ưu điểm và hạn chế của giải pháp cũ thường làm, tôi xây dựng tài liệu dạy học nội dung Bất đẳng thức trong chương trình Đại số 10 với những cải tiến như sau:

Giải pháp 1: Thiết kế nội dung kiến thức

Kiến thức được thiết kế như tiến trình trong sách giáo khoa để giáo viên, học sinh tiện theo dõi, có bổ sung và hệ thống lại bảy phương pháp, kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức thường gặp trong các kỳ thi Mỗi phương pháp, kỹ thuật chúng tôi trình bày ba phần: Nội dung phương pháp, Ví dụ tự luận điển hình và Câu hỏi trắc nghiệm khách quan

Giải pháp 2: Thiết kế phần ví dụ tự luận điển hình

Ngoài việc trình bày các kiến thức đã có trong sách giáo khoa (không trình bày lại cách chứng minh các định lý), thì còn bổ sung một số kiến thức cập nhật cho thi THPT Quốc gia hiện nay Ứng với mỗi phương pháp chứng minh bất đẳng

thức đều có những ví dụ minh họa, phân tích hoặc nhận xét, bình luận hoặc lời giải được trình bày bằng nhiều cách có thể để học sinh hiểu rõ bản chất của phương pháp hoặc cách tiếp cận vấn đề Bên cạnh đó, sau mỗi ví dụ tự luận điển hình, chúng tôi có giới thiệu thêm bài tập tự luyện để học sinh có “cơ hội” thực hành ngay mà không cần mất nhiều thời gian tìm kiếm trong các tài liệu tham khảo

Giải pháp 3: Thiết kế hệ thống câu hỏi trắc nghiệm khách quan

Trên cơ sở chuẩn kiến thức, kỹ năng về bất đẳng thức, kinh nghiệm giảng dạy ôn thi các kỳ thi, chúng tôi xây dựng hệ thống câu hỏi trắc nghiệm khách quan theo từng phương pháp chứng minh bất đẳng thức Việc xây dựng được hệ thống câu hỏi trắc nghiệm khách quan theo từng phương pháp chứng minh bất đẳng thức một mặt vừa giúp giáo viên có tư liệu dạy học vừa giúp học sinh có tài liệu luyện tập Bên cạnh đó, chúng tôi còn liên hệ đến một số vấn đề liên quan như giải phương trình, hệ phương trình hoặc các bài toán có chứa tham số liên quan đến điều kiện có nghiệm của phương trình, hệ phương trình

III HIỆU QUẢ KINH TẾ VÀ XÃ HỘI DỰ KIẾN ĐẠT ĐƯỢC

1 Hiệu quả kinh tế

Thứ nhất, xét về mặt thời gian Để biên soạn hệ thống câu hỏi và bài tập cho

một chủ đề hoặc một chuyên đề dạy học, luyện thi thì giáo viên sẽ phải mất rất nhiều thời gian tìm kiếm, biên tập lại từ các tài liệu trên internet và các sách tham khảo cho phù hợp với yêu cầu về chuẩn kiến thức, kỹ năng và năng lực học sinh Học sinh có nhu cầu tìm kiếm bài tập để tự luyện thì cũng phải tìm kiếm trong nhiều tài liệu rồi hệ thống lại

Các sách tham khảo (có liên quan đến chủ đề bất đẳng thức ở lớp 10) tính đến thời điểm tác giả viết sáng kiến thì các ví dụ và bài tập chủ yếu ở dạng tự luận

Vì vậy, để xây dựng được hệ thống câu hỏi và bài tập trắc nghiệm khách quan cho chủ đề bất đẳng thức thì cần phải đầu tư thời gian để xây dựng các phương án nhiễu

Như vậy, để có một hệ thống câu hỏi và bài tập về bất đẳng thức bao gồm cả

tự luận và trắc nghiệm khách quan thì đỏi hỏi mất nhiều thời gian tìm kiếm và sắp xếp, trong khi đó, với sáng kiến này, giáo viên và học sinh có thể sử dụng ngay để giảng dạy, ôn tập cũng như luyện thi Trung học phổ thông Quốc gia Nếu cần thì giáo viên có thể bổ sung hàng năm để có được tài liệu đa dạng, phong phú về bài tập cho riêng mình hoặc phù hợp với đối tượng học sinh của từng lớp giảng dạy.

Thứ hai, xét về mặt tài chính Để viết nên tài liệu này, không kể tài liệu giáo

khoa (học sinh và giáo viên nào cũng có), không kể rất nhiều giờ truy cập internet,

và nhiều giờ để sáng tác các bài toán, tác giả đã phải đọc một số đầu sách tham

khảo Trong khi với tài liệu này, giáo viên chỉ cần in hoặc in sao tài liệu này với giá không quá 15.000 đồng

2 Hiệu quả xã hội

Ngay sau khi văn bản số 4818/BGDĐT-KTKĐCLGD ngày 28/09/2016 về việc Tổ chức Kỳ thi THPT quốc gia và tuyển sinh ĐH, CĐ hệ chính quy năm 2017 được Bộ GDĐT ban hành, trong đó có nội dung bài thi môn Toán thi theo hình thức trắc nghiệm khách quan, đề thi có 50 câu hỏi và từ năm 2019 trở đi, nội dung thi nằm trong Chương trình cấp THPT, các tác giả đã tiến hành xây dựng tài liệu này và hoàn thiện dần qua các năm học Nội dung tài liệu đã được các thầy, cô trong trường sử dụng để giảng dạy chính khóa cũng như trong ôn luyện thi Trung học phổ thông Quốc gia, bồi dưỡng học sinh giỏi và bước đầu đã cho thấy tính khả thi và phổ dụng của sáng kiến

Nhiều học sinh đã sử dụng tài liệu này để tự học, tất nhiên cần có sự hướng dẫn của giáo viên và đã đạt được thành tích cao trong học tập Điều này cho thấy, nếu sáng kiến tiếp tục được hoàn thiện, bổ sung thì sẽ là tài liệu bổ ích để học sinh

tự học Từ đó, tạo được hứng thú, sự tự tin trong học tập, góp phần bồi dưỡng năng lực tự học và nâng cao chất lượng, hiệu quả học tập của học sinh

IV ĐIỀU KIỆN VÀ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG

1 Điều kiện áp dụng

Sáng kiến này đã được các tác giả triển khai thực hiện từ năm học 2017 –

2018 tại nhà trường và được hoàn thiện dần qua các năm học Qua thực nghiệm và tiến hành áp dụng trong hai năm học vừa qua, kết quả tài liệu rất hữu ích trong công tác giảng dạy của giáo viên và công tác ôn tập của học sinh Đồng thời, chất lượng giảng dạy và học tập nội dung bất đẳng thức được nâng lên đáng kể, đặc biệt

là tạo được hứng thú và góp phần bồi dưỡng năng lực tự học, tự nghiên cứu cho học sinh ở các lớp mũi nhọn Vì vậy, sáng kiến có thể áp dụng cho các trường THPT trên địa bàn tỉnh và toàn quốc

2 Khả năng áp dụng

Sáng kiến là tài liệu tham khảo hữu ích cho giáo viên, học sinh và được áp dụng trong giảng dạy ở các trường THPT Tài liệu này được các đồng nghiệp trong trường cũng như trên địa bàn huyện đánh giá cao về chất lượng nội dung, phương pháp và mục tiêu dạy học

Danh sách những người tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu (tất cả giáo viên đều công tác tại trường THPT Gia Viễn B):

môn

2 Đào Thị Nụ Giáo viên Cử nhân

Chúng tôi xin cam đoan mọi thông tin nêu trong đơn là trung thực, đúng sự thật và hoàn toàn chịu trách nhiệm trước pháp luật./

Xác nhận của Ban giám hiệu

Gia Viễn, ngày 15 tháng 05 năm 2019

Người nộp đơn Nguyễn Tiên Tiến Hoàng Thị Năm Phùng Thị Hằng

PHỤ LỤC PHẦN 1 LÝ THUYẾT VỀ BẤT ĐẲNG THỨC

a) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của biểu thức f , viết là M max f , nếu:

(1) f M với mọi giá trị của biến thỏa mãn điều kiện T

(2) Tồn tại bộ giá trị của các biến số thỏa mãn điều kiện T sao cho f M

b) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của biểu thức f , viết là mmin f , nếu:

(1) f m với mọi giá trị của biến thỏa mãn điều kiện T

(2) Tồn tại bộ giá trị của các biến số thỏa mãn điều kiện T sao cho f m

Đặc biệt, nếu hàm số y f x  đạt giá trị lớn nhất M trên tập D thì ta ký hiệu

Để tìm giá trị lớn nhất (tương tự đối với giá trị nhỏ nhất) của biểu thức ,f ta có thể trình

bày lời giải theo các bước dưới đây:

- Bước 1: Chứng minh với mọi giá trị của biến số thỏa mãn điều kiện T , ta đều có f M ,

trong đó M là một hằng số không phụ thuộc vào các biến của f

- Bước 2: Chứng minh hoặc chỉ ra tồn tại bộ giá trị của biến (không nhất thiết phải tìm ra tất

cả) thỏa mãn điều kiện T sao cho f M

- Bước 3: Kết luận max f M

II Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức

Trong khi chứng minh bất đẳng thức hoặc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức, chúng ta thường sử dụng các tính chất cơ bản sau đây của bất đẳng thức:

PHẦN 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP THÔNG DỤNG

ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

một số phương pháp, kỹ thuật thông dụng để chứng minh bất đẳng thức thường gặp trong các kỳ thi

trực quan, dễ hiểu nhất với mọi đối tượng học sinh

đó, mặc dù có thể vẫn trình bày theo một cách khác Mỗi ví dụ đều có sự phân tích để tìm ra lời giải hoặc làm rõ bản chất của phương pháp trong lời giải

lời giải của nó phải sử dụng đến phương pháp đang đề cập Với mỗi ví dụ, chúng tôi có đề cập đến các câu hỏi trắc nghiệm khách quan có liên quan nhằm giúp các em học sinh có cái nhìn rõ nét hơn về việc xây dựng câu hỏi trắc nghiệm khách quan

I Sử dụng biến đổi tương đương và các bất đẳng thức đúng đã biết

1.1 Nội dung phương pháp

Để chứng minh bất đẳng thức AB theo hướng này, chúng ta có thể làm theo một trong các cách sau đây:

- Cách 1: Lập hiệu A B Sử dụng biến đổi tương đương, các tính chất cơ bản của bất đẳng thức và các kết quả đã biết để chỉ ra A B 0

- Cách 2: Bằng kiến thức đã biết và các tính chất cơ bản của bất đẳng thức, chúng ta đánh

giá vế trái để được AB

- Cách 3: Bằng kiến thức đã biết và các tính chất cơ bản của bất đẳng thức, chúng ta đánh

giá vế phải để được BA

Chứng minh bất đẳng thức theo các cách nêu trên, ngoài việc có thể phải sử dụng đến các tính chất cơ bản của bất đẳng thức, chúng ta thường sử dụng thêm các kết quả sau:

2 2

Điều kiện:

2 2

1) Trong lời giải trên, chúng ta đã tiến hành theo ba bước, đó là:

y Suy ra đánh giá y  2 và kết luận về giá trị nhỏ nhất 2) Từ bất đẳng thức thức 2

2



y ta suy ra được y   2 hoặc y  2 Nhưng vì chúng ta đã chỉ ra được y 0 nên y  2 và lúc này chúng ta có ngay giá trị nhỏ nhất Còn nếu chúng ta chỉ ra được 0

y  thì y   2 và lúc này chúng ta có ngay giá trị lớn nhất

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1

đó nhỏ hơn hoặc bằng biểu thức một biến rồi cộng vế theo vế và sử dụng giả thiết để chỉ ra điều phải chứng minh

Thứ hai , giả thiết của bài toán là a b c   1 (các biến số , ,a b c có bậc một, độc lập với nhau) nên cần đánh giá 2

1

a

ma n

a    , trong đó ,m n là các hằng số phải đi tìm

Thứ ba , từ giả thiết và bất đẳng thức cần chứng minh, chúng ta dự đoán được đẳng thức xảy ra khi

1 3

Kỹ thuật nói trên đây được coi là kỹ thuật hệ số bất định

2) Khi học về đạo hàm (Giải tích 11), chúng ta có thể tìm ra biểu thức 18 3

25a 50 một cách đơn giản hơn bằng phương pháp tiếp tuyến như sau: Trước hết, chúng ta dự đoán xem đẳng thức xảy ra khi nào? Chúng ta dự đoán được 1

8

a b c d a b c d 

2 a) Chứng minh rằng với mọi x 0;1, ta luôn có

2 2

1.3 Câu hỏi trắc nghiệm khách quan

Câu 1.1 Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số 3 2

yx  x  x trên đoạn 0; 2 

Lời giải Cách 1: (Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án đúng)

Giá trị của m ở phương án C là nhỏ nhất nên ta kiểm tra phương án này trước

x  x  x    x x  x  x  Vậy m  2 Cách 2: (Biến đổi tương đương, đánh giá dựa vào kết quả đã biết)

Cách 1: (Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án đúng)

Trước hết chúng ta kiểm tra đối với giá trị nhỏ nhất (vì đang cần tìm giá trị nhỏ nhất) trong bốn

số cho trong bốn phương án

- Kiểm tra phương án B:

2x3 9x   9 3 9x   9 2x

2 2

2 2

(điều này không thể xảy ra vì   3 x 3)

- Kiểm tra phương án A:

Đối chiếu với điều kiện ban đầu thì x  3 Thay vào phương trình thấy thỏa mãn Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 6

Cách 2: (Đánh giá dựa vào kết quả đã biết)

4 Cho các số thực không âm , ,x y z thỏa mãn 2 3 4

Ex y  xy z nhận giá trị là số nguyên tố p khi x y z; ;   x y z1 ; ; 1 1 hoặc

x y z; ;   x y z2 ; 2 ; 2 Giá trị của biểu thức T  px x1 2y y1 2z z1 2 thuộc khoảng nào dưới đây?

4 Cho ,x y là hai số thực biến thiên và m là tham số Biết rằng biểu thức E x 2y  1 2x my  5

đạt giá trị nhỏ nhất là một số dương E0 Khẳng định nào dưới đây đúng?

A E 0  0;1 B E 0  1; 2 C E 0 2;3  D E 0 3; 4 

ab S +) Nếu ,a b là các số không âm và abP không đổi thì a b đạt giá trị nhỏ nhất bằng

2 P khi và chỉ khi a b P

+) Với a0,b0 thì 1 1 4

ab a b Đẳng thức xảy ra khi ab (2) Với ba số không âm , ,a b c bất kỳ, ta luôn có: 3

abc S +) Nếu , ,a b c là các số không âm và abcP không đổi thì a b c  đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3 P3 khi a  b c 3 P

Vậy, f x  đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 3 khi x  3

1) Việc đánh giá f x m1 thì chúng ta dễ dàng làm được khi áp dụng ngay bất đẳng thức Cô-si mà không cần có sự điều chỉnh gì về hình thức của biểu thức f x .

2) Việc đánh giá g x m h x2 ;  m3 thì chúng ta không thể áp dụng ngay bất đẳng thức Cô-si, do nếu

áp dụng ngay thì vế phải vẫn còn biến số Vì vậy chúng ta cần điều chỉnh hình thức của biểu thức

3) Việc đánh giá p x m4 chúng ta cũng không thể áp dụng ngay bất đẳng thức Cô-si mà cần có sự điều chỉnh về hình thức của p x  một cách khéo léo hơn thì mới đạt được mục tiêu Kể cả khi viết chúng ta viết lại biểu thức p x  thành 4   4 7 12 7

 , với m 0 để áp dụng bất đẳng thức Cô-si nhằm triệt tiêu

4x 7 ở mẫu thức nhưng cũng phải chú ý đến điều kiện đẳng thức xảy ra Vì vậy, ta cần tìm m để khi

m  và chúng ta có lời giải như trên

Ví dụ 2.2 a) Cho ,x y là hai số thực dương thỏa mãn xy Chứng minh rằng 5 16 1 81

x  y  b) Cho ,x y là hai số thực dương thỏa mãn 16 1 81

x  y  Chứng minh rằng xy5 Lời giải

2.3 Câu hỏi trắc nghiệm khách quan

Câu 2.1 Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số 2 2

Trong 4 giá trị cho trong các phương án thì m 3 là giá trị nhỏ nhất nên ta kiểm tra giá trị này trước

3

2 6

x 

4 Giá trị nhỏ nhất của hàm số  

3 4

Câu 2.2 Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số y 3x 42

min y 3 9

3 0;

3 0;

min y 3 9

  /

Đáp án A Câu 2.3 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

231

x y x

Nhận thấy với x 2; 4 thì

2301

x y x



 nên loại ngay phương án B và C

Kiểm tra phương án D trước (vì 6 19

xyx y Tìm giá trị nhỏ nhất min P của biểu thức Pxy

2 2

1 Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn 2

xyx y Giá trị nhỏ nhất của biểu thức Pxy là

A một số hữu tỷ dương nhỏ hơn 5 B một số vô tỷ lớn hơn 5

C một số hữu tỷ lớn hơn 5 D một số vô tỷ dương nhỏ hơn 5

2 Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn 2

xyx y Biểu thức Pxy đạt giá trị nhỏ nhất bằng

a b , trong đó ,a b là các số thực dương Giá trị của a b bằng

3 Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn 2

xyx y Biểu thức Pxy đạt giá trị nhỏ nhất khi

x y;   x y0 ; 0 Giá trị của 3x0y0 là

C một số vô tỷ lớn hơn 1 D một số vô tỷ dương nhỏ hơn 1

4 Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn  2 

lnx lny ln x y Tìm giá trị nhỏ nhất min P của biểu

thức Pxy

A minP 6 B minP 2 2  3 C minP  2 3 2 D minP  17  3.

Câu 2.5 Cho các số thực dương ,x y thỏa mãn x2y3xy Tìm giá trị nhỏ nhất 3 Pmin của

khác Chẳng hạn như câu 47, mã đề thi 101, THPTQG 2017:

Câu 2.6 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab2bc2ca7 Tìm giá trị nhỏ nhất

min Q của biểu thức

Vậy minQ  khi 2  ; ;  1;1;3

(Viktor Yakovlevich Bunyakovsky, 1804 – 1889, nhà toán học người Nga)

3.1 Nội dung phương pháp

(1) Với bốn số thực , , ,a b x y tùy ý, ta luôn có  2  2 2 2 2

ax by  a b x y

Dấu bằng xảy ra khi aybx hoặc a b

x  y (nếu xy  ) Có nhiều cách chứng minh bất 0đẳng thức này nhưng có lẽ cách đơn giản nhất là sử dụng kết quả

 2  2  2 2 2 2

ax by  ay bx  a b x y

Hình thức khác của bất đẳng thức này là:  2 2 2 2

ax by  a b x y

với hệ trục tọa độ Oxyz , nếu xét hai vectơ ua b c; ; 

Ví dụ 3.1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2

3

x A x





 Lời giải

x  x  nên muốn áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-xky

thì cần phải làm xuất hiện x và 3 như đã phân tích trong lời giải

3) Bằng kỹ thuật như trên, bạn đọc hãy luyện tập thông qua các bài tập sau:

1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2

1

x A x







2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2

1 4 9

x B

x







3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2

x C x







4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức D x5

2

30

x x

bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki thì không khử được biến x Do đó, chúng ta cần biến đổi để hệ số của biến x trong hai số hạng phải đối nhau Có hai cách để làm điều này, đó là đặt hệ số của biến x làm

nhân tử chung trong từng số hạng (như lời giải trên) hoặc nhân và chia mỗi số hạng cho một số nào đó,

b) Cho các số thực ,x y thỏa mãn x2y2z  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 5 0

3.3 Câu hỏi trắc nghiệm khách quan

Câu 3.1 Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2

Lời giải Điều kiện  2 x2

+) Với mọi x  2; 2, ta có yx 2; y  2 x 2 Suy ra m 2

Lời bàn: 1) Giả sử m M, lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y f x  trên đoạn

a b;  Khi đó, ta có các kết quả sau đây:

+) Phương trình f x k có nghiệm thuộc đoạn a b;  khi và chỉ khi mkM

+) Bất phương trình f x k có nghiệm thuộc đoạn a b;  khi và chỉ khi Mk

+) Bất phương trình f x k có nghiệm thuộc đoạn a b;  khi và chỉ khi mk

+) Bất phương trình f x k nghiệm đúng với mọi x thuộc đoạn a b;  khi và chỉ khi mk

+) Bất phương trình f x k nghiệm đúng với mọi x thuộc đoạn a b;  khi và chỉ khi Mk

2) Khi tìm được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y 3x 2  3 2  x, kết hợp với kết quả nói trên thì chúng ta hoàn toàn giải được các bài toán sau đây:

1 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 3 x 2  3 2  xm có nghiệm