Nguyễn Văn Hoàng - Trường THPT Chuyên Quang Trung - Bình Phước Bài viết này sẽ phân tích việc dự đoán điểm cố định và chứng minh đường thẳng đi qua điểm cố định thông qua một số kết quả
Trang 1ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA ĐIỂM CỐ ĐỊNH TRONG
MỘT SỐ MÔ HÌNH QUEN THUỘC
ThS Nguyễn Văn Hoàng - Trường THPT Chuyên Quang Trung - Bình Phước
Bài viết này sẽ phân tích việc dự đoán điểm cố định và chứng minh đường thẳng đi qua điểm
cố định thông qua một số kết quả hình học trong mô hình quen thuộc
Mục lục
Vì lẽ đó mà đây là dạng toán hay và làm nhiều học sinh bối rối khi đối diện, cụ thể là học sinhkhông thể dự đoán được điểm cố định Việc dự đoán điểm cố định có thể:
• thông qua kết quả hình học trong mô hình quen thuộc
• thông qua vẽ hình chính xác
• thông qua những suy luận và tính toán ban đầu (chẳng hạn cho điểm di động di chuyển
về các đầu mút, hoặc di chuyển về các điểm đặc biệt )
Việc dự đoán điểm cố định là nhân tố quan trọng để ta định hình công cụ và phương pháp giảibài toán đó Khi tạo ra bài toán đường đi qua điểm cố định người ta có thể dựa vào một sốkết quả hình học quen thuộc, sau đó giấu đi một số chi tiết, yêu cầu người làm toán phải pháthiện ra kết quả hình học đó mới dự đoán được điểm cố định Bài viết này sẽ phân tích việc dựđoán điểm cố định và chứng minh đường thẳng đi qua điểm cố định thông qua một số kếtquả hình học trong mô hình quen thuộc
Trang 22 Mô hình đường đối trung
Kết quả 1 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi D
là điểm thuộc cạnh BC Khi đó các mệnh đề sau là tương đương:
1 AD là đường đối trung của tam giác ABC
B, C trên AP, AQ tương ứng Đường thẳng qua M song song AB và đường thẳng qua N songsong AC cắt nhau tại F Chứng minh rằng AF luôn đi qua một điểm cố định
Dự đoán điểm cố định: Ta thấy d(F, AB) = d(M, AB), d(F, AC) = d(N, AC), ta nghĩ đếnkết quả của đường đối trung, do đó ta sẽ chứng minh AF là đường đối trung của tam giácABC
Trang 3d(M, AB)d(N, AC) =
ABACSuy ra AF là đường đối trung của tam giác ABC Do đó AF đi qua điểm cố định là giaođiểm của hai tiếp tuyến tại B và C với (J)
Dự đoán điểm cố định: Đây là mô hình trực tâm quen thuộc, dễ dàng thấy AJ qua tâm Oqua vẽ hình chính xác, do đó ta liên tưởng chứng minh AJ và AH là hai đường đẳng giác, mà
AJ là đường trung tuyến nên ta nghĩ đến chứng minh AH là đường đối trung của tam giác
• Từ một kết quả quen thuộc trong mô hình trực tâm, ta có
A(T DBC) = −1 ⇒ A(AHP Q) = −1 ⇒ (ARP Q) = −1với R là giao điểm thứ hai của AH và (AP Q) Suy ra AR là đường đối trung của tamgiác AP Q
Trang 4• Mặt khác AR và AO là hai đường đẳng giác góc A của tam giác ABC, suy ra AO làđường trung tuyến của tam giác AP Q, do đó AJ đi qua O cố định.
Kết quả 2 Cho tam giác AEF Một đường tròn qua E, F cắt các cạnh AE, AF lần lượt tại
B và C Gọi AK, AT lần lượt là đường trung tuyến của tam giác AEF và ABC Khi đó AK
là đường đối trung của tam giác ABC và AT là đường đối trung của tam giác AEF
Ở kết quả 2, đường thẳng BC được gọi là đường đối song của EF
Ví dụ 3 Cho hai đường tròn (O1), (O2) cắt nhau tại hai điểm B và C, A là điểm thay đổitrên (O1) sao cho A khác B và C AB cắt (O2) tại điểm thứ hai E, AC cắt (O2) tại điểm thứhai F Gọi MN là đường trung bình của tam giác ABC ứng với cạnh BC Các đường thẳng
BN và CM cắt nhau tại P Đường tròn ngoại tiếp các tam giác BMP và CNP cắt nhau tạiđiểm thứ hai Q Gọi K là trung điểm EF Chứng minh ba điểm A, Q, K cùng thuộc một đườngthẳng d và d luôn đi qua một điểm cố định khi A di động trên (O1)
Dự đoán điểm cố định: Ta thấy BC là đường đối song của EF mà K là trung điểm EF(như yêu cầu chứng minh) nên dễ dàng dự đoán AQ là đường đối trung của tam giác ABC, từ
Trang 5Hướng dẫn giải.
• Phép vị tự quay tâm Q biến B thành M, biến N thành C nên 4BQM ∼ 4NQC
• Gọi D là giao điểm của AQ và BC Ta có
AB.d(Q, MB)AC.d(Q, MC) =
AB.M BAC.CN) =
Ví dụ 4 (VMO 2014) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O), trong đó B, C cố định và Athay đổi trên (O) Trên các tia AB và AC lần lượt lấy các điểm M, N sao cho MA = MC và
N A = NB Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác AMN và ABC cắt nhau tại P khác A.Đường thẳng MN cắt đường thẳng BC tại Q
a Chứng minh rằng ba điểm A, P, Q thẳng hàng
b Gọi D là trung điểm của BC Các đường tròn có tâm là M, N và cùng đi qua A cắt nhautại K (K khác A) Đường thẳng qua A vuông góc với AK cắt BC tại E Đường trònngoại tiếp tam giác ADE cắt (O) tại F (F khác A) Chứng minh rằng đường thẳng AF
đi qua một điểm cố định
Trang 6Dự đoán điểm cố định Ví dụ này cũng như các ví dụ ở trên, một dấu hiệu giúp ta liêntưởng đến mô hình đường đối trung là điểm A di động trên đường tròn, dấu hiệu nữa là giảthiết MA = MC và NA = NB ta nghĩ đến các đường tròn giao nhau Mặt khác, với giải thiếtđường thẳng qua A vuông góc với AK ta có thể nghĩ về đường tròn đường kính hoặc tiếp tuyếnvới đường tròn Kết nối các giả thiết cùng với kết quả 3, ta có lời giải sau đây.
AK ⊥ MN Từ đây suy ra A, O, K thẳng hàng nên ∠OAE = 900 Do đó ∠OAE = ∠EDO =
900 Suy ra O ∈ (ADE) Theo kết quả 3 AF đi qua giao điểm hai tiếp tuyến tại B, C của
Trang 73 Mô hình hai đường đẳng giác
Kết quả 4 Cho tam giác ABC có (O) là tâm đường tròn ngoại tiếp và Oa là tâm đường tròn(OBC) Gọi N là tâm đường tròn Euler của tam giác ABC Khi đó AN và AOa đẳng giác gócA
• Từ đây suy ra:
4OCL ∼ 4OOaC ⇒ OC2 = OL.OOa⇒ OA2 = OL.OOa
⇒ 4OAL ∼ 4OOaA⇒ ∠OAN = ∠OAL = ∠OOaA= HAOa.Điều này chứng tỏ AN, AOa là hai đường đẳng giác góc ∠HAO Mà AH và AO là haiđường đẳng giác góc A nên AN, AOa là hai đường đẳng giác góc A
Ví dụ 5 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O), trong đó B, C cố định và A thay đổi trên(O) Gọi E, F đối xứng B, C qua AC và AB Chứng minh rằng đường thẳng d qua A vuônggóc EF luôn đi qua một điểm cố định khi A di động
Dự đoán điểm cố định Có hai yếu tố giúp tìm ra điểm cố định Một là vẽ hình chính xác.Hai là nhận thấy d là đường cao của tam giác AEF Khi đó ta liên tưởng đến mô hình haiđường đẳng giác
Trang 8• Theo kết quả 4, suy ra d đi qua tâm Oa đường tròn (OBC), do đó d luôn đi qua mộtđiểm cố định.
♣
Trang 9Ví dụ 6 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O), trong đó B, C cố định và A thay đổi trên (O).Gọi E, F đối xứng B, C qua AC và AB Gọi K là tâm đường tròn (AEF ) Chứng minh rằngđường thẳng AK luôn đi qua một điểm cố định khi A di động.
Dự đoán điểm cố định Nhận thấy AK và đường thẳng d qua A vuông góc EF là hai đườngđẳng giác góc A của tam giác EAF Theo ví dụ trên AN và d đẳng giác nên dự đoán K, A, Nthẳng hàng, do đó AK đi qua điểm đối xứng của O qua BC
Ta sẽ chứng minh K, A, N thẳng hàng tức là chứng minh AL và AK đẳng giác góc A
• Thật vậy, ta có AK và AL là hai đường đẳng giác góc ∠EAF Do đó
mà ∠BAx = ∠CAN ⇒ ∠CAy = ∠CAN ⇒ K, A, N
• Vì AN qua O0 đối xứng với O qua BC nên AK luôn đi qua điểm cố định O0
♣
Trang 10Kết quả 5 Cho tam giác ABC Các cặp đường thẳng da, d0
a là hai đường đẳng giác góc A.Định nghĩa tương tự với db, d0
Chứng minh Sử dụng định lý Ceva sin dạng lượng giác
Chú ý
• Khi đó hai điểm đồng quy được gọi là hai điểm đẳng giác liên hợp
• Đặc biệt nếu da, db, dc là các đường trung tuyến thì d0
a, d0
b, d0
c là các đường đối trung tươngứng và chúng đồng quy tại một điểm gọi là điểm Lemoine
Ví dụ 7 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O), trong đó B, C cố định và A thay đổi trên (O)
Kẻ đường kính AD, đường thẳng CD cắt AB tại E, BD cắt AC tại F Đường thẳng đối xứng
BC qua đường phân giác góc ∠ACD cắt EO tại M, đường thẳng đối xứng BC qua đườngphân giác góc ∠ABD cắt F O tại N Chứng minh MN luôn đi qua một điểm cố định
Dự đoán điểm cố định Bài toán cho các đường thẳng đối xứng qua đường phân giác là dấuhiệu trực tiếp nghĩ đến hai đường đẳng giác và hai điểm đẳng giác liên hiệp
• Gọi T là trung điểm BC Gọi I là giao điểm của hai tiếp tuyến tại B, C của (O)
• Ta có 4EBC ∼ 4EDA Mặt khác O và T là trung điểm AD, BC tương ứng Suy ra
ET, EO đẳng giác góc ∠CEA =⇒ M, T là hai điểm đẳng giác liên hiệp đối với 4ACE
Do đó AT, AM đẳng giác góc ∠BAC =⇒ AM là đường đối trung của 4ABC
• Tương tự, ta cũng chứng minh được AN là đường đối trung của 4ABC, suy ra MN làđường đối trung của tam giác 4ABC =⇒ MN đi qua điểm I cố định là giao điểm củahai tiếp tuyến tại B, C của (O)
♣
Trang 114 Mô hình trục đẳng phương, tâm đẳng phương
Kết quả 6 Tập hợp các điểm có cùng phương tích với hai đường tròn không đồng tâm là mộtđường thẳng, gọi là trục đẳng phương của hai đường tròn
Kết quả 7 Cho ba đường tròn không đồng tâm (O1), (O2), (O3) Khi đó 3 trục đẳng phươngcủa các cặp đường tròn hoặc trùng nhau hoặc song song hoặc đồng quy tại một điểm M và gọi
M là tâm đẳng phương của ba đường tròn trên
Ví dụ 8 Cho tam giác ABC cố định Các điểm E, F lần lượt di chuyển trên các đoạn CA, ABsao cho BF = CE, gọi D = BE ∩ CF Gọi H, K theo thứ tự là trực tâm của tam giác DEF
và DBC Chứng minh rằng HK luôn đi qua một điểm cố định
Dự đoán điểm cố định: Ta nhớ lại kết quả quen thuộc sau: Cho tam giác ABC nội tiếpđường tròn (O) Lấy M, N thuộc cạnh AB, AC tương ứng sao cho BM = CN Khi đó đườngtrung trực MN đi qua trung điểm cung BC chứa A Bổ đề này quen thuộc nên không chứngminh ở đây
I Hướng dẫn giải Gọi (M), (N) là đường tròn tâm M đường kính BF và đường tròn tâm
N đường kính CE Gọi G = HF ∩ BE, I = HE ∩ CF
Trang 12Ví dụ 9 Tứ giác lồi ABCD không có hai đường chéo vuông góc nội tiếp (O) Gọi P là điểm
di chuyển trên cung AB không chứa C, D Gọi M = P D ∩ AC, N = P C ∩ BD Gọi Q là giaođiểm thứ hai của đường tròn (AP M) và đường tròn (BP N) Chứng minh rằng P Q luôn đi quamột điểm cố định
Dự đoán điểm cố định: Bằng hình vẽ chính xác ta cũng khó dự đoán điểm cố định, nhưng
để ý P Q là trục đẳng phương (dây cung chung) của hai đường tròn (AP M) và (BP N), do đóđiểm cố định sẽ có cùng phương tích của hai đường tròn này Từ đó có thể nghĩ đến điểm cốđịnh là giao điểm của hai tiếp tuyến tại A và B của hai đường tròn
• Gọi Ax, By lần lượt là tiếp tuyến của (AP M) và (BP N) tại A và B Khi đó
∠xAC = ∠AP D = ∠ACD = const ⇒ Ax cố định
Tương tự, By cố định Gọi L = Ax ∩ By Suy ra L cố định
• Tam giác ABL cân tại L Thật vậy,
∠BAL= ∠BAC + ∠CAL
Trang 13Ví dụ 10 Cho tam giác ABC, đường tròn (K) thay đổi luôn tiếp xúc CA, AB tại E, F Đườngthẳng BE và CF cắt nhau tại H, AH cắt BC tại D Hai đường thẳng DE, DF lần lượt cắt
AB, AC tại M, N Gọi L là trực tâm tam giác DMN Chứng minh đường thẳng KL qua điểm
cố định khi đường tròn (K) di chuyển
Dự đoán điểm cố định Vẽ hình đúng nhận thấy LK qua tâm O đường tròn ngoại tiếp tamgiác ABC, tư tưởng chứng minh thẳng hàng bằng phương tích vì L là trực tâm DMN
PK/(O1) = KE2; PK/(O2) = KF2 ⇒ PK/(O1) = PK/(O2) (2)
• Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Kẻ OI ⊥ EN, OJ ⊥ F M Ta có
PO/(O1)=−−→OE.−−→
ON = (−→OI+−→IE)(−→OI+−→IN) = OI2+ IE.IN
Mà (ACEN) = −1 ⇒ IE.IN = IA2 Do đó PO/(O1) = OA2
Tương tự, PO/(O 2 )= OA2 ⇒ PO/(O 1 ) = PO/(O 2 ) (3)
• Từ (1), (2) và (3), suy ra K, L, O thẳng hàng Do đó KL đi qua điểm (O) cố định
♣
Trang 14Ví dụ 11 (VMO 2007) Cho hình thang ABCD có đáy lớn BC và nội tiếp (O) Gọi P là mộtđiểm thay đổi trên BC và nằm ngoài đoạn BC sao cho P A không là tiếp tuyến của (O) Đườngtròn đường kính P D cắt (O) tại E (E khác D) Gọi M là giao điểm của BC với DE, N là giaođiểm khác A của P A với (O) Chứng minh rằng đường thẳng MN đi qua một điểm cố định.
Dự đoán điểm cố định Việc tìm ra điểm cố định A0 thật sự không khó Có thể dự đoán thôngqua việc vẽ hình chính xác Từ việc đã có sẵn hai đường tròn với dây cung chung là DE có điqua M, ta kết nối với dữ kiện điểm A cố định để xây dựng một đường tròn thứ ba rồi từ đó ápdụng tính đồng quy của các trục đẳng phương để chứng minh thẳng hàng
• Giả sử DA cắt BC tại F , do ∠ADA0 = 900 ⇒ ∠P F A0 = 900 Do đó F là giao điểm thứhai của (T1) và (T2), suy ra F P là trục đẳng phương của (T1) và (T2)
Vì các trục đẳng phương đồng quy tại tâm đẳng phương, suy ra DE, F P và NA0 đồngquy tại điểm M Vậy M, N, A0 thẳng hàng
♣
5 Mô hình đường tròn nội tiếp tam giác
Kết quả 8 Đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh AB, AC tại M, Ntương ứng Đường thẳng BI cắt MN tại E Khi đó ∠BEC = 900
Trang 15∠EIC = ∠IBC + ∠ICB = ∠B
Chú ý Nếu CI cắt MN tại F thì tương tự ta cũng chứng minh được ∠BF C = 900, tức là
B, F, E, C đồng viên
Ví dụ 12 Cho góc ∠xBy = ϕ không đổi Điểm A cố định trên tia Bx Điểm C di động trêntia By Đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh AC, BC tại E, F tươngứng Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định
I Hướng dẫn giải Gọi M là giao điểm của EF và BI
Khi đó, theo kết quả 8 ∠AMB = 900
Mặt khác ∠ABM = ϕ
2 không đổi và AB cố định nên BI cố định, do đó M cố định
Ví dụ 13 Cho tam giác ABC, gọi D thay đổi trên BC sao cho C nằm giữa B và D Đườngtròn nội tiếp các tam giác ABD và ACD cắt nhau tại P và Q Chứng minh rằng P Q luôn điqua một điểm cố định
Trang 16Dự đoán điểm cố định Mới nhìn thì ta chưa đoán được ngay điểm cố định, tuy nhiên, liêntưởng đến kết quả trên, ta vẽ thêm các đường phụ MN, XY và các giao điểm EF thì thấy ngayđiểm cố định là trung điểm EF
AC, AD lần lượt tại X, Y BO cắt MN tại E, CO0 cắt XY tại F Ta sẽ chứng minh
P Q qua trung điểm EF
• Thật vậy, ta có các góc ∠ABC, ∠ACD không đổi nên theo ví dụ trên E, F cố định
• Vì MN, P Q, XY đều vuông góc OO0 nên MN k P Q k XY
• Gọi L, K lần lượt là giao điểm của P Q với BD, EF Khi đó L là trung điểm MX Do đó
P Q là đường trung bình của hình thang EF XM Do đó P Q qua trung điểm của EF
♣
Ví dụ 14 (VMO 2013 - Bài 3) Cho tam giác không cân ABC Kí hiệu (I) là đường tròn tâm Inội tiếp tam giác ABC và D, E, F lần lượt là các tiếp điểm của (I) với các cạnh BC, CA, AB.Đường thẳng đi qua E và vuông góc BI cắt (I) tại K, (K 6= E) Đường thẳng đi qua F vàvuông góc CI cắt (I) tại KL, (L 6= F ) Gọi J là trung điểm KL
a) Chứng minh rằng D, I, J thẳng hàng
b) Giả sử các đỉnh B và C cố định, đỉnh A thay đổi sao cho tỉ số AB
AC = k và k không đổi.Gọi M, N lần lượt là các giao điểm của IE, IF với (I) (M 6= E, N 6= F ) MN cắt IB, IClần lượt tại P, Q Chứng minh rằng đường trung trực của P Q luôn đi qua một điểm cốđịnh
Trang 17Câu a) Tương đối đơn giản và đa số thí sinh có thể làm được ý này.
Câu b) Nhìn vào mô hình bài toán ta liên tưởng đến bài hình VMO 2009 Vì đây là mô hìnhquen thuộc nên ta dễ dàng chứng minh một số kết quả đã có Do đó nếu chịu khó phân tích
mô hình, chúng ta có thể khai thác được nhiều tính chất hình học từ đó đưa đến kết quả cầnchứng minh Tuy nhiên, cái mới và cái khó của bài toán ở chỗ chứng minh đường thẳng đi quamột điểm cố định bằng cách nào, khi mà giả thiết cho B, C cố định và A thay đổi sao cho tỉ sốAB
AC = k và k không đổi Khai thác giả thiết này nhiều HS nghĩ đến đường tròn Apollonious,nghĩ đến đây là vì chưa dự đoán được điểm cố định mà P Q đi qua Giả thiết này ta cũng cóthể liên tưởng đến chân đường phân giác trong góc A cố định và phải chăng điểm cố định cóliên quan đến điểm này Đến đây ta phải giải quyết khâu đầu tiên là tìm điểm cố định
Để ý rằng điểm A thỏa mãn AB
AC = k thì điểm A0 đối xứng với A qua BC cũng có tính chấtnày Khi đó ta sẽ có mô hình ngược lại với đường thẳng P0Q0 đối xứng P Q qua BC và haiđường trung trực của P Q và P0Q0 cắt nhau tại một điểm trên BC và đó là điểm cố định cầntìm
Cùng với nhận định chân đường phân giác trong góc A cố định, ta rút ra điểm cố định R đốixứng với trung điểm W của BC qua chân đường phân giác trong góc A
Sau khi dự đoán xong, điều khó nhất là dùng công cụ gì để chứng minh, điều này đòi hỏi HSnắm vững các công cụ để chứng minh một đường thẳng đi qua một điểm cố định và sử dụngphép biến hình trong trường hợp này Một cách khác có thể dùng tính toán đại số và một sốbiến đổi góc nhưng khá vất vả Một điều khó khăn nữa khi không sử dụng phép biến hình là khó
vẽ hình chính xác vì các vị trí điểm khá gần nhau Do đó, lựa chọn phép biến hình là phương
án tối ưu và khôn ngoan nhất
I Hướng dẫn giải (a) Vì (I) tiếp xúc các cạnh BC, CA lần lượt tại D, E nên DE ⊥ CI,
mà F L ⊥ CI (gt), do đó DE k F L Suy ra DEF L là hình thang cân Tương tự ta cũng có
DF EK là hình thang cân, suy ra