Cho các mệnh đề sau: Nếu hàm số đạt cực trị tại một điểm thì đạo hàm của hàm số tại điểm đó bằng 0.. Cho các mệnh đề sau: Nếu một hàm số đồng thời có các khoảng đồng biến và nghịch b
Trang 1LÝ THUYẾT CẦN NHỚ
1 SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
Cho hàm số y f x xác định trên khoảng a; b Kí hiệu f ' x , f '' x , C là đạo hàm cấp 1, cấp 2 và đồ thị của f x trên khoảng ấy
Hàm số đồng biến trên a; b f ' x 0, x a; b Dấu đẳng thức nếu có thì chỉ xảy
ra tại một số điểm hữu hạn mà thôi
Hàm số nghịch biến trên a; b f ' x 0, x a; b Dấu đẳng thức nếu có thì chỉ xảy ra tại một số điểm hữu hạn mà thôi
Đồng biến trên khoảng a; b , nghịch biến trên khoảng a; b gọi chung là đơn điệu trên khoảng ấy
2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Giả sử hàm số y f x xác định trên khoảng a; b và x a; b
Định lý 1
● f ' x 0 trên x0 h; x0 với h 0 và f ' x 0 trên x ; x0 0h với h 0
● f ' x 0 trên x0h; x0 với h 0 và f ' x 0 trên x ; x0 0h với h 0
Định lý 2
0
f ' x 0
x
f '' x 0
0
f ' x 0
x
f '' x 0
0
x a; b được gọi là điểm cực đại của hàm số khi qua x0 thì f ' x đổi dấu từ dương sang âm
0
x a; b được gọi là điểm cực tiểu của hàm số khi qua x0 thì f ' x đổi dấu từ âm sang dương
Các điểm cực đại của hàm số, cực tiểu của hàm số gọi chung là điểm cực trị của hàm số
Đạo hàm (nếu có) tại điểm cực trị bằng không
0
x a; b được gọi là điểm tới hạn nếu f x 0 0 hoặc f x không xác định 0
XỬ ĐẸP CÁC DẠNG TOÁN LÝ THUYẾT HÀM SỐ
Bài tập tự luyện
Giáo viên: Lưu Huy Thưởng
Trang 2Chú ý: xCD, xCT: lần lượt là điểm cực đại của hàm số
CD CT
y , y : lần lượt là cực đại, cực tiểu của hàm số hoặc giá trị cực đại, giá trị cực tiểu của hàm số
CD CD CT CT
3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Định nghĩa
Giả sử hàm số f x xác định trên tập K (K ) Khi đó:
a) Nếu tồn tại một điểm x0Ksao cho f x f x , x K0 thì số M f x 0 được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số f x trên K Kí hiệu:
x K
M Maxf x
b) Nếu tồn tại một điểm sao cho f x f x , x K0 thì số m f x 0 được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số f x trên K Kí hiệu:
x K
m min f x
Định lý
Hàm số y f x liên tục trên đoạn a; b tồn tại
a;b
max f x
, min f xa;b
Cách tìm
Bước 1: Tìm các điểm trên x , x , , x1 2 n trên a; b , tại đó f ' x 0 hoặc f ' x không xác định
Bước 2: Tính f a , f x , f x , ., f x , f b 1 2 n
Bước 3: Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên thì
a;b
a;b
M max f x
m min f x
4 ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ SUY DIỄN ĐỒ THỊ
Tịnh tiến đồ thị song song với trục tọa độ Oxy
Cho G là đồ thị của hàm số y f x và p 0 , ta có
+ Tịnh tiến G lên trên p đơn vị thì được đồ thị y f x p
+ Tịnh tiến G xuống dưới p đơn vị thì được đồ thị y f x p
+ Tịnh tiến G sang trái p đơn vị thì được đồ thị y f x p
+ Tịnh tiến G sang phải p đơn vị thì được đồ thị y f x p
Phép lấy đối xứng qua các trục tọa độ Oxy
Cho điểm M x; y , khi đó
+ Đối xứng M qua trục hoành ta được M' x'; y' với x' x
y' y
0
Trang 3+ Đối xứng M qua trục tung ta được M' x'; y' với x' x
y' y
5 TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
cx d
d x c
c
6 TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ
Xét hai đồ thị C : y f x và D : y g x
Phương trình hoành độ giao điểm giữa C và D là: f x g x 1
Số điểm chung giữa C và D đúng bằng số các nghiệm số của phương trình 1
C và D được gọi là tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm
f x g x
f ' x g ' x
Trang 4BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1 Cho hàm số y f x có đạo hàm trên a; b Mệnh đề nào đúng trong những mệnh
đề sau?
A f ' x 0 với x a; b f x đồng biến trên khoảng a; b
B f ' x 0 với x a; b f x đồng biến trên khoảng a; b
C f x đồng biến trên khoảng a; b f ' x 0, x a; b
D f x ngịch biến trên khoảng a; b f ' x 0, x a; b
Câu 2 Mệnh đề nào sau đây sai?
A Nếu f ' x 0, x K thì hàm số y f x nghịch biến trên K
B Hàm số y f x nghịch biến trên K thì f ' x 0, x K
C Nếu f ' x 0, x K thì hàm số y f x đồng biến trên K
D Hàm số y f x đồng biến trên K thì f ' x 0, x K
Câu 3 Cho hàm số C : y f x có đạo hàm trên khoảng K và các phát biểu sau:
Nếu f ' x 0, x K thì hàm số f đồng biến trên K
Nếu f ' x 0, x K thì hàm số f nghịch biến trên K
Nếu hàm số đồng biến trên K thì f ' x 0, x K
Nếu hàm số nghịch biến trên K thì f ' x 0, x K
Có bao nhiêu phát biểu đúng trong các phát biểu trên?
Câu 4 Cho hàm số C : y f x có đạo hàm trên khoảng K Cho các phát biểu sau:
Nếu f ' x 0, x K và f ' x 0 tại hữu hạn điểm thuộc K thì hàm số f đồng biến trên K
Nếu hàm số đồng biến trên K thì f ' x 0, x K
Nếu hàm số nghịch biến trên K thì f ' x 0, x K
Có bao nhiêu phát biểu đúng trong các phát biểu trên?
Câu 5 Giả sử hàm số C : y f x có đạo hàm trên khoảng K Cho các phát biểu sau:
Nếu f ' x 0, x K thì hàm số f x nghịch biến trên K
Nếu hàm số C đồng biến trên K thì phương trình f x 0có nhiều nhất một nghiệm thuộc K
Nếu hàm số C nghịch biến trên K thì phương trình f x 0 có đúng một nghiệm thuộc K
Có bao nhiêu phát biểu đúng trong các phát biểu trên
Trang 5Câu 6 Giả sử hàm số C : y f x nghịch biến trên khoảng K và hàm số C' : y g x
đồng biến trên khoảng K Khi đó,
A hàm số f x g x đồng biến trên khoảng K
B hàm số f x g x nghịch biến trên khoảng K
C hàm số f x g x nghịch biến trên khoảng K
D đồ thị của hàm số (C) và (C’) có đúng một điểm chung
Câu 7 Hàm số 3 2
nếu
A
2
a 0
b 3ac 0 B
2
a 0
b 3ac 0 C
2
a 0
b 3ac 0 D
2
a 0
b 3ac 0
Câu 8 Hàm số y ax 3bx2 cx d,a 0 có khoảng nghịch biến chứa hữu hạn số nguyên
nếu
A
2
a 0
b 3ac 0 B
2
a 0
b 3ac 0 C
2
a 0
b 3ac 0 D
2
a 0
b 3ac 0
Câu 9 Chọn phát biểu đúng khi nói về tính đơn điệu của hàm số 4 2
A Hàm số có thể đơn điệu trên
B Khi a > 0 thì hàm số luôn đồng biến
C Hàm số luôn tồn tại đồng thời khoảng đồng biến và nghịch biến
D Khi a < 0 hàm số có thể nghịch biến trên
Câu 10 Hàm số y ax 3bx2cx d,a 0 luôn đồng biến trên R khi và chỉ khi
A
2
a 0
b 3ac 0 B
2
a 0
b ac 0 C
2
a 0
b 3ac 0 D
2
a 0
b 3ac 0
Câu 11 Cho hàm số y f x xác định trên D, x0D. Mệnh đề nào sau đây sai?
A Nếu f ' x đổi dấu từ dương sang âm khi qua x0thì hàm số y f x đạt cực đại tại điểm x 0
B Nếu f ' x đổi dấu từ âm sang dương khi qua x0thì hàm số y f x đạt cực tiểu tại điểm x 0
C Nếu f ' x không đổi dấu khi qua x0thì hàm số y f x không đạt cực trị tại điểm x 0
D Nếu f ' x có nghiệm là x0 thì hàm số y f x đạt cực đại hoặc cực tiểu tại điểm x 0
Câu 12 Xét các khẳng định sau:
Phương trình f ' x 0 có n nghiệm thì hàm số f x có n điểm cực trị
Nếu hàm số f(x) đạt cực trị tại điểm x0và f(x) có đạo hàm tại điểm x0 thì f ' x 0 0
Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại điểm x0 và f ' x 0 0 thì hàm số f(x) đạt cực trị tại điểm x0
Nếu hàm số f(x) không có đạo hàm tại điểm x0 thì không là cực trị của hàm số f(x)
Trang 6Số khẳng định đúng trong các khẳng định trên là:
Câu 13 Cho hàm số y f(x) có đạo hàm cấp 2 trên khoảng K và x0K Tìm mệnh đề
đúng trong các mệnh đề cho ở các phương án trả lời sau:
A Nếu f '(x ) 00 thì x0 là điểm cực trị của hàm số y f(x)
B Nếu f ''(x ) 00 thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số y f(x)
C Nếu x0 là điểm cực trị của hàm số y f(x) thì f ''(x ) 0.0
D Nếu x0 là điểm cực trị của hàm số y f(x) thì f '(x ) 00
Câu 14 Cho khoảng a; b chứa m Hàm số y f x xác định và liên tục trên khoảng a; b
Có các phát biểu sau đây:
m là điểm cực trị của hàm số khi f ' m 0
f x f m , x a; b thì x m là điểm cực tiểu của hàm số
f x f m , x a; b \ m thì x m là điểm cực đại của hàm số
f x M, x a; b thì M được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng a; b
Số phát biểu đúng là:
Câu 15 Cho hàm số có tập xác định là khoảng ( 3; 2) ; có
xlim f(x) 03 và chỉ có duy nhất
x 2
lim f(x) Hỏi khẳng định nào sau đây là đúng
A Đồ thị hàm số có đúng 1 tiệm cận đứng là đường thẳng: x2
B Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang: y 3 và y 2
C Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận đứng: x 3 và x2
D Đồ thị hàm số có đúng 1 tiệm cận ngang là đường thẳngy 0
Câu 16 Cho hàm số f x xác định trên \ 2 Hàm số chỉ có các giới hạn vô cực sau:
hàm số đã cho bằng
Câu 17 Cho hàm số f x xác định trên \ 1 Biết Hàm số chỉ có các giới hạn vô cực sau:
x 1
lim f x 2;
của đồ thị hàm số đã cho bằng
Câu 18 Hai đồ thị y f x & y g x của hàm số cắt nhau tại đúng một điểm, điểm này
thuộc góc phần tư thứ tư Khẳng định nào sau đây là đúng ?
A Phương trình f x g x có đúng một nghiệm âm
Trang 7B Với x0thỏa mãn f x 0 g x0 0 f x 0 0
C Phương trình f x g x có nghiệm trên 0;
D A và B đúng
Câu 19 Cho hàm số y f x đồng biến trên các khoảng ; 2 và 3; và nghịch biến
trên khoảng 2; 3 Phương trình f x 2017 có thể có tối đa bao nhiêu nghiệm?
Câu 20 Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên đoạn 0; 6 Biết rằng trong khoảng
0; 6 hàm số có ba điểm cực trị Số nghiệm tối đa của của phương trình f x 0
trên khoảng 0; 6 là:
Câu 21 Cho hàm số y f x có tập xác định và liên tục trên 1; 6 Hàm số đồng biến trên
1; 2 và 4; 6 , hàm số nghịch biến trên 2; 4 Trong các mệnh đề sau:
Đồ thị hàm số chắc chắn cắt trục tung
Đồ thị hàm số chắc chắn cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
Đồ thị hàm số chắc chắn có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
Số mệnh đề đúng là:
Câu 22 Cho các mệnh đề sau:
Nếu hàm số đạt cực trị tại một điểm thì đạo hàm của hàm số tại điểm đó bằng 0
Nếu một hàm số có điểm cực đại thì nhất định có điểm cực tiểu
Hàm số liên tục trên tập xác định thì nhất định có điểm cực trị
Nếu hàm số có cực trị thì số điểm cực trị là hữu hạn
Số mệnh đề là mệnh đề đúng là?
Câu 23 Cho hàm số y f x xác định, liên tục và có đạo hàm trên đoạn a; b Xét các
khẳng định sau:
Hàm số f(x) đồng biến trên a; b thì f ' x 0, x a; b
Giả sử f a f c f b , c a, b suy ra hàm số nghịch biến trên a; b
Giả sử phương trình f ' x 0 có nghiệm là x m khi đó nếu hàm số f x đồng biến trên m, b thì hàm số f(x) nghịch biến trên a,m
Nếu f ' x 0, x a, b , thì hàm số đồng biến trên a, b
Số khẳng định đúng trong các khẳng định trên là
Câu 24 Cho các mệnh đề sau:
Nếu một hàm số đồng thời có các khoảng đồng biến và nghịch biến thì hàm số đó sẽ tồn tại điểm cực trị
Trang 8 Hàm số có thể đạt cực trị tại điểm mà đạo hàm của nó không xác định
Hàm đa thức luôn có số điểm cực trị nhỏ hơn bậc của đa thức đó
Nếu hàm số đạt cực trị tại điểm và có đạo hàm tại điểm đó thì đạo hàm phải bằng không tại điểm đó
Số mệnh đề SAI là:
Câu 25 Cho các mệnh đề sau:
Nếu một hàm số không có cực trị trên một khoảng thì luôn tăng hoặc luôn giảm trên khoảng đó
Nếu hàm số luôn giảm hoặc tăng trên một khoảng thì không tồn tại điểm cực trị trên khoảng đó
Hàm số số không có cực trị thì không thể đồng thời có các khoảng đồng biến và nghịch biến
Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà đạo hàm cấp hai của hàm số bằng không tại điểm đó
Số mệnh đề đúng là
Câu 26 Nếu hàm số y f x đồng biến trên khoảng 3; 1 thì hàm số y f x 2 luôn
đồng biến trên khoảng nào?
A 3; 1 B 1;1 C 5; 3 D 3;1
Câu 27 Nếu hàm số y f x đồng biến trên khoảng 1; 3 thì hàm số y f x 2017
đồng biến trên khoảng nào?
A 1; 3 B 2016; 2020 C 2018; 2014 D 2014; 2018
Câu 28 Nếu hàm số y f x đồng biến trên khoảng 3;1 thì hàm số y f x 2017
A nghịch biến trên khoảng 3;1
B đồng biến trên khoảng 3;1
C đồng biến trên khoảng 2014; 2018
D nghịch biến trên khoảng 2014; 2018
Câu 29 Nếu hàm số y f x nghịch biến trên khoảng 3;1 thì hàm số
y f x 2 2017
C đồng biến trên 2014; 2018 D nghịch biến trên 2014; 2018
Câu 30 Cho hàm số y f x đồng biến trên khoảng a; b Mệnh đề nào sau đây sai?
A Hàm số y f x 1 đồng biến trên a; b
B Hàm số y f x 1 nghịch biến trên a; b
Trang 9C Hàm số y f x nghịch biến trên a; b
D Hàm số y f x 1 đồng biến trên a; b
Câu 31 Cho hàm số y f x có đạo hàm trên khoảng a; b Khẳng định nào sau đây là sai
A Nếu hàm số đạt cực trị tại x0 a; b thì f ' x 0 0
B Nếu f ' x 0 với mọi x a; b thì hàm số đồng biến trên khoảng a; b
C Nếu hàm số đồng biến trên khoảng a; b thì f ' x 0với mọi x a; b
D Nếu f ' x 0với mọi x a; b thì phương trình f x 0 0có tối đa một nghiệm x a; b
Câu 32 Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau (với a, b, c, d là các hằng số)
Giá trị cực đại của hàm số y = f(x) luôn lớn hơn giá trị cực tiểu của nó
y ax bx c a 0 luôn có ít nhất một cực trị
Giá trị cực đại của hàm số y = f(x) luôn lớn hơn mọi giá trị của hàm số đó trên tập xác định
ax b
y c 0; ad bc 0
Số mệnh đề đúng là:
Câu 33 Cho các mệnh đề sau:
Nếu một hàm số chẵn có một điểm cực trị khác 0 thì sẽ có một điểm cực trị khác trái dấu khác nữa
Hàm số lẻ không thể có hai điểm cực trị trái dấu
Hàm tuần hoàn luôn có vô hạn điểm cực trị
Nếu hàm bậc bốn trùng phương có điểm cực tiểu thì cũng đạt giá trị nhỏ nhất tại đó
Số mệnh đề đúng là
Câu 34 Cho hai hàm đa thức y f x và y g x có một điểm cực trị Khi đó:
A hàm số f x g x có đúng hai điểm cực trị
B hàm số f x g x có đúng hai điểm cực trị
C hàm số f x g x có một điểm cực trị
D hàm số f x g x có thể không có cực trị
Câu 35 Cho hai hàm đa thức C : f x ; C' : y g x tương ứng có 2 điểm cực trị và có 1
điểm cực trị Khẳng định nào sau đây là đúng ?
A Bậc của hàm số (C) lớn hơn bậc của hàm số (C’) đúng một đơn vị
B Bậc của hàm số (C) lớn hơn bậc của hàm số (C’) đúng hai đơn vị
C Bậc của hàm số (C’) có thể lớn hơn bậc của hàm số (C)
D Tổng các bậc cuả hàm số (C) và (C’) bằng 3
Câu 36 Cho các mệnh đề sau:
Hàm số chỉ có thể đạt cực trị trên khoảng (a;b) nếu hàm số liên tục trên khoảng đó
Trang 10 Hàm số chỉ có thể đạt cực trị trên khoảng (a;b) khi có đạo hàm trên khoảng (a;b)
Hai hàm đa thức có cùng số cực trị khi chúng cùng bậc với nhau
Tổng của hai hàm số có cực trị là một hàm số luôn có cực trị
Hàm hằng số có vô số điểm cực trị
Số mệnh đề đúng là:
Câu 37 Cho hàm số f x có tính chất: f ' x 0, x 1; 5 và f ' x 0khi và chỉ khi x
thuộc đoạn 0; 2 Khẳng định nào sau đây là khẳng định SAI?
A Hàm số f x đồng biến trên khoảng 1; 5
B Trên khoảng 1; 0 hàm số đồng biến
C Trên khoảng 2; 5 hàm số đồng biến
D Hàm số là hàm hằng trên khoảng 0; 2
Câu 38 Cho các khẳng định sau:
Mọi hàm số f x không có giá trị nhỏ nhất trên một khoảng
M được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập D khi và chỉ khi f x M với mọi
x thuộc D
Trên một đoạn bất kì hàm số luôn có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
Số khẳng định là khẳng định đúng trong các khẳng định vừa cho là:
Câu 39 Cho hàm số f x có đạo hàm trên 1; 4, x2 là điểm cực trị duy nhất của hàm
số trên 1; 4, f ''(2) 0. Trong số các khẳng định sau, khẳng định sai là:
A f ' 2 f ' 0 0 B f ' 1 f ' 3 0 C f ' 3 f ' 2 0 D f ' 3 f ' 2 0
Câu 40 Cho hàm số f x xác định và liên tục trên 1; 5 , hàm số có đạo hàm trên 1; 5
x 2 là điểm cực trị của hàm số với f '' 2 0 Trong các mệnh đề sau
Hàm số đạt giá trị lớn nhất trên đoạn 1; 5 tại x 2.
Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn 1; 5 tại x 1.
Hàm số đồng biến trên khoảng 1; 2 và nghịch biến trên khoảng 2; 5
Số mệnh đề đúng là
Nguồn : Hocmai