3 Tìm điểm cố định mà đồ thị của hàm số luôn đi qua với mọi m.4 Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số tạo với trục tung và trụchoành một tam giác có diện tích bằng 1 đvdt.. Xác định tọa
Trang 1CHUYÊN ĐỀ 1 : CĂN THỨC BẬC HAI À HẰNG ĐẲNG THỨC
A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1) A2 = A
2) AB = A. B ( víi A ≥ 0 vµ B ≥ 0 )3)
B
A B
A = ( víi A ≥ 0 vµ B > 0 )
4) A2B = A B (víi B ≥ 0 )5) A B = A2B ( víi A ≥ 0 vµ B ≥ 0 )
A B = − A2B ( víi A < 0 vµ B ≥ 0 )
6)
B
AB B
A
= ( víi B > 0 )
B A
B A C B A
B A C B A
9
7 2
25
11 1 2
1 5
3.
28 3 2
14 6 +
2
1 2
9.
15
1 2 60
1 20
3
−
2 6
4 2 5
− 12. ( 20 − 45 + 5) 5
Trang 213. (5 3 + 3 5): 15 14.
3
1 1 10 27 75 3 48 3
5 20 2
1 5
1 5
1 2
3
1 1
2
1
= +
+ +
+ +
99 100
1
2 3
1 1
2
+ +
+ +
+ +
4
1 : 4
1 4 2
−
−
a a
a a
a
5)
b a
b a
b
b b a
b a b
a
b a
−
=
−
− +
2
II RÚT GỌN VÀ TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC
Bài 1 Cho biểu thức: A =
1
1 1
x x
13
=
x
x x
x x
x
a/ Rỳt gọn biểu thức A
b/ Tìm x để A < 2
c/ Tìm x nguyờn để A nguyờn
Bài 4 Cho biểu thức: P = + −
a
a a
1
1 1
1
a) Rút gọn P
b) Tìm a để P <7 − 4 3
a M
b/ So sỏnh giỏ trị của M với 1
Trang 3b) Xác định a để biểu thức A >
2 1
b) Tính giá trị của P với a = 9
2) Tìm giá trị của a để N = - 2016
+ +
3
2 2 : 9
3 3 3 3
2
x
x x
x x
x x
x P
2 : 1 2
2 1
2
a a
a
a a
a E
1 :
1
x x
Trang 4Cho x = 0 => y = b => (d) cắt trục tung tại A(0;b)Cho y =0 => x = -b/a => (d) cắt trục hoành tại B( -b/a;0)
a gọi là hệ số góc, b là tung độ gốc của (d)
4/ Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b
Cho x = 0 => y = b => A (0;b)Cho y =0 => x = -b/a => B( -b/a;0)
Vẽ đờng thẳng AB ta đợc đồ thị hàm số y = ax + b
Trang 55/ (d) đi qua A(xo; yo) yo= axo + b
6/ Gọi α là góc tạo bởi đờng thẳng và tia Ox Khi đó:
Tìm được x Thay giỏ trị của x vào (d) hoặc (d’) ta tìm được y
=> A(x; y) là TĐGĐ của (d) và (d’)
2 B ài tập
Bài 1 : Cho hàm số y = (m + 5)x+ 2m – 10
a) Với giá trị nào của m thì y là hàm số bậc nhất
b)Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến.
c) Tìm m để đồ thị hàm số đi qua điểm A(2; 3)
d)Tìm m để đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 9.
e) Tìm m để đồ thị đi qua điểm 10 trên trục hoành
f) Tìm m để đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số y = 2x -1 g)Chứng minh đồ thị hàm số luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi
m
h)Tìm m để khoảng cách từ O tới đồ thị hàm số là lớn nhất
Bài 2: Cho đờng thẳng y=2mx +3-m-x (d) Xác định m để:
a) Đờng thẳng d qua gốc toạ độ
b) Đờng thẳng d song song với đờng thẳng 2y- x =5
c) Đờng thẳng d tạo với Ox một góc nhọn
d) Đờng thẳng d tạo với Ox một góc tù
e) Đờng thẳng d cắt Ox tại điểm có hoành độ 2
f) Đờng thẳng d cắt đồ thị Hs y= 2x – 3 tại một điểm có hoành độ
Trang 62) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độbằng 3.
3) Tìm m để đồ thị của hàm số trên và các đồ thị của các hàm số y =-x + 2 ; y = 2x – 1 đồng quy
Bài 4 Cho hàm số y = (m – 1)x + m + 3.
1) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm
số y = -2x + 1
2) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4)
3) Tìm điểm cố định mà đồ thị của hàm số luôn đi qua với mọi m.4) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số tạo với trục tung và trụchoành một tam giác có diện tích bằng 1 (đvdt)
Bài 5 Cho hai điểm A(1 ; 1), B(2 ; -1).
1) Viết phơng trình đờng thẳng AB
2) Tìm các giá trị của m để đờng thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m +
2 song song với đờng thẳng AB đồng thời đi qua điểm C(0 ; 2)
Bài 6 Trên mặt phẳng tọa độ cho hai điểm B(4 ; 0) và C(− 1 ; 4)
a) Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua điểm C và song song với
đờng thẳng y=2x−3 Xác định tọa độ giao điểm A của đờng thẳng(d) với trục hoành Ox
b) Xác định các hệ số a và b biết đồ thị hàm số y = ax + b đi qua 2
điểm B và C Tính góc tạo bởi đờng thẳng BC và trục hoành Ox (làmtròn đến phút)
c) Tính chu vi của tam giác ABC (đơn vị đo trên các trục tọa độ làxentimét) (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)
Bài 7
1) Hàm số y= -2x +3 đồng biến hay nghịch biến ?
2) Tìm toạ độ các giao điểm của đờng thẳng y=-2x+3 với các trục
• Nếu a > 0 thì hàm số đồng biến khi x > 0 và nghịch biến khi x < 0.
• Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0.
Đồ thị của hàm số y = ax 2 (a ≠0):
• Là một Parabol (P) với đỉnh là gốc tọa độ 0 và nhận trục Oy làm trục đối xứng.
• Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phớa trờn trục hoành 0 là điểm thấp nhất của đồ thị.
• Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phớa dưới trục hoành 0 là điểm cao nhất của đồ thị.
Vẽ đồ thị của hàm số y = ax 2 (a ≠0):
• Lập bảng cỏc giỏ trị tương ứng của (P).
• Dựa và bảng giỏ trị → vẽ (P).
2 Tỡm giao điểm của hai đồ thị :(P): y = ax 2 (a≠0) và (D): y = ax + b:
• Lập phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (D): cho 2 vế phải của 2 hàm số bằng nhau → đưa vờ̀ pt bậc hai dạng ax2 + bx + c = 0.
• Giải pt hoành độ giao điểm:
+ Nếu ∆ > 0 ⇒ pt cú 2 nghiệm phõn biệt ⇒(D) cắt (P) tại 2 điểm phõn biệt.
+ Nếu ∆ = 0 ⇒ pt cú nghiệm kộp ⇒(D) và (P) tiếp xỳc nhau.
+ Nếu ∆ < 0 ⇒ pt vụ nghiệm ⇒(D) và (P) khụng giao nhau.
Trang 73 Xác định số giao điểm của hai đồ thị :(P): y = ax 2 (a≠0) và (D m ) theo tham số m:
• Lập phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (D m ): cho 2 vế phải của 2 hàm số bằng nhau → đưa về pt bậc hai dạng ax2 + bx + c = 0.
• Lập ∆ (hoặc ∆ ' ) của pt hoành độ giao điểm.
• Biện luận:
+ (D m ) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt khi ∆ > 0 → giải bất pt → tìm m.
+ (D m ) tiếp xúc (P) tại 1 điểm ∆ = 0 → giải pt → tìm m.
+ (D m ) và (P) không giao nhau khi ∆ < 0 → giải bất pt → tìm m.
a) (D m ) cắt (P) tại điểm có hoành độ bằng 1.
b) (D m ) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
c) (D m ) tiếp xúc (P) Xác định tọa độ tiếp điểm
Bài tập 2: Cho hai hàm số y = – 2x2 có đồ thị (P) và y = – 3x + m có đồ thị (D m ).
1 Khi m = 1, vẽ (P) và (D 1 ) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc Oxy Xác định tọa độ các giao điểm của chúng.
2 Xác định giá trị của m để:
a) (D m ) đi qua một điểm trên (P) tại điểm có hoành độ bằng 1
2
− .b) (D m ) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
c) (D m ) tiếp xúc (P) Xác định tọa độ tiếp điểm.
Bài tập 3: Cho hàm số y = – 2x2 có đồ thị (P).
1 Vẽ (P) trên một hệ trục tọa độ vuông góc
2 Gọi A( 2 7
3;
− − ) và B(2; 1).
a) Viết phương trình đường thẳng AB.
b) Xác định tọa độ các giao điểm của đường thẳng AB và (P).
3 Tìm điểm trên (P) có tổng hoành độ và tung độ của nó bằng – 6.
Bài tập 4: Cho hàm số y = 3
2
− x2 có đồ thị (P) và y = – 2x + 1
2 có đồ thị (D).
1 Vẽ (P) và (D) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc.
2 Xác định tọa độ các giao điểm của (P) và (D).
3 Tìm tọa độ những điểm trên (P) thỏa tính chất tổng hoành độ và tung độ của điểm đó
bằng – 4.
Bài tập 5: Cho hàm số y = 2
3 x 2 có đồ thị (P) và y = x + 5
3 có đồ thị (D).
1 Vẽ (P) và (D) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc.
2 Xác định tọa độ các giao điểm của (P) và (D).
3.Gọi A là điểm ∈ (P) và B là điểm ∈ (D) sao cho
Bài tập 6: Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, cho hai điểm A(1; –2) và B(–2; 3).
1 Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A, B.
2 Gọi (P) là đồ thị của hàm số y = –2x2
a) Vẽ (P) trên mặt phẳng tọa độ đã cho.
b) Xác định tọa độ các giao điểm của (P) và (d).
Bài tập 7: Vẽ đồ thị (P) của hàm số y = –2x2 trên mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy.
Trang 81 Gọi (D) là đường thẳng đi qua điểm A(–2; –1) và có hệ số góc k.
a) Viết phương trình đường thẳng (D).
b) Tìm k để (D) đi qua B nằm trên (P) biết hoành độ của B là 1.
Bài tập 8: Cho hai hàm số y = x2 có đồ thị (P) và y = x + 2 có đồ thị (D).
1 Vẽ (P) và(D) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc Oxy Xác định tọa độ các giao điểm của chúng.
2 Gọi A là điểm thuộc (D) có hoành độ bằng 5 và B là điểm thuộc (P) có hoành độ bằng –
2 Xác định tọa độ của A, B.
3 Tìm tọa độ của điểm I nằm trên trục tung sao cho: IA + IB nhỏ nhất.
Bài tập 9: Cho hàm số y = – x2 có đồ thị (P) và y = x – 2 có đồ thị (D).
a) Vẽ (P) và(D) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc Xác định tọa độ giao điểm của (P)
và (D) bằng phương pháp đại số.
b) Gọi A là một điểm thuộc (D) có tung độ bằng 1 và B là một điểm thuộc (P) có hoành độ bằng – 1 Xác định tọa độ của A và B.
c) Tìm tọa độ của điểm M thuộc trục hoành sao cho MA + MB nhỏ nhất.
Bài tập 10: Cho (P): y = x2 và (D): y = – x + 2.
1 Vẽ (P) và (D) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc Oxy Gọi A và B là các giao điểm của (P) và (D), xác định tọa độ của A, B.
2 Tính diện tích tam giác AOB (đơn vị đo trên trục số là cm).
3 CMR: Tam giác AOB là tam giác vuông.
Dạng 1: Giải hệ phương trình có bản và đưa về dạng cơ bản
Bài 1: Giải các hệ phương trình
3 2 4
y x
y x
= + 10 6 4
5 3 2
y x
y x
= +
− 14 2 5
0 2 4 3
y x
y x
3 5 2
y x
y x
−
= +
−
1 5 )
3 1
(
1 ) 3 1 ( 5
y x
y x
= + 5 3
3 , 0 1 , 0 2 , 0
y x
y x
=
0 10 3 2
y x y x
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:
=
− +
xy y
x
xy y
x
4 ) 5 )(
5 4
(
6 ) 3 2 )(
2 3
=
− + +
5 ) ( 2 ) (
4 ) ( 3 ) ( 2
y x y x
y x y x
Trang 9− +
+
−
= +
−
12 ) 1 ( 3 ) 3 3 )(
1 (
54 ) 3 ( 4 ) 4 2 )(
3 2
(
x y y
x
y x y
−
+
= +
−
7
5 6 3
1
2 4
27 5
3
5 2
x y y x
x y
x y
32 ) 2 )(
2 ( 2
1 2
1
50 2
1 ) 3 )(
2 ( 2
1
y x xy
xy y
−
=
− +
xy y
x
xy y
x
) 1 )(
10 (
) 1 )(
20 (
Dạng 2 Giải các hệ phương trình sau bằng cách đặt ẩn số phụ và hệ phương trình chứa tham số :
= + 1 15 8
12
1 1 1
y x
y x
− +
= +
+ +
1 2
3 2
4
3 2
1 2
2
x y y x
x y y x
− +
= +
− +
9 4
5 1 2
4 4
2 1 3
y x
x
y x
6 2
3
13
2 2
2 2
y x
y x
11 3
2
16 2
3
y x
y x
Bài tập 2: Cho hệ phương trình
= +
−
= + 4
10 4
my x
m y
mx
(m là tham số)
a) Giải hệ phương trình khi m = 2
b) Giải và biện luận hệ phương trình theo m
c) Xác định các giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x> 0, y >0
d) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm (x;y) với x, y là các số nguyên dương
CHUYÊN ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI - HỆ THỨC VI-ÉT
A LÝ THUYẾT
I-Cách giải phương trình bậc hai:
* Khái niệm :
Phương trình bậc hai một ẩn có dạng ax 2 + bx + c = 0 trong đó a, b, c là các số thực và a ≠ 0.
1/ TQ Giải pt bậc hai khuyết c:
Trang 10Nếu −c
a < 0 ⇒ pt vô nghiệm.
3/Giải pt bậc hai đầy đủ : ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) ∆ = b 2 - 4ac
* Nếu ∆ > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = -b -
* Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm
*Chú ý : Trong trường hợp hệ số b là số chẵn thì giải phương trình trên bằng công thức
* Nếu ∆ ' < 0 thì phương trình vô nghiệm
4/ Phương trình quy về phương trình bậc hai
a/ Phương trình trùng phương
a) Dạng tổng quát:
Phương trình có dạng: ax4+bx2+ c = 0 trong đó x là ẩn số; a, b, c là các hệ số, a≠ 0
b) Cách giải:
• Loại phương trình này khi giải ta thường dùng phép đổi biến x2 = t ( t ≥ 0) từ
đó ta đưa đến một phương trình bậc hai trung gian : at2+ bt + c =0
• Giải phương trình bậc hai trung gian này, rồi sau đó trả biến: x2 = t ( Nếu nhữnggiá trị tìm được của t thoả mãn t ta sẽ tìm được nghiệm số của phương trình ban đầu)
b/ phương trình tích
Dạng tổng quát: A.B = 0 ⇔ =B A=00
Cách giải: Để giải một phương trình bậc lớn hơn 2 thường dùng phương pháp biến đổi về phương trình tích ở đó vế trái là tích của nhân tử còn về phải bằng 0
c/ Phương trình chứa ẩn ở mẫu
- Tìm điều kiện xác định của phương trình chính là đặt điều kiện để phương trình có nghĩa ( giá trị của mẫu thức phải khác không)
- Khử mẫu ( nhân cả hai vế của phương trình với mẫu thức chung của 2 vế)
- Mở dấu ngoặc ở cả hai vế của phương trình chuyển vế: chuyển những hạng tử chứa ẩn về một vế , những hạng tử không chứa ẩn về vế kia)
- Thu gọn phương trình về dạng tổng quát đã học
- Nhận định kết quả và trả lời ( loại bỏ những gía trị của ẩn vừa tìm được không thuộc vào tập xác định của phương trình)
Trang 11Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax2+bx+c = 0 (a ≠ 0) có:
1 Có nghiệm (có hai nghiệm) ⇔∆≥ 0
2 Vô nghiệm ⇔∆ < 0
3 Nghiệm duy nhất (nghiệm kép, hai nghiệm bằng nhau) ⇔∆ = 0
4 Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau) ⇔∆ > 0
5 Hai nghiệm cùng dấu ⇔∆≥ 0 và P > 0
6 Hai nghiệm trái dấu ⇔∆ > 0 và P < 0 ⇔ a.c < 0
7 Hai nghiệm dương(lớn hơn 0) ⇔∆≥ 0; S > 0 và P > 0
8 Hai nghiệm âm(nhỏ hơn 0) ⇔∆≥ 0; S < 0 và P > 0
9 Hai nghiệm đối nhau ⇔∆≥ 0 và S = 0
10.Hai nghiệm nghịch đảo nhau ⇔∆≥ 0 và P = 1
11 Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn ⇔ a.c < 0 và S < 0
12 Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn ⇔ a.c < 0 và S > 0
IV Tính giá trị các biểu thức nghiệm
Đối các bài toán dạng này điều quan trọng nhất là phải biết biến đổi biểu thức nghiệm đã cho về biểu thức có chứa tổng nghiệm S và tích nghiệm P để áp dụng hệ thức VI-ÉT rổi tínhgiá trị của biểu thức
Trang 12Giả sử x0 là nghiệm chung của hai phương trình Thay x = x0 vào 2 phương trình ta được hệ với ẩn là các tham số.
Giải hệ tìm tham số m
Thử lại với tham số vừa tìm, hai phương trình có nghiệm chung hay không?
B-BÀI TẬP:
I-CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN Bài 1 Giải các phương trình sau :
A /2
x 5 + + = 2 x
Bài 2: Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức nghiệm
a) Cho phương trình : x2 − + = 8x 15 0 Không giải phương trình, hãy tính
Bài 3:Cho phương trình x2 − 2mx m+ − = 2 0 (x là ẩn số)
a) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình
Tìm m để biểu thức M = 2 2
1 2 1 2
24 6
− + −
x x x x đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 4:
Cho phương trình x2 – 2x – 3m2 = 0, với m là tham số
1) Giải phương trình khi m = 1
2) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 khác 0 và thỏa điều kiện 1 2
2 1
8 3
− =
x x
Bài 5
Trang 13Cho phương trình: x2 – 2(m+2)x + m2 + 4m +3 = 0.
1) Chứng minh rằng : Phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi giá trị của m
2) Tìm giá trị của m để biểu thức A = 2 2
Cho phương trình x2 – 2(m – 3)x – 1 = 0
a) Giải phương trình khi m = 1
b) Tìm m để phương trình có nghiệm x1 ; x2 mà biểu thức
A = x12 – x1x2 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó
Bài 10:
1 Giải phương trình x 2 – 7x – 8 = 0
2 Cho phương trình x2 – 2x + m – 3 = 0 với m là tham số Tìm các giá trị của m để phươngtrình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện 3 3
1 2 1 2
x x +x x = −6
Bài 11.
Cho phương trình x 2 − 2(m 1)x m 2 0 + + − = , với x là ẩn số, m R ∈
a Giải phương trình đã cho khi m = – 2
b Giả sử phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x 1 và x 2 Tìm hệ thức liên hệgiữa x 1 và x 2 mà không phụ thuộc vào m
Bài 12
Cho phương trình (ẩn x): x2– ax – 2 = 0 (*)
1 Giải phương trình (*) với a = 1
2 Chứng minh rằng phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của a
3 Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (*) Tìm giá trị của a để biểu thức:
1 ( 1 2)( 2 2) 2
x + x + x + +x có giá trị nhỏ nhất.
Bài 13.
Cho phương trình x 2 – 3x + m – 1 = 0 (m là tham số) (1).
a) Giải phương trính (1) khi m = 1.
b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (1) có nghiệm kép.
c) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (1) có hai nghiệm x 1 ; x 2 là độ dài cáccạnh của một hình chữ nhật có diện tích bằng 2 (đơn vị diện tích)
Bài 14
Trang 14Cho phương trình: x2 − 2(m+ 1)x+ 2m= 0 (1) (với ẩn là x).
1) Giải phương trình (1) khi m=1
2) Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
3) Gọi hai nghiệm của phương trình (1) là x1; x2 Tìm giá trị của m để x1; x2là độdài hai cạnh của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 12
Bài 15
1 Cho phương trình x - 2m - (m + 4) = 0 2 2 (1), trong đó m là tham số
a) Chứng minh với mọi m phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt:
b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1) Tìm m để 2 2
1 2
x + x = 20.
2 Cho hàm số: y = mx + 1 (1), trong đó m là tham số
a) Tìm m để đồ thị hàm số (1) đi qua điểm A (1;4) Với giá trị m vừa tìm được, hàm số (1) đồng biến hay nghịch biến trên R?
b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) song song với đường thẳng (d) có phương trình: x + y +
3 = 0
Bài 16 Cho hai phương trình: x2+ + =x m 0 và x2+mx+ =1 0
Xác định m để hai phương trình trên có nghiệm chung ( Đáp số: m = - 2, nghiệm chung là
x = 1)
Câu 17 Xác định m để 2 phương trình sau có nghiệm chung.
x +mx+ = và x2 +2x m+ =0( Đáp số: m = - 3 nghiệm chung là x = 1)
Bài 18: Cho phương trình: x2 - mx + 2m - 3 = 0
a) Giải phương trình với m = - 5
b) Tìm m để phương trình có nghiệm kép
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
d)Tìm hệ thức giữa hai nghiệm của phương trình không phụ thuộc vào m
e) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
Bài 19: Cho phương trình bậc hai(m - 2)x2 - 2(m + 2)x + 2(m - 1) = 0
a) Giải phương trình với m = 3
b) Tìm m để phương trình có một nghiệm x = - 2
c) Tìm m để phương trình có nghiệm kép
d) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m
e) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
f) Khi phương trình có một nghiệm x = -1 tìm giá trị của m và tìm nghiệm còn lại
Bài 20:Cho phương trình: x2 - 2(m- 1)x + m2 - 3m = 0
a) Giải phương trình với m = - 2
b) Tìm m để phương trình có một nghiệm x = - 2 Tìm nghiệm còn lại
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thảo mãn: x12 + x22 = 8
e) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x12 + x22
Bài 21: Cho phương trình: mx2 - (m + 3)x + 2m + 1 = 0
a) Tìm m để phương trình có nghiệm kép
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
c) Tìm m để phương trình có hiệu hai nghiệm bằng 2
d) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1và x2 không phụ thuộc m
Bài tập 22: Cho phương trình: x2 - (2a- 1)x - 4a - 3 = 0
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của a
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào a
c) Tìm giá trị nhỏ nhật của biểu thức A = x12 + x22
Bài 23: Cho phương trình: x2 - (2m- 6)x + m -13 = 0
Trang 15a) Chứng minh rằng phương trình luụn cú hai nghiệm phõn biệt
b) Tìm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức A = x1 x2 - x12 - x22
Bài 24: Cho phương trình: x2 - 2(m+4)x + m2 - 8 = 0
a) Tìm m để phương trình cú hai nghiệm phõn biệt
b) Tìm m để A = x12 + x22 - x1 - x2 đạt giỏ trị nhỏ nhất
c) Tìm m để B = x1 + x2 - 3x1x2 đạt giỏ trị lớn nhất
d) Tìm m để C = x12 + x22 - x1x2
Bài 25: Cho phương trình: ( m - 1) x2 + 2mx + m + 1 = 0
a) Giải phương trình với m = 4
b) Tìm m để phương trình cú hai nghiệm trỏi dấu
c) Tìm m để phương trình cú hai nghiệm x1 và x2 thoả món: A = x12 x2 + x22x1
d) Tìm hệ thức liờn hệ giữa hai nghiệm khụng phụ thuộc vào m
Bài 26: Tìm giỏ trị của m để cỏc nghiệm x1, x2 của phương trìnhm x2 - 2(m - 2)x + (m - 3) =
0 thoả món điờ̀u kiện 2 1
2
2
1 +x =
x
Bài 27:Cho phương trình x2 - 2(m - 2)x + (m2 + 2m - 3) = 0 Tìm m để phương trình cú 2
nghiệm x1, x2 phõn biệt thoả món 1 1 1 5 2
2 1
x x x x
+
= +
Bài 28:Cho phương trình: mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0 (m là tham số)
a) Xỏc định m để cỏc nghiệm x1; x2 của phương trình thoả món
x1 + 4x2 = 3
b) Tìm một hệ thức giữa x1; x2 mà khụng phụ thuộc vào m
Bài 29: Cho phương trình x2 - (m + 3)x + 2(m + 1) = 0 (1)
Tìm giỏ trị của tham số m để phương trình cú (1) cú nghiệm x1 = 2x2
Bài 30: Gọi x1, x2 là cỏc nghiệm của phương trình: x2 - (2m - 1)x + m – 2 = 0
Tìm giỏ trị lớn nhất của biểu thức: A =x1x2 - 2x1 - 2x2
CHUYấN ĐỀ 4: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRèNH HOẶC HỆ PHƯƠNG TRèNHA.
Túm tắt lớ thuyết
Bớc 1: Lập phơng trình hoặc hệ phơng trình:
a) Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn
b) Biểu diễn các đại lợng cha biết thông qua ẩn và các địa ợng đã biết
l-c) Lập phơng trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lợng
Trang 166 số thứ hai.
Bài 3: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết tổng các chữ số
của nó là 7 Nếu đổi chỗ hai chữ số hàng đơn vị và hàng
chụccho nhau thì số đó giảm đi 45 đơn vị
Bài 4: Tìm hai số hơn kém nhau 5 đơn vị và tích của chúng
bằng 150
Bài 5: Tìm số tự nhiên có 2 chữ số, biết rằng số đó bằng lập
ph-ơng của số tạo bởi chữ số hàng vạn và chữ số hàng nghìn của số
đã cho theo thứ tự đó
Bài 6: Mẫu số của một phân số lớn hơn tử số của nó là 3 đơn vị
Nếu tăng cả tử và mẫu của nó thêm 1 đơn vị thì đợc một phân
số mới bằng 1
2 phân số đã cho Tìm phân số đó?
Bài 7: Tổng các chữ số của 1 số có hai chữ số là 9 Nếu thêm vào
số đó 63 đơn vị thì số thu đợc cũng viết bằng hai chữ số đó
nh-ng theo thứ tự nh-ngợc lại Hãy tìm số đó?
Bài 8: Tìm hai số tự nhiên liên tiếp có tổng các bình phơng của
nó là 85
Đáp số:
Bài 1: Số đó là 19;
Bài 2: Hai số đó là 15 và 36
Trang 17v = v1 + v2 Vân tốc ca nô khi ngợc dòng là v = v1 - v2
*Bài tập:
1 Một ô tô khởi hành từ A với vận tốc 50 km/h Qua 1 giờ 15 phút ô tô thứ hai cũng khởi hành từ A đi cùng hớng với ô tô thứ nhất với vận tốc 40 km/h Hỏi sau mấy giờ thì ô tô gặp nhau, điểm gặp nhau cách A bao nhiêu km?
2 Một ca nô xuôi dòng 50 km rồi ngợc dòng 30 km Biết thời gian đi xuôi dòng lâu hơn thời gian ngợc dòng là 30 phút và vận tốc đi xuôi dòng lớn hơn vận tốc đi ngợc dòng là 5 km/h
Tính vận tốc lúc đi xuôi dòng?
3 Hai ô tô cùng khởi hành cùng một lúc từ A đến B cách nhau
150 km Biết vận tốc ô tô thứ nhất lớn hơn vận tốc ô tô thứ hai là 10km/h và ô tô thứ nhất đến B trớc ô tô thứ hai là 30 phút Tính vânltốc của mỗi ô tô
4 Một chiếc thuyền đi trên dòng sông dài 50 km Tổng thời gian xuôi dòng và ngợc dòng là 4 giờ 10 phút Tính vận tốc thực củathuyền biết rằng một chiếc bè thả nổi phải mất 10 giờ mới xuôi hếtdòng sông
5 Một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 108 km Cùng lúc
đó một ô tô khởi hành từ B đến A với vận tốc hơn vận tốc xe đạp
là 18 km/h Sau khi hai xe gặp nhau xe đạp phải đi mất 4 giờ nữa mới tới B Tính vận tốc của mỗi xe?
6 Một ca nô xuôi dòng từ A đến B cách nhau 100 km Cùng lúc đó một bè nứa trôi tự do từ A đến B Ca nô đến B thì quay lại
A ngay, thời gian cả xuôi dòng và ngợc dòng hết 15 giờ Trên đờng
ca nô ngợc về A thì gặp bè nứa tại một điểm cách A là 50 km Tìm vận tốc riêng của ca nô và vận tốc của dòng nớc?
7 Xe máy thứ nhất đi trên quảng đờng từ Hà Nội về Thái Bình hết
3 giờ 20 phút Xe máy thứ hai đi hết 3 giờ 40 phút Mỗi giờ xe máy thứ nhất đi nhanh hơn xe máy thứ hai 3 km
Tính vận tốc của mỗi xe máy và quảng đờng từ Hà Nội đến Thái Bình?
8 Đoạn đờng AB dài 180 km Cùng một lúc xe máy đi từ A và
ô tô đi từ B xe máy gặp ô tô tại C cách A 80 km Nếu xe máy khởi hành sau 54 phút thì chúng gặp nhau tại D cách A là 60 km Tính vận tốc của ô tô và xe máy ?
9 Một ô tô đi trên quảng đờng dai 520 km Khi đi đợc 240
km thì ô tô tăng vận tốc thêm 10 km/h nữa và đi hết quảng đờng
Trang 18còn lại T ính vận tốc ban đầu của ô tô biết thời gian đi hết quảng
3 Hai đội công nhân cùng đào một con mơng Nếu họ cùng làm thì trong 2 ngày sẽ xong công việc Nếu làm riêng thì đội haihoàn thành công việc nhanh hơn đội một là 3 ngày Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội phải làm trong bao nhiêu ngày để xong công việc?
4 Hai chiếc bình rỗng giống nhau có cùng dung tích là 375 lít ậ mỗi binmhf có một vòi nớc chảy vào và dung lợng nớc chảy trong một giờ là nh nhau Ngời ta mở cho hai vòi cùng chảy vào bình nhng sau 2 giờ thì khoá vòi thứ hai lại và sau 45 phút mới tiếptục mở lại Để hai bình cùng đầy một lúc ngời ta phải tăng dung l-ợng vòi thứ hai thêm 25 lít/giờ.Tính xem mỗi giờ vòi thứ nhất chảy
đợc bao nhiêu lít nớc
5 Hai ngời thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong
Nếu ngời thứ nhất làm 3 giờ, ngời thứ hai làm 6 giờ thì chỉ hoàn thành đợc 25% công việc Hỏi nếu làm riêng thì mỗi ngời hoàn thành công việc trong bao lâu?
6 Hai thợ cùng đào một con mơng thì sau 2giờ 55 phút thì xong việc Nếu họ làm riêng thì đội 1 hoàn thành công việc
nhanh hơn đội 2 là 2 giờ Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội phải làmtrong bao nhiêu giờ thì xong công việc?
7 Hai ngời thợ cùng sơn cửa cho một ngôi nhà thì 2 ngày xongviệc Nếu ngời thứ nhất làm trong 4 ngày rồi nghỉ ngời thứ hai làm tiếp
Trang 19trong 1 ngày nữa thì xong việc Hỏi mỗi ngời làm một mình thì bao lâu xong công việc?
8 Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 1000 sản phẩm trong một thời gian dự định
Do ỏp dụng kỹ thuật mới nờn tổ I vượt mức kế hoạch 15% và tổ hai vượt mức 17% Vì vậy trong thời gian quy định cả hai tổ đó sản xuất được tất cả được 1162 sản phẩm Hỏi số sản phẩm của mỗi tổ là bao nhiờu?
9 Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định
Do ỏp dụng kỹ thuật mới nờn tổ I đó sản xuất vượt mức kế hoạch là 18% và tổ II vượtmức 21% Vì vậy trong thời gian quy định họ đó hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm.Hỏi số sản phẩm được giao của mỗi tổ là bao nhiờu
4) Mỗi giờ vòi thứ nhất chảy đợc 75 lít
Dạng 4: Toán có nội dung hình học
= ( x là chiờ̀u cao, y là cạnh đỏy tương ứng)
- Độ dài cạnh huyờ̀n : c2 = a2 + b2 (c là cạnh huyờ̀n; a,b là cỏc cạnh gúc vuụng)
Bài 3: Một cỏi sõn hình tam giỏc cú diện tớch 180 m2 Tớnh cạnh đỏy của sõn biết rằng nếu tăng cạnh đỏy 4 m và giảm chiờ̀u cao tương ứng 1 m thì diện tớch khụngđổi?
Bài 4 : Tớnh cỏc kớch thước của hình chữ nhật cú diện tớch 40 cm2 , biết rằng nếu tăng mỗi kớch thước thờm 3 cm thì diện tớch tăng thờm 48 cm2
Bài 5: Cạnh huyờ̀n của một tam giỏc vuụng bằng 5 m Hai cạnh gúc vuụng
hơn kộm nhau 1m Tớnh cỏc cạnh gúc vuụng của tam giỏc?
Trang 20+ Dân số tỉnh A năm ngoái là a, tỷ lệ gia tăng dân số là x% thì dân số năm nay của tỉnh A là
là bao nhiêu phần trăm trong một năm?
Kết quả:
Bài 1: Trung bình dân số tăng 1,2% Bài 2: Lãi suất cho vay là 9% trong 1 năm
Bài tập tổng hợp
Bài 1: Một phòng họp có 240 ghế được xếp thành các dãy có số ghế bằng nhau Nếu
mỗi dãy bớt đi một ghế thì phải xếp thêm 20 dãy mới hết số ghế Hỏi phòng họp lúc đầu được xếp thành bao nhiêu dãy ghế
Bài 2: Hai giá sách có 400 cuốn Nếu chuyển từ giá thứ nhất sang giá thứ hai 30
cuốn thì số sách ở giá thứ nhất bằng 3
5 số sách ở ngăn thứ hai Tính số sách ban đầu của mỗi ngăn?
Bài 3: Người ta trồng 35 cây dừa trên một thửa đất hình chữ nhật có chiều dài 30 m
chiều rộng là 20 m thành những hàng song song cách đều nhau theo cả hai chiều Hàng cây ngoài cùng trồng ngay trên biên của thửa đất Hãy tính khoảng cách giữa hai hàng liên tiếp?
Bài 4: Hai người nông dân mang 100 quả trứng ra chợ bán Số trứng của hai người
không bằng nhau nhưng số tiền thu được của hai người lại bằng nhau Một người nói với người kia: “ Nếu số trứng của tôi bằng số trứng của anh thì tôi bán được 15 đồng
” Người kia nói “ Nếu số trứng của tôi bằng số trứmg của anh tôi chỉ bán được 62
3
đồng thôi” Hỏi mỗi người có bao nhiêu quả trứng?
Bài 5: Một hợp kim gồm đồng và kẽm trong đó có 5 gam kẽm Nếu thêm 15 gam
kẽm vào hợp kim này thì được một hợp kim mới mà trong đó lượng đồng đã giảm so với lúc đầu là 30% Tìm khối lượng ban đầu của hợp kim?
Kết quả:
Bài 1: Có 60 dãy ghế Bài 2: Giá thứ nhất có 180 quyển Giá thứ hai có 220 quyển
Bài 3: Khoảng cách giữa hai hàng là 5m Bài 4: Người thứ nhất có 40 quả Người thứ hai có 60 quả
Bài 5: 25 gam hoặc 10 gam