L11 vĩnh yên vĩnh phúc KT chuyên đề lần 4 1718 kho tai lieu THCS THPT

Biết thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng IJG là hình bình hành.. Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng IJG là tứ giác IJHK.A. Mặt phẳng P qua M và song song với các đường t

Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc

THPT Vĩnh Yên

Mã đề 203

ĐỀ KIỂM TRA CHUYÊN ĐỀ LẦN 4

Môn Toán – Lớp 11 Năm học 2017-2018

Thời gian làm bài: 90 phút Câu 1. Cho OMuuuur= − −( 2; 1 ,) ONuuur =(3; 1− ) Tính góc của (OM ONuuuur uuur, )

A 45 0 B 135 0 C 60 0 D −1350

Lời giải

cos ,

OM ONuuuur uuur = − = −

Câu 2. Cho hàm số y=sin 2x Hãy chọn câu đúng

A 4y+y′′=0 B 4y y− ′′=0 C y = y′tan 2x D 2 ( )2

4

y + y′ =

Lời giải

Ta có y′=2cos 2x⇒ y′′= −4sin 2x ⇒4y y+ ′′=0

Câu 3. Cho hàm số y= x4 +2x2 −1 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M(−1; 2) là:

Lời giải

⇒Phương trình tiếp tuyến là: y= −8(x+ + = − −1) 2 8x 6

Câu 4. Hàm số y= 2x x+31

− có đạo hàm là:

A ( )2

4 5 3

x y x

−

′ =

1 3

y x

′ =

7 3

y x

′ =

7 3

y x

−

′ =

Lời giải

Ta có ( )2

7 3

y x

−

′ =

Câu 5. Nghiệm của phương trình cosx=1 là

2

x= +π k π k∈¢

B x= +π k2 ,π k∈¢ C x k= 2 ,π k∈¢ D x k k= π, ∈¢

Lời giải

Ta có cosx= ⇔ =1 x k2 ,π k∈¢

Câu 6. Với giá trị nào của m thì bất phương trình x2− + ≤x m 0vô nghiệm?

A m<1 B 1

4

4

m<

Lời giải Chọn B

Bất phương trình 2

0

1 4m 0

>





1 4

m

Câu 7. Nghiệm của phương trình cos 2x+5sinx− =4 0

A x k= 2π B 2

2

x= +π k π

2

x= +π kπ

2

x= − +π kπ

Lời giải Chọn B

cos 2x+5sinx− =4 0⇔ −1 2sin2 x+5sinx− =4 0 ⇔ −2sin2x+5sinx− =3 0

( )

sin 1

3 sin

2

x

=





=



2 2

x π k π

Câu 8. Đạo hàm bậc 21của hàm số f x( ) =cos(x a+ ) là

A ( )21 ( )

sin

2

f x = − x a+ +π 

( ) 21 ( )

sin

2

f x = x a+ +π 

C ( )21 ( )

cos

2

f x = x a+ +π 

( ) 21 ( )

cos

2

f x = − x a+ +π 

Lời giải Chọn C

( ) cos( ) sin

2

f x = x a+ = x a+ +π

( ) cos

2

f x′ = x a+ +π 

2

sin

2

Tổng quát: ( )( ) sin ( 1)

2

*

n

Vậy ( )21 ( ) 22

sin

2

f x = x a+ + π

  = −sin x a( + ) cos

2

x a π

Câu 9. Đội học sinh giỏi trường THPT Lý Thái Tổ gồm có 8 học sinh khối 12 , 6 học sinh khối 11 và

5 học sinh khối 10 Chọn ngẫu nhiên 8 học sinh Xác suất để trong 8 học sinh được chọn có đủ

3 khối là

A 35582

71128

71131

2092

2223.

Lời giải

Chọn 8 học sinh ⇒ Ω =C198 =75582

Gọi A là biến cố trong 8 học sinh được chọn có đủ 3 khối.

A

⇒ là biến cố trong 8 học sinh được chọn không có đủ 3 khối

TH1: Không có khối 10 Ta chọn 8 học sinh trong khối 11 và 12, có 8

14

C cách.

TH2: Không có khối 11 Ta chọn 8 học sinh trong khối 10 và 12, có C cách.138

TH3: Không có khối 12 Ta chọn 8 học sinh trong khối 10 và 11, có 8

11

C cách.

Vì trường hợp cả 8 học sinh được chọn đều thuộc khối 12 được tính 2 lần

14 13 11 8 4454

75582 2223

Câu 10. Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số y=2 x− +1 3x −2?

A (1; 1− ) B (− −2; 10) C (0; 4− ) D ( )2;6

Lời giải Chọn D

A: 2 1 1 3 1 2 1− + − = ≠ − ⇒1 (1; 1− ) không thuộc đồ thị hàm số đã cho

B: 2 2 1 3 2 2 10− − + − − = ≠ − ⇒10 (− −2; 10)không thuộc đồ thị hàm số đã cho

C: 2 0 1 3 0 2 0− + − = ≠ − ⇒4 (0; 4− ) không thuộc đồ thị hàm số đã cho

D: 2 2 1 3 2 2 6− + − = ⇒( )2;6 thuộc đồ thị hàm số đã cho

Câu 11. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang Gọi , I J lần lượt là trung điểm của các

cạnh AD BC và , G là trọng tâm tam giác SAB Biết thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (IJG là hình bình hành Hỏi khẳng định nào sau đây đúng?)

A 2

3

3

2

AB= CD D AB=3CD.

Lời giải

Ta có ( ) ( ) ,

/ /

IJ AB







d

⇒ đi qua G song song với AB cắt SA tại K , cắt SB tại H.

Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (IJG là tứ giác ) IJHK

Ta có KH / /IJ ⇒IJHK là hình thang

Để IJHK là hình bình hành ⇔IJ =KH

Vì G là trọng tâm SAB 2 2

Mặt khác

2

Ab CD

3

AB CD

Câu 12. Cho tứ diện ABCD M là một điểm bất kỳ nằm trên đoạn AC (khác ,A C ) Mặt phẳng ( )P

qua M và song song với các đường thẳng AB CD Thiết diện của , ( )P với tứ diện đã cho là

hình gì?

A Hình chữ nhật B Hình thang C Hình vuông D Hình bình hành.

Lời giải

Trong mp (ABC , qua M kẻ đường thẳng song song với AB , cắt BC tại N )

Trong mp (ACD , qua M kẻ đường thẳng song song với ) CD , cắt AD tại Q

Trong mp (BCD , qua M kẻ đường thẳng song song với CD , cắt BD tại P )

⇒ Thiết diện của ( )P với tứ diện là tứ giác MNPQ

/ / / / / / / /





 ⇒MNPQ là hình bình hành.

Câu 13. Hệ phương trình 2 2

1 5

x y

+ =



 có bao nhiêu nghiệm?

Lời giải

2 2

1 5

x y

+ =



1

x y

+ =





1 2

x y xy

+ =





,

x y

⇒ là nghiệm của phương trình t2− − =t 2 0 ⇔  =t t = −21

Vậy hệ phương trình có hai tập nghiệm (−1;2) và (2; 1− )

Câu 14. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tròn ( )C x: 2+y2+2x−4y− =4 0 Ảnh

của đường tròn ( )C qua phép vị tự tâm O tỉ số k = −2 thì:

A ( ) (2 )2

x− + y+ =

C ( ) (2 )2

x− + y+ =

Lời giải

( )C có tâm I(−1; 2) và bán kính R=3

O

V− I a J ⇒OJuuur= − OIuur⇒J −

( )C′ là ảnh của ( )C qua 2

O

V− sẽ có tâm J(2; 4− ) và bán kính R′ = −2R=6 ( ) ( ) (2 )2

C′ x− + y+ =

Câu 15. Cho dãy số có các số hạng đầu là: 2 3 4 5

1 1 1 1 1

; ; ; ; ;

3 3 3 3 3 K Số hạng tổng quát của dãy số này là?

A 11

3

n n

3

n n

3

n n

u = + D 1 1 1

3 3

u = +

Lời giải

Ta có: 1 1

3

u = và 1 12 : 1

3 3 3

q= = nên 1 1 1 1

3 3 3

u = − =

Câu 16. Cho tứ diện ABCD có AB CD a= = Gọi M , N lần lượt là trung điểm AD và BC

Xác định độ dài đoạn thẳng MN để góc giữa hai đường thẳng AB và MN bằng 30°

A

2

a

4

a

3

a

2

a

Lời giải

Gọi P là trung điểm AC

Ta có NP/ /AB MP CD à , / /

2

a

NP MP= = ( theo tính chất đường trung bình) (·AB MN, ) (·NP MN, )

·

2 2 2

cos

2

MN

MNP

a

·

30

150

MNP

AB MN

MNP

= ° ⇒ 



N

A

B

C

D M

P

· 30 3 3

a

2

MN MNP

a

= ° ⇒ = − (vô nghiệm)

Câu 17. Cho hình vuông ABCD cạnh a Mệnh đề nào sau đây sai?

A uuur uuurAB AC a = 2 B (uuur uuur uuur uuurAB CD BC AD a+ + ) = 2.C uuur uuurAB CD a = 2 D uuur uuurAB AD. =0

Lời giải

2 c os180

AB CD AB CD= ° = −a

uuur uuur

Vậy C là mệnh đề sai

Câu 18. Phương trình tiếp tuyến của hàm số y= x x−12

+ tại điểm có hoành độ bằng 1− là

Lời giải

( )2

x

x= − ⇒ = −y

( )1 3

Phương trình tiếp tuyến của hàm số 1

2

x y x

−

= + tại điểm có hoành độ bằng 1− là

Câu 19. Htrong khoảng 0;

2

π

  phương trình

2 sin 4x+3sin 4 cos 4x x=0có bao nhiêu nghiệm?

Lời giải

sin 4 3sin 4 cos 4 0 sin 4 sin 4 x 3cos 4 x 0

tan 4 3

x

x

=



sin 4 0

4

k

D

A

B

C

( )

1 tan 4 3 arctan 3

k

Htrong khoảng 0;

2

π

  phương trình

2 sin 4x+3sin 4 cos 4x x=0có các nghiệm là

4

x=π

, 1arctan 3( )

Câu 20. Xét tính chẵn, lẻ của hai hàm số f x( ) = + − −x 2 x 2 ,g x( ) = − x

A f x là hàm số lẻ,( ) g x là hàm số lẻ.( )

B f x là hàm số chẵn,( ) g x là hàm số chẵn.( )

C f x là hàm số chẵn,( ) g x là hàm số lẻ.( )

D f x là hàm số lẻ,( ) g x là hàm số chẵn.( )

Lời giải

Tập xác định của các hàm số y= f x( ) và y g x= ( ) là D=¡

 Với ∀ ∈ ⇒ − ∈x ¡ x ¡

 f ( )− = − + − − − = −x x 2 x 2 f x( ) x∀ ∈¡ Suy ra f x là hàm số lẻ.( )

g − = − − =x x g x ∀ ∈x ¡ Suy ra g x là hàm số chẵn.( )

Câu 21. Trong một hộp đựng 7 bi đỏ, 5 bi xanh và 3 bi vàng, lấy ngẫu nhiên 3 viên bi Tính xác suất để

3 viên bi lấy được đều màu đỏ

A 1

3

7

1 5

Lời giải

Không gian mẫu: 3

15

C

Số cách thuận lợi để lấy được 3 viên bi màu đỏ là: C73

Xác suất cần tìm:

3 7 3 15

1 13

=

C C

Câu 22. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm ( 2;4), ( 6;1)A − B − là

A 3x−4y+ =8 0. B 3x−4y+22 0= .

C 3x−4y−22 0= . D 3x+4y− =10 0.

Lời giải

Ta có: uuurAB= − −( 4; 3)

Đường thẳng AB nhận nr=(3; 4)− làm véc tơ pháp tuyến

Đường thẳng AB đi qua điểm ( 2; 4) A − nên có phương trình là: 3(x+ −2) 4(y− =4) 0

Hay AB: 3x−4y+22 0=

Câu 23. Tập nghiệm của phương trình

2 4 2

2 2

−

x

A { }1 B { }0;1 C { }2 D { }5

Lời giải

ĐK: x>2

Phương trình tương đương với: 2 4 2 2 2 5 0 0 ( )

5

=



x

Vậy S={ }5

Câu 24. Tính 2

2 3

I lim

−

=

n

A I = −∞ B I =1 C I = +∞ D I =0

Lời giải

2 2

2

2 3

2 3

3 1

−

−

I

n n (Bậc của tử nhỏ hơn bậc mẫu nên giới hạn bằng 0 ⇒ D

Câu 25. Giới hạn

2 3

2 lim

1

→+∞

+ +

x

x

x có kết quả là

Lời giải

3

3

1 2 2

1

+

x

x

Câu 26. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng : d x−2y+ =1 0, phép vị tự tâm I( )0;1

tỉ số k= −2 biến đường thẳng d thành đường thẳng d′, phép đối xứng trục Ox biến đường thẳng d′ thành đường thẳng d Khi đó, phép đồng dạng biến đường thẳng thẳng d thành1 đường thẳng d có phương trình là1

A x+2y+ =8 0 B 2x y− + =4 0 C x+2y+ =4 0 D x+2y− =4 0

Lời giải

Lấy hai điểm A( )1;1 và B(−1;0) thuộc đường thẳng :d x−2y+ =1 0

Ta có V(I; 2−)( )A =A′⇔uurIA′= −2IMuuur⇒A′(−2;1); A1=Đ Ox( )A′ ⇒A1(− −2; 1)

Tương tự V(I; 2−)( )B =B′⇔IBuuur′= −2uurIB ⇒B′( )2;3 ; B1 =Đ Ox( )B′ ⇒B1(2; 3− )

Đường thẳng d đi qua hai điểm 1 A và 1 B nên có phương trình 1 x+2y+ =4 0

Câu 27. Cho hàm số y= −13x3+4x2−5x−17 Phương trình y′ =0 có hai nghiệm x , 1 x Khi đó, tổng2

1 2

x +x bằng

Lời giải

Ta có y′ = − + −x2 8x 5; y′ =0 2

8 5 0

Vì phương trình ( )1 có hai nghiệm x , 1 x nên theo định lí Vi-ét ta có 2 x1+x2 b

a

Câu 28. Cho cấp số cộng ( )u có n u5 = −15 và u20 =60 Tổng của 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng

đó là

A S20 =500 B S20 =250 C S20 =60 D S20 =600

Lời giải

Gọi d là công sai của cấp số cộng ( )u , ta có n 5

20

15 60

u u

= −





1 1

19 60





1 35 5

u d

= −



Khi đó, tổng của 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó là

20 2

S = u +u =250

Câu 29. Cho vr=( )3;3 và đường tròn ( ) 2 2

C x +y − x+ y− = Ảnh của ( )C qua phép tịnh tiến theo véctơ vr là ( )C′ có phương trình:

A ( ) (2 )2

x+ + y+ =

C 2 2

8 2 4 0

x +y + x+ y− = D ( ) (2 )2

x− + y− =

Lời giải

Đường tròn ( )C x: 2+y2−2x+4y− =4 0 có tâm I(1; 2− ) và bán kính R=3

Đường tròn ( )C′ =T C vr( ) có tâm I′ =T I vr( ) ( )= 4;1 và bán kính R=3 nên có phương trình ( ) (2 )2

x− + −y =

Câu 30. Phương trình chính tắc của Elip có trục lớn gấp đôi trục bé và đi qua điểm A(2; 2− ) là

A

2 2

1

20 5

2 2

1

16 4

2 2

1

36 9

2 2

1

24 6

x + y =

Lời giải

Giả sử Elip ( )E có phương trình chính tắc x22 y22 1

a +b =

Theo giả thiết, ta có hệ phương trình

2 2

2

1

=





 + =



2 2

4

1 4

1

 =





2

4 5 1

b

 =





2 2

20 5

a b

 =



Vậy ( ): 2 2 1

20 5

Câu 31. Phương trình 3 sinx−cosx=0 có nghiệm âm lớn nhất là

A 2

3

π

3

π

6

π

6

π

Lời giải

1

6 3

⇒ Nghiệm âm lớn nhất của phương trình là 5

6

x= − π

(ứng với k = −1)

Câu 32. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OB OC= Gọi M là trung

điểm của BC và OM =a (tham khảo hình vẽ) Khoảng cách giữa 2 đường thẳng OA và BC

bằng

A 3

2

a

2

a

Lời giải

Ta có OM ⊥BC (vì OBC∆ cân tại O), OM ⊥OA (vì OA⊥(OBC)) ⇒OM là đoạn vuông

góc chung của 2 đường thẳng OA và BC ⇒d OA BC( ; )=OM =a.

Câu 33. Bất phương trình 2x+ < −1 3 x có tập nghiệm là

A (3; 4 2 2+ ) B (4 2 2;3− ) C 1; 4 2 2

2

÷

 . D (4 2 2;+ +∞)

Lời giải

2 2

3

2

2 1 (3 )

x

x x

− ≤ ≤



1

4 2 2

2 x

Câu 34. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ảnh của điểm M( 6;1)− qua phép quay Q( , 90 )O− 0 là

A M'(1;6). B M'( 6; 1)− − C M'(6;1). D M'( 1; 6)− −

Lời giải

Chọn A.

Vẽ hình ⇒ ảnh là điểm M'(1;6)

Câu 35. Tìm tập xác định D của hàm số 1 cos3

1 sin 4

x y

x

−

=

A \ π π,

8 2

k

D= − + k∈ 

k

C \ π π,

4 2

k

D= − + k∈ 

6 2

k

D= − + k∈ 

Lời giải

Với mọi x∈¡ , ta luôn có 1 cos3− x≥0 và 1 sin 4+ x≥0 nên không thể có 1 cos3 0

1 sin 4

x x

Do đó hàm số xác định

k

⇒ Đáp án là A.

Câu 36. Cho hình chóp tam giác đều S ABC có cạnh đáy bằng a Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC bằng ) 60° Khoảng cách giữa hai đường thẳng

GC và SA bằng

A 5

5

a

5

a

10

a

5

a

Lời giải

Ta có: SG⊥(ABC) Gọi M là trung điểm AB

Dựng hình bình hành CMAD ⇒CMAD là hình chữ nhật (do CM ⊥MA)

//

⇒ nên d CG SA( ; ) =d CG SAD( ;( ) ) =d G SAD( ;( ) )

Trong (CMAD , kẻ ) GH ⊥AD

Lại có SG⊥(ABC) ⇒SG⊥AD Suy ra AD⊥(SGH) ⇒(SAD) (⊥ SGH) theo giao tuyến

SH Trong (SGH , kẻ ) GK ⊥SH thì GK ⊥(SAD)

∆ có tan 60 3 .2 3

3 2

a

5

a GK

Vậy d CG SA( ; ) =d G SAD( ;( ) ) 5

5

a GK

Câu 37. Cho hàm số y x= 3−3x2+2 ( )C Phương trình tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của ( )C là:

Lời giải

y x= − x + ⇒ =y′ 3x2−6x

Gọi x là hoành độ tiếp điểm.0

Hệ số góc của tiếp tuyến là ( ) 2 ( )2

k

⇒ = − đạt tại x0 =1⇒ y0=0

Vậy phương trình tiếp tuyến: y= − +3x 3

Câu 38. Cho khia triển nhị thức Newton của ( )2

2x−3 n , biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn

C + +C + +C + + +C ++ = Hệ số của x bằng7

A 414720 B −414720 C 2099520 D −2099520

Lời giải

C + +C + +C + + +C ++ =C + +C +− + +C + +C +

C + +C + +C + +C + + +C + +C ++ = +

C + +C + +C + + +C ++ = +

2 n+ 2.1024 2 n 5

Khi đó, ta có nhị thức ( )10

2x−3

Sô hạng tổng quát của khai triển trên là : ( )10 ( )

k

T+ =C x − −

1

k

T+ chứa x 7 ⇔10− =k 7 ⇔ =k 3

Vậy hệ số của x bằng 7 3 7( )3

102 3 414720

Câu 39. Tìm ( ) ( )

1 2 3

lim

n

+ + + +

A 1

1

2 6 .

Lời giải

( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) )

1 2 3

n

1 lim

Câu 40. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=2a Các cạnh bên của hình

chóp đều bằng a 2 Tính góc giữa AB và SC

A 30° B 90° C 45° D 60°.

Lời giải

Gọi M là trung điểm của CD

Ta có AB CD nên // (·AB SC, ) =(·CD SC, ) =SCD·

Tam giác SMC có : cos· 1

2

CM SCD

SC

Câu 41. Cho hình chóp S ABCD. có đáy là hình thoi cạnh a , góc · BAC=600, tam giác SAB cân tại S

và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Mặt phẳng (SCD tạo với đáy một góc ) 30 Tính0 khoảng cách d giữa hai đường thẳng SB và AD

A 21

14

7

d = a

C 2 3

5

5

d = a

Lời giải Chọn B

Gọi H là trung điểm AB khi đó SH ⊥(ABCD).

Ta có AD BC// ⇒AD//(SBC)⇒d AD SB( , ) =d A SBC( ,( ) ) =2d H SBC( ,( ) )

Gọi M là trung điểm BC Vì ·BAC=600 nên ∆ABC là tam giác đều và AM ⊥BC, Gọi N là

trung điểm của BM thì HN⊥BC⇒BC⊥(SHN)

Kẻ HJ ⊥SJ ⇒HJ ⊥(SBC) ⇒d H SBC( ,( ) ) =HJ

a

HN = AM =

Gọi I là trung điểm của CD khi đó AI ⊥CD⇒HC⊥CD góc giữa (SCD và đáy bằng)

30

.tan 30

HJ

7

Câu 42. Tính tổng:

Lời giải Chọn C

Xét khai triển: ( )100 0 1 2 2 99 99 100 100

100 100 100 100 100

1−x =C −C x C x+ − − C x +C x Nhân hai vế với x ta được:100

( )100

100 0 100 1 101 2 102 99 199 100 200

x −x =C x −C x +C x − −C x +C x

Đạo hàm hai vế ta được

100x 1−x −100x 1−x =100C x −101C x +102C x − − 199C x +200C x

Thay 1

2

x= ta được

Câu 43. Một bể nước có dung tích 1000 lít.Người ta mở vòi cho nước chảy vào bể, ban đầu bể cạn

nước Trong một giờ đầu vận tốc nước chảy vào bể là 1 lít/1 phút Trong các giờ tiếp theo vận tốc nước chảy giờ sau gấp đôi giờ liền trước Hỏi sau khoảng thời gian bao lâu thì bể đầy nước (kết quả gần đúng nhất )?

A 3,64 giờ B 4,14 giờ C 4,64 giờ D 3,14 giờ

Lời giải Chọn B

Ta thấy, lượng nước chảy vào bể theo giờ là một cấp số nhân với u1 =60,q=2

Gọi n là khoảng thời gian để nước chảy đầy bể.

Ta có S n =1000

Khi đó 1(1 2 )

1000

1 2

n

=

−

60 1 2

1000 1

n

−

−

1000

2 1

60

n

⇔ = + ⇔ ≈n 4,14 (giờ)

Câu 44. Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C. ′ ′ ′ có đáy là tam giác đều cạnh AB=2a Hình chiếu

vuông góc của A′ lên mặt phẳng ( ABC trùng với trung điểm ) H của cạnh AB Biết góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 600 Góc giữa hai mặt phẳng (BCC B′ ′) và ( ABC là)

A arctan 2 B arctan2 C arctan4 D arctan1

4.

Lời giải Chọn B

Gọi H lần lượt là trung điểm của AB, khi đó góc giữa AA′ và ( ABC là ) ·A AH′ =600

Gọi I I, ′ lần lượt là trung điểm của BC B C, ′ ′, K là trung điểm của BI

Ta có AI ⊥ BC⇒ HK ⊥ BI mà A H′ ⊥BC⇒ BC⊥( A HKI′ ′) ⇒ BC⊥KI′