MỘT số DẠNG TOÁN về số PHỨC TRONG kỳ THI THPT ở VIỆT NAM 234567890

MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ SỐ PHỨC TRONG KỲ THI THPT Ởsự xuất hiện của số i – một ký hiệu thông dụng nhất trong toán học, dẫn đếnviệc hình thành số phức z a bi  , với a, b là các số thực.. T

MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ SỐ PHỨC TRONG KỲ THI THPT Ở

sự xuất hiện của số i – một ký hiệu thông dụng nhất trong toán học, dẫn đếnviệc hình thành số phức z a bi  , với a, b là các số thực Rõ ràng chúng ta

đã biết số thực là rất rộng lớn đủ để đáp ứng mọi lôgic toán học Tuy nhiên,

số thực không thể giải đáp những khái niệm trục quay về điện của môn vật

lý và số phức đã ra đời từ sự đòi hỏi cấp thiết này

Trong cuộc sống, số i được đại diện cho sự quay và sự chuyển hướng 90 độtrong tự nhiên nên số phức rất quan trọng trong hình học phẳng và tronglượng giác vì trong hình học phẳng phức tạp và trong công thức lượng giácphức tạp thì dễ dàng hơn khi sử dụng số phức để giải quyết chúng,…

Ngày nay, số phức thường được giảng dạy trong các cấp học trung học phổthông và đại học ở hầu hết nhiều nước trên thế giới Riêng ở Việt Nam, sốphức xuất hiện ở bậc trung học phổ thông lần đầu tiên là trong sách giáokhoa giải tích 12 và số phức còn xuất hiện trong các đề thi trung học phổthông quốc gia với mật độ xuất hiện chiếm 10% trong tổng số điểm của bàithi

Trong các đề thi trung học phổ thông quốc gia hiện nay thì số phức xuất hiệnvới nhiều dạng bài toán khác nhau như dạng tìm tập hợp điểm, giải phươngtrình,hệ phương trình, dạng lượng giác,… Nhưng các phép toán của số phứckhông thể giải quyết ngay được tất cả các dạng toán này mà cần phải cóphương pháp giải để giải quyết các bài toán đó Như vậy, vấn đề đặt ra là cácdạng đề như vậy thì chúng ta có những phương pháp hay cách làm gì thì cóthể giải được tất cả các câu số phức trong đề thi Để giải quyết câu hỏi đó vàvới mong muốn có thể trao dồi thêm các kiến thức, kỹ năng toán học nói

chung và số phức nói riêng, vì vậy em chọn đề tài “Một số dạng toán về số

phức trong kỳ thi trung học phổ thông ở Việt Nam” làm bài tiểu luận của

mình

B NỘI DUNG

CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ SỐ PHỨC TRONG CHƯƠNG

TRÌNH SÁCH GIÁO KHOA Ở VIỆT NAM

1.1 Số phức

1.1.1 Số phức

 Số phức là một biểu thức dạng a bi , trong đó a và b là những số thực và số

i thỏa i2   1 Kí hiệu số phức đó là z và viết z a bi  i được gọi là đơn vị

ảo, a được gọi là phần thực và b được gọi là phần ảo của số phức z a bi  .

 Hai số phức bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng bằng nhau

Mỗi số phức z a bi  hoàn toàn được xác định bởi cặp số thực  a b;

Điểm M a b ; trong hệ trục tọa độ vuông góc của mặt phẳng được gọi là điểm biểu diễn số phức z a bi  .

1.1.3 Môđun của số phức

Giả sử số phức z a bi  được biểu diễn bởi điểm M a b ; trên

mặt phẳng tọa độ

Độ dài của vectơ OMuuuur

được gọi là môđun của số phức z và kí hiệu là z

       

.

a bi







1.4 Phương trình bậc hai với hệ số thực

1.4.1 Căn bậc hai của số thực âm

Tương tự căn bậc hai của số thực dương, từ đẳng thức i2   1, ta nói i là một

căn bậc hai của -1; -i cũng là một căn bậc hai của -1, vì  2

1

i

   Từ đó, ta

xác định được căn bậc hai của các số thực âm, chẳng hạn:

Căn bậc hai của -2 là ±i 2 vì (±i 2)2 = -2;

Căn bậc hai của -3 là ±i 3 vì (±i 3)2 = -3;

Căn bậc hai của -4 là ±i 4 vì (±i 4)2 = -4

Tổng quát, các căn bậc hai của số thực a âm là �i a.

1.4.2 Phương trình bậc hai với hệ số thực

Cho phương trình ax2  bx c 0 với a b c, ,  � ,a 0 Xét biệt thức  b2  4ac

của phương trình Ta thấy:

 Khi ∆ = 0, phương trình có một nghiệm 2 .

b x a

2

b i x

1.5.1 Số phức dưới dạng lượng giác

 Acgumen của số phức z� 0:

Cho số phức z� 0 Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số z Số đo(rađian) của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM được gọi là một acgumen của z

CHÚ Ý: Nếu φ là một acgumen của z thì mọi acgumen của z có dạng

 Dạng lượng giác của số phức:

Dạng z r cos  isin , trong đó r > 0, được gọi là dạng lượng giác của số phức z�0 Còn dạng z a bi a b   , �� được gọi là dạng đại số của số phức z

1.5.2 Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác

Nếu z r cos  isin ,

z� � r  � i  �r� r� �

Và khi r = 1, ta có: ��rcos  isin ��n r ncosn isinn.

 Ứng dụng vào lượng giác:

Công thức khai triển lũy thừa bậc ba của nhị thức cos isin cho ta

cos  isin   cos   3cos sin   i 3cos  sin   sin 

Mặt khác, theo công thức Moa-vrơ,  3

cos  isin   cos 3  isin 3 

KỲ THI THPT QUỐC GIA Ở VIỆT NAM

2.1 Dạng toán về các phép toán trên số phức

 Nhận dạng: Đây là các dạng toán về thực hiện các phép tính trên số phức.

 Phương pháp: Sử dụng các công thức cộng, trừ, nhân, chia và lũy thừa như

5 5

Bài 4.(Trích đề thi thử THPT Cam Lộc – Hà Tĩnh - năm 2017-2018)

Cho hai số phức z1   1 i và z2   2 3i Tìm số phức liên hợp của số phức

Nhận xét: Biến đổi về dạng cấp số cộng rồi sử dụng công thức cấp số cộng

để giải bài toán tính biểu thức

Bài 9 Tìm số phức z cho bởi

1 3 3

i z

Vậy f z( ) 00 

Nhận xét: Thay z0 vào đa thức rồi giải như phương pháp trên.

2.2 Dạng toán về số phức và thuộc tính của nó

- Ứng dụng sự bằng nhau của hai số phức để tìm các số phức

 Phương pháp: Sử dụng các công thức về số phức liên hợp, môđun của số

phức, số phức nghịch đảo, hai số phức bằng nhau để giải bài toán

Bài 1.(Trích đề thi đại học năm 2009-2010 khối B)

Vậy z = 3 + 4i hoặc z = 5.

Bài 2.(Trích đề thi đại học năm 2010-2011 khối A)

Tìm phần ảo của số phức z biết z( 2i) (12  2 )i

Bài giải:

Ta có: ( 2i)2 = 1 + 2 2i

=> z( 2i) (12  2 )i = (1 + 2 2i)(1  2i) = 5  2i

Suy ra: z = 5  2i

Vậy phần ảo của số phức z bằng  2.

Bài 3.(Trích đề thi đại học năm 2010-2011 khối D)

Tìm số phức z thỏa mãn: z  2 và z2 là số thuần ảo

Bài 7.(Trích đề thi đại học năm 2012-2013 khối A)

Cho số phức z thỏa

5( )

2 1

(3 2) ( 7 6)

7 6 0 1

1

z i

i z

Do đó, w        z 1 i 3 2 1i i 4 3i

2 2

w  4  3  5

�

Vậy môđun của w là w 5.

Bài 9.(Trích đề thi đại học năm 2013-2014 khối D)

Cho số phức z thỏa điều kiện (1i z i)(  ) 2z2i Tìm môđun của số phức

Vậy môđun của w là w  ( 1)232  10.

Bài 10.( Trích đề thi đại học năm 2014-2015 khối A)

Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z (2 i z)  3 5i Tìm phần ảo, phần thựccủa z

(2 ) 3 5

(2 )( ) 3 5 (3 ) ( ) 3 5

5 2 3

Bài 11.( Trích đề thi đại học năm 2014-2015 khối B)

Cho số phức z thỏa mãn điều kiện2z3(1i z)  1 9i Tìm môđun của số phức z

Vậy môđun của z là z  13.

Bài 12.( Trích đề thi đại học năm 2014-2015 khối D)

Cho số phức z thỏa mãn điều kiện(3z z )(1 ) 5 i z 8 1i Tìm môđun của số phức z.

Vậy môđun của z là z  13

Bài 13.(Trích đề thi đại học năm 2015-2016)

Cho số phức 1–i z –1 5  i 0 Tìm phần thực, phần ảo của số phức z.

i z i

i z i i

Bài 14.(Trích đề thi đại học năm 2016-2017)

Cho số phức z  1 2i Tìm phần thực, phần ảo của số phức w 2  zz

Bài giải:

Theo đề ta có: z 1 2i �z  1 2i

Lại có: w 2 zz2(1 2 ) (1 i  2i) 3 2i

Vậy số phức w có phần thực là 3 và phần ảo là 2

Bài 15.(Trích đề thi đại học năm 2017-2018 mã đề 116)

Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z  2 i 2 2 và (z1)2 là số thuần ảo

Mà (z1)2 là thuần ảo nên (a22a b  2 1) 0�(a1)2 b2

Như vậy giả thiết tương đương với

2 2

( 2) ( 1) 8 ( 1)

Giải hệ trên ta được ba nghiệm (a ; b) = (0;1);( 1   3; 2  3);( 3 1; 2   3)

Vậy có ba số phức thỏa yêu cầu bài toán là z = i, z =  1 3 (2  3)i,

3 1 (2 3)

z    i

Bài 16.( Trích đề thi thử Chuyên ĐHSP-Hà Nội-Lần 1- năm 2017-2018)

Cho số phức z  1 i Số phức nghịch đảo của z là?

Bài giải:

Ta có:

1 1 1 1

2 2

i



2.3 D ạng toán về tập hợp điểm

 Nhận dạng: Dạng này thường đặt câu hỏi: “ Xác định tập hợp các điểm

trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa điều kiện K”

 Đặt z = a + bi (a,b ��) hoặc Đặt z = x + yi (x, y ��)

 Từ giả thiết, tìm hệ thức a, b(hoặc x, y) Hệ thức xác định một đường cong trong mặt phẳng phức(thực chất là mặt phẳng tọa độ 0xy)

 Một số tập hợp điểm trong mặt phức hay gặp:

1.Đường thẳng:

 x = x0 song song hoặc trùng trục ảo 0y

 y = y0 song song hoặc trùng trục thực 0x

Loại 1: Số phức z thỏa mãn về độ dài(môđun), khi đó ta sử dụng công thức:

2 2

z  a b

Loại 2: số phức z là số thực(thực âm hoặc thực dương), số ảo

Bài 1.( Trích đề thi đại học năm 2009-2010 khối D)

Trong mặt phẳng tọa độ 0xy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện z (3 4 )i 2.

Bài 2.( Trích đề thi đại học năm 2010-2011 khối B)

Trong mặt phẳng tọa độ 0xy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện z i  (1 ) i z

Bài 3 (Trích đề thi đại học năm 2017-2018 mã đề 101)

Xét các số phức thỏa mãn (z i z )( 2)là số thuần ảo Trên mặt phẳng tọa độ 0xy, tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là một đường tròn có bán kính bằng?

Bài 4 (Trích đề thi đại học năm 2017-2018 mã đề 102)

Xét các số phức thỏa mãn (z3 )(i z3)là số thuần ảo Trên mặt phẳng tọa độ0xy, tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là một đường tròn có bán kính bằng?

Bài 5 (Trích đề thi đại học năm 2017-2018 mã đề 103)

Xét các số phức thỏa mãn (z2 )(i z2)là số thuần ảo Trên mặt phẳng tọa độ0xy, tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là một đường tròn có bán kính bằng?

2 2

2 2 0 ( 1) ( 1) 2

Bài 6 (Trích đề thi đại học năm 2017-2018 mã đề 104)

Xét các số phức thỏa mãn (z2 )(i z2)là số thuần ảo Trên mặt phẳng tọa độ 0xy, tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là một đường tròn có bán kính bằng?

2 2

2 2 0 ( 1) ( 1) 2

Do đó, G có tọa độ là G1; 3  

Vậy số phức biểu diễn trọng điểm tam giác ABC là 1 – 3i

Bài 8.(Trích đề thi thử SGD Bình Thuận năm 2017-2018)

Cho hai số phứcz 3 5 ; wi   1 2i Điểm biểu diễn số phức z�  z wz trong

mặt phẳng tọa độ 0xy có tọa độ là ?

Bài giải:

Ta có: z� z wz    3 5i ( 1 2 )(3 5 )i  i   4 6i

Vậy tọa độ điểm biểu diễn số phức z�  z wz trong mặt phẳng tọa độ 0xy có

tọa độ là z�  4; 6

Bài 9.(Trích đề thi thử THPT Chuyên ĐH KHTN-Hà Nội năm 2017-2018)

Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn z  2 i 4 là

đường tròn tâm và bán kính là bao nhiêu?

Vậy tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn z  2 i 4 là

đường tròn tâm I(-2 ; -1) và bán kính R = 4

Bài 10.(Trích đề thi thử TT Diệu Hiền- Cần Thơ-Tháng 10- năm 2017-2018)

Cho các số phức z thỏa mãn z i 5 Biết rằng tập hợp điểm biểu diễn số

phức w   iz 1 ilà đường tròn Tính bán kính của đường tròn đó.

Vậy bán kính của đường tròn đó là 5

Bài 11 Trong mặt phẳng tọa độ 0xy, tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z

thỏa mãn: z i   z i 4.

Bài giải:

Đặt z x yi x y  , , ��

Suy ra

Vậy tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn z i   z i 4

trên mặt phẳng tọa độ là đường elip

1.

3 4

x  y 

Bài 12.(Trích đề thi thử THTT Số 3-486 tháng 12 năm 2017-2018)

Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn 2 z   1 z z 2trên mặt phẳng tọa độ là đường gì:

trên mặt phẳng tọa độ là đường parabol: y2 = 4x.

Bài 13.(Trích đề thi thử THPT Chuyên Lương Thế Vinh – Hà Nội – lần 2 năm

2017-2018)

Cho các số phức z thỏa mãn (z 2 i z)(   2 i) 25 Biết rằng tập hợp điểm

M biểu diễn số phức w 2  z  2 3ilà đường tròn tâm I(a;b) và bán kính c

 

2

2 23 2

x a

y b

 

2 2

1 2

1 2 ( 1) 4 *

Vậy tập hợp điểm M là hình tròn tâm I(3; 3) bán kính bằng 4.

2.4 Dạng toán về phương trình, hệ phương trình ẩn số phức

 Nhận dạng: Đây là các dạng toán về phương trình, hệ phương trình ẩn số

phức

- Đối với dạng phương trình bậc nhất thường có hai cách giải:

1 Cách 1: Sử dụng các phép biến đổi đại số và các phép toán về số phức

2 Cách 2: Thực hiện các bước sau:

 Bước 1: Đặt z = a + bi (a,b ��)

 Bước 2: thay z vào phương trình và sử dụng định nghĩa về sự bằng nhau của hai số phức tìm a, b

 Bước 3: Kết luận

- Đối với dạng phương trình bậc hai:

Sử dụng kiến thức phần phương trình bậc hai của số thực chương 1 để giải

Bài 1.(Trích đề thi đại học năm 2009-2010 khối A)

Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2 +2z + 10 = 0 Tính giá trị biểu thức A =

Phương trình có hai nghiệm phứcz1    1 3 ;i z2    1 3 i

Bài 2.(Trích đề thi đại học năm 2012-2013 khối D)

Giải phương trình z23(1 )i z 5i 0 trên trường số phức

z       i

Vậy phương trình có nghiệm là z  1 2 ;i z  2 i

Bài 3.(Trích đề thi thử THPT Hậu Lộc 2-Thanh Hóa lần 1- năm 2017-2018)

Tìm tất cả các nghiệm của phương trình bậc hai z2 2z  5 0 trên tập số

phức �

Bài giải:

Ta có: phương trìnhz2 2z  5 0 có biệt thức       � 1 2 5 4 4i2

Do đó, phương trình có hai nghiệm phức là z1    1 2 ;i z2    1 2i

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phức là

1 1 2 ; 2 1 2

z    i z    i

Bài 4.(Trích đề thi thử THPT Chuyên Hoàng Văn Thụ-Hòa Bình năm 2017-2018)

Tìm nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình bậc hai z2  z 1 0

Bài 5.(Trích đề thi thử SGD Hà Tĩnh Lần 2 - năm 2017-2018)

Gọi zo là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình bậc hai

z   z trên tập số phức �.Tính iz0

Bài giải:

Ta có: phương trìnhz2 z 10 0  có biệt thức    ( 1) 2  10    9 9i2 �   3i

Do đó, phương trình có hai nghiệm phức là z1    1 3 ;i z2    1 3i

Nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình bậc hai là z0    1 3i

Vậy iz0   i( 1 3 )i    3 i

Bài 6.(Trích đề thi thử THPT Chu Văn An-Hà Nội- năm 2017-2018)

Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trìnhz2  4z  5 0 Giá trị của biểu

1 2 2 1 ( 2 ) 4 (2 2(2 )(2 ) 4(2 ) 15

P z  z z  z   i i  i   i

Vậy P= -15

Nhận xét: Sử dụng công thức giải phương trình bậc hai ta tìm được các

nghiệm, sau đó ta thay các nghiệm vào biểu thức ta sẽ tìm được giá trị biểu thức đó

Bài 7.(Trích đề thi thử THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp – Quảng Bình- năm

2017-2018)

Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trìnhz2  2z  5 0 , trong đó z1 có

phần ảo dương Số phức liên hợp của số phức z1  2z2 là:

Vậy số phức liên hợp của số phức z1  2z2 là -3 + 2i

Bài 8.(Trích đề thi thử THTT Số 4-487 tháng 1 năm 2017-2018)

Tổng các nghiệm phức của phương trình z3  z2 2 0là:

Bài giải:

Ta có:

3 2

2

2

2 0 ( 1)( 2 2) 0

1

2 2 0 1

1 1

Bài 9.(Trích đề thi thử THPT Chuyên Hà Tĩnh-lần 1-năm 2017-2018)

Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình 2z2 6z  5 0 , trong đó z2 có

phần ảo âm Phần thực và phần ảo của số phức z1  3z2 lần lượt là:

Bài giải:

Đặt w  m ni m n, , ��

Suy ra :

1 2

2 97

3 3

Khi đó ta có hệ phương trình:

1 2

1 2

5 5 4

Nhận xét: Từ hệ phương trình ta tìm tổng và tích của hai giá trị, ta thấy hai

giá trị là nghiệm của phương trình Z2 + SZ + P =0(theo định lí vi - et) rồi tìm nghiệm của hệ phương trình

Bài 12 Tìm căn bậc hai của số phức i.

2 i

�

2.5 Dạng toán về dạng lượng giác của số phức và ứng dụng



Nhận dạng: Thường đặt câu hỏi “ Viết dạng lượng giác của …”



Phương pháp: Sử dụng kiến thức phần dạng lượng giác, các phép toán của

dạng lượng giác và ứng dụng, phương trình bậc hai,… để giải bài toán

Bài 1.(Trích đề thi đại học năm 2012-2013 khối B)

Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z22 3iz 4 0 Viết dạng lượng giác của z1, z2

Bài giải:

Phương trình bậc hai: z22 3iz 4 0có biệt thức ∆ = 4 > 0

Suy ra phương trình có hai nghiệm là: z1   1 i 3 và z1    1 i 3

Vậy dạng lượng giác của z1 = 2(cos 3



+ isin

2 3



)

Bài 2.(Trích đề thi đại học năm 2013-2014 khối A)

Cho số phức z 1 3i Viết dạng lượng giác của z Tìm phần thực và phần

Vậy: Dạng lượng giác của số phức z là z 2(cos 3 isin )3

và số phức w có phần thực là 16( 3 1) ; phần ảo là 16(1 3)

*Nhận xét: Có thể viết dạng lượng giác của số phức z 1 3itheo cách khác:

Ta có môđun r 12( 3)2 2

Acgumen φ thỏa mãn

1 cos

2 3 sin

2 1 sin