ình học không gian là một nội dung quan trọng trong chương trình Toán phổ thông. Các kiến thức và kỹ năng chủ yếu được tập chung vào chương trình lớp 11. Đa số học sinh còn hạn chế trong việc giải toán và trình bày một bài toán hình học không gian. Bài toán về thể tích (được đề cập ở chương I, chương trình lớp 12) cũng là một trong số đó. Nó cũng hay được đề cập tới trong các kỳ thi ĐH CĐ, Học sinh giỏi và THPT Quốc gia.Với mong muốn giúp đỡ học sinh phần nào định hướng tốt hơn trong việc giải toán và trình bày lời giải. Tôi soạn chuyên đề Ứng dụng thể tích vào giải toán. Chuyên đề gồm các vấn đề sau:
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT TRIỆU THÁI
CHUYÊN ĐỀ : ỨNG DỤNG THỂ TÍCH VÀO GIẢI TOÁN
GIÁO VIÊN : TRẦN XUÂN HÒA
TỔ: TOÁN TIN Email : tranxuanhoa.gvtrieuthai@vinhphuc.edu.vn
LẬP THẠCH, VĨNH PHÚC - 2015
Trang 3Mục lục
0.1 PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ 4
0.2 PHẦN II: ỨNG DỤNG THỂ TÍCH TRONG GIẢI TOÁN 4
Vấn đề 1 : Toán tính thể tích, tỉ số thể tích bằng phương pháp so sánh trực tiếp . 4
Vấn đề 2 : Tính toán diện tích thiết diện bằng cách dùng công thức thể tích . 6
Vấn đề 3 : Tính thể tích bằng cách dùng công thức tỉ số thể tích . 7
Vấn đề 4 : Tính tỉ số thể tích bằng cách dùng công thức tỉ số thể tích . 9
Vấn đề 5 : Dùng thể tích tính khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng . 11
Vấn đề 6 : Ứng dụng thể tích chứng minh hệ thức . 13
Vấn đề 7 : Toán cực trị thể tích khối đa diện 14
Vấn đề 8 : Một vài bài toán trong các đề thi ĐH - CĐ 15
Vấn đề 9 : Một vài bài toán trong các đề thi HSG . 15
ĐÁP SỐ 17
HƯỚNG DẪN GIẢI TOÁN 18
Trang 40.1 PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
Hình học không gian là một nội dung quan trọng trong chương trình Toán phổ thông Các kiến thức và kỹ năng chủ yếu được tập chung vào chương trình lớp 11 Đa số học sinh còn hạn chế trong việc giải toán và trình bày một bài toán hình học không gian Bài toán về thể tích (được đề cập ở chương I, chương trình lớp 12) cũng là một trong số đó Nó cũng hay được đề cập tới trong các kỳ thi ĐH - CĐ, Học sinh giỏi và THPT Quốc gia.Với mong muốn giúp đỡ học sinh phần nào định hướng tốt hơn trong việc giải toán và trình bày lời giải Tôi soạn chuyên đề "Ứng dụng thể tích vào giải toán" Chuyên đề gồm các vấn đề sau:
• Toán tính thể tích, tỉ số thể tích bằng phương pháp so sánh trực tiếp
• Tính toán diện tích thiết diện bằng cách dùng công thức thể tích
• Tính thể tích bằng cách dùng công thức tỉ số thể tích
• Tính tỉ số thể tích bằng cách dùng công thức tỉ số thể tích
• Dùng thể tích tính khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng
• Ứng dụng thể tích chứng minh hệ thức
• Toán cực trị thể tích khối đa diện
0.2 PHẦN II: ỨNG DỤNG THỂ TÍCH TRONG GIẢI TOÁN
KIẾN THỨC CƠ BẢN.
1 Công thức tính thể tích khối chóp : V = 1
3Bhvới B là diện tích đáy, h là chiều cao.
2 Cho hai khối đa diện H và H1có thể tích tương ứng là V và V1biết V
V1 = k và V1= a thì V = ka
3 Nếu chia khối đa diện H thành các khối đa diện H1, H2, · · · , Hnthì V = V1+ V2+ · · · + Vn Với V là thể tích của khối đa diện H, Vilà thể tích của khối đa diện Hi, i = 1, n
4 Cho hình chóp S ABC và A0, B0, C0lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh S A, S B, S C khi đó ta có hệ thức VS.A0B0C0
VS.ABC = S A0
S A.S B0
S B.S C0
S C LTS Sau đây tôi nêu một số vấn đề liên quan đến bài toán Thể tích
Vấn đề 1 :Toán tính thể tích, tỉ số thể tích bằng phương pháp so sánh trực tiếp
Ta thường phải so sánh đường cao, diện tích đáy của hình chóp phải tính với đường cao, diện tích của hình chóp đã biết hay dễ dàng tính hơn
Ví dụ minh họa.
Ví dụ 0.1 Cho tứ diện S PQR với góc tam diện đỉnh S là vuông Gọi A, B, C theo thứ tự là trung điểm của các
đoạn PQ, QR, RP
a) Chứng minh rằng các mặt của khối tứ diện S ABC là các tam giác bằng nhau
b) Tính thể tích khối tứ diện S ABC khi cho S P= a, S Q = b, S R = c
Trang 5Hướng dẫn tìm lời giải.
Ta thấy tỉ số thể tích của V1 = S.ABC và V2 = S.PRQ có thể so sánh trực tiếp với tỉ số diện tích, tức là
V1
V2 = SABC
SRPQ = 1
4.
Lời giải :
a) Các mặt tứ diện là các tam giác bằng nhau Trong tam giác vuông RS P có S C = PR
2 Do AB là đường trung bình của tam giác RQP nên AB= PR
2 Tương tự ta có BC = PQ
2 = S A, CA = RQ
2 = S B Suy ra ∆S AB = ∆ABC vì có các cạnh S A = BC, S B =
CA, AB chung Tương tự cũng có ∆S CB = ∆ABC và ∆S CA =
∆ABC Vậy các mặt của tứ diện S.ABC là các tam giác bằng nhau
b) Thể tích khối S PQR là V= 1
3S P.S Q.S R = 1
6abc Khối S PQR và S ABC có cùng đường cao là khoảng cách
từ S đến mặt phẳng PQR nên VS ABC
VS PQR = SABC
SPQR =AB
PR
2
= 1
4 ⇒ VS ABC = 1
4VS PQR= abc
24 .
Nhận xét Tỉ số thể tích được so sánh trực tiếp với tỉ số diện tích.
Ví dụ 0.2 Cho tứ diện S BCD có thể tích V; M, P là trung điểm của S B và CD Gọi N ∈ S D sao cho DS = 3NS Tính thể tích tứ diện BMNP
Hướng dẫn tìm lời giải.
Ta thấy tứ diện BMNP có mặt bên BMN nằm trong mặt bên SBD của tứ diện SBCD và tỉ số thể diện tích của chúng bằng1
6 Mặt khác khoảng cách từ các đỉnh đối diện của chúng đến các mặt phẳng này có thể so sánh với nhau: d(P; (S BD))
d(C; (S BD)) = 1
2 nên có thể so sánh thể tích của V1= VBMNPvới V2= VS BCD: V1
V2 = 1
12.
Lời giải :
Kẻ CH ⊥ (S BD); PK ⊥ (S BD) Khi đó PK = 1
2CH Gọi
NN0, DD0là các đường cao trong tam giác N BM và DS B, ta có:
SN BM
SDS B =
1
2NN0.BM
1
2DD0.S B mà
NN0
DD0 = NS
DS = 1
3 và
BM
S B = 1
2 nên
SN BM
SDS B = 1
3.1
2 = 1
6. Vậy VP.BMN
VC.S BD =
1
3PK.SN BM
1
3CH.SS BD
= 1
12 Do đó VBMNP= 1
12V.
Bài tập luyện tập.
Bài 0.1 Cho hình chóp S ABCD có thể tích là V Có ABCD là hình bình hành Gọi M, N, P lần lượt là trung
điểm của BC, CD, S D Tính thể tích tứ giác AMNP
Bài 0.2 Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0có thể tích V Biết rằng M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, CC0 Tính thể tích tứ diện MNPQ
Bài 0.3 Cho hình chóp S ABCD có thể tích là V Có ABCD là hình bình hành; M là trung điểm của BC và G
là trọng tâm tam giác SCD Tính thể tích tứ diện S AMG [Gợi ý] Hai hình chóp S ABCD và S AMG rất khó
so sánh Ta dùng hình chóp S AMN là trung gian để so sánh (N là trung điểm của CD)
Bài 0.4 Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0 với AA0 = a, AB = b, AD = c Tính thể tích của tứ diện ACB0D0 theo
a, b, c
Trang 6Bài 0.5 Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD Qua các điểm A, B và trung điểm của cạnh bên S C có một mặt
phẳng Mặt phẳng đó chia thể tích hình chóp theo tỉ số nào?
Bài 0.6 Cho khối lập phương ABCD.A0B0C0D0
a) Hãy dựng thiết diện đi qua đỉnh A, trung điểm cạnh BC và tâm của mặt DC0D0
b) Tìm tỉ số thể tích của hai phần nhận được của khối lập phương
Vấn đề 2 :Tính toán diện tích thiết diện bằng cách dùng công thức thể tích
Để tính diện tích thiết diện ngoài phương pháp tính trực tiếp, tức là dùng công thức trực tiếp áp dụng cho một hình cụ thể Ví dụ như : Diện tích hình vuông bằng cạnh nhân cạnh, hình thang bằng (đáy lớn+đáy nhỏ).chiều cao và chia 2, hình thoi bằng tích độ dài hai đường chéo, Trong nhiều trường hợp không cần thiết phải biết hình thù (hình dạng : chữ nhật, thoi, hình thang, ) ta vẫn có thể tính được nhờ công thức sau: V = 1
3B.h ⇒ B = 3V
h , trong đó: B là diện tích thiết diện của đa giác cần tính, V là thể tích có đáy là đa giác thiết diện, h là độ dài chiều cao tương ứng
Ví dụ minh họa.
Ví dụ 0.3 Cho tứ diện ABCD có ba cạnh AB, AC, AD vuông góc với nhau từng đôi một và AB = a, AC = 2a, AD= 3a Hãy tính diện tích tam giác BCD theo a
Hướng dẫn tìm lời giải.
Có thể tính được BC, CD, DB và diện tích của tam giác BCD có thể tính được bởi công thức He-rong (tương đối phức tạp) Nhưng kiên trì nghĩ tiếp thì có thể phát hiện thấy: Bằng cách dựng mặt phẳng (ABI) ⊥ (BCD), khi đó d(A; (BCD)) = AH Dễ dàng tính được AH Mặt khác có thể tính thể tích của ABCD Nếu coi tứ diện ABCD là hình chóp đỉnh A và đáy BCD, thì từ CT: V = 1
3AH.SBCD ⇒ SBCD =>>>
Lời giải:
Cách 1 : Trong tam giác ACD kẻ AI ⊥ CD Ta có AB ⊥
AC, AB ⊥ AD ⇒ AB ⊥ CD mà AI ⊥ CD nên (ABI) ⊥ CD ⇒ (ABI) ⊥ (BCD) = BI Trong tam giác ABI kẻ AH ⊥ BI, khi đó
AH ⊥(BCD)
Ta có CD2= AC2+ AD2= 13a2⇒ CD= a√13 Trong tam giác vuông ACD tại A có 1
AI2 = 1
AC2 + 1
AD2 ⇒ AI = √6a
13 Trong tam giác vuông ABI tại A có BI2 = AB2+ AI2 = 49a2
13 ⇒ BI = 7a
√
13 Vậy SBCD = 1
2BI.CD =7a2
2 .
Cách 2 : Trong tam giác vuông ABI có 1
AH2 = 1
AB2 + 1
AI2 ⇒ AH = 6a
7 Ta có VABCD = 1
6AB.AC.AD = a3 Mặt khác VABCD= 1
3AH.SBCD ⇒ SBCD = 3VABCD
AH = 7a2
2 .
Nhận xét Rõ ràng với cách nhìn linh hoạt ở cách 2, cho ta thấy những tính toán của ta đơn giản hơn rất nhiều.
Mặt khác còn cho thấy, quan niệm của ta tổng quát hơn trong khái niệm về hình chóp như : tứ diện có thể coi
là hình chóp tam giác với đỉnh tùy ý nào đó.
Ví dụ 0.4 Cho hình chóp S ABC Gọi K, N là trung điểm của S A và BC Điểm M trên S C sao cho S M
MC = 2
3. a) Tìm tỉ số diện tích của hai tam giác AS C và AK M
Trang 7b) Mặt phẳng (α) qua K và song song với AB, S C có đi qua N không?.
c) Gọi (P) là mặt phẳng đi qua K, M, N
• Vẽ thiết diện do (P) cắt hình chóp S ABC
• Chứng minh KN chia thiết diện thành hai phần có diện tích bằng nhau
• Cho biết khoảng cách từ A đến (P) bằng h và thể tích hình chóp là V Tính diện tích thiết diện nói trên theo V và h
Lời giải :
1) Ta có S M
MC = 2
3 ⇒
S M
MC = 2
5.
Dễ thấy SAK M
SS AM = 1
2;
SS AM
SS AC = 2
5 nên
SS AC
SAK M = 5
2) Mặt phẳng (α) song song với AB nên giao tuyến EK của nó và (S AB) phải song song với AB với E ∈ BC, mà K là trung điểm của S A nên E là trung điểm của SB Cũng vậy, vì (α) ∥ S C nên giao tuyến d của nó với (S BC) sẽ đi qua E và song song với SC Nhưng E lại là trung điểm SB nên d phải đi qua trung điểm của
BC Hay, mặt phẳng (α) phải đi qua N
3) a Gọi I là giao điểm của MK với AC Nối IN, IN cắt AB tại H Thiết diện tạo thành bởi (P) và tứ diện S.ABC
là tứ giác MNHK
3) b Ta có AB ∥ (KENF), S C ∥ (KENF), AK = S K Do đó, suy ra mọi điểm trên AB, SC đều cách đều mặt phẳng (KENF) Vì vậy SHKN = SMNK, tức là KN chia thiết diện MNHK thành hai phần có diện tích bằng nhau 3) c Ta có VAMNK = 1
3SMNK.h (1)
Gọi hN là khoảng cách từ N đến (AK M), ta có: VN.AMK = 1
3SAMK.hN (2) Mà SAMK = 1
5SABCnên từ (1)
và (2) ta suy ra : SMNK.h = 1
5SS AC.hB (3) với hN = 1
2ha, halà khoảng cách từ B đến mặt phẳng (AKM) Gọi V là thể tích của S ABC, ta có V = 1
3SS AC.hB ⇔ SS AC.hB = 3V và (3) cho ta SMNK.h = 3V
10 hay
SMNK = 3V
10h Từ đó : SMNHK = 2SMNK = 3V
5h.
Bài tập luyện tập.
Bài 0.7 Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a√3, đường cao S A= a Mặt phẳng qua A và vuông góc với SB tại H cắt SC tại K Tính SK và diện tích của tam giác AHK
Bài 0.8 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình nửa lục giác đều ABCD với AB = 2a, BC = CD = DA =
a, S A ⊥ (ABCD), S A = a√3 Một mặt phẳng (α) qua A vuông góc với S B, cắt S B, S C, S D lần lượt tại
B0, C0, D0
a) Chứng minh rằng AB0C0D0nội tiếp được
b) Giả sử C0D0cắt CD tại I Chứng minh AI ⊥ AB
c) Tính thể tích của hình chóp S AB0C0D0
d) Tính diện tích của thiết diện AB0C0D0
Bài 0.9 Cho tứ diện ABCD có thể tích V; M ∈ AC; N ∈ AD; P ∈ BD sao choC M
DA = DP
DB = 2
3 Cho biết khoảng cách từ D đến (MNP) bằng h Tính diện tích tam giác MNP
Vấn đề 3 :Tính thể tích bằng cách dùng công thức tỉ số thể tích
Trang 8Cần nhớ tới công thức : VS.ABC
VS.A0 B 0 C 0 = S A0
S A.S B0
S B.S C0
S C Lưu ý, công thức này chỉ áp dụng trong trường hợp hai hình chóp tam giác có chung đỉnh và A0 ∈ S A; B0 ∈ S B; C0∈ S C
Ví dụ minh họa.
Ví dụ 0.5 Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B Biết S A ⊥ (ABC), AB= a, BC = a√3 Mặt phẳng (α) qua A, vuông góc với S C tại H, cắt S B tại K Tính thể tích khối chóp S AHK theo a
Hướng dẫn tìm lời giải.
Áp dụng Công thức trên có thể thấy đượcVS.AHK
VS.ABC = S K
S B.S H
S C = 1
10, thể tích của S ABC tính được bằng
a3√3
6 .
Lời giải :
Ta có BC ⊥ (S AB) ⇒ BC ⊥ AK (1) Mà S C ⊥ (AHK) ⇒ S C ⊥
AK (2) Từ (1) và (2) suy ra AK ⊥ (S BC) ⇒ AK ⊥ S B
Ta có tam giác ABC vuông tại B suy ra AC2= 4a2; tam giác S AC vuông tại A nên S C2 = 5a2
Ta có VS.AHK
VS.ABC = S A
S A.S H
S B.S K
S C = S H
S B.S K
S C = (S H.S C)(S K.S B)
S B2.S C2 =
S A2.S A2
S B2.S C2 = 1
10 ⇒ VS.AHK = 1
10VS.ABC= 1
60a
3√ 3
Ví dụ 0.6 Cho hình chóp S ABCD có thể tích bằng V, ABCD là hình bình hành M là một điểm trên cạnh S A
sao cho S M
S A = 2
3 Mặt phẳng (MBC) cắt S D tại N Tính thể tích hình chóp S BCN M.
Hướng dẫn tìm lời giải.
Ta thấy hình chóp cần tính là hình chóp tứ giác, nên có thể chia thành 2 hình chóp tam giác S BC M và S MNC
và nhận thấy hai hình chóp này có thể tích có thể so sánh được với thể tích của 2 hình chóp S ABC; S CDA cùng
có thể tích bằng V
2.
Lời giải :
Chia hình chóp S BCN M làm hai hình chóp đáy tam giác
Ta có VS ABC = VS ACD= V
2.
VS MCN
VS ACD = S M
S A.S C
S C.S N
S D = 2
3.2
3 = 4
9 ⇒ VS MCN = 4
9.V
2 = 2V
9 .
VS MCB
VS ABC = S M
S A.S B
S B.S C
S C = 2
3 ⇒ VS.MBC = V
3. Suy ra VS.BCNM = VS MBC+ VS MCN = 5V
9 .
Bài tập luyện tập.
Bài 0.10 Trên đường thẳng vuông góc với tại A với mặt phẳng của hình vuông ABCD cạnh a ta lấy điểm S với
S A = 2a Gọi B0, D0 là hình chiếu của A lên S B và S D Mặt phẳng (AB0D0) cắt S C tại C0 Tính thể tích hình chóp S AB0C0D0
Bài 0.11 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a, AD = a√2, S A = a và S A vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M và N lần lượt là trung điểm AD và S C, I là giao điểm của MB và AC Chứng minh (S AC) ⊥ (S MB) Tính thể tích của khối tứ diện ANIB
Trang 9Bài 0.12 Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có cạnh đáy a, góc của mặt bên và đáy là α Gọi M là trung điểm
của cạnh S C, mặt phẳng (MAB) cắt S D tại N Tính theo a và α thể tích hình chóp S ABMN
Bài 0.13 Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy một góc 60◦ Gọi
Mlà trung điểm của S C Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD, cắt S B tại E và cắt S D tại F Tính thể tích khối chóp S AE MF
Bài 0.14 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình chữ nhật, S A ⊥ (ABCD) và AB = a, AD = b, S A = c Lấy các điểm B0, D0theo thứ tự thuộc S B, S D sao cho AB0vuông góc với S B, AD0vuông góc với S D Mặt phẳng (AB0D0) cắt S C tại C0 Tính thể tích khối chóp S AB0C0D0
Bài 0.15 Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD với đáy là hình vuông ABCD có cạnh bằng a, mặt bên tạo với
đáy hình chóp một góc 60◦ Mặt phẳng (P) chứa cạnh AB và cắt S C, S D lần lượt tại M và N Cho biết góc tạo bởi mặt phẳng (P) và mặt đáy hình chóp là 30◦
a) Tứ giác ABMN là hình gì? Tính diện tích tứ giác ABMN theo a
b) Tính thể tích hình chóp S ABMN theo a
Bài 0.16 [HSG - 2012] Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB= 2a, tam giác S AB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ABCD Gọi M là trung điểm của S D, mặt phẳng (ABM) vuông góc với mặt phẳng (S CD) và đường thẳng AM vuông góc với đường thẳng BD Tính thể tích khối chóp S BC M
và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (S BC)
Bài 0.17 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình chữ nhật Lấy M, N lần lượt trên các cạnh S B, S D sao cho
S M
BM = S N
DN = 2
a) Mặt phẳng (AMN) cắt cạnh S C tại P Tính tỉ số S P
CP b) Tính thể tích hình chóp S AMPN theo thể tích V của hình chóp S ABCD
Vấn đề 4 :Tính tỉ số thể tích bằng cách dùng công thức tỉ số thể tích
Ví dụ minh họa.
Ví dụ 0.7 Cho hình chóp S ABCD có ABCD là hình bình hành Điểm M thuộc cạnh S A sao cho S M
S A = x Tính x để mặt phẳng (MBC) chia hình chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau
Hướng dẫn tìm lời giải.
Dễ thấy VS.BCM = x.VS.ABC; VS.MNC = x2.VS CDA; VS ABC = VS CDA = V
2 nên VS.BCNM = x2+ x
2 V Để 2 thể tích bằng nhau cần có VS.BCNM = V
2.
Lời giải :
Ta có BC ∥ AD nên (MBC) cắt (S AD) theo giao tuyến MN ∥ BC
Ta có VS.MBC
VS.ABC = S M
S A.S B
S B.S C
S C = x Mà VS.ABC = 1
2VS.ABCD = 1
2V Do đó VS.MBC = 1
2V.x Cũng vậy,
VS.MCN
VS.ACD = S M
S A.S C
S C.S N
S D = x2⇒ VS.MCN= 1
2V.x2
Ta lại có VS.NBCM = VS MBC+ VS.MCN = 1
2V(x+ x2) Vì (MBC) chia S ABCD thành hai phần có thể tích bằng nhau nên VS.MBCN = 1
2.VS.ABCD = 1
2V ⇔ x+ x2 = 1 ⇔ x = −1+
√ 5
2 với x > 0.
Trang 10Ví dụ 0.8 Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có cạnh đáy bằng 2a, chiều cao bằng h Gọi M, N lần lượt là
trung điểm của các cạnh AB, S C Mặt phẳng (DMN) chia hình chóp S ABCD thành hai phần Tính thể tích của mỗi phần và tỉ số thể tích của hai phần đó
Hướng dẫn tìm lời giải.
Nhận thấy mặt phẳng (DMEN) chia khối chóp S ABCD thành 2 khối Trong đó khối BME.CDN nằm trong hình chóp I.CDN (khối chóp này có thể tính được) Mặt khác, có VI.BME
VI.CDN = 1
6, rút được VI.BME Do đó,
VBME.CDN = VI.CDN − VI.BME
Lời giải :
Mặt phẳng (DMN) cắt S B, CB tại E, I với IB
IC = I M
ID = 1
2;
IE
IN = 2
3. Gọi H là trung điểm của OC thì NH ⊥ (ABCD) và NH = h
2 (do
NH ∥ S O, NH = S O
2 ) Coi∆ICD là đáy, NH là chiều cao của hình chóp I.CDN ta có : VICDN = 1
3SICD.NH = 1
3.1
2CD.CI.NH = 2a2h
3 .
Mà VI.BME
VI.CDN = IB
IC.I M
ID.IE
IN = 1
6. Gọi V1là thể tích của phần hình chóp nằm giữa (ABCD) và (DMN) ta có : V1= VI.CDN− VI.BME = 5
6VI.CDN = 5a2h
9 Suy ra thể tích của phần còn lại : V2 = VS.ABCD− V1= 7a2h
9 và
V1
V2 = 5
7.
Bài tập luyện tập.
Bài 0.18 Cho tứ diện S ABC và hai điểm M, N lần lượt thuộc các cạnh S A, S B sao cho S M
MA = 1
2;
S N
N B = 2 Mặt phẳng (α) qua MN và song song với S C chia hình tứ diện S ABC thành hai phần TÍnh tỉ số thể tích của hai phần này
Bài 0.19 Khối chóp S ABCD có đáy là hình bình hành tâm O và có thể tích V Gọi M là trung điểm của S C.
Một mặt phẳng (α) đi qua AM và song song với BD chia khối chóp thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần
đó và tính theo V thể tích của mỗi phần
Bài 0.20 Cho hình chóp S ABCD đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh bên S A vuông góc với đáy Một mặt phẳng
qua A và vuông góc với cạnh S C, cắt S B ở B0, cắt S C ở C0, cắt S D ở D0
a) Chứng minh rằng tứ giác A0B0C0D0có hai góc đối diện vuông
b) Chứng minh rằng nếu S di chuyển trên ở đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ABCD tại A thì mặt phẳng (A0B0C0D0) luôn đi qua một đường thẳng cố định và các điểm A, B, B0, C, C0, D, D0 cùng nằm trên một mặt cầu cố định
c) Giả sử góc giữa cạnh S C và mặt bên S AB bằng x Tính tỷ số giữa thể tích của hình chóp S AB0C0D0 và thể tích của hình chóp S ABCD theo x biết AB= BC
Bài 0.21 Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0có đáy là hình vuông ABCD tâm O cạnh 2a, cạnh bên AA0 = 3a Gọi
Q, I lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng DD0, OB Mặt phẳng (α) qua IQ và song song với AC chia hình hộp ABCD.A0B0C0D0thành hai phần.Tính thể tích của mỗi phần và tỉ số thể tích của hai phần đó
Bài 0.22 Cho hình chóp S ABC và hai điểm M, N nằm trên hai cạnh S A, S B tương ứng với S M
MA = 1
2,S N
N B = 2 Mặt phẳng (P) qua hai điểm M, N và song song với cạnh S C chia hình chóp thành hai phần Tính tỉ số thể tích của hai phần ấy
Bài 0.23 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình bình hành Gọi M là trung điểm S C Một mặt phẳng (α) đi
qua AM và song song với BD chia khối chóp thành hai phần Tính tỉ số thể tích của hai phần đó