ĐỀ THI ONLINE – NHỊ THỨC NEWTON – CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT Mục tiêu: Khai triển được các biểu thức có dạng n ab Áp dụng được khai triển của nhị thức Newton trong nhiều dạng bài tập nh
Trang 1ĐỀ THI ONLINE – NHỊ THỨC NEWTON – CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT Mục tiêu:
Khai triển được các biểu thức có dạng n
ab
Áp dụng được khai triển của nhị thức Newton trong nhiều dạng bài tập như:
- Tìm hệ số, số hạng chứa xk trong khai triển
- Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển
- Tính tổng của một biểu thức phức tạp và có quy luật
- Luyện tập các bài toán chứng minh đẳng thức, các đẳng thức đặc biệt hay được sử dụng của chỉnh hợp, tổ hợp
…
Câu 1 (Nhận biết) Trong khai triển
6 2 x x
, hệ số của
3
x (x > 0) là:
Câu 2 (Nhận biết) Trong khai triển
7
2 1
b
số hạng thứ 5 là:
A 35a b6 4 B 35a b6 4 C 35a b4 5 D 35a b4
Câu 3 (Nhận biết) Trong khai triển 2 10
3x y , hệ số của số hạng chính giữa là:
A 3 C4 104 B 3 C4 104 C 3 C5 105 D 3 C5 510
Câu 4 (Nhận biết) Trong khai triển
6
2 1
2
, hệ số của số hạng chứa
6 3
a b là:
A 6 3
80a b
64a b
1280a b
60a b
Câu 5 (Nhận biết) Trong khai triển
9
2
8
x
số hạng không chứa x là:
Câu 6 (Nhận biết) Tìm số hạng không chứa x trong khai triến
17
4 3
3 2
1
x x
Câu 7 (Thông hiểu) Trong khai triển 6
2a 1 , tổng ba số hạng đầu là:
Trang 2A 2a66a515a4 B 2a615a530a4
C 64a6192a5480a4 D 64a6192a5240a 4
Câu 8 (Thông hiểu) Trong khai triển 16
x y , tổng hai số hạng cuối là:
A 16x y15y8 B 16x y15y4 C 16xy15y4 D 16xy15y8
Câu 9 (Thông hiểu) Tìm số hạng của khai triển 9
3
3 2 là một số nguyên?
A 8 và 4536 B 1 và 4184 C 414 và 12 D 1313
Câu 10 (Thông hiểu) Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức Newton của
n 5 3
1 x x
, biết
n 1 n
n 4 n 3
C C 7 n 3
Câu 11 (Thông hiểu) Hệ số lớn nhất trong khai triển 10
x2 là:
Câu 12 (Thông hiểu) Hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển nhi thức n
x2 biết n là số nguyên dương thỏa mãn n 0 n 1 1 n 2 2 n n
3 C 3 C 3 C 1 C 2048 là:
Câu 13 (Vận dụng) Tính tổng các hệ số của đa thức 2017
x 1 bằng:
Câu 14 (Vận dụng) Cho khai triển n 2 n
1 2x a a xa x a x Tìm a5 biết a0 a1 a2 71
Câu 15 (Vận dụng) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn A2n3Cn 1n 11n Xét khai triển n
P x x2 Hệ
số lớn nhất của P(x) là:
Câu 16 (Vận dụng) Tính tổng S C02017 1C12017 1C22017 1 C20172017
A
2017
2017
2018
2018
2018
2017
2017
2018
Câu 17 (Vận dụng) Tính tổng S 1.C 120182.C22018 2018C20182018
Trang 3A 2018.22017 B 2017.22018 C 2018.22018 D 2017.22017
Câu 18 (Vận dụng) Cho SC158 C915C1015 C 1515 Tính S
A S215 B S214 C S315 D S314
Câu 19 (Vận dụng cao) Trong các đẳng thức sau đẳng thức nào sai?
S 1C 2C n 1 C nC n.2
S 1.2C 2.3.C n 1 nC n 1 n2
C 2 1 2 2 2 n 1 2 n n 2
S 1 C 2 C n 1 C n C n n 1 2
n
4
Câu 20 (Vận dụng cao) Cho n là một số nguyên dương Gọi a3n 3 là hệ số của x3n 3 trong khai triển thành đa thức của 2 n n
x 1 x2 Tìm n sao cho a3n 3 26n
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT THỰC HIỆN: BAN CHUYÊN MÔN TUYENSINH247.COM
Câu 1
Phương pháp:
Khai triển nhị thức Newton, cho số mũ của x bằng 3 để tìm hệ số của x3
Cách giải:
3 2
x
x
Số hạng chứa 3 3k 3k
Vậy hệ số của số hạng chứa x3 bằng: 4 6 4
6
C 2 60
Trang 4Chọn A.
Câu 2
Phương pháp:
Khai triển nhị thức Newton, sau đó tìm số hạng thứ 5 của khai triển đó
Cách giải:
Số hạng tổng quát: k 2 7 k k k 14 2k k
1
b
5 7
k 1 5 k 4 T C a b 35a b
Chọn A.
Chú ý và sai lầm: Số hạng thứ 5 khác số hạng chứa x5
Câu 3
Phương pháp:
Dùng khai triển của nhị thức Newton
Số hạng chính giữa trong khai triển n
ab là số hạng chứa xk với k n 1
2
Cách giải:
Ta có: 10 1 6
2
Số hạng chính giữa là số hạng thứ 6
Số hạng tổng quát là: k 2 k 10 k k k 10 k 2k 10 k
T C 3x y C 3 1 x y 0 k 10, kN
Vậy hệ số của số hạng chính giữa là: 3 C5 510
Chọn D.
Chú ý và sai lầm: Do bài toán này có n = 10 nên rất nhiều bạn sai lầm số hạng chính giữa là số thứ 5, sau đó đi
viết khai triển và tìm số hạng thứ 5 Lưu ý: Số hạng thứ 5 và số hạng chứa x5 là khác nhau
Câu 4
Phương pháp:
Khai triển nhị thức Newton, tìm hệ số của số hạng chứa a b bằng cách cho số mũ của a bằng 6 và số mũ của b 6 3 bằng 3
Cách giải:
Trang 5Số hạng tổng quát là: k 2 k 6 k k k 6 k 2k 6 k
Số hạng chứa a b6 3 2k 6 k 3
Vậy số hạng chứa 6 3
a b là
3
6
1
2
Chọn C.
Câu 5
Phương pháp:
Khai triển nhị thức Newton, tìm hệ số của số hạng không chứa x bằng cách cho số mũ của x bằng 0
Cách giải:
Số hạng tổng quát là
9 k
k k k 9 k k k 9 k 3k 18
Số hạng không chứa x3k 18 0 k 6
Vậy số hạng không chứa x là C 869 343008
Chọn D.
Câu 6
Phương pháp:
Khai triển nhị thức Newton, tìm hệ số của số hạng không chứa x bằng cách cho số mũ của x bằng 0
Sử dụng công thức
m
n m n
x x
Cách giải:
4
1
x
Số hạng không chứa x 51 17k 0 k 9
4 12
Vậy số hạng không chứa x là: C179 24310
Chọn A.
Câu 7
Phương pháp:
Sử dụng khai triển của nhị thức Newton Tìm ba số hạng đầu tiên của khai triển và tính tổng của ba số hạng đó
Trang 6Cách giải:
Số hạng tổng quát là k 6 k k k k 6 k 6 k
T C 2a 1 C 1 2 a
Ba số hạng đầu tiên là 0 0 6 6 6 1 1 5 5 5 2 2 4 4 4
T C 1 2 a 64a ; T C 1 2 a 192a ; T C 1 2 a 240a Vậy tổng ba số hạng đầu tiên là: 64a6192a5240a 4
Chọn D.
Câu 8
Phương pháp:
Sử dụng khai triển của nhị thức Newton Tìm hai số hạng cuối của khai triển và tính tổng của hai số hạng đó
Cách giải:
Số hạng tổng quát là: k k k
k 16 k k 16 k 2
T C x y C 1 x y Hai số hạng cuối là số hạng thứ 16 và 17
Số hạng thứ 16 là 15 15 1 152 15
16 16
T C 1 x y 16x y
Số hạng thứ 17 là 16 16 0 16 8
2
17 16
T C 1 x y y Vậy tổng hai số hạng cuối là 15 8
Chọn A.
Câu 9
Phương pháp:
Sử dụng khai triển của nhị thức Newton Muốn một số hạng của khai triển là số nguyên thì số mũ của các thừa
số trong mỗi số hạng phải nguyên
Cách giải:
Số hạng tổng quát là: k 9 k k 9 k
Để số hạng của khai triển là số nguyên thì với
0 0 3
1 9
6 3 1
7 9
0 k 9, k N :
Vậy số hạng nguyên trong khai triển trên là 8 và 4536
Chọn A.
Câu 10
Phương pháp:
Trang 7Từ giả thiết giải phương trình để tìm n, sử dụng các công thức định nghĩa tổ hợp, sau đó thay n và sử dụng khai triển của nhị thức Newton để tìm hệ số của số hạng chứa x8
Cách giải:
ĐK: n 0
n 1 n
n 4 n 3
n 4 ! n 3 !
7 n 3
n 1 !3! n!3!
n 4 n 3 n 2 n 3 n 2 n 1 42 n 3
n 3 3n 36 0
n 3 ktm
n 12 tm
Khi đó ta có
12 5 3
1 x x
12 k 30
1
x
Số hạng chứa x8 30 11k 8 k 4
2
Vậy hệ số của số hạng chứa x8 là C124 495
Chọn A.
Câu 11
Phương pháp:
Viết số hạng tổng quát là Tk 1 sau đó suy ra hệ số của số hạng Tk 1 là ak 1
Để ak 1 là hệ số lớn nhất thì k 1 k
k 1 k 2
Cách giải:
Số hạng tổng quát k k 10 k
k 1 10
T C x 2 0 k 10, kN
Hệ số của Tk 1 là ak 1 C 210k 10 k
Hệ số liền trước k 1 10 k 1 k 1 11 k
a C 2 C 2
Hệ số liền sau k 1 10 k 1 k 1 9 k
a C 2 C 2
Để ak 1 là hệ số lớn nhất thì
Trang 8
k 10 k k 1 11 k
k 1 k
k 10 k k 1 9 k
k 1 k 2 10 10
k! 10 k ! k 1 ! 11 k !
k! 10 k ! k 1 ! 9 k !
11 k 2k
k 11 k
k 11 k
0
11 k 3
k 3
8 k 3
Vậy hệ số lớn nhất là a4 C 2103 715360
Chọn C.
Câu 12
Phương pháp:
Xét khai triển n
x 1 sau đó thay x = 3 vào để tìm n
Dùng khi triển của nhị thức Newton để tìm hệ số của số hạng chứa x10 bằng cách cho số mũ của x bằng 10
Cách giải:
Xét khai triển n 0 0 n 1 1 n 1 n n 0
x 1 C 1 x C 1 x C 1 x
Thay x = 3 ta có: n n 0 n 1 1 n 2 2 n n n
3 1 3 C 3 C 3 C 1 C 20482 2048 n 11
11 11 k k 11 k
11
k 0
Hệ số của số hạng chứa x10 k 10
Vậy hệ số của số hạng chứa x10 là: C 21011 22
Chọn D.
Câu 13
Phương pháp:
Khai triển 2017
x 1 nhờ sử dụng nhị thức Newton
Thay x = 1 để có tổng các hệ số của khai triển trên
Cách giải:
2017 2017 k k 2017 k
2017
k 0
Tổng các hệ số của khai triển trên là C02017C12017 C20162017C20172017
Trang 9Thay x = 1 ta có: 2017 2017 k k 0 1 2016 2017
2017 2017 2017 2017 2017
k 0
Chọn D.
Câu 14
Phương pháp:
Dùng khai triển Newton để tìm a , a , a 0 1 2
Dựa vào tổng a0 a1 a2 71 để tìm n và suy ra a5
Cách giải:
1 2x a a xa x a x
Số hạng tổng quát k k k k k
C 2x C 2 x
n n 1
2
0 1 2
2
5 5
5 7
2n 4n 70 0
Chọn B.
Câu 15
Phương pháp:
Tìm n
Viết số hạng tổng quát là Tk 1 sau đó suy ra hệ số của số hạng Tk 1 là ak 1
Để ak 1 là hệ số lớn nhất thì k 1 k
k 1 k 2
Cách giải:
ĐK: n2
2 n 1
n n
2
15
n 2 ! n 1 !1!
n n 1 3n 11n 0 n 15n 0 n 15
Số hạng tổng quát
Trang 10Số hạng tổng quát k k 15 k
k 1 15
T C x 2 0 k 10, kN
Hệ số của Tk 1 là ak 1 C 215k 15 k
Hệ số liền trước k 1 15 k 1 k 1 16 k
a C 2 C 2
Hệ số liền sau k 1 15 k 1 k 1 14 k
a C 2 C 2
Để ak 1 là hệ số lớn nhất thì
k 15 k k 1 16 k
k 1 k
k 15 k k 1 14 k
k 1 k 2 15 15
k! 15 k ! k 1 ! 16 k !
k! 15 k ! k 1 ! 14 k !
16 k 2k
k 16 k
k 16 k
0
16 k 3
k 5
13 k 3
Vậy hệ số lớn nhất là a6 C 2 155 10
Chọn B.
Câu 16
Phương pháp:
Biến đổi số hạng tổng quát 1 Ck2017 1 Ck 12018
Cách giải:
Xét số hạng tổng quát:
k 1 k 1 k! 2017 k ! 2018 k 1 ! 2018 k 1 ! 2018
Khi đó ta có:
2017 2017 2017 2017
k
2017 2017
2017
2018 2018 2018 2018
k 0 k 0
2018
2018 0
2018
Chọn B.
Câu 17
Phương pháp:
Trang 11Sử dụng đẳng thức k k 1
n n 1
kC nC , sau đó sử dụng nhị thức Newton để tính tổng
Cách giải:
Ta có kCkn nCk 1n 1
2018 2018
k 1 k 1
2017
2017 2017 2017
Chọn A.
Câu 18
Phương pháp:
Sử dụng đẳng thức Ckn Cn kn , sau đó sử dụng nhị thức Newton để tính tổng
Cách giải:
Sử dụng đẳng thức Ckn Cn kn ta được:
15 15 15 15 15 15 15 15
15 15 15 15 15 15 15 15
15 15 15 15 15 15 15 15
Xét khai triển 15 0 0 1 1 2 2 15 15
x 1 C x C x C x C x Thay x = 1 ta có: 215C150 C115C152 C15152S S 2 14
Chọn B
Câu 19
Phương pháp:
Sử dụng các đẳng thức sau:
A kCkn nCk 1n 1
B k k 2
k 1 kC n 1 nC
C 2 k k 2 k 1
k C n 1 nC nC
D
k k 1
n n 1
k 1 n 1
Cách giải:
Với đáp án A, ta sử dụng đẳng thức kCkn nCk 1n 1
Trang 12Khi đó ta có: 1 2 n 1 n n k
k 0
n
n 1
n 1 n 1 n 1 n 1
k 0
nC n C C C n 1 1 n.2
Vậy A đúng
Với đáp án B ta sẽ dùng đẳng thức k k 1 k 1 k 2
k 1 kC k 1 nC n k 1 C n 1 nC
0 1 2 n 3 n 2 n 2 n 2
n 2 n 2 n 2 n 2 n 2
n 1 n C C C C C n 1 n 1 1 n 1 n2
Vậy B đúng
Với đáp án C: Ta có: 2 k k k k 2 k 1
k C k k 1 C kC n 1 nC nC
Khi đó ta có 2 1 2 2 2 n 1 2 n n 2 k
k 1
n 2 n 2 n 2 n 1 n 1 n 1
Vậy C đúng
Với đáp án D ta sử dung đẳng thức k 1 k kn k 1n 1
k 1 n 1
Khi đó ta có: 0n 1n 2n n 1n nn n kn n k 1n 1
4
k 0 k 0
Vậy đáp án D sai
Chọn D.
Câu 20
Phương pháp:
Sử dụng nhị thức Newton khai triển 2 n n n k 2k n i i n i
k 0 i 0
Trang 13Muốn tìm số hạng chứa x3n 3 ta phải tìm cặp (k, i) sao cho 2k i 3n 3
Cách giải:
Theo công thức khai triển của nhị thức Newton ta có:
Số hạng chứa x3n 3 tương ứng với cặp (k, i) thỏa mãn
k;i n 1; n 1 2k i 3n 3
Do đó hệ số của 3n 3
x là: a3n 3 Cn 1n.2 C1 n 1n C 2 Cnn 3 n 3n 2n28C3n
2
2
n!
3! n 3 ! 4
3
7
2
Vậy n = 5
Chọn D