TS247 BG quy tac chung ve hinh khong gian xac dinh goc giua duong thang va mat phang 8991 1476849491

CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN QUY TẮC CHUNG VẼ HÌNH KHÔNG GIAN, XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG I.. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Định nghĩa: Góc giữa đường thẳng và mặ

CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

QUY TẮC CHUNG VẼ HÌNH KHÔNG GIAN, XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA

ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

I Một số quy tắc vẽ hình

1 Nét đứt, nét liền

2 Chóp

3 Lăng trụ

II Xác định góc

1 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Định nghĩa: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc tạo bởi chính đường thẳng đó và hình

chiếu của nó trên mặt phẳng

+) Các bước tìm góc:

Bước 1: Tìm điểm chung

Bước 2: Từ điểm còn lại hạ vuông góc xuống mặt phẳng kia

Bước 3: Nối lại với điểm chung

=> Góc ở điểm chung

2 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ đáy Đáy là hình chữ nhật với AB = 2a, BC = a,

SA = a Xác định và tính góc:

a) SD và đáy

b) SC và đáy

c) SC và (SAD)

Giải

a) Góc giữa SD và (ABCD)

* Cách dựng:

B1: Tìm điểm chung : SD ∩ (ABCD) = {D}

B2: Tìm điểm còn lại : Hạ vuông góc xuống mặt phẳng đối diện

Từ S hạ vuông góc xuống (ABCD): SA ⊥ (ABCD)

=> 𝑆𝐷𝐴 là góc cần tìm

* Tính :

Xét tam giác vuông SAD có:

tan D = 𝑆𝐴

𝐴𝐷 = 𝑎

𝑎 = 1

=> 𝑆𝐷𝐴 = 450

b) Góc giữa SC và (ABCD)

* Cách dựng:

- Điểm chung: SD ∩ (ABCD) = {C}

- S là điểm còn lại, ta được SA ⊥ (ABCD)

=> 𝑆𝐶𝐴 là góc cần tìm

* Tính :

Xét tam giác vuông ABC: AB2 + BC2 = AC2

 4a2 + a2 = AC2

 AC2 = 5a2

=> AC = a 5

- Xét tam giác vuông SAC có: tan C = 𝑆𝐴

𝐴𝐶 = 𝑎

𝑎 5 = 1

5

=> 𝑆𝐶𝐴 = arctan 1

5

c) Góc giữa SC và (SAD)

* Cách dựng:

- Điểm chung: SC ∩ (SAD) = {S}

- Ta thấy: 𝐶𝐷 ⊥ 𝐴𝐷)

𝐶𝐷 ⊥ 𝑆𝐴 => CD ⊥ (SAD)

=> 𝐷𝑆𝐶 là góc cần tìm

* Tính:

- Xét tam giác vuông SAD có: SA2 + AD2 = SD2

=> a2 + a2 = SD2 = 2a2

=> SD = a 2

- Xét tam giác vuông SCD có:

tan S = 𝐶𝐷

𝑆𝐷 = 2𝑎

𝑎 2 = 2 => 𝐷𝑆𝐶 = arctan 2

Ví dụ 2 Cho hình chóp SABC có (SAB) ⊥ (ABC) Đáy là tam giác đều cạnh a Gọi H là trung điểm AB Biết SH vuông góc với đáy và SH = 𝑎 3

2 a) Tính góc SC và đáy

b) Gọi M là trung điểm BC Tính góc giữa SM và đáy

Giải

a) SC và đáy

* Cách dựng:

- Điểm chung: SC ∩ (ABC) = {C}

- Hạ SH ⊥ (ABC)

=> 𝑆𝐶𝐻 là góc cần tìm

* Tính

- Vì ∆ ABC đều cạnh a

=> CH = 𝑎 3

2

- Xét tam giác vuông SCH có: tan C = 𝑆𝐻

𝐻𝐶 = 1

=> 𝑆𝐶𝐻 = 450

b) SM và (ABC)

=> 𝑆𝑀𝐻 là góc cần tìm

- Xét tam giác vuông ABC có: 𝐻 𝑙à 𝑡𝑟𝑢𝑛𝑔 đ𝑖ể𝑚 𝐴𝐵

𝑀 𝑙à 𝑡𝑟𝑢𝑛𝑔 đ𝑖ể𝑚 𝐵𝐶

=> HM là đường trung bình

=> HM = 1

2 𝐴𝐶 = 𝑎

2

- Xét tam giác vuông SHM có: tan M = 𝑆𝐻

𝐻𝑀

=> 𝑆𝑀𝐻 = 600

Ví dụ 3 Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có AA’ vuông góc với đáy Cạnh AA’ = a Đáy là tam giác đều cạnh a Tính góc giữa A’B và (AA’C’C)

Giải

* Xác định góc giữa A’B và (AA’C’C)

- Điểm chung: A’B ∩ (AA’C’C) = *A’+

- Ta có: 𝐵𝐻 ⊥ 𝐴𝐶

𝐵𝐻 ⊥ 𝐴𝐴′ => BH ⊥ (AA’C’C)

=> 𝐵𝐴′𝐻 là góc cần tìm

* Tính

- Xét ∆ đều ABC có đường cao BH

=> BH = 𝑎 3

2

- Xét tam giác vuông A’AB có: AA’2 + AB2 = A’B2

=> a2 + a2 = A’B2 = 2a2

=> A’B = a 2

- Xét tam giác vuông A’BH có: sin A’ = 𝐵𝐻

𝐴′𝐵 = 𝑎 3

2 ∶ 𝑎 2 = 3

2 2

=> 𝐵𝐴′𝐻 ≈ 37,80