CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BÀI 14.. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU BẰNG PHƯƠNG PHÁP DỰNG MẶT PHẲNG SONG SONG I.. => Dựng: Từ chân đường vuông góc của chóp, dựng đường vuô
Trang 1CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
BÀI 14 KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU BẰNG PHƯƠNG PHÁP DỰNG MẶT PHẲNG SONG SONG
I Lý thuyết
* Tính khoảng cách giữa a và b
(1) Cấp độ 1: 1 trong 2 đường a, b chính là đường cao của chóp
=> Dựng: Từ chân đường vuông góc của chóp, dựng đường vuông góc xuống đường thẳng kia
Ví dụ 1 Cho hình chóp SABCD có SA vuông góc với đáy Đáy là hình vuông cạnh a, SC tạo
với đáy một góc 450
a) Tính d(SA, BD)
b) Tính d(SA, DI) , biết I ∈ BC và BI = 2IC
Giải
a) Dựng: AO ⊥ BD => AO = d(SA, BD)
+) Chứng minh: 𝐴𝑂 ⊥ 𝐵𝐷
𝐴𝑂 ⊥ 𝑆𝐴
=> AO = d(SA, BD)
+) Tính: AO = 𝑎 2
2
Trang 2b) Dựng: AH ⊥ DI => AH = d(SA , DI)
+) Chứng minh: 𝐴𝐻 ⊥ 𝐷𝐼
𝐴𝐻 ⊥ 𝑆𝐴
=> SA = d(SA, DI)
+) Tính:
S∆AID = 1
2 AD CD = 𝑎
2
2
S∆AID = 1
2 AH ID = 𝑎
2
2
1
2 AH ( 𝐶𝐷2+ 𝐼𝐶2) = 𝑎
2
2
1
2 AH 𝑎 10
3 = 𝑎
2
2
=> AH = 3𝑎
10
(2) Cấp độ 2:
B1: Tìm (P) chứa b sao cho (P) ⊥ a
B2: (P) ⊥ a = {H} => Dựng từ H 1 đoạn HK vuông góc với b
=> d(a, b) = HK
Ví dụ 1 Cho hình chóp SABC có (SAB) , (SAC) cùng vuông góc với đáy, SA = a 3 Đáy là tam giác đều cạnh a, I là trung điểm AB Tính khoảng cách d(SB, CI) ?
Giải
+) Dựng: SB ⊂ (SAB)
Trang 3Ta có: 𝐶𝐼 ⊥ 𝑆𝐴
𝐶𝐼 ⊥ 𝐴𝐵 => (SAB) ⊥ CI = {I}
Từ IH ⊥ SB => IH = d(SB, CI)
+) Chứng minh: 𝐼𝐻 ⊥ SB
𝐼𝐻 ⊥ CI (do CI ⊥ SAB )
=> IH = d(SB, CI)
+) Tính:
Ta có: ∆ BHI ∽ ∆ BAS (g.g)
=> 𝐼𝐻
𝐼𝐵 = 𝑆𝐴
𝑆𝐵 𝐼𝐻𝑎
2
= 𝑎 3 2𝑎
=> IH = 𝑎
2 𝑎 3
2𝑎 = 𝑎 3
4
Vậy d(SB, CI) = 𝑎 3
4
Ví dụ 2 Cho chóp đều SABCD , đáy tâm O, cạnh a, SC = 𝑎 6
2 Tính khoảng cách d(AC, SD) ?
Giải
+) Dựng SD ⊂ (SBD)
Ta có: 𝐴𝐶 ⊥ 𝐵𝐷
𝐴𝐶 ⊥ 𝑆𝑂 => AC ⊥ (SBD) = {O}
Từ OH ⊥ SD => OH = d(AC, SD)
+) Chứng minh: tự CM
+) Tính:
BD = 𝑎 2 => OD = 𝑎 2
2
Trang 4Xét tam giác vuông SCO có: SO2 = SC2 – OC2 = 3𝑎
2
2 − 𝑎2
2 = 𝑎2
=> SO = a
Xét tam giác vuông SOD có: 1
𝑂𝐻 2 = 1
𝑆𝑂 2 + 1
𝑂𝐷 2 = 1
𝑎 2+ 𝑎 21
2
= 3
𝑎 2
=> OH = 𝑎
3
Ví dụ 3 (Trích đề ĐH khối D năm 2014) Cho SABC đáy là tam giác vuông cân tại A Tam
giác SBC là tam giác đều cạnh a Mặt phẳng (SBC) vuông góc với đáy Tính d(SA, BC) ?
Giải
+) (SBC) ⊥ (ABC) = AB
SH ⊥ AB => SH ⊥ (ABC)
+) d(SA, BC) = ?
SA ⊂ (SAH) ⊥ BC
Ta có: 𝐵𝐶 ⊥ SH
𝐵𝐶 ⊥ AH => BC ⊥ (SAH) = {H}
=> HK ⊥SA => d(SA, BC) = HK
+) Xét tam giác đều SBC => SH = 𝑎 3
2
+) Do AH là trung tuyến tam giác vuông ABC
=> AH = 1
2 BC => AH = 𝑎
2
+) 1
𝐻𝐾 2 = 1
𝑆𝐻 2+ 1
𝐴𝐻 2 = 3𝑎 21
4
+ 𝑎 21
4
= 13 3𝑎 2
=> HK = 𝑎 3
13
Trang 5Vậy khoảng cách d(SA, BC) = HK = 𝑎 3
13
Ví dụ 4 Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a M, N lần lượt là trung điểm AB,
AD Giao giữa CN và DM là điểm H, SH vuông góc với mp (ABCD), SH = 𝑎 3 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC
Giải
+) ∆ CND = ∆ DMA (c.g.c)
=> 𝐴𝐷𝑀 = 𝐷𝐶𝑁
Ta có: 𝐴𝐷𝑀 + 𝑀𝐷𝐶 = 900
=> 𝐶 + 𝐷 = 900 => CH ⊥ DM
=> SC ∈ (SCH) ⊥ DM = {H}
Ta có: HK ⊥ SC => d(DM, SC) = HK
+) Tính
Theo định lý Py-ta-go ta có: NC2 = ND2 + CD2 = 𝑎
2
4 + a2 = 5𝑎
2
4
=> NC = 𝑎 5
2
Xét trong tam giác vuông DNC có: HC CN = CD2
HC 𝑎 5
2 = a2 => HC = 2𝑎
5
Xét trong tam giác vuông SHC có: 1
𝐻𝐾 2 = 1
𝐻𝐶 2 + 1
𝑆𝐻 2 = 4𝑎 21
5
+ 1 3𝑎 2 = 19
12𝑎 2
=> HK = 2𝑎 3
19