CHUYÊN ĐỀ : LƯỢNG GIÁC BÀI GIẢNG: BIỆN LUẬN NGHIỆM TÌM THAM SỐ m Biện luận nghiệm tìm tham số Dạng 1: Phương trình một hàm sin, cos.. Phương trình bậc nhất sin, cos.. Điều kiện có nghi
Trang 1CHUYÊN ĐỀ : LƯỢNG GIÁC
BÀI GIẢNG: BIỆN LUẬN NGHIỆM TÌM THAM SỐ m
Biện luận nghiệm (tìm tham số)
Dạng 1: Phương trình một hàm sin, cos
Dạng sinf m hay cosf m
Vì 1 sin, cos 1 nên 1 f m 1
Dạng 2 Phương trình bậc nhất sin, cos
Phương trình có dạng Asinx Bcos x C.
Phương trình dạng trên có nghiệm khi và chỉ khi 2 2 2
A B C
Dạng 3 Phương trình bậc 2 :1ẩn
Phương trình có dạng 2
At Bt C 0
Điều kiện có nghiệm 2
Chú ý: t có điều kiện thì nên làm cách khác
Câu 1 Điều kiện cần và đủ để phương trình 3sin x m 1 0 có nghiệm là:
HD: 3sin x m 1 0 s inx 1 m
3
Để phương trình có nghiệm thì
3
Câu 2: Phương trình 1 cos x m (m là tham số thực) có nghiệm thuộc khoảng ;3
2 2
khi và chỉ khi: HD: 1 cos x m cos x m 1
Vì x ;3
2 2
nên cos x 1;0 1 m 1 0 0 m 1
Câu 3: Phương trình 2m 1 cos x m 1 0(m là tham số thực) có nghiệm khi và chỉ khi?
HD:
Xét 2m 1 0 Khi đó ta có m 1
2
Với m 1
2
thì phương trình đã cho trở thành 1 1 3 0
1
m
2
thì phương trình đã cho vô nghiệm
Trang 2Với 2m 1 0. Ta có phương trình đã cho trở thành cos x 1 m
2m 1
Để phương trình có nghiệm thì điều kiện cần và đủ là 1 1 m 1
2m 1
+) TH 1: 1 m 1
2m 1
1 m
1 0 2m 1
2 m
0
2m 1
Vậy
1
m
2
+) TH 2: 1 m 1
2m 1
1 m
1 0 2m 1
3m
0
2m 1
Vậy
1
m
2
Kết hợp điều kiện:
m , 2 0,
Câu 4 Điều kiện cần và đủ để phương trình 4m cos x2 m 3( m là tham số thực ) vô nghiệm là
+) Với m0 thì phương trình đã cho trở thành 03 vô lý Vậy m0 là một giá trị cần tìm
+) Xét m0 Phương trình đã cho trở thành cos x2 m 3
4m
Để phương trình vô nghiệm thì
m 3
1 4m
m 3
0 4m
Trường hợp 1 m 3 1 m 3 1 0 3m 3 0
Trang 3Vậy 0 m 1
Trường hợp 2 m 3 0
4m
Vậy 3 m 0
Kết luận Tất cả các giá trị m cần tìm là 3 m 1
Câu 5 Tìm tập hợp các giá trị thực của tham số mđể phương trình m 1 s inx 2m cos x 1 0 có nghiệm
Hướng dẫn giải
Phương trình đã cho tương đương với m 1 s inx 2m cos x 1 Để phương trình này có nghiệm thì điều kiện cần và đủ là 2 2 2
m 5
Câu 6 Phương trình 2
cos x m 1 sin 2x m (m là tham số thực) có nghiệm khi và chỉ khi:
HD:
2
cos x m 1 sin 2x m
1 cos2x
m 1 sin 2x m 2
1 cos2x 2 m 1 sin 2x 2m
cos2x 2 m 1 sin 2x 2m 1
Để phương trình trên có nghiệm thì điều kiện cần và đủ là
4m 4 0
m 1
Câu 7 Phương trình 2
m tan x2m tan x 1 0(m là tham số thực) có nghiệm khi và chỉ khi:
HD:
Đặt t tan x. Khi đó phương trình ban đầu trở thành 2
mt 2mt 1 0. +)Xét m0 Phương trình trở thành 1 0 vô lí
+)Với m0 Phương trình bậc 2 có nghiệm khi và chỉ khi
2
Trang 4Câu 8 Phương trình cos2x 4cosx 3 2m 0 1 (m là tham số thực) có nghiệm khi và chỉ khi:
HD:
Cách 1:
Ta có
2
2
2 cos x 1 4 cos x 3 2m 0
2 cos x 4 cos x 2m 2 0
cos x 2 cos x m 1 0
Đặt tcos x t 1,1 Phương trình trở thành 2
t 2t 1 m 0 2 Phương trình 1 có nghiệm khi và chỉ khi phương trình 2 có nghiệm thuộc 1,1 Khi đó ta có
2
b
2a
+) Trường hợp 1 1 2 4m
2
+) Trường hợp 2 2 4m 1
2
HS tự giải
Cách 2:
Viết lại phương trình đã cho dưới dạng
2
cos x 2cos x 1 m 0
Đặt tcos x t 1,1 Phương trình trở thành t2 2t 1 m Đặt 2
f t t 2t 1
Xét hàm số 2
f t t 2t 1 trên 1,1 Ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta suy ra
0f t 4 0 m 4 0 m 4
Câu 9 Phương trình 2
sin x m 1 sinx m 0 (m là tham số thực) có nghiệm thuộc đoạn ,
4 4
khi và chỉ khi
Trang 5Đặt t sinx. Do x ,
4 4
nên
Phương trình trở thành 2
t m 1 t m 0
Câu 10 Phương trình mcos x sin x2 2 ms inx cos x0 (m là tham số thực) có nghiệm khi và chỉ khi
+)Nếu cos x0 thì phương trình trên trở thành 2
sin x0 vô lí
+)Với cos x0 Chia hai vế của phương trình cho cos x ta nhận được 2
2
m tan x m tan x0
ttan x t mt m 0
Câu 11 Phương trình sin 2xs inx cos x 1 2m0 (m là tham số thực) có nghiệm khi và chỉ khi
Đặt t s inx cos x , 0 t 2 Ta có
2 2
sin x cos x 2sin x cos x t
1 2sin x cos x t
2sin x cos x 1 t
Phương trình đã cho trở thành 2 2
Lập bảng biến thiên của hàm số 2
f t t t trên đoạn 0, 2 ta có
0f t 2 2 0 2m 2 2 0 m