Mẹo tìm nhanh đạo hàm hàm số hữu tỷ bậc n Ngô Đình Học January 17, 2018 Bài này được viết tiếp theo bài mẹo tìm nhanh đạo hàm của hàm số hữu tỉ bậc 1 và bậc 2 mà không cần nhớ công thức
Trang 1Mẹo tìm nhanh đạo hàm hàm số hữu tỷ bậc n
Ngô Đình Học January 17, 2018
Bài này được viết tiếp theo bài mẹo tìm nhanh đạo hàm của hàm số hữu tỉ bậc 1 và bậc 2 mà không cần nhớ công thức Mục đích chính là giải đáp câu hỏi có mẹo nhanh nào để tìm đạo hàm của hàm số hữu tỉ bậc n bất kỳ hay không Bài toán chính chúng ta muốn giải là tìm đạo hàm của hàm số sau đây:
axn + bxn-1 + cxn-2 + dxn-3 + + kx0
y = -, n = 1, 2, 3, … (1)
Axn + Bxn-1 + Cxn-2 + Dxn-3 + + Kx0
Câu trả lời là có cách tính nhanh đạo hàm của hàm số trên Khẩu quyết vô chiêu gồm có 3 câu sau đây:
a Nhân chéo trừ nhân chéo kể luôn biến số
b Giảm số mũ một bậc
c Nhân với số lần khởi hành (số lần khởi hành là hiệu số của 2 số mũ khi nhân chéo)
Sở dĩ ta phải giảm bậc vì khi tính đạo hàm của xn thì số mũ sẽ giảm xuống thành xn-1
1 Đạo hàm hữu tỉ bậc 2
Bây giờ, ta hãy áp dụng khẩu quyết trên để giải lại bài toán hàm số hữu tỉ bậc 2 trong bài viết đã nêu
3x2 + 2x +1 11x2 + 38x + 9
y = - ==> y’ = - (2)
2x2 + 5x + 7 (2x2 + 5x + 7) 2
Nhận xét có tất cả 3 lần nhân chéo, gồm 2 lần xuất phát từ 3x2 và một lần từ 2x:
• Xuất phát từ 3x2 lần thứ nhất, áp dụng 3 khẩu quyết a, b, c:
(3x2 nhân 5x) – (2x2 nhân 2x) = 11x3 , giảm bậc còn 11x2, nhân 1 lần khởi hành => 11x2
• Xuất phát từ 3x2 lần thứ nhì, áp dụng 3 khẩu quyết a, b, c:
(3x2 nhân 7) – (2x2 nhân 1) = 19x2 , giảm bậc còn 19x, nhân 2 lần khởi hành => 38x
Chú ý ta đang tính nhân chéo trừ nhân chéo cho cột đầu tiên và cột cuối cùng:
| cột 1 | | cột 3 |
| 3x2 | | 1x0 |
| 2x2 | | 7x0 |
Số mũ của cột 1 là 2, của cột 3 là 0 Do đó, hiệu số của 2 số mũ là 2, tức bằng số lần khởi hành từ 3x2 Ta cần ghi nhớ điều này để áp dụng cho hàm hữu tỉ bậc n
• Xuất phát từ 2xlần thứ nhất, áp dụng 3 khẩu quyết a, b, c:
(2xnhân 7) – (5xnhân 1) = 9x, giảm bậc còn 9, nhân 1 lần khởi hành => 9
Chú ý hiệu số của số mũ ở cột 2 và 3 là 1 Đó cũng là số lần khởi hành từ 2x
Trang 2cột cột cột cột
mũ 3 mũ 2 mũ 1 mũ 0
3x3 + 2x2 + 4x + 1 8x4 + 14x3 + 48x2 +
y = - y’ = -
2x3 + 4x2 + 5x + 6 ( 2x2 + 5x + 7 ) 2
② khởi hành lần 2, hiệu số mũ của 2 cột là 2 ① khởi hành lần 1, hiệu số mũ của 2 cột là 1
2 Đạo hàm hữu tỉ bậc 3 Áp dụng 3 khẩu quyết a, b, c vào bài toán hữu tỉ bậc 3 sau đây: 3x3 + 2x2 + 4x + 1 8x4 + 14x3 + 48x2 - 6x2 + 16x + 19 y = - ==> y’ = - (3)
2x3 + 4x2 + 5x + 6 (2x3 + 4x2 + 5x + 6) 2 8x4 + 14x3 + 42x2 + 16x + 19 = - (4)
(2x3 + 4x2 + 5x + 6) 2
Nhận xét có tất cả 6 lần nhân chéo xuất phát từ tử số Đó là 3 lần xuất phát từ 3x3 , hai lần từ 2x2 và một lần từ 4x:
• Xuất phát từ 3x3 lần thứ nhất, áp dụng 3 khẩu quyết a, b, c:
(3x3 nhân 4x2) – (2x3 nhân 2x2) = 8x5 , giảm bậc còn 8x4, nhân 1 lần khởi hành => 8x4
• Xuất phát từ 3x3 lần thứ nhì, áp dụng 3 khẩu quyết a, b, c:
(3x3 nhân 5x) – (2x3 nhân 4x) = 7x4 , giảm bậc còn 7x3, nhân 2 lần khởi hành => 14x3
• Xuất phát từ 3x3 lần thứ ba, áp dụng 3 khẩu quyết a, b, c:
(3x3 nhân 6) – (2x3 nhân 1) = 16x3 , giảm bậc còn 16x2, nhân 3 lần khởi hành => 48x2
• Xuất phát từ 2x2 lần thứ nhất, áp dụng 3 khẩu quyết a, b, c:
(2x2 nhân 5x) – (4x2 nhân 4x) = -6x3 , giảm bậc còn -6x2, nhân 1 lần khởi hành => -6x2
• Xuất phát từ 2x2 lần thứ nhì, áp dụng 3 khẩu quyết a, b, c:
(2x2 nhân 6) – (4x2 nhân 1) = 8x2 , giảm bậc còn 8x, nhân 2 lần khởi hành => 16x
• Xuất phát từ 4xlần thứ nhất, áp dụng 3 khẩu quyết a, b, c:
(4xnhân 6) – (5xnhân 1) = 19x, giảm bậc còn 19, nhân 1 lần khởi hành => 19
Nhận xét quan trọng: Số lần khởi hành bằng hiệu số của số mũ của 2 cột tương ứng như hình vẽ sau
③ khởi hành lần 3, hiệu số mũ của 2 cột là 3
Trang 3Nếu giải dạng tổng quát cho đạo hàm của hàm hữu tỉ bậc 3, ta sẽ được kết quả sau đây:
ax3 + bx2 + cx + d Ax4 + Bx3 + (C + D)x2 + Ex + F
y = - ==> y’ = - (5)
mx3 + nx2 + px + q (mx3 + nx2 + px + q)2 với: A = an – mb (6)
B = 2(ap – mc) (7)
C = 3(aq – md) (8)
D = bp – nc (9)
E = 2(bq – nd) (10)
F = cq – pd (11)
Tuy đã có công thức, nhưng chúng ta nên quên hẳn nó đi Bí quyết của vô chiêu là chỉ nhớ vị trí và cách tính toán liên quan đến vị tri mà thôi Do đó, chúng ta hãy áp dụng khẩu quyết a, b, c mà tính nhanh các đạo hàm sau đây: 4x3 + 5x2 + 2x + 3 5x4 + 4x3 + 33x2 + 20x + 4 y = - ==> y’ = - (12)
3x3 + 5x2 + 2x + 5 (3x3 + 5x2 + 2x + 5) 2
3x3 - x2 + 2x - 1 17x4 - 2x3 - 14x2 + 12x - 1 y = - ==> y’ = - (13)
2x3 + 5x2 + x - 1 (2x3 + 5x2 + x - 1) 2
Trang 43 Đạo hàm hữu tỉ bậc n
Thay vì đưa ra công thức, chúng ta hãy áp dụng 3 khẩu quyết a, b, c vào bài toán cụ thể để tìm ra đáp số tức khắc Chẳng hạn, hàm số sau đây là hàm hữu tỉ bậc n = 1000 với rất nhiều số hạng là zero:
2x1000 + 3x + 4 3996x1000 + 10000x999 + 7
y = - ==> y‘ = - (14)
2x + 5 (2x + 5) 2
Muốn biết tại sao kết quả như thế, ta hãy sắp xếp lại các số hạng có cùng số mũ cho ngay cột và đồng thời phục hồi các cột bằng zero:
2x1000 + 0x999 + 0x998 + + 3x + 4
y = - (15)
0x1000 + 0x999 + 0x998 + + 2x + 5
| | | | |
Cột : 1 2 3 1000 1001
Số mũ của x: 1000 999 998 1 0
Nhân chéo xuất phát từ 2x1000 : Lần 1 Lần 2 Lần 999 Lần 1000
Nhân chéo xuất phát từ 3x : Lần 1
Áp dụng khẩu quyết a, b, c:
• Cặp nhân chéo trừ nhân chéo đầu tiên sống sót là cột 1 và cột 1000
Số lần khởi hành từ 2x1000 là 999, tức bằng hiệu số của số mũ ở 2 cột: mũ 1000 – mũ 1 = 999
Vậy nhân chéo trừ nhân chéo được 4x1001, giảm một bậc còn 4x1000
Đem nhân với 999 lần khởi hành cho ra kết quả là 3996x1000
• Cặp nhân chéo trừ nhân chéo thứ nhì sống sót là cột 1 và cột 1001
Số lần khởi hành từ 2x1000 là 1000, tức bằng hiệu số của số mũ ở 2 cột: mũ 1000 – mũ 0 = 1000 Vậy nhân chéo trừ nhân chéo được 10x1000, giảm một bậc còn 10x999
Đem nhân với 1000 lần khởi hành cho ra kết quả là 10000x999
• Cặp nhân chéo trừ nhân chéo cuối cùng sống sót là cột thứ 1000 và cột 1001
Số lần khởi hành từ 3x là 1, tức bằng hiệu số của số mũ ở 2 cột: mũ 1 – mũ 0 = 1
Vậy nhân chéo trừ nhân chéo được 15x - 8x = 7x, giảm một bậc còn 7
Đem nhân với 1 lần khởi hành cho ra kết quả là 7
Trang 5Kết luận
Bài viết này đã đưa ra một qui luật tìm đạo hàm thật nhanh có thể áp dụng như nhau cho hàm hữu tỉ bậc
n bất kỳ, từ bậc nhất đến bậc ngàn, hay bậc triệu
Qui luật này có thể được chứng minh bằng cách giải dạng tổng quát dùng công thức tính đạo hàm của y = u/v Sau khi ra đáp số, ta sắp xếp lại thứ tự các số hạng để cho xuất hiện qui luật như đã mô tả trong khẩu quyết a, b, c Tuy nhiên, vấn đề thử thách lớn nhất là tìm ra qui luật đơn giản để nhớ các hệ số Bài viết này đã cống hiến qui luật nầy Đó là phải lấy số lần khởi hành nhân với kết quả của nhân chéo trừ nhân chéo