GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

Nhằm mục đích rèn luyện cho học sinh các kỹ năng giải toán và có cơ hội đạt điểm cao trong kì thi THPT Quốc gia năm học 2015 – 2016, tôi đã viết chuyên đề “Giải phương trình và hệ phương trình bằng phương pháp hàm số”, đây là quá trình tích lũy kinh nghiệm của bản thân và sự giúp đỡ của đồng nghiệp. Hy vọng chuyên đề này là tài liệu giảng dạy và học tập hữu ích cho giáo viên và học sinh. Chuyên đề này tùy theo từng đơn vị và đối tượng học sinh, giáo viên có thể dạy trong 3 đến 6 tiết đồng thời chọn lọc những ví dụ phù hợp. Trong quá trình viết chuyên đề khó tránh khỏi những thiếu sót, rất mong đồng nghiệp và học sinh đóng góp ý kiến để chuyên đề được áp dụng rộng rãi.

Luyện thi THPT quốc gia Trang 1

SỞ GD VÀ ĐT ………

TRƯỜNG THPT ………



CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

LỜI NÓI ĐẦU

Năm học 2015 – 2016 Bộ Giáo dục và Đào tạo tiếp tục tổ chức kì thi THPT

quốc gia nhằm cả hai mục đích là xét tốt nghiệp và tuyển sinh ĐH – CĐ Đề thicũng phải đảm bảo hai mục đích đó, đề thi sẽ có khoảng 60% ở mức độ cơ bản vàkhoảng 40% ở mức độ phân hóa học sinh, trong 40% mức độ phân hóa học sinh thì

đề thi thường xuất hiện câu giải phương trình hoặc hệ phương trình mà phươngpháp giải có sử dụng đến tính đơn điệu của hàm số Kết quả kì thi THPT Quốc gianăm học 2014 – 2015 cho thấy số những thí sinh nào làm được nhiều phần phânhóa học sinh thì cơ hội để xét tuyển vào các trường ĐH – CĐ tốp trên sẽ cao hơn.Nhằm mục đích rèn luyện cho học sinh các kỹ năng giải toán và có cơ hội đạtđiểm cao trong kì thi THPT Quốc gia năm học 2015 – 2016, tôi đã viết chuyên đề

“Giải phương trình và hệ phương trình bằng phương pháp hàm số”, đây là quátrình tích lũy kinh nghiệm của bản thân và sự giúp đỡ của đồng nghiệp Hy vọngchuyên đề này là tài liệu giảng dạy và học tập hữu ích cho giáo viên và học sinh.Chuyên đề này tùy theo từng đơn vị và đối tượng học sinh, giáo viên có thể dạytrong 3 đến 6 tiết đồng thời chọn lọc những ví dụ phù hợp

Trong quá trình viết chuyên đề khó tránh khỏi những thiếu sót, rất mong đồngnghiệp và học sinh đóng góp ý kiến để chuyên đề được áp dụng rộng rãi

Xin chân thành cảm ơn !

x a;b thì

phương trình f x  0 có nhiều nhất n nghiệm x a;b

4 Tính chất 4 Nếu y  f  x đồng biến hoặc nghịch biến trên a;b thì

bằng a;b,a;b,a;b

1 Phương trình có nghiệm duy nhất

a Dấu hiệu : Phương trình cần giải là phương trình không mẫu mực, phức tạp mà

phương pháp thông thường không giải được hoặc giải phức tạp

b Thuật toán

- Tìm điều kiện (điều kiện thông thường và điều kiện kéo theo)

- Biến đổi phương trình về dạng f x  0

- Chứng minh y  f  xluôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến trên a;b

(a;b là miền xác định của phương trình)

- Nhẩm 1 nghiệm x 

x0

của phương trình(Có thể sử dụng MTCT – lệnh “SHIFT+SOLVE”)

- Kết luận : Phương trình có nghiệm duy nhất x  x0

2 Phương trình có tối đa n nghiệm (thông thường 2 hoặc 3 nghiệm)

a Dấu hiệu : Phương trình cần giải là phương trình không mẫu mực, phức tạp mà

phương pháp thông thường không giải được hoặc giải phức tạp

b Thuật toán

- Tìm điều kiện (điều kiện thông thường và điều kiện kéo theo)

- Biến đổi phương trình về dạng f x  0

x a;b

(a;b là miền xác định của phương trình)

- Nhẩm n nghiệm của phương trình

- Tìm điều kiện (điều kiện thông thường và điều kiện kéo theo)

- Biến đổi phương trình về phương trình đồng bậc

-Cố định một vế (vế đơn giản hơn), suy ra hàm đặc trưng f t 

- Biến đổi vế còn lại theo quy luật của hàm đặc trưng, ta được phương trình

Lưu ý : Có thể tìm hàm đặc trưng nhờ MTCT : Cho một vài giá trị của x, tính y rồi

tìm mối quan hệ của x và y





3x 1 3x 1 3x 1

Lời giải : ĐK :

(*)

x   13

Vậy phương trình (*) có 2 nghiệm là : x  0, x 1

x 

2x 1 x2  3

12x 1 x3  3

x  13Hàm số trên liên tục trên 

Mặt khác f 1  0,

tức

x  1 là một nghiệm của phương trình (1)

Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất x  1

Chú ý : Có thể nhẩm nghiệm x  1 trên máy tính cầm tay “SHIFT + SOLVE”

Ví dụ 3: Giải phương trình :x2 15  3x  2 x2  8 (1)

x2 15 x2  8x2 15 x2  8

x  1 là một nghiệm của phương trình (1)

Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất x  1

Chú ý : - ĐK : 2x 1 0 là điều kiện thông thường

ĐK : 4  x  0 là điều kiện kéo theo (Phương trình này có thể bỏ qua)

- Có thể nhẩm nghiệm x  1 trên máy tính cầm tay “SHIFT + SOLVE”

Ví dụ 4: Giải phương trình : 2 3x  4  3 5x  9  x2  6x 13(1)

3x  4 5x  9

3 3x  4 2 5x  915

x  1 là một nghiệm của phương trình (1)

Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất x  1

Chú ý : ĐK : 3x  2  0 là điều kiện kéo theo (Phương trình này bắt buộc phải tìm)

 3  x2  6x

13,

x   43Hàm số trên liên tục trên 

Mặt khác f 0  f 1  0 ,

tức

x  0, x 1 là các nghiệm của (1)Vậy phương trình (1) có đúng 2 nghiệm là : x  0, x 1





t2  3

t

 , suy ra f t

 đồng biến trên

1 3x

3

2  x 3x 1

1 x

x 1

12x  5

x a;b thì

phương trình f x  0 có nhiều nhất n nghiệm x a;b

4 Tính chất 4 Nếu y  f  x đồng biến hoặc nghịch biến trên a;b thì

bằng a;b,a;b,a;b

1 Dấu hiệu : Một trong hai phương trình của hệ có thể đưa về phương trình đồng

bậc (các đại lượng trong phương trình đó có cấu trúc tương đối giống nhau)

2 Thuật toán

Bước 1: Tìm điều kiện

- Điều kiện thông thường

- Điều kiện kéo theo

Bước 2: Biến đổi phương trình có cấu trúc tương đối giống nhau về phương trình

đồng bậc (Đặt ẩn phụ, chia 2 vế cho một biểu thức nào đó, …)

Bước 3: Biến đổi phương trình đồng bậc ở bước 2 về dạng f u  f v bằng cách

 x theo y hoặc y theo x , thế vào phương trình còn lại tìm nghiệm của nó và suy

ra nghiệm của hệ đã cho

Ví dụ minh họa : Giải hệ phương trình : x3  3x 2  9x  22  y 3  3y 2  9

- Điều kiện thông thường : Không có

- Điều kiện kéo theo

+ Coi phương trình (2) là phương trình bậc 2 ẩn x

2  2x2  2x  2 y2  2 y 1  0

Điều kiện có nghiệm x là

'  1 2 2 y2  2 y 1  4 y2  4 y  3  0   3  y  1

+ Coi phương trình (2) là phương trình ẩn y

2  2 y2  2 y  2x2  2x 1  0 , điều kiện có nghiệm y là

3a b 

3a

 

 3  0

3x  2 x  3

x  3

33x  2  1 x  3  11

3 3x  3x  2 x  3

3 3x  23x  2 1 x  3 1x  3  2

6  y 5y  9

6  y 5y  9

6  y

155y  9

trình

y   9

;6 

g  y 0

Kết luận : Hệ đã cho có 2 nghiệm đó là :  x; y  1;0, x; y  2;3

Chú ý : Có thể giải phương trình (*) bằng cách tìm từng nghiệm một thông qua kỹthuật liên hợp

3x  1 6  x

33x  1  4

1  x  21

 

x  1

2 là nghiệm của phương trình (*)

Vậy phương trình (*) có nghiệm duy nhất x  1

 

x vào 1

t2 1

 x 12 1  y2 1

x2  3x2  8

Lê Hồng

Khôi

Trường THPT Liễn Sơn

Lê Hồng

Khôi

Trường THPT Liễn Sơn

ta được phương trình

Nhận thấy x  11

2không là nghiệm của *

2x 11

3 2   2 