Sự ổn định của phương trình chuyển mạch tuần hoàn tuyến tính

Luận văn thạc sĩ sự ổn định của hệ phương trình chuyển mạch tuần hoàn tuyến tính là tài liệu mô tả về hệ vi phân, hệ chuyển mạch tuần hoàn tuyến tính. Luận văn gồm lời nói đầu, ba chương và danh mục tài liệu tham khảo. Chương 1: Trình bày một số kiến thức chuẩn bị, bao gồm tính ổn định, ổn định tiệm cận cho hệ không chuyển mạch. Phương trình sai phân tuyến tính suy biến chỉ số 1 và định lý Floquet và các khái niệm về hệ chuyển mạch. Chương 2: Trình bày về tính ổn định, ổn định tiệm cận của hệ chuyển mạch tuần hoàn mô tả bởi hệ phương trình vi phân tuyến tính. Chương 3: Nghiên cứu tính ổn định, ổn định tiệm cận của hệ chuyển mạch tuần hoàn mô tả bởi hệ phương trình sai phân tuyến tính suy biến được trình bày ở chương ba.

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan luận văn này không trùng lặp với các khóa luận, luận văn, luận án và các công trình nghiên cứu đã công bố.

Người cam đoan

Nguyễn Mạnh Hùng

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Hồng Đức, dưới sựhướng dẫn tận tình, nghiêm khắc của GS.TSKH Phạm Kỳ Anh Nhân dịp nàytôi xin bày tỏ lòng kính phục, biết ơn sâu sắc và chân thành nhất đối với thầy,người không chỉ truyền dạy cho tôi những kiến thức quý báu trong suốt quá trìnhhoàn thành luận văn mà còn truyền cho tôi lòng đam mê khoa học và luôn thôngcảm, động viên, khích lệ tôi vượt qua khó khăn trong chuyên môn và trong cuộcsống Tôi cũng xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành đến những thầy cô giáo trongtrường Đại học Hồng Đức nói chung, Khoa Khoa học tự nhiên nói riêng, nhữngngười đã truyền đạt cho tôi những kiến thức, lòng say mê khoa học Đồng thờitôi cũng xin cảm ơn Ban giám hiệu trường THPT Hà Trung cùng các thầy côgiáo trong trường đã luôn động viên và giúp đỡ, tạo điều kiện cho tôi trong quátrình học tập

Cuối cùng tôi xin dành tặng luận văn này cho gia đình, bạn bè tôi, nhữngngười luôn ở bên cạnh động viên, khích lệ tôi và là chỗ dựa tinh thần vững chắccho tôi trong cuộc sống, trong học tập và trong suốt quá trình nghiên cứu.Mặc dù đã cố gắng rất nhiều nhưng vì thời gian và trình độ còn hạn chếnên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót Vì vậy tôi rất mong nhậnđược sự chỉ bảo và những ý kiến đóng góp của quý thầy cô và các bạn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Thanh Hóa, tháng 6 năm 2018

Kí tên

Nguyễn Mạnh Hùng

Mục lục

Chương Danh mục các kí hiệu

Chương Mở đầu

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị

1.1 Hệ phương trình vi phân thường 3

1.1.1 Một số khái niệm cơ bản 3

1.1.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính 4

1.1.3 Lý thuyết Floquet 6

1.2 Phương trình sai phân tuyến tính suy biến chỉ số 1 7

1.2.1 Một số tính chất của hệ phương trình sai phân suy biến chỉ số 1 7

1.2.2 Phân rã hệ phương trình sai phân suy biến chỉ số 1 11

1.3 Khái niệm về hệ chuyển mạch 13

Chương 2 Tính ổn định của hệ chuyển mạch tuần hoàn mô tả bởi phương trình vi phân tuyến tính 2.1 Hệ phương trình vi phân chuyển mạch tuần hoàn tuyến tính 16

2.2 Tính ổn định mũ của hệ chuyển mạch tuần hoàn tuyến tính 17

Chương 3 Tính ổn định của hệ chuyển mạch tuần hoàn mô tả bởi phương trình sai phân tuyến tính suy biến 3.1 Sự ổn định của hệ chuyển mạch tuần hoàn rời rạc tuyến tính không suy biến 24

3.2 Tính ổn định của hệ chuyển mạch tuần hoàn suy biến 26

3.3 Ổn định hóa hệ chuyển mạch tuần hoàn suy biến 31

Chương Tài liệu tham khảo

kAk Chuẩn của ma trận A được cảm sinh từ một chuẩn vectơ.det(A) Định thức của ma trận A.

Reλ (A) Phần thực các giá trị riêng của ma trận A

rank(A) Hạng của ma trận A

diag(a1, , an) Ma trận đường chéo

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Những thập niên gần đây, hệ chuyển mạch đã được nhiều nhà toán học tậptrung nghiên cứu và đã thu được nhiều kết quả có ý nghĩa Động lực thúc đẩyviệc nghiên cứu hệ chuyển mạch xuất phát từ ý nghĩa của nó trong thực tế và

kỹ thuật Hệ chuyển mạch có nhiều ứng dụng trong hệ thống điện, mạng truyềnthông, sinh học, bài toán đồng thuận vv Do đó, nghiên cứu tính ổn định củacác hệ chuyển mạch nhận được sự quan tâm của rất nhiều nhà khoa học hiệnnay trên thế giới Nói riêng, việc nghiên cứu "Tính ổn định của hệ chuyển mạchtuần hoàn tuyến tính" là cần thiết và có ý nghĩa khoa học

2 Mục đích của đề tài

Luận văn tập trung tìm hiểu một số điều kiện cần và đủ để hệ chuyển mạchtuần hoàn tuyến tính là ổn định và ổn định tiệm cận

3 Phương pháp nghiên cứu

Luận văn sẽ sử dụng một số phương pháp của phương trình vi phân, đại sốtuyến tính và phương trình sai phân suy biến

4 Ý nghĩa khoa học

Luận văn là một tài liệu tham khảo bổ ích cho học viên cao học toán giảitích, cho những người chuyên về lý thuyết ổn định và cho những người chuẩn bịlàm nghiên cứu sinh

5 Nội dung, phạm vi nghiên cứu

Luận văn gồm lời nói đầu, ba chương và danh mục tài liệu tham khảo

Trình bày về tính ổn định, ổn định tiệm cận của hệ chuyển mạch tuần hoàn

mô tả bởi hệ phương trình vi phân tuyến tính

Chương 3:

Nghiên cứu tính ổn định, ổn định tiệm cận của hệ chuyển mạch tuần hoàn

mô tả bởi hệ phương trình sai phân tuyến tính suy biến được trình bày ở chươngba

Cuối luận văn là phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo

1.1 Hệ phương trình vi phân thường

Trong mục này chúng tôi sẽ nhắc lại một số kiến thức cơ bản về hệ phươngtrình vi phân thường được trình bày trong [9] và lý thuyết Floquet được đề cậptrong [7]

1.1.1 Một số khái niệm cơ bản

Định nghĩa 1.1.1 Hệ phương trình vi phân thường là hệ phương trình có dạng:

dxi

dt = fi(t, x1, x2, , xn), i = 1, 2, , m (1.1)trong đó t là biến độc lập; x1, x2, , xn là các hàm cần tìm; fi là các hàm xácđịnh trong bán trụ:

Định nghĩa 1.1.3 Nghiệm y = y(t)(a < t < ∞) của hệ phương trình vi phân

dt = (dx1

dt ,dx2

dt , ,dxn

dt )T,được gọi là ổn định theo nghĩa Lyapunov khi t → ∞ nếu với mỗi ε > 0 và

t0∈ (a, ∞) tồn tại δ = δ (ε,t0) > 0 sao cho

i) Tất cả các nghiệm x = x(t) của hệ (1.3) (bao gồm cả nghiệm y(t)) thỏa mãnđiều kiện

kx(t0) − y(t0)k < δ , (1.4)xác định trong khoảng [t0, +∞) tức là x(t) ∈ Dx khi t ∈ t0, +∞)

ii) Đối với các nghiệm này bất đẳng thức sau thỏa mãn khi t0≤ t < ∞

Định nghĩa 1.1.4 Nghiệm y = y(t)(a < t < ∞) được gọi là ổn định tiệm cận

khi t → +∞ nếu nó

i) Ổn định theo nghĩa Lyapunov

ii) Với mỗi t ∈ (a; +∞) tồn tại δ = δ (t0) > 0 sao cho với mọi nghiệm x(t), (t0≤

t < ∞) thỏa mãn điều kiện kx(t0) − y(t0)k < δ thì

lim

1.1.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính

Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.2) với A(t) và F(t) là các matrận và vectơ hàm liên tục trên (a; ∞) Giả sử rằng

Nếu ma trận nghiệm cơ bản Φ(t) là chuẩn hóa tại t = t0, tức là Φ(t0) = In,thì nghiệm x(t) của hệ (1.8) có dạng

Định nghĩa 1.1.5 Hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.2) được gọi là ổn định

nếu tất cả các nghiệm x = x(t) của nó ổn định Lyapunov khi t → ∞

Định nghĩa 1.1.6 Hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.2) được gọi là ổn định

tiệm cận nếu tất cả các nghiệm của nó ổn định tiệm cận khi t → ∞

Định lý 1.1.7 Điều kiện cần và đủ để hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.2)

ổn định với số hạng tự do bất kì F(t) là nghiệm tầm thường x0 = 0 (t0 < t <

∞, t0 ∈ (a; ∞)) của hệ thuần nhất tương ứng (1.8) ổn định.

Định lý 1.1.8 Hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.2) ổn định tiệm cận khi và

chỉ khi nghiệm tầm thường x0 = 0 của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất tương

ứng (1.8) ổn định tiệm cận khi t → ∞.

Định lý 1.1.9 Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất (1.8) ổn định

Lyapunov khi và chỉ khi mỗi nghiệm x = x(t)(t0 ≤ ∞) của hệ đó bị chặn trên

nửa trục (t0; +∞)

Định lý 1.1.10 Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất (1.8) ổn định

tiệm cận khi và chỉ khi tất cả các nghiệm x = x(t) dần tới không khi t → +∞, tức là

lim

Định lý 1.1.11 Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất (1.8) với ma trận

hằng, ổn định khi tất cả các nghiệm đặc trưng λi = λi(A) của ma trận A đều có

phần thực không dương ,tức là:

Reλi(A) ≤ 0.(i = 1, 2, , n)

Định lý 1.1.12 Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất (1.8) với ma trận

hằng, ổn định tiệm cận khi và chỉ khi tất cả các nghiệm đặc trưng λi = λi(A)

của ma trận A đều có phần thực âm, tức là:

Reλi(A) < 0.(i = 1, 2, , n)

1.1.3 Lý thuyết Floquet

Xét hệ phương trình với hệ số biến thiên

˙x(t) = A(t)x(t), t ≥ 0 x(t0) = x0, (1.11)trong đó x(t) ∈ Rn, ma trận A(t) ∈ Rn×nliên tục từng khúc, bị chặn đều và tuầnhoàn với chu kì T

Cho Φ(t,t0) là ma trận chuyển trạng thái của hệ (1.11) Khi đó ta có:(1) Φ(t + T,t0+ T ) = Φ(t,t0)

(2) Tồn tại một ma trận không suy biến P(t,t0) thỏa mãn

˙z(t) = Qz(t), t ≥ t0, z(t0) = x0 (1.12)Như vậy, một hệ tuyến tính tuần hoàn biến thiên theo thời gian có thể đưa

về một hệ tuyến tính bất biến theo thời gian qua phép biến đổi Lyapunov Đây

là cơ sở của lý thuyết Floquet Bây giờ ta đặt:

R= Φ(t0+ T,t0)

Khi đó, ma trận Q được xác định như sau

Q= 1

Các giá trị riêng λk, k = 1, , n của ma trận Q được gọi là số mũ đặc trưng

và các giá trị riêng µk, k = 1, , n của ma trận R được gọi là nhân tử đặctrưng Mối liên hệ giữa số mũ đặc trưng và nhân tử đặc trưng cho bởi công thức

µk= eλkT

Khi đó, từ Định lý Floquet ta có kết luận sau: Hệ (1.11) ổn định mũ khi vàchỉ khi Q là ma trận Hurwitz, tức là tất cả các giá trị riêng của Q đều có phầnthực âm Một cách tương đương, hệ (1.11) ổn định mũ khi và chỉ khi R là matrận Schur, hay là tất cả các giá trị riêng của R đều có mođun nhỏ hơn một Chú

ý rằng, ma trận Q được xác định như trên không nhất thiết phải là ma trận thực

Vì A(t) tuần hoàn với chu kì T nên nó cũng tuần hoàn với chu kì 2T , do đó nếu

Qxác định trong (1.13) là phức thì ta có thể xác định ma trận thực Q như sau:

Q= 12T log[Φ(t0+ 2T,t0)] =

12T log[R

(ii) S(k) ∩ ker E(k − 1) = {0}, ∀k ≥ 1

Ở đây S(k) = {ξ ∈ Rn: A(k)ξ ∈ Im E(k)}

Sau đây, ta giả sử dim S(0) = r và cho E(−1) ∈ Rn×n là một ma trận bất

kì nhưng cố định, sao cho rankE(−1) = r và Rn = S(0) ⊕ ker E(−1)

Bổ đề 1.2.2 Q(k) P(k)
tương ứng là các phép chiếu lên ker E(k) S(k + 1)

dọc theo S(k +1) ker E(k)

Chứng minh. Ta chứng minh cho Q(k), các khẳng định cho P(k) cũng đượcchứng minh tương tự Trước hết, Q(k) là phép chiếu vì

r+ 1, n), suy ra với mọi x ∈ ker E(k), Q(k)x = x

Bổ đề 1.2.3 Giả sử ma trận G(k) := E(k) + A(k)V (k − 1)QV (k)−1 không suy biến Khi đó ta có các hệ thức sau:

Do đó E(k)P(k) = E(k)(In− Q(k)) = E(k).

Chứng minh. 1) (i) suy ra (ii)

∀x ∈ ker G(k); 0 = G(k)x = E(k)x + A(k)V (k − 1)QV (k)−1x suy ra A(k)V (k −1)QV−1(k)x = E(k)(−x) do đó V (k − 1)QV−1(k)x ∈ S(k)

Vì E(k)x+A(k)V (k −1)QV−1(k)x = 0, suy ra E(k)x = 0, hay x ∈ ker E(k) =ImQ(k), do đó Q(k)x = x Từ V (k − 1)QV−1(k)x = 0, suy ra QV−1(k)x = 0,hay Q(k)x = V (k)QV−1(k)x = 0, nên x = Q(k)x = 0 Điều này chứng tỏ matrận G(k) không suy biến.

1.2.2 Phân rã hệ phương trình sai phân suy biến chỉ số 1

Với V (k) là các ma trận nêu trên, ma trận Q(k) = V (k)QV (k)−1 là phépchiếu chuẩn tắc lên ker E(k) dọc theo S(k + 1) Sử dụng P(k) = G(k)−1E(k).Khi đó,

P(k)G(k)−1A(k) = P(k)G(k)−1A(k)P(k − 1)Q(k)G(k)−1A(k)

= Q(k)G(k)−1A(k)P(k − 1) +V (k)QV (k − 1)−1.Nhân cả hai vế phương trình (1.16) lần lượt với P(k)G(k)−1và Q(k)G(k)−1,chúng ta có

Như vậy, phương trình thứ hai đưa về dạng

ở đây y(k) là nghiệm riêng của phương trình sai phân thường (1.19) Do đó, nếu

hệ (1.16) là chỉ số 1, thì cho y(0) = P(−1)x(0) ∈ ImP(−1), chúng ta có thể tínhy(k) và z(k) theo thứ tự bởi (1.19) và (1.23) Giống như trường hợp phương trình

vi phân đại số, chúng ta chỉ cần khởi tạo thành phần P(−1) của x(0), nghĩa là

P(−1)(x(0) − x0) = 0

Từ Bổ đề 1.2.3 (ii), suy ra điều kiện ban đầu này tương đương với điều kiệnsau

Với điều kiện ban đầu (1.25) hệ (1.16) có nghiệm duy nhất

Định nghĩa 1.2.5 [2]: Hệ (1.16) được gọi là E-ổn định đều nếu tồn tại một số

dương γ sao cho với bất kì x0∈ Rn, mọi nghiệm của hệ (với điều kiện đầu 1.25)thỏa mãn hệ thức

kx(k)k ≤ γkE(−1)x0k

Định nghĩa 1.2.6 : Hệ (1.16) được gọi là E-ổn định mũ đều nếu tồn tại một số

dương γ và 0 ≤ λ < 1 sao cho với bất kì x0 ∈ Rn, mọi nghiệm của hệ với điềukiện ban đầu (1.25) thỏa mãn hệ thức

kx(k)k ≤ γλkkE(−1)x0k

Thực hiện phép đổi biến, khi đó hệ (1.16) trở thành hệ sau

¯E(k) ¯x(k + 1) = ¯A(k) ¯x(k) + ¯q(k),trong đó ¯E(k) = F(k)E(k)H(k), A(k) = F(k)A(k)H(k −1),¯ q(k) = P(k)q(k),¯

và các ma trận F(k), H(k) là không suy biến Ở đây F(k) là các ma trận tỉ

lệ trong khi đó phép đổi biến được xác định bởi x(k) = H(k − 1) ¯x(k) Do

¯

S(k) ∩ Ker ¯E(k) = H(k − 1)(S(k) ∩ Ker E(k − 1)), nên tính chất chỉ số 1 củaphương trình sai phân tuyến tính suy biến là bất biến đối với phép biến đổituyến tính

Định lý 1.2.7 [2, 3]: Mọi phương trình sai phân tuyến tính suy biến chỉ số 1 có

thể đưa về dạng chuẩn tắc Kronecker-Weierstrass

diag(Ir, On−r) ¯x(k + 1) = diag(W (k), In−r) ¯x(k) + ¯q(k),

ở đây W (k) là một ma trận cấp r × r.

1.3 Khái niệm về hệ chuyển mạch

Mục này nêu ra khái niệm về hệ chuyển mạnh liên tục được trình bày trongtài liệu tham khảo [14, 12]

Mục này nêu ra khái niệm về hệ chuyển mạnh liên tục được trình bàytrong tài liệu tham khảo [14, 12]

Một hệ chuyển mạch là một hệ bao gồm một số hữu hạn các hệ con và mộtquy tắc chuyển mạch giữa các hệ con đó Hệ này được mô tả bởi phương trình

vi phân chuyển mạch sau:

˙

trong đó trong đó x ∈ Rnlà biến trạng thái liên tục, σ là trạng thái rời rạc, nhậngiá trị trong tập chỉ số M = {1, 2, m} và fk, k ∈ M là các trường vectơ Nhưvậy, không gian trạng thái liên tục là không gian Euclid n chiều và không giantrạng thái rời rạc là tập chỉ số M có hữu hạn phần tử Nếu tất cả các hệ con của(1.26) là tuyến tính thì ta gọi là hệ chuyển mạch tuyến tính Khi có m hệ con thì

ta gọi là hệ chuyển mạch m−dạng Với mỗi k ∈ M, ta gọi hệ

˙

là một hệ con chuyển mạch.

Trạng thái rời rạc σ được gọi là tín hiệu chuyển mạch Nếu σ (t) = i thì tanói rằng hệ con thứ i được kích hoạt tại thời điểm t Một đặc tính của hệ chuyểnmạch là tại một thời điểm có một và chỉ một hệ con được kích hoạt

Cho χ là một hàm liên tục từng khúc xác định trên khoảng[t1,t2) Với mỗi

M Cho trước một khoảng thời gian [t0,tf) với −∞ < t0< tf < +∞, một quỹ đạochuyển mạch p xác định trên đoạn đó được kí hiệu là p[t0,tf) Với một quỹ đạochuyển mạch p[t0,tf), thời điểm t ∈ (t0,tf) được gọi là thời điểm bước nhảy nếu:

σ (t−) 6= σ (t)

Giả sử rằng các thời điểm bước nhảy trong (t0,tf) được sắp là t1 < t2 <

t3 < , thì dãy thứ tự t0,t1,t2 được gọi là dãy thời điểm chuyển mạch của σtrên[t0,tf) Tương tự, dãy trạng thái rời rạc được sắp thứ tự σ (t0), σ (t1), σ (t2) được gọi là dãy chỉ số chuyển mạch của σ trên [t0,tf)

Dãy cặp thứ tự: (t0, i0), (t1, i1), , (tk, ik) với ik = σ (tk), được gọi là dãychuyển mạch của σ trên[t0,tf) Quỹ đạo chuyển mạch được gọi là hoàn toàn xácđịnh nếu có một số hữu hạn thời điểm bước nhảy trên khoảng đó Tập nhữngquỹ đạo chuyển mạch hoàn toàn xác định trên [t0,tf) được kí hiệu là S[t0,tf) Mộttín hiệu chuyển mạch là một hàm xác định trên một khoảng thời gian vô hạn,nhận giá trị trong M

Giả sử rằng θ là một tín hiệu chuyển mạch xác định trên[t0, +∞) và (s1, s2)

là đoạn con có độ dài hữu hạn của [t0, +∞) thì quỹ đạo chuyển mạch p[s1, s2)được gọi là quỹ đạo con của θ nếu p(t) = θ (t) với mọi t ∈ [s1, s2) Khái niệmdãy chỉ số và dãy thời điểm chuyển mạch được định nghĩa một cách tương tựnhư đối với quỹ đạo chuyển mạch Một tín hiệu chuyển mạch được gọi là hoàntoàn xác định nếu tất cả các quỹ đạo con của nó là hoàn toàn xác định Kí hiệu

θ [t0, +∞) là tín hiệu chuyển mạch θ xác định trên [t0, +∞) Tập những tín hiệuchuyển mạch hoàn toàn xác định trên [t0, +∞) được kí hiệu bởi S[t0,+∞) hoặc

S khi t0 = 0 Cho trước một cặp hàm (x(.), θ (.)) trên đoạn [t0,t1), trong đó

x : t0,t1) → Rn là hàm tuyệt đối liên tục và θ : [t0,t1) → M là hàm hằng từngkhúc Cặp (x(.), θ (.)) được gọi là nghiệm của hệ (1.27) trên [t0,t1) nếu với hầumọi t ∈ [t0,t1) ta có:

˙x(t) = fθ (t)(x(t))

Đối với hệ chuyển mạch ta cũng có phương pháp hàm Lyapunov để nghiêncứu sự ổn định của nó Ta giả sử hệ (1.26) luôn có nghiệm không và nghiệmcủa bài toán thỏa mãn điều kiện ban đầu là duy nhất và cũng thỏa mãn các điềukiện kéo dài nghiệm

Định nghĩa 1.3.1 Cho Ω là một lân cận của gốc Một hàm liên tục Vi : Ω → Rđược gọi là hàm Lyapunov chung của hệ (1.26) nếu:

i) Tồn tại hàm α1 và α2 thuộc lớp K (lớp các hàm liên tục, không âm, khônggiản) sao cho:

α1(||x||) ≤ Vi(x) ≤ α2(||x||), i ∈ M,ii) Đạo hàm của Vi(x) dọc theo mỗi vectơ fi không dương, tức là

˙

Vi(x)|fi ≤ −α3||x||, ∀x ∈ Ω, i ∈ M

Sau đây ta có một tiêu chuẩn ổn định cho hệ chuyển mạch (1.26) theophương pháp hàm Lyapunov

Định lý 1.3.3 Hệ chuyển mạch (1.26) ổn định đều nếu nó có một hàm Lyapunov

chung, và ổn định tiệm cận đều nếu nó có một hàm Lyapunov chung chặt.

Chương 2

Tính ổn định của hệ chuyển mạch tuần hoàn mô tả bởi phương trình

vi phân tuyến tính

Chương này nghiên cứu về tính ổn định, ổn định tiệm cận của hệ chuyểnmạch tuần hoàn mô tả bởi hệ phương trình vi phân tuyến tính Nội dung chínhcủa chương được trình bày trên cở sở tài liệu tham khảo [7]

2.1 Hệ phương trình vi phân chuyển mạch tuần

Aσx(t), tσ −1+ lT ≤ t ≤ tσ+ lT,x(t0) = x0,

(2.1)

trong đó tσ = t0+ T, ở đây x(t) ∈ Rnvà A1, A2, Aσ ∈ Rn×nlà các ma trận hằng

có thể giống nhau Ta đặt

∆tk = tk− tk−1, k= 1, , σ (2.2)

Có thể thấy rằng, mỗi hệ con ˙x(t) = Akx(t) lần lượt được kích hoạt trongkhoảng thời gian ∆tk Sau đây ta sẽ nhắc lại ngắn gọn lý thuyết Floquet.

2.2 Tính ổn định mũ của hệ chuyển mạch tuần

= exp[Aσ(t − tσ −1)] exp[Aσ −1(tσ −1− tσ −2)] exp[A1(t1− t0)]x0

= exp[Aσ(t − tσ −1)] exp[Aσ −1∆tσ −1] exp[A1∆t1]x0

Áp dụng định lý Floquet, suy ra điều phải chứng minh

Hơn nữa, áp dụng kết quả trên cho trường hợp các ma trận A1, A2, , Aσgiao hoán từng đôi một, ta được:

Hệ quả 2.2.2 Hệ (2.1) với

AkAl = AlAk, k= 1, , σ , l = 1, , σ , (2.11)

là ổn định mũ khi và chỉ khi ma trận

Q= 1T