Phát huy tính chủ động, sáng tạo của học sinh thông qua bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số

Do không có đủ cơ sở lý thuyết nên khi áp dụng các kết quả đó học sinh thường thắc mắc “tạisao lại có được như vậy?” hay “Sao lại có kết quả đó?”...; Cũng chính vìkhông có đủ cơ sở lý th

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài

Bài toán tính giới hạn của một dãy số là một bài toán khó đối với họcsinh trung học phổ thông nói chung và học sinh khối 11 nói riêng Bài toánnày thường xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh, đề thi Olympic 30tháng 4, đề thi học sinh giỏi quốc gia Liên quan đến dạng toán này đã có nhiềucuốn sách giáo khoa, sách tham khảo đề cập đến, tuy nhiên những cuốn sách

đề cập kỹ về cơ sở lý thuyết để dẫn đến những phương pháp giải cụ thể phùhợp với kiến thức phổ thông là chưa nhiều Đôi khi chỉ đưa ra một côngthức, một quy trình giải một cách áp đặt và chưa logic Do không có đủ cơ

sở lý thuyết nên khi áp dụng các kết quả đó học sinh thường thắc mắc “tạisao lại có được như vậy?” hay “Sao lại có kết quả đó?” ; Cũng chính vìkhông có đủ cơ sở lý thuyết nên các em học sinh rất khó nhớ công thức,không tìm được mối liên hệ giữa các bài toán, không tự xây dựng được mộtlớp các bài toán cùng dạng và quy trình để giải các bài toán đó; Điều nàylàm ảnh hưởng đến khả năng tìm tòi sáng tạo toán của học sinh – một yếu tốrất quan trọng đối với người học toán

Để tính giới hạn của một dãy số ta có nhiều phương pháp, trong đó cómột phương pháp rất cơ bản là tìm số hạng tổng quát của một dãy số; để xácđịnh số hạng tổng quát của một dãy số ta lại có nhiều phương pháp Vì lí do

về thời lượng nên trong SKKN này tôi chỉ xin đề cập phương pháp xác địnhSHTQ của một số dạng dãy số có công thức truy hồi dạng đặc biệt bằng cách

sử dụng CSC-CSN.Vì vậy tôi chọn sáng kiến kinh nghiệmlà:“Phát huy tính chủ động, sáng tạo của học sinh thông qua bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số có công thức truy hồi đặc biệt bằng cách sử dụng cấp số cộng-cấp số nhân”

1.2 Mục đích nghiên cứu

Trong phạm vi đề tài này tôi không có tham vọng đưa ra một hệ thốngkiến thức hoàn toàn mới, một kết quả mới về mặt toán học; ở đây tôi chỉtrình bày những kết quả mà trong quá trình dạy học về cấp số cộng, cấp sốnhân, dãy số và giới hạn tôi đã tích luỹ, tìm tòi; nhằm hướng tới mục đíchgiúp các em học sinh chủ động, sáng tạo trong việc xác định SHTQ của dãy

số qua đó tính được giới hạn của dãy số được cho bởi hệ thức truy hồi Trên

cơ sở từ một số bài toán điển hình tôi sẽ đưa ra phương pháp giải cho bàitoán đó và một nhóm các bài toán tương tự; đồng thời giúp học sinh kháiquát hóa để được các bài toán mới và đưa ra phương pháp giải tương ứng,qua đó giúp rèn luyện, phát triển tư duy giải toán cho học sinh.

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đề tài này sẽ nghiên cứu các dãy số cho bởi công thức truy hồi đặc biệt mà có thểdùng tính chất của CSC-CSN để tìm được số hạng tổng quát và được áp dụng vàohọc sinh lớp 11A1 trường THPT Vĩnh Lộc - Vĩnh Lộc - Thanh Hoá

1.4 Phương pháp nghiên cứu

+ Nghiên cứu lý luận dạy học, tìm hiểu các tài liệu liên quan

+ Thực hành qua các bài dạy

+ Khảo sát thực tế, thu thập thông tin

+ Thống kê, xử lý số liệu

2 NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

2.1.1 Cấp số cộng

Định nghĩa: Cấp số cộng là dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn)

thoả mãn:u n1 u nd(n N *) [1], d là số thực không đổi gọi là “công sai”.

Định nghĩa:

Cấp số nhân là dãy số (hữu hạn hay vô hạn) thoả mãn: u n1 u q n. (n N *),q là

số không đổi gọi là “công bội ”[1]

n q u q





 (q 1)[1].

(nếu q = 1 thì hiển nhiên S = n.u 1)

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Khi dạy chủ đề dãy số và giới hạn về dãy số ta bắt gặp một số bài toán trongsách giáo khoa lớp 11 và một số đề thi học sinh giỏi như sau:

Bài tập 1 Cho dãy số (u n ) xác định như sau:

1

1

101

 Đây là bài toán tìm giới hạn của một dãy cho bởi hệ thức truy hồi, học sinh

thường lúng túng trong việc tìm ra cách giải cho bài toán

 Nếu như đề bài không cho câu a) mà chỉ yêu cầu giải câu b) thì bài toán trở nênrất khó đối với học sinh Việc đề bài yêu cầu thêm câu a) là một gợi ý giúp học sinh

có thể xác định hướng giải quyết cho bài toán Cụ thể có thể xác định SHTQ củadãy số ( )u n nhờ vào việc tìm công thức tổng quát của một CSC-CSN qua đó tìm

giới hạn của dãy số

Với các bài toán được đề cập trong các kỳ thi, đặc biệt là các kỳ thi chọn học sinhgiỏi thì việc gợi mở bằng cách cho câu a) không được đưa ra Vấn đề là học sinhbiết cách nhận dạng, phân tích bài toán để có hướng giải quyết Đây là một vấn đềkhông dễ đối với học sinh Vì vậy giáo viên cần định hướng giúp cho học sinh chủđộng và sáng tạo trong việc giải quyết vấn đề này

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

Trong quá trình tìm tòi, nghiên cứu, giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi,tôi đã tổng hợp và đưa ra một số dạng dãy số có công thức truy hồi đặc biệt và xâydựng phương pháp xác định SHTQ của dãy Trong khuôn khổ của SKKN này, tôixin đưa ra một số dạng sau đây:

Ví dụ 1.1 Cho dãy số (u n ) xác định như sau

1

1 2

Dự đoán u n = 1+(n-1).2

Ta chứng minh kết qủa đó bằng phương pháp quy nạp toán học

Cách 2:(Sử dụng định nghĩa về cấp số cộng)

q 

và v 1

254

 Do đó

3 1

3 Từ bài toán trên giáo viên dẫn dắt, gợi ý cho học sinh đến một vấn đề mới:

"đềxuất bài toán tổng quát hơn cùng với quy trình để giải bài toán đó"

Bình luận: Thực chất các bài toán dạng này đều được giải quyết triệt để nhờ lý

thuyết về phương trình sai phân tuyến tính, tuy nhiên đối với đại đa số học sinh

trung học phổ thông thì các kiến thức đó là quá tầm Trong phạm vi SKKN này tôichỉ đưa ra các hoạt động toán học nhằm phát triển tư duy cho học sinh bằng cáchgiúp học sinh xây dựng các bài toán và cách giải các bài toán đó bằng các kiến thứcphổ thông

Ví dụ 1.3.Cho dãy số  u n được xác định bởi:u1  2,u n  3u n1  1,  n 2 Hãy xác định SHTQ của dãy số  1 .

Lời giải:

Trong bài toán này chúng ta gặp khó khăn vì dãy (u n) không phải là CSC hay CSN!

Ta thấy dãy (u n) không phải là CSN vì xuất hiện hằng số -1 ở VP Ta tìm cách làm mất -1 và đưa dãy số về CSN

Ta có

3 1 1

2 2

để chuyển công thức truy hồi của dãy về (1), từ đó ta đặt dãy phụ để chuyển về dãy  v n là 1 CSN Tuy nhiên việc làm trên có vẻ không tự nhiên lắm ! Làm thế nào ta biết phân tích

*Nếu a=1 thì dãy (u n) là CSC có công sai d=b nên u n=u1  (n 1)b.

n n

1

1 1

n n

một đa thức bậc k theo n , ta xác định SHTQ như sau:

phân tích f n( )=g n( )-ag n ( 1)(3)Với g n( ) cũng là 1 đa thức theo n Khi đó ta có:

*Nếu a=1 thì hàm số g n( )-a g n  ( 1) là 1 đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của g n( )một bậc

và không phụ thuộc vào hệ số tự do của g n( ), mà f n( )là đa thức bậc k nên để có (3) ta chọn g n( ) là đa thức bậc k+1, có hệ số tự do bằng 0 và khi đó để xác định

g n Vậy ta có kết quả sau:

Dạng 2:Để xác địnhSHTQ của dãy ( )u n được xác định bởi

đó f n( ) là 1 đa thức bậc k theo n; a là hằng số Ta làm như sau:

Ta phân tích: f n( )=g n( )-a g n  ( 1) với g n( ) là 1 đa thức theo n.Khi đó, ta đặt

(Đề thi chọn HSG cấp tỉnh năm học 2018-2019 của Sở GD&ĐT Thanh Hóa)

Lời giải: Trường hợp này ta phân tích 4n n.4n 4(n1)4n1

u u

k l

u u

Lời giải: Ta phân tích:

u

 4

(Đề thi chọn HSG cấp tỉnh năm học 2017-2018 của Sở GD&ĐT Thanh Hóa)

Lời giải: Từ giả thiết ta có u n2  2u n1  3u n1  2u n,  n 1

Suy ra dãy v n1 u n1  2u nlà một cấp số nhân có công bội q 3

Suy ra dãy wn1 u n1  3u nlà một cấp số nhân có công bội q 2

n

u u u

là các số thực khác không; a2  4b 0 ta làm như sau:

Gọi x x1 , 2là 2 nghiệm của phương trình đặc trưng:x2-ax+b=0

Vấn đề còn lại là ta xác định g n( ) như thế nào để có (2)?

Vì f n( ) là đa thức bậc k nên ta phải chọn g n( )sao chog n( )ag n( 1)bg n(  2) làmột đa thức bậc k theo n.Khi đó ta chỉ cần thay k 1 giá trị bất kì của n vào (2) ta

iii Nếu PT (3) có nghiệm kép x 1 a2;b1 nên VP (2) là một đa thức bậc

2

m 

Vậy để chọn g n( ) ta cần chú ý như sau:

+) Nếu (3) có hai nghiệm phân biệt, thì g n( ) là một đa thức cùng bậc với f n( )

+)Nếu (3) có hai nghiệm phân biệt, trong đó một nghiệm bằng 1 thì ta chọn

g n n h n

trong đó h n( ) là đa thức cùng bậc với f n( ).+)Nếu (1) có nghiệm kép x 1 thì ta chọng n( )n h n2 ( ) trong đó h n( ) là đa thức cùng bậc với f n( )

Dạng 6: Để tìm SHTQ của dãy

0 1

; ( ) :

n

u u u

v u kc v u kc v

Nhìn lại cách giải ở dạng 3, ta phân tích:

n n

n n

Để xác định SHTQ của dãy ta xét phương trình:x3ax2bx c 0 (1)

Nếu (1) có 3 nghiệm phân biệt 1 , , 2 3 1n 2n 3n

n

x x x  u  x  x  x

Dựa vào u u u0, ,1 2 ta tìm được   , ,

Nhận xét: Thực tế đến dạng toán này là bắt đầu phức tạp thêm, các ví dụ được

trình bày lời giải chỉ mang tính minh họa Dạng này ta ít gặp trong đề thi

Lời giải: Xét phương trình đặc trưng : x3 7x2 11x 5 0 

Phương trình có 3 nghiệm thực: x1x2 1,x3 5Vậy 5

n n

1 (Đề giao lưu THPT Triệu Sơn 1) Cho dãy số xác định bởi:

 Tính số hạng tổng quát của dãy số. 5

2 (Đề giao lưu THPT Thạch Thành 1) Cho dãy số xác định bởi:

u   5

4 (Đề giao lưu trường THPT Dương Đình Nghệ) Cho dãy số xác định bởi:

5 (Đề minh họa lớp tập huấn toán THPT Thanh Hóa năm học 2017-2018) Cho dãy

số xác định bởi :u n1 au n b n N,   *Với a, b là 2 số thực dương cho trước Tính sốhạng tổng quát của dãy theo u1 ,a, b và n. 5

6 (Đề giao lưu trường THPT Vĩnh Lộc) Cho dãy số xác định bởi:

1

, 1

n n

1

, 2

Đề tài đã giải quyết được các vấn đề sau:

 Đề tài đã chỉ ra được một số vướng mắc và cách khắc phục của một lớp đốitượng học sinh trong khi giải các bài toán về tìm số hạng tổng quát và tìm giới hạncủa dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

 Đề tài đã đưa ra được 8 dạng cơ bản từ đơn giản đến phức tạp để tìm số hạngtổng quát của các dãy số cho bởi hệ thức truy hồi trên cở sở từ các bài toán cơ bảntrong sách giáo khoa cũng như các bài toán khó trong các đề thi học sinh giỏi

 Đề tài được áp dụng trong những tiết luyện tập, các tiết tự chọn ở trên lớp cũngnhư các buổi dạy bồi dưỡng học sinh giỏi cấp trường.

 Thông qua việc xuất phát từ những bài toán cơ bản, giáo viên đã gợi ý, dẫn dắthọc sinh tổng quát bài toán, tạo ra bài toán mới, dần dần hình thành cho các em khảnăng làm việc độc lập, phát triển tư duy chủ động, sáng tạo, phát hiện vấn đề vàgiải quyết vấn đề Phát huy tối đa tính tích cực của học sinh theo đúng tinh thần đổimới của Bộ Giáo dục và Đào tạo Từ đó tạo cho các em niềm tin, hứng thú khi họctập bộ môn Toán

 Đề tài của tôi đã được kiểm nghiệm trong năm học giảng dạy lớp 11,được họcsinh nhiệt tình tham gia và đã nâng cao chất lượng dạy học chuyên đề dãy số vàgiới hạn dãy số Các em hứng thú học tập hơn, ở những học sinh được hướng dẫncác phương pháp này các em học sinh với mức học trung bình trở lên đã có căn cứ

để giải các bài tập khó Học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt, chất lượng đội tuyển thiHSG cấp tỉnh tăng qua các năm và đảm bảo chỉ tiêu nhà trường giao Cụ thể ở cácnhóm học sinhthực nghiệm(II) và nhóm đối chứng (I) tôi cho làm bài kiểm tra vafthu được kết quả như sau :

Năm

học Nhóm/ Lớp

Tổng

số HS

Điểm 8 trở lên Điểm từ 5 đến

dưới 8 Điểm dưới 5Số

lượng

Tỷ lệ Số

lượng Tỷ lệ

Sốlượng

xây dựng quy trình giải quyết các bài toán một cách "tự nhiên” như vậy, tôi nhậnthấy các em đã nắm được vấn đề, biết vận dụng các kết quả trên vào giải quyết cácbài toán một cách linh hoạt, sáng tạo Từ đó giúp cho các em yêu thích môn toánhơn, chất lượng giờ học đã được nâng cao rõ rệt Trong năm học tới, tôi sẽ tiếp tụcnghiên cứu và bổ sung để đề tài này được hoàn thiện hơn, đáp ứng được nhu cầubồi dưỡng cho học sinh khá giỏi để các em đạt kết quả cao trong các kỳ thi chọnhọc sinh giỏi và kỳ thi trung học phổ thông Quốc giasau này

Trong quá trìnhbiên soạn đề tài tôi đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên cũng khôngtránh khỏi những thiếu sót.Tôi rất mong được các thầy cô giáo, các bạn đồngnghiệp góp ý, bổ sung để đề tài này hoàn thiện hơn Hy vọng tài liệu này có thể sửdụng làm tài liệu tham khảo cho học sinh và thầy cô giáo trong quá trình học tập,giảng dạy

Xin chân thành cảm ơn!

XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 16 tháng 5 năm 2019

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,không sao chép nội dung của người khác

Người thực hiện

Trịnh Đình Hiểu