Hướng dẫn học sinh sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải bài tập phần phương trình và bất phương trình

Vì vậy, tôi rất mong muốn bồi dưỡng cho đối tượng học sinh khá, giỏi năng lực giải bài tập phần phương trình và bất phương trình đáp ứng tốt yêu cầu về kiến thức, kỹ năng để thực hiện tố

MỤC LỤC

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài 2

1.2 Mục đích nghiên cứu 2

1.3 Đối tượng nghiên cứu 2

1.4 Phương pháp nghiên cứu 3

2 NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 3

2.2 Thực trạng 4

2.3 Các giải pháp thực hiện 5

2.3.1 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải các phương trình, bất phương trình 5

2.3.2 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số tìm điều kiện của tham số để phương trình, bất phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước 9

2.4 Hiệu quả 14

2.4.1 Tổ chức thực nghiệm 15

2.4.2 Kết quả thực nghiệm 15

3 KẾT LUẬN 3.1 Kết luận 16

3.2 Kiến nghị 16

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài

Ngày nay, khi mà trí tuệ đã trở thành yếu tố hàng đầu thể hiện quyền lực và sức mạnh của một quốc gia, thì các nước trên thế giới đều ý thức được rằng giáo dục không chỉ là phúc lợi xã hội, mà thực sự là đòn bẩy quan trọng để phát triển kinh tế, phát triển xã hội

Ở Việt Nam giáo dục đã và đang được Đảng, Nhà nước coi là quốc sách hàng đầu Chính sách giáo dục mới luôn hướng vào bồi dưỡng nhân lực, nâng cao dân trí, bồi dưỡng nhân tài, hình thành đội ngũ lao động có trí thức, có tay nghề Vì vậy, ở các trường phổ thông nói chung và trường THPT Lam Kinh nói riêng, bên cạnh việc quan tâm giáo dục đại trà, thì giáo dục mũi nhọn luôn được coi trọng Mỗi giáo viên trong trường dều có ý thức trau dồi chuyên môn, tìm cách nâng cao hiệu qủa tập của học sinh

Trong chương trình Toán THPT nội dung phần phương trình, bất phương trình được phân bố xuyên suốt ở cả ba khối lớp Tuy nhiên, sách giáo khoa chỉ giới thiệu những dạng phương trình, bất phương trình đơn giản, và một số phương pháp giải thường dùng Trong khi đó, ở đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh và

đề thi THPT quốc gia đây lại là một nội dung khó Vì vậy, tôi rất mong muốn bồi dưỡng cho đối tượng học sinh khá, giỏi năng lực giải bài tập phần phương trình và bất phương trình đáp ứng tốt yêu cầu về kiến thức, kỹ năng để thực hiện tốt phần bài tập này trong các đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh và thi THPT quốc gia Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, bất phương trình được giới thiệu trong chương trình sách giáo khoa khá muộn-chương II, Giải tích 12 Nhưng đây lại là phương pháp giải đem lại hiệu quả bất ngờ, bởi nó giúp giải quyết bài toán nhanh chóng, thuận lợi hơn, gây hứng thú cho học sinh hơn Và, tôi đã nghĩ đến việc cho các em tiếp cận phương pháp đó sớm hơn- ngay từ lớp 10, tạo tiền đề nền tảng cho kỹ năng sử dụng công cụ hàm

số trong giải toán; đồng thời giúp các em phát huy tối đa tính sáng tạo trong việc tìm ra con đường giải toán nhanh nhất, hay nhất Từ đó các em tích lũy được kiến thức, hình thành được kỹ năng để làm tốt bài tập phần phương trình, bất phương trình ở cả ba khối

Xuất phát từ những lí do đó mà tôi chọn đề tài “ Hướng dẫn học sinh sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải bài tập phần phương trình và bất phương trình”

1.2 Mục đích nghiên cứu

- Giúp học sinh hình thành phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số

để giải bài tập phần phương trình và bất phương trình từ lớp 10

- Cung cấp kiến thức, rèn luyện kỹ năng để học sinh khá giỏi có thể giải tốt các bài tập về phương trình và bất phương trình trong các đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh và thi THPT quốc gia

1.3 Đối tượng nghiên cứu

- Phương trình và bất phương trình vô tỉ, phương trinh lượng giác, phương trình và bất phương trình mũ, logarit

- Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải bài tập phần phương trình và bất phương trình

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liệu về lí luận và phương pháp dạy học môn Toán, nghiên cứu các tài liệu về phương trình và bất phương trình

- Quan sát, điều tra: Thông qua thực tế giảng dạy của bản thân và học hỏi kinh nghiệm từ các đồng nghiệp

- Thực nghiệm sư phạm: Để kiểm nghiệm kết quả của đề tài được áp dụng trong thực tiễn dạy học

2 NỘI DUNG

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải quyết các bài toán về phương trình

và bất phương trình học sinh cần nắm vững các kết quả sau:

1, [3] Cho hàm số bậc hai y ax 2bx c a ( 0)

+ Nếu a 0 thì hàm số nghịch biến trên khoảng ;

2

b a

  

  và đồng biến trên khoảng ;

2

b a

+ Nếu a 0 thì hàm số đồng biến trên khoảng ;

2

b a

  

  và nghịch biến trên khoảng ;

2

b a

+ Bảng biến thiên

N u ếu a 0

x

-∞

2

b a

 +∞

y +∞ +∞

4a





N u ếu a 0

x

-∞

2

b a

 +∞

y

4a



 -∞ -∞

2, [5] Cho hàm số y f x( ) xác định trên khoảng ( ; )a b Nếu f x '( ) 0 (hoặc '( ) 0

f x  ) với  x a b;  thì hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng ( ; )a b ( Dấu bằng xảy ra ở một số hữu hạn điểm).

3, Nếu hàm sốy f x( )đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng ( ; )a b thì phương trình ( )f x k k,   trên khoảng ( ; )a b có tối đa một nghiệm

4, Nếu hàm sốyf x( ) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng ( ; )a b thì phương trình ( )f u f v( ) u v , u v, ( ; )a b

5, Nếu hàm sốy f x( )đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng ( ; )a b thì bất phương trình ( )f u  f v( ) u v , u v, ( ; )a b

( hoặc ( )f u  f v( ) u v ,u v, ( ; )a b )

6, Cho hàm số yf x( ) liên tục trên tập D

+ Phương trình f x( )m có nghiệm trên tập D  min ( )x D f x  m max ( )x D f x + Bất phương trình f x( )m có nghiệm trên tập D  mmax ( )x D f x

+ Bất phương trình f x( )m có nghiệm trên tập D  mmin ( )x D f x

+ Bất phương trình f x( )m nghiệm đúng với mọi x D min ( )

x D



+ Bất phương trình f x( )m nghiệm đúng với mọi x D max ( )

x D



7, [5] Cho hai hàm số y f x( ) và y g x ( ) có đồ thị lần lượt là (C 1 ) và (C 2) Khi đó số nghiệm của phương trình ( )f x g x( ) chính là số giao điểm của (C 1)

và (C 2)

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến

Phương trình và bất phương trình là một trong những nội dung nền tảng của toán học phổ thông Xuất hiện trong chương trình sách giáo khoa ở mức độ rất

cơ bản, nhưng lại xuất hiện ở mức độ vận dụng trong các đề thi học sinh giỏi và thi THPT quốc gia Khi tiếp cận các phương trình và bất phương trình không mẫu mực đa số học sinh lúng túng và không hào hứng Các phương pháp giải thường dùng như bình phương hai vế, đặt ẩn phụ, nhân liên hợp không có hiệu quả trong nhiều bài toán hoặc có thể áp dụng được nhưng lại thiếu tính tự nhiên

2.3 Các giải pháp thực hiện

2.3.1 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải các phương trình, bất phương trình

Dạng 1: Phương trình được đưa về dạng f(x) = g(x) (I), trong đó f(x) là hàm đồng biến, g(x) là hàm nghịch biến hoặc hàm hằng

Các bước giải:

+ Tìm tập xác định của phương trình

+ Đưa phương trình về dạng (I)

+ Chứng minh f(x) là hàm đồng biến, g(x) là hàm nghịch biến hoặc hàm hằng

+ Nhận xét phương trình có tối đa 1 nghiệm, nhẩm để tìm 1 nghiệm và kết luận đó là nghiệm duy nhất

Ví dụ 1: [7] Giải phương trình: 4x 1 4x2 1 1 (1)

Phân tích: Đối với phương trình (1) học sinh có thể nghĩ đến phương pháp bình phương hai vế để giải nhưng quá trình biến đổi đại số khá phức tạp Cũng có thể nghĩ đến phương pháp nhân liên hợp nhưng không phải học sinh nào cũng tìm ra

được biểu thức liên hợp Trong khi đó học sinh có thể dễ dàng nhận ra khi x tăng

thì hai biểu thức trong căn cũng tăng, nghĩa là hàm số ở vế trái đồng biến, trong khi đó hàm số ở vế phải là hàm hằng Vì vậy, nếu dùng phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình (1) sẽ rất nhanh và thuận lợi Lời giải : Tập xác định 1;

4

D   

 Xét hàm số f x( ) 4x 1 4x2  trên tập 1 1

; 4

D   

x

  nên hàm số f(x) đồng biến trên tập 1

;

4

D   

  Do đó phương trình f x ( ) 1 nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất Mặt khác ( ) 11

2

f  Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = 1

Lời bình: Như vậy sau khi phân tích bài toán, định hướng được cách giải, và thực hiện theo các bước giải đã được giáo viên nêu ở trên, học sinh có thể đưa ra được lời giải một cách nhanh chóng và rất tự nhiên Và các bạn đều có thể thấy rằng đây là cách giải ưu việt nhất

Chúng ta cũng có thể tiếp tục khẳng định được sự ngắn gọn, súc tích, sự

tự nhiên, dễ hiểu của phương pháp giải này thông qua các ví dụ tiếp theo

Ví dụ 2: Giải phương trình: 2x3 3x26x16 2 3  4 x (2)

Phân tích: Đánh giá sơ bộ từ hai vế của phương trình học sinh có thể nhận định được rằng : nếu bình phương hai vế của phương trình sẽ dẫn đến một phương trình bậc cao, nếu nhân với biểu thức liên hợp thì cũng khó để xác định được biểu thức liên hợp Vì vậy giáo viên sẽ gợi ý giúp học sinh sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình (2)

Nhận xét: Khi giá trị của x tăng giá trị của biểu thức 2x33x2 6x16 cũng

tăng, còn giá trị của biểu thức 4 x lại giảm

Lời giải: Điều kiện xác định: D 2;4

Xét hàm số f x( ) 2x3 3x2 6x16 ; x D

Ta có:

2 '

3 2

   nên f(x) là hàm đồng biến trên tập D

Xét hàm số ( ) 2 3g x   4 x x D; 

2 4

x

 nên hàm số g(x) nghịch biến trên tập D

Do đó phương trình (2) có tối đa một nghiệm trên tập D

Mặc khác: (1)f g(1) 3 3 nên x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình (2)

Ví dụ 3: Giải phương trình: x2 15 3 x 2 x2  (3)8

Với nhận xét x2 15x2 8,xta biến đổi phương trình (3) như sau:

Phương trình (3)  x215 x2  8 3x 2

Học sinh có thể nhận xét vế trái luôn dương, vì vậy nếu 2

3

x  thì phương trình

(3) vô nghiệm

Khi 2

3

x  thì hướng dẫn học sinh biến đổi phương trình thành:

x215 x2  8 3x 2 0

Sau đó xét f x( ) x215 x2  8 3x trên tập 2 



Do đó hàm sô nghịch biến trên tập  Mà f(1) = 0 Vậy x = 1 là nghiệm duy

nhất của phương trình (3)

Ví dụ 4: Giải phương trình: x 1  x3  4x5 (4)

Nhận xét: nếu biến đổi phương trình (4) thành x 1 x3 4x 5 thì dễ dàng nhận thấy vế trái là một hàm đồng biến, còn vế phải là hàm hằng Vì vậy sử dụng chiều biến thiên của hàm số để giải phương trình (4) là lựa chọn tối ưu Lời giải:

Tập xác định D   1; 

Xét f x( ) x 1x34 ,x  x D

Ta có : '( ) 1 3 2 4 0,

x



Do đó hàm số đồng biên trên tập D, mà f(1) = 5 nên x = 1 là nghiệm duy nhất

của phương trình

Tiếp theo ta sẽ khẳng định tính ưu việt của công cụ hàm số trong các ví dụ

ở dạng 2

Dạng 2: Phương trình (bất phương trình) đưa về dạng f(u) = f(v) (hoặc dạng f(u) > f(v)) (II); trong đó u = u(x), v = v(x), f(t) là hàm đồng biến

hoặc nghịch biến

Các bước giải:

+ Tìm tập xác định của phương trình

+ Đưa phương trình (bất phương trình) về dạng (II)

+ Xét hàm số f(t) và chứng minh f(t) là hàm đồng biến hoặc nghịch biến

+ Khi đó phương trình ( )f u f v( ) u v

bất phương trình ( )f u  f v( ) u v khi f(t) là hàm đồng biến

và ( )f u  f v( ) u v khi f(t) là hàm nghịch biến.

+ Giải phương trình u = v (hoặc bất phương trình u > v

hoặc bất phương trình u < v)

+ Kết luận nghiệm

Ví dụ 1: Giải phương trình: 3 6x5x3  5x 5 (5)

Phân tích: Khi giao bài tập này cho học sinh tôi đã quan sát các em giải quyết vấn đề Một số em lúng túng vì các cách mà các em hay sử dụng như lập phương hai vế, đặt ẩn phụ giờ đây không khả thi Một số khác tốt hơn đã dùng

máy tính tìm được một nghiệm của phương trình là x = -1, sau đó giải bài toán

này bằng cách nhân liên hợp Ta hãy theo dõi tiếp cách làm này của các em:

3 6x 5 x3 5x 5 3 6x  5 1 x3 5x 4

2 3 3

x



2

2 3 3

1

6

4

x









Nhưng đến đây các em lại không thể giải được phương trình còn lại Chúng ta cũng đều thấy rằng việc giải phương trình còn lại rất phức tạp

Vậy tại sao ta không áp dụng phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm

số để giải phương trình (5)

Trước tiên hướng dẫn các em biến đổi phương trình (5) về dạng (II)

Ta có: 3 6x 5 x3  5x 5 6x 5 3 6x5x3 (5.1)x

Xét hàm số f t   t3 t có f t'  3t2  1 0,  t Nên hàm số đồng biến trên 

Do đó:

1

2

x

x







 



Vậy phương trình (4) có các nghiệm: 1; 1 21

2

Ngạc nhiên, thích thú là những điều mà tôi nhìn thấy ở các em Từ một bài toán các em đang cho rằng “ khó lắm cô ơi”, một bài toán đang bị “tắc” giữa chừng, giờ đây các em đã “ chinh phục” được chỉ bằng một vài bước giải rất ngắn gọn

Ví dụ 2: [8] Giải phương trình:

2

2

3 2

1

 

Lời giải:

Đặt u x 2   ; x 1 v2x2 2x 3 u0;v0 v u x  2 3x2 Khi đó phương trình (6) trở thành log3u v u u log3u v log3v

Xét hàm số f t   t log3t có '  1 1 0, 0

ln 3

t

     nên hàm số

f t  t tđồng biến khi t 0

Do đó từ phương trình (6.1) ta có:

2

x

x





 Vậy nghiệm của phương trình (6) là x1;x2

Ví dụ 3: Giải phương trình: 2x3  x2 3 2x3  3x 1 3x 1 3 x2 (7)2

Lời giải:

Biến đổi Pt 7  2x3  3x 1 3 2x3 3x 1 x2 2 3 x2 (7.1)2

Xét hàm số f t   t 3 t có '  1 312 0, 0

3

t

     Do đó hàm số đồng biến

Do đó Pt 7.1  f 2x3  3x1 f x 2 2  2x3 3x 1 x22

3 2

1 2

2

x

x

















Vậy phương trình (7) có các nghiệm là: 1; 1 5

Ví dụ 4: Giải bất phương trình: 415x  4 2 x  (8)1

Lời giải:

Điều kiện: 15 x 2

Xét hàm số f x  415x  4 2 x trên 15;2

Ta có  

Nên hàm số f x  415x  4 2 x đồng biến trên  15;2

Mà f  1 1 nên 415x  4 2 x  1 f x   f  1  x1

Kết hợp với điều kiện 15 x 2 ta được nghiệm của bất phương trình (8) là

1 x 2

Ví dụ 5: [8] Giải bất phương trình: log4 xlog 35  x (9)

Lời giải:

Điều kiện: x 0

Đặt t log4x  x 4t

Khi đó bất phương trình (9) trở thành:

 

5

    Xét hàm   3 1 2

f t      

    Hàm số này là tổng hai hàm đơn điệu giảm nên

là hàm đơn điệu giảm

Mặt khác f  1 1 nên f t    1 t 1

Với t 1 ta có log4x 1 x4

Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình (9) là: 0 x 4

Đến đây có lẽ ta không thể phủ nhận được sự “ hấp dẫn” của phương pháp

sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trinh và bất phương trình

2.3.2 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số tìm điều kiện của tham số để phương trình, bất phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước

Một số thầy cô thường “để dành” đến khi học về ứng dụng của đạo hàm mới hướng dẫn các em dùng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình và bất phương trình Nhưng tôi thiết nghĩ chúng ta nên cho các em tiếp cận phương pháp này từ lớp 10 Hãy cùng cảm nhận hiệu quả tuyệt vời của nó thông qua các bài toán tìm điều kiện của tham số để phương trình, bất phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước

Các bước giải :

+ Đưa phương trình (bất phương trình) về dạng : f x( )g m( )( hoặc ( ) ( )

f x g m hoặc f x( )g m( )) ( Ta thường gọi là bước ‘cô lập’ tham số)

+ Xét hàm số f(x) và lập bảng biến thiên

+ Từ kết quả ở bảng biến thiên kết luận điều kiện của tham số m

Chú ý : Trường hợp phương trình, bất phương trình chứa những biểu thức phức

tạp ta thường phải đặt ẩn phụ theo các bước sau :

+ Đặt ẩn phụ t = u(x)

+ Từ điều kiện của ẩn x, ta tìm điều kiện của ẩn phụ t

+ Đưa phương trình (hoặc bất phương trình) ẩn x về phương trình (hoặc bất phương trình) ẩn t, có dạng h(t) = g 1 (m) (hoặc dạng h(t) > g 1 (m) hoặc dạng

h(t) < g 1 (m)).

+ Xét hàm số h(t) và lập bảng biến thiên

+ Từ kết quả ở bảng biến thiên kết luận điều kiện của tham số m

Ví dụ 1: [7] Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x   2;4

4 (4 x)(2x)x2  2x m  18 (1)

Phân tích : Ta có thể biến đổi để phần chứa biến của biểu thức trong căn và biểu

thức ngoài căn trở nên giống nhau Vì vậy, nên đặt ẩn phụ để đưa bất phương

trình (1) thành một bất phương trình bậc hai quen thuộc Bước tiếp theo các em

có thể sử dụng định lí về dấu tam thức bậc hai và định lí Viet để giải quyết bài toán Nhưng chúng ta hãy hướng dẫn các em giải tiếp bài toán bằng cách sử dụng tính đơn điệu của hàm số để xem sự hấp dẫn của phương pháp này

Lời giải:

Tập xác định: D   2;4

Đặt t  (4 x)(2x) với x   2;4 Khi đó t 0;3

( Cách tìm điều kiện của ẩn phụ không phải là nội dung chính của sáng kiến nên xin phép không trình bày)

Bất phương trình (1) trở thành: m t 2 4t10 (1.1)

Bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x   2;4  Bất phương trình (1.1) nghiệm đúng với mọi t 0;3

Xét hàm số f t( ) t2 4t10; t0;3

Lập BBT của hàm số:

t 0 2 3

f(t) 10

7 6

Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra:

Bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x  2;4  m10

Lời bình: Ta có thể thấy sự ngắn gọn, súc tích của lời giải Học sinh của tôi đều thích thú với cách giải này Và rất tự nhiên, sau khi biết đến phương pháp này thì đó là lựa chọn đầu tiên của các em khi giải các bài tập tương tự Nó lôi cuốn

và hấp dẫn các em rất nhiều so với việc dùng định lí về dấu của tam thức bậc hai

và định lí Viet Nhất là đối với học sinh lớp 10, các em thực sự thích thú khi khám phá thêm được vẻ đẹp của toán học, của phương pháp hàm số

Chúng ta hãy cảm nhận sự ngắn gọn, thuận lợi, vẻ đẹp của phương pháp giải này thông qua các ví dụ tiếp theo

Ví dụ 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình:

m3x 2 x2  1m 3 0 (2) có nghiệm x 1

Lời giải: Phương trình (2)  m x 1 3x 1  2 x2 1 0

3 1 2 1 0 1)

1

x

x





Phương trình (2) trở thành: 3t2  2t m 0

 3t2  2t m (2.1)

Phương trình (2) có nghiệm x 1khi phương trình (2.1) có nghiệm t 0;1

Xét hàm số f t( ) 3 t2  2t với t 0;1