Vận dụng định lí vi ét giải một số dạng toán về so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số thực

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT NHƯ THANH 2 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI VẬN DỤNG ĐỊNH LÝ VI-ÉT GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ SO SÁNH NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI MỘT

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT NHƯ THANH 2

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

TÊN ĐỀ TÀI VẬN DỤNG ĐỊNH LÝ VI-ÉT GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ

SO SÁNH NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI MỘT

SỐ THỰC, HAI SỐ THỰC NHẰM NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG

ÔN THI HỌC SINH GIỎI, ĐẠI HỌC CHO HỌC SINH TRƯỜNG THPT NHƯ THANH II.

Người thực hiện: Hoàng Khắc Tại Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HÓA NĂM 2019

2 Nội dung của sáng kiến kinh nghiệm.

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 32.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh

nghiệm

3

2.3 Vận dụng định lí Vi-ét giải các dạng toán

2.3.1 Dạng 1: So sánh nghiệm của phương trình bậc hai

Tài liệu tham khảo

Danh mục các đề tài SKKN của tác giả đã được Hội đồng SKKN

Ngành GD tỉnh đánh giá và xếp loại

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài.

Trong chương trình toán THPT hiện nay có rất nhiều bài toán chứa tham số màkhi giải có liên quan tới phương trình ( bất phương trình) bậc 2; biện luận, sosánh nghiệm của phương trình bậc 2 với một số thực hoặc hai số thực Khi gặpcác dạng bài tập này thì có nhiều cách xử lí khác nhau có thể kể đến:

 Sử dụng “ Định lí đảo về dấu tam thức bậc hai - Chương trình bộ sách giáo khoa cũ”

Sử dụng định lí Vi-ét

Sử dụng phương pháp hàm số

Rõ ràng sử dụng định lí Vi-ét là xuyên suốt ngay từ lớp 9 cho đến khi thiTHPTQG Nếu học sinh được rèn luyện thành thạo kĩ năng sử dụng định lí Vi-étnày thì các em có thể giải quyết được hàng loạt các dạng toán mới mà bản chấtvẫn quy về định lí Vi-ét và nghiệm của phương trình bậc hai Phương pháp hàm

số là một phương pháp “ mạnh” và hiện đại Nhưng ở sáng kiến này tôi chỉ xinbàn tới cách sử dụng định lí Vi-ét như thế nào cho hiệu quả ? Theo ý kiến cánhân thông qua giảng dạy thực tế

Bởi trong các đề thi HSG các cấp ngay từ lớp 10, đề thi Đại học- Cao đẳngtrước đây và bây giờ là đề thi THPTQG thường có mặt trực tiếp các bài về tìmđiều kiện để nghiệm của phương trình bậc hai thỏa mãn yêu cầu nào đó hoặcgián tiếp len lỏi vào các bài toán khác, thậm chí cả trong Hình học Vì vậy nếukhông thành thạo kĩ năng vận dụng định lí Vi-ét thì học sinh sẽ bỏ dở đáng tiếcnhiều bài toán

Các học sinh trong đội tuyển học sinh giỏi Toán các cấp của trường THPTNhư Thanh II, các học sinh 12 chuẩn bị thi THPTQG là những đối tượng đangrất cần mảng kiến thức này Vì qua thực tế dạy học tôi thấy, việc sử dụng định líVi-ét của các em còn rất “thô sơ” chưa có sự suy luận logic tìm ra bản chất, nhất

là không có hệ thống nên hay thiếu sót khi giải toán

Các tài liệu tham khảo cũng viết nhiều xung quanh chủ đề này, nhưng để phùhợp với tình hình thực tế và đối tượng cụ thể thì chưa tài liệu nào tôi thấy phùhợp Chính vì vậy để nâng cao chất lượng dạy và học, tạo hứng thú cho các emkhi học Toán, học Toán cũng giống như chơi trò chơi ta sẽ làm chủ được nó khi

ta hiểu rõ các quy tắc nên tôi viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “ Vận dụng định lí Vi-ét giải một số dạng toán về so sánh nghiệm của phương trình bậc

hai với một số thực, hai số thực nhằm nâng cao chất lượng ôn thi học sinh

giỏi, đại học cho học sinh trường THPT Như Thanh II”.

1.2 Mục đích nghiên cứu.

Tôi viết sáng kiến này có thể làm tài liệu học tập cho bất kì học sinh nàongay từ lớp 10, đặc biệt là các em học sinh trong đội tuyển HSG các cấp và họcsinh đang ôn thi THPT QG Nó có thể làm tài liệu dạy học của các thầy cô.Nhưng mục đích cuối cùng đều là rèn luyện cho học sinh kĩ năng biết đưa định líVi-ét vào áp dụng một cách linh hoạt, khéo léo trong từng trường hợp cụ thể,học sinh biết suy luận logic để giải quyết các trường hợp về so sánh nghiệm củaphương trình bậc hai với một số thực, hai số thực Từ đó làm nền tảng để ápdụng giải các dạng toán mới

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

Để hoàn thành bài viết của mình tôi nghiên cứu định lí Vi-ét, các dạngtoán về so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với số 0, một số thực bất kì,hai số thực bất kì và làm cách nào để đưa định lí Vi-ét vào áp dụng ở các dạng

đó Đồng thời nghiên cứu một số bài toán liên quan đến hàm số bậc ba, sự tươnggiao của hàm số bậc ba với bậc nhất, lượng giác Vì khi đạo hàm hoặc đặt ẩnphụ sẽ chuyển các bài toán này về bậc hai

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

Tôi sử dụng các phương pháp sau:

 Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết

 Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin

 Phương pháp thống kê, xử lý số liệu

1.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm.

 Phân loại rõ ràng, cụ thể và khá đầy đủ các trường hợp về so sánh

nghiệm của phương trình bậc hai với số 0, với một số thực bất kì, với hai số thực bất kì

 Đã chỉ ra cách đưa định lí Vi-ét vào áp dụng trong từng trường hợp một cách khéo léo thông qua tính chất số học của các số thực

 Có sự nhận xét, phân tích về ưu điểm, hạn chế của cách dùng định lí

Vi-ét so với các cách khác trong mỗi trường hợp Điều này giúp người học hiểu vấn đề sâu sắc hơn

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.

2.1.1 Phương trình bậc 2:

 Định nghĩa: Phương trình bậc hai đối với ẩn x R là phương trình códạng: ax2 bx c 0 1  a0

 Cách giải: Tính  b2  4ac

- Nếu  0 thì phương trình (1) vô nghiệm

- Nếu  0 thì phương trình (1) có nghiệm kép 1 2

cơ sở để suy luận giải quyết các vấn đề mà tôi nêu ra

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

2.2.1 Thuận lợi: Các học sinh đa số thuộc định lí Vi-ét, tìm được điều kiện

để phương trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu, cùng dương hoặc cùng âm

2.2.2 Khó khăn: Ngoài các thuận lợi kể trên một số khó khăn gặp phải là:

 Khi so sánh nghiệm với số 0 đa số học sinh mắc sai sót, tìm thiếu điềukiện khi có thêm dấu “=” trong biểu thức so sánh

 Khi tìm điều kiện để so sánh nghiệm với một số thực tùy ý kháckhông học sinh không biết cách để áp dụng định lí Vi-ét vào đó nhưthế nào Vì chỉ quen làm việc khi so sánh với số 0.

2.3 Vận dụng định lí Vi-ét giải một số dạng toán về so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số thực, hai số thực.

2.3.1 Dạng 1: So sánh nghiệm của phương trình bậc hai với số 0

Bài toán 1.1: Cho phương trình: ax2 bx c 0 1 ,   a0, x 

a) Tìm điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn: x1 0 x2

b) Tìm điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn: 0 x 1 x2

c) Tìm điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn: x1x2 0

Giải Đây là dạng bài tập đơn giản và quen thuộc ngay cả với học sinh lớp 9,

nên ta viết ngay được kết quả là:

a) (1) có hai nghiệm thỏa mãn: x1 0 x2  P0

b) (1) có hai nghiệm thỏa mãn: 1 2

Tình huống tiếp theo là nếu ta thêm dấu “ = ” vào một trong các dấu “ < ” hoặc

“ > ” thì điều kiện sẽ thế nào?

Chẳng hạn: Tìm điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn:

Thí dụ 1.1: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình x2 2mx m 2  1 0

có hai nghiệm thỏa mãn x1 0 x2

Giải: Phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn x1 0 x2  P0

(Không thỏa mãn yêu cầu đề bài !) Có nghĩa là kết quả trên là sai và suy luận(1) có hai nghiệm thỏa mãn: x1 0 x2  P0 là không đúng.

Nhận xét: Điều tôi muốn nói ở đây là trong Bài toán 1.1 nếu ta thêm dấu “

= ” vào các dấu “ < ” hoặc “ > ” thì vấn đề sẽ rắc rối hơn, nếu không biết điềunày thì học sinh sẽ mắc sai lầm đáng tiếc Từ kinh nghiệm này tôi xin liệt kê cáctrường hợp cũng như điều kiện trong các trường hợp đó nhằm làm tư liệu trongquá trình dạy và học của thầy và trò:

 TH1: Điều kiện để PT(1) có hai nghiệm thỏa mãn:

x  x  PT(1) có hai nghiệm thỏa mãn 1 2

00

00

 TH2: Điều kiện để PT(1) có hai nghiệm thỏa mãn:

x1 0 x2  PT(1) có hai nghiệm thỏa mãn 1 2

00

00

 TH3: Điều kiện để PT(1) có hai nghiệm thỏa mãn: x1 0 x2  P0

 TH4: Điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn:

 TH7: Điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn:

Bài toán 2.1 Cho phương trình: ax2 bx c 0 1 ,   a0, x R 

a) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm thỏa mãn : 0 x

b) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm thỏa mãn: x 0

Từ đó lại quay về các trường hợp của Bài toán 1.1.

Tóm lại: Khi nghiệm phương trình thỏa mãn yêu cầu bài toán mà có nhiều

khả năng xảy ra thì ý tưởng làm là “ Chia nhỏ để trị” Như vậy, học sinh sẽ thấy

rõ ràng, dễ hiểu hơn, tránh được những thiếu sót đáng tiếc

Nhận xét: Trong chương trình ôn thi HSG các cấp, thi THPTQG bài toán tìm

điều kiện về nghiệm của phương trình bậc hai như trên có thể không ra trực tiếp,nhưng những kiến thức đó vẫn “len lỏi” trong nhiều bài toán, thậm chí đó lại làvấn đề chính cần giải quyết Vì vậy, cần tạo một nền tảng kiến thức vững chắc

cho học sinh ngay từ lớp 10 để học sinh khi tiếp cận các dạng toán mới biết “quy lạ về quen” và xử lí nhẹ nhàng.

y  có hai nghiệm x1x2 thì x sẽ là điểm cực tiểu của hàm số 2

Do đó, để thỏa mãn yêu cầu bài toán ta cần tìm m để phương trình

 Để phương trình  * có hai nghiệm thỏa mãn: x1 0 x2, ta có:

+ Trường hợp 1:  * có hai nghiệm

+ Trường hợp 2:  * có hai nghiệm x1 0 x2 1.( 4 ) 0 m   m0 Vậy để phương trình  * có hai nghiệm thỏa mãn: x1 0 x2 thi giá trịcần tìm của m là: m 0

 Để phương trình  * có hai nghiệm thỏa mãn: 0 x 1 x2, ta phải có:

Kết luận: Giá trị cần tìm của m là m 0 hoặc  m  2027  32368

2.3.2 Dạng 2: So sánh nghiệm của phương trình bậc hai với số thực .

Bài toán 1.2: Cho phương trình: ax2 bx c 0 1 ,  a0, x, * a) Tìm điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn: x1 x2 b) Tìm điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn:  x1 x2

c) Tìm điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn: x1x2 

Giải.

Cách 1: Đặt ẩn phụ rồi sử dụng định lí Vi-ét.

Bằng việc đặt t x   , ta sẽ chuyển phương trình đã cho về ẩn t, việc so sánh

nghiệm x với  tương đương với việc so sánh nghiệm t với số 0 Vấn đề nàylại quay về Dạng 1

Cụ thể: Đặt t x    x t  , thay vào phương trình (1) ta được:

c a

Các biểu thức ở hệ ĐK cuối cùng là đối xứng với x x1, 2 nên ta hoàn toàn có thể

áp dụng định lí Vi-ét vào để giải.

Bài toán 2.2: Cho phương trình: ax2 bx c 0 1 ,  a0, x, *.a) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm:  x

b) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm: x

Cách 2: Dùng định lí Vi-ét trực tiếp nhờ tính chất của số thực.

a) Điều kiện để phương trình (1) có nghiệm thỏa mãn :

m m

Giải Ta có: y'x2 2mx m 2  m1

Vì hàm số bậc ba chỉ có cực trị khi phương trình y ' 0 có hai nghiệm phân biệt.Mặt khác, hệ số a 0 nên nếu y ' 0 có hai nghiệm x1x2 thì x sẽ là điểm1

cực đại của hàm số

Do đó, để thỏa mãn yêu cầu bài toán ta cần tìm m để phương trình

x  mx m  m  có hai nghiệm thỏa mãn: x1  1 x2 hoặc

x x 

 Để phương trình  ** có hai nghiệm thỏa mãn: x1 1 x2, ta có:

+ Trường hợp 1:  ** có hai nghiệm

Kết luận: Giá trị cần tìm của m là 1m2

2.3.3 Dạng 3: So sánh nghiệm của phương trình bậc hai với hai số thực

Giải.

a) Phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn: 1 2 1 2

Mỗi điều kiện trong hệ trên lại là so sánh hai nghiệm của phương trình (1) với

một số thực mà đã được giải quyết ở Dạng1 và Dạng 2 Tương tự ta cũng giải

quyết được các câu còn lại như sau:

b) Phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn: 1 2 1 2

Nhận xét: Nếu có thêm dấu “ = ” vào các dấu “ < ” hoặc “ > ” trong bài toán

trên thì có rất nhiều các trường hợp Tuy nhiên, cách suy luận cũng tương tự.Tức là ta tách điều kiện thành hệ điều kiện mà mỗi điều kiện trong hệ đó chỉ là

so sánh nghiệm của phương trình (1) với một số thực

Thí dụ 1.3 Tìm điều kiện của tham số m để hàm số

y  x  m x m x đồng biến trên khoảng 1;3

Giải Ta có y'3x2 2(m1)x m 2 Yêu cầu bài toán tương đương với tìm

2 2

2

2 2

m x

Kết hợp cả ba điều kiện ta có: m  3 30 hoặc m  1 6

Nhận xét: Nếu sử dụng cách đặt ẩn phụ ta vẫn có thể giải quyết được thí dụ trên

nhưng ta phải hai lần đặt ẩn phụ bởi mỗi lần đặt chỉ giúp ta so sánh được nghiệmvới một số thực và để so sánh với số thực khác thì phải đặt ẩn mới Điều này cóthể gây phức tạp làm bài toán rắc rối thêm Nên việc sử dụng định lí Vi-ét trựctiếp như trên thể hiện rõ ưu thế khi cần so sánh nghiệm với hai số thực Tấtnhiên bài toán trên cũng có thể giải bằng phương pháp hàm số

Thí dụ 2.3 Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 1 Gọi M N, lần lượt là cácđiểm di động trên cạnh AD và CD sao cho MBN 450 Chứng minh rằng:

Vì sự tồn tại của x y, thỏa mãn 0x y, 1 là hiển nhiên nên phương trình  3

luôn có hai nghiệm thỏa mãn: 1 2 1 2

01

Thí dụ 3.3 Cho tam giác đều ABC cạnh bằng 1 Gọi O là trọng tâm của tamgiác, điểm M di động trên cạnh AB, đoạn MO cắt đoạn AC tại N Chứng

Vì sự tồn tại của x y, thỏa mãn 1 , 1

2x y là hiển nhiên nên phương trình  6

luôn có hai nghiệm thỏa mãn: 1 2 1 2

11

PT  6 có hai nghiệm thỏa mãn:

Nhận xét: Như đã nêu ở lí do chọn đề tài, định lí Vi-ét còn có ứng dụng ngay

cả trong Hình học Tuy những ứng dụng của nó trong lĩnh vực này rất hiếm hoi

nhưng nó lại có tác dụng rất lớn Thí dụ 2.3, Thí dụ 3.3 ở trên là những minh

họa

Bài 1 Cho hàm số y x 3  2m 1x2 2 m x 2, (m là tham số)

a) Tìm m để hàm số có điểm cực tiểu lớn hơn 2

b) Tìm m để hàm số có điểm cực đại nhỏ hơn 2.

c) Tìm m để hàm số có điểm cực đại, cực tiểu nằm về hai phía của 2.

d) Tìm m để hàm số có điểm cực đại và cực tiểu nhỏ hơn 2

e) Tìm m để hàm số có điểm cực đại và cực tiểu lớn hơn 2.

Bài 2 Cho hàm số 1 3 2  2  2

3

y x  mx  m  m x m  , (m là tham số).

a) Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng  ;3 

b) Tìm m để hàm số đồng biến trên nửa khoảng 3; 

Bài 3 Cho hàm số y x 3  3mx2 (m2 1)x m 1 (C m), (m là tham số).

Tìm m để đường thẳng  d : y x m  1 cắt đồ thị (C tại ba điểm phân m)biệt có hoành độ lớn hơn -1

Bài 4 Cho hàm số y x 3  m x2 2 (m 1)x3m1 (C m), (m là tham số).

Tìm tất cả các giá trị m để đường thẳng  d : y4x3m1 cắt đồ thị(C tại ba điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 4 m)

Bài 5 Với giá trị nào của tham số a hàm số

  sin6 os6 sin cos

f x  x c x a x x xác định với mọi giá trị của x.

Bài 6 Với giá trị nào của tham số a hệ bất phương trình sau đây có nghiệm

2.4 Hiệu quả sáng kiến kinh nghiệm.

Khi áp dụng chuyên đề này vào giảng dạy học sinh ở trường THPT NhưThanh II, tôi nhận thấy các em học sinh rất hứng thú với môn học, nhiều họcsinh cảm thấy bất ngờ khi giải “nhẹ nhàng” một số bài toán có liên quan đến sosánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số thực bất kì hoặc hai số thực.Bởi trước đó các em gần như không có đường lối để làm hoặc cách làm rất “đơnsơ” như tìm rõ ra nghiệm theo tham số và “lao” vào giải các bất phương trình vô

tỷ để dẫn đến những biểu thức cồng kềnh, từ đó làm cho người học càng chánnản Chính vì sự hứng thú với môn học nên trong năm học tôi nhận thấy chấtlượng của môn Toán được nâng lên đáng kể

 Cụ thể: Trong năm học 2018-2019 tôi có dạy 2 lớp 12A4 và 12A5 Sau khidạy xong chuyên đề này cho lớp 12A4, lớp 12A5 chưa dạy, tôi cho học sinh hailớp làm bài kiểm tra của chuyên đề này kết quả đạt được khá khả quan:

Lớp Sĩ số Điểm dưới 5 Điểm 5; 6 Điểm 7; 8 Điểm 9; 10