SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT HÀM RỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ỨNG DỤNG HÌNH HỌC GIẢI NHANH MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ MÔ ĐUN SỐ PHỨC Ở MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO Người thực hiện: LÊ MẠNH
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT HÀM RỒNG
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ỨNG DỤNG HÌNH HỌC GIẢI NHANH MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ
MÔ ĐUN SỐ PHỨC Ở MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO
Người thực hiện: LÊ MẠNH HÙNG Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc môn: Toán
THANH HOÁ, NĂM 2018
Trang 2MỤC LỤC
1 MỞ ĐẦU 1
1.1 Lí do chọn đề tài 1
1.2 Mục đích nghiên cứu 1
1.3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 1
1.4 Phương pháp nghiên cứu 1
2 NỘI DUNG 1
2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 1
2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 3
2.2.1 Đối với giáo viên 3
2.2.2 Đối với học sinh 3
2.3 Giải pháp giải quyết vấn đề 4
2.3.1 Sử dụng kiến thức về e líp tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của mô đun số phức ………4
2.3.2 Sử dụng kiến thức về véc tơ tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của mô đun số phức ………
….8 2.3.3 Sử dụng kiến thức về đường tròn, đường thẳng tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của mô đun số phức……….10
2.4 Hiệu quả sáng kiến kinh nghiệm 16
3.1 Kết luận 19
3.2 Kiến nghị 19
TÀI LIỆU THAM KHẢO 20
Trang 31 MỞ ĐẦU
1.1 Lí do chọn đề tài
Trong chương trình SGK và đề thi tốt nghiệp cũng như thi tuyển sinh đại học trước đây thì các dạng toán về số phức được đưa ra dạng cơ bản, đa phần chỉ
ở mức độ nhận biết, hoặc thông hiểu Các câu hỏi mang tính vận dụng gần như
không xuất hiện Vì thế, khi Bộ giáo dục và Đào tạo lần lượt đưa ra đề minh họa môn Toán cho kì thi THPT Quốc gia 2017-2018 , thì nhiều giáo viên và đa số học sinh gặp khó khăn trong việc tìm lời giải của các bài số phức ở mức độ vận dụng Ngoài ra, các tài liệu tham khảo cho những dạng toán trên hầu như chưa có và chỉ xuất hiện rời rạc ở những bài toán đơn lẻ Do đó việc tổng hợp và đưa ra phương pháp giải nhanh các dạng toán trên là rất cần thiết cho học sinh trong quá trình ôn thi THPT quốc gia Xuất phát từ thực tế trên, với một số kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy và tham khảo một số tài liệu, tôi chọn đề tài
“ỨNG DỤNG HÌNH HỌC GIẢI NHANH MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ
MÔ ĐUN SỐ PHỨC Ở MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO”
nhằm giúp các em hiểu và vận dụng kiến thức hình học giải quyết tốt các bài toán vận dụng cao để đạt kết quả tốt nhất trong các kì thi
1.2 Mục đích nghiên cứu
Thông qua việc vận dụng các kiến thức về đường tròn , elíp giải quyết các bài toán về mô đun số phức giúp học sinh hiểu, định hướng được cách làm bài tập, giải quyết một số bài toán số phức mức độ vận dụng cao một cách chính xác và nhanh chóng Từ đó kích thích khả năng tư duy, sự ham hiểu biết của học sinh đối với môn học
1.3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Kiến thức chương số phức trong chương trình toán THPT
- Hệ thống và hướng dẫn phương pháp giải các bài toán tìm về modun số phức
1.4 Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lí thuyết
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu và sản phẩm hoạt động sư phạm
- Phương pháp tổng hợp
- Phương pháp thống kê, so sánh
2 NỘI DUNG
2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Những kiến thức cơ bản :
Định nghĩa elíp: Cho hai điểm cố định F1, F2 với độ dài F1F2 2c Tập hợp các điểm
M trong mặt phẳng thoả mãn: MF1MF2 2a ( với a> c >0 ) được gọi là e líp
Hình dạng
Trang 4Mối quan hệ: a,b,c 0 ,a2 b2 c2
Định nghĩa mô đun số phức và ý nghĩa hình học
Cho số phức zabi mô đun của z ký hiệu là z được tính bởi z a2 b2 Mỗi số phức zabi được biểu diễn bởi điểm M(a;b)
Mỗi số phức zabi có thể coi là một vecto u ( b a; )
Tổng (hiệu) hai số phức bằng tổng (hiệu) hai vecto
z u
z2 z.z; z 2 u2; z1 z2 z1 z2
2
1
2
1
z
z
z
z
; z z ; z n z n
Cho M, N lần lượt biểu diễn hai số phức z1 ,z2thì OM , ON là các véc tơ biểu diễn 2
1 ,z
z Khi đó :
* OM ON là véc tơ biểu diễn z 1 z2 và OM ON OPz1 z2
* OM ON là véc tơ biểu diễn z 1 z2 và OM ON MNz1 z2
y
P N
M
Bất đẳng thức modun
* z1 z2 z1 z2 dấu “ = ” xảy ra khi z1 kz2(k>0) hay OM , ON ngược hướng
* z1 z2 z1 z2 dấu “ = ” xảy ra khi z1 kz2(k>0) hay OM , ON cùng hướng
Trang 5M biểu diễn z và I biểu diễn z0 thì z z0 R M thuộc đường tròn tâm O bán kính R
M biểu diễn z, F1 biểu diễn z1 và F2 biểu diễn z2 thì z z1 z z2 M thuộc đường trung trực F1F2
2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
2.2.1 Đối với giáo viên
- Trước đây số phức trong chương trình thi tốt nghiệp và tuyển sinh đại học chỉ dừng lại ở mức độ cơ bản( nhận biết, thông hiểu) Vì vậy việc giảng dạy và nghiên cứu của giáo viên chỉ dừng lại ở một mức độ cụ thể là giúp các em làm tốt phần kiến thức cơ bản
- Hiện tại với đề án thi mới của bộ giáo dục Thông qua các đề thi trung học phổ thông quốc gia năm 2017 , đề minh họa của Bộ đưa ra và các đề thi thử của các
sở, các trường, các câu hỏi trong phần số phức đã xuất hiện nhiều hơn Đặc biệt những câu khó, hoặc rất khó và lạ ( mức độ vận dụng cao) mà trước đây chưa xuất hiện thì nay xuất hiện tương đối nhiều Tuy nhiên lại chưa có nhiều tài liệu nghiên cứu về vấn đề này vì vậy nguồn tham khảo của giáo viên còn hạn chế
- Các giáo viên chưa có nhiều thời gian nghiên cứu những dạng toán mới, vì vậy chưa có nhiều kinh nghiệm trong giảng dạy và định hướng cho học sinh giải những bài toán số phức khó
2.2.2 Đối với học sinh
- Với lớp bài toán vận dụng , vận dụng cao các em thường thụ động trong việc tiếp cận và phụ thuộc nhiều vào những kiến thức được giáo viên cung cấp chứ chưa
có ý thức tìm tòi, sáng tạo cũng như tìm được niềm vui, sự hưng phấn khi giải các bài toán
- Số lượng tài liệu tham khảo cho các em còn ít
- Việc thi trắc nghiệm đòi hỏi học sinh không chỉ hiểu đúng bản chất bài toán
mà còn phải tìm ra cách giải nhanh nhất để đạt kết quả tối đa
Trước tình hình đó tôi muốn đưa ra một ý tưởng giải quyết các bài toán mô đun số phức bằng việc chuyển sang bài toán hình học quen thuộc , giúp các em phát triển tư duy và kích thích sự ham học tập của các em
2.3 Giải pháp giải quyết vấn đề
2.3.1 Sử dụng kiến thức về e líp tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của mô đun số
phức
Bài toán số phức : Cho số phức z thoả mãn z z1 z z2 2a với 2a z1 z2 Tìm GTLN, GTNN của Pz z0
Sự tương ứng ở đây gồm:
* M là điểm biểu diễn z , F1, F2 tương ứng là điểm biểu diễn z1, z2 Khi đó
a MF MF a
z
z
z
z 1 2 2 1 2 2
*A là điểm biểu diễn z0 Ta có Pz z0 MA
Chuyển hóa thành bài toán hình học
Bài toán hình học: Cho M chuyển động trên Elip (E) và một điểm A cố định
Tìm GTLN, GTNN của AM
Trang 6Ta xét bài toán này trong các trường hợp đặc biệt
Bài toán 1: Phương trình (E) dạng chính tắc 2 1
2 2
2
b
y a x
Cho số phức z thoả mãn z c zc 2a (Elíp ngang) hoặc z ci zci 2a (Elip đứng).Tìm GTLN, GTNN của Pz z0
G
iải
- Tính b2 a2 c2
- Lập phương trình dạng chính tắc (E) 2 1
2 2
2
b
y a
x với z c zc 2a Hoặc
1
2
2
2
2
a
y
b
x
với z ci zci 2a
- Rút y theo dạng: a2 x2
a
b
2 2
2
b
y a
2 2
2
a
y b x
a
b x
x
P ( ) ( ) 2 , ;
0 2 2 2
0
2 với z0 x0y0i
- Dùng chức năng TABLE của máy tính Casio và các phương án trắc nghiệm tìm GTLN, GTNN của hàm P2 từ đó có P
Ví dụ 1
Cho số phức z thoả mãn z 2 z 2 6.Tìm GTLN, GTNN của Pz 1 3i
Giải
- Có a = 3, c = 2 b2 9 4 5
3
5 1
5
y x
3
5 ( ) 1
P
- Bấm TABLE các hàm f1,2(x) vơi x 3 ; 3 được GTLN, GTNN của hàm P2
Bài toán 2 Elip không ở dạng chính tắc nhưng A là trung điểm của F1, F2 tức A là tâm của Elip
Cho số phức z thoả mãn z z1 z z2 2a với 2a z1 z2 Tìm GTLN, GTNN của
0
z
z
P Với đặc điểm nhận dạng
2
2 1 0
z z
z
Phương pháp
- Tính
2
2 1 2
1
z z c z z c F
F
- Tính b2 a2 c2 b a2 c2
- Vì A là tâm của Elip và M di chuyển trên Elip nên:
+ AM lớn nhất bằng a hay max P = a
+ AM nhỏ nhất bằng b hay min P= b
Ví dụ 2:
Cho số phức z thoả mãn z 1 3i z 2 i 8.Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P 2z 1 2i
Giải
- Ta có P 2z 1 2i P z i
2
1
2 Ta chỉ cần tìm GTLN, GTNN của Pz i
2 1 '
Trang 7- Ta thấy z1 1 3i,z2 2 i và z i
2
1
2
2 1 0
z z
z
2
5 5
2cz1 z2 c a a Vậy
2
39 4
25
16
b
- Vậy max P’= 4; min P’=
2
39, do đó max P= 8; min P= 39
Bài toán 3 Elip không có dạng chính tắc, A không là trung điểm của F1, F2 nhưng A nằm trên các trục của Elip
Bài toán 3.1: A nằm trên trục Elip lớn và ngoài.
- Dấu hiệu nhận biết:
) (
2 2 0 1 0
2 0 1 0
z z k z z
a z z z z
- Thì max P= z z z aAIa
2
2 1
2
2 1 0
Bài toán 3.2: A nằm trên trục lớn và ở phía trong Elip.
- Dấu hiệu nhận biết:
) (
2 2 0 1 0
2 0 1 0
z z k z z
a z z z z
- Thì max P= z z z aAIa
2
2 1
Bài toán 3.3: A nằm trên trục nhỏ (bất kể trong hay ngoài) Elip.
- Dấu hiệu nhận biết: z0 z1 z0 z2
- Thì min P= z z z b
2
2 1
Ví dụ 3
Cho số phức z thoả mãn z i z 3 3i 6.Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
i
z
P 6 7
Giải
) 7
; 6 ( 7 6 );
3
; 3 ( 3
3 );
1
;
0
1
1 i F z i F z i A
) 1
; 2
3 (
2
2
1
z z
I
Có z0 z1 6 8i ;z0 z2 3 4i z0 z1 2 (z0 z2) Vậy A thuộc F1F2
Mặt khác z0 z1 z0 z2 10 5 6 Vậy A nằm ngoài Elip
Vậy max P= AI+ a = 1 2 2 212
0 z z a
0 z z a
z
Tổng kết bài toán
Khi thấy giả thiết là Elip không chính tắc z z1 z z2 2a với (z1 z2 2a) và
ci
c
z
z1, 2 ; Tìm Min, Max của Pz z0 : Tính z1 z2 2c và b2 a2 c2
2
2 1
0 z z
+) Nếu thấy
) (
2
2 0 1 0
2 1 0
z z k z z
a z z z
thì max P= z z z a
2
2 1
2
2 1 0
Trang 8+) Nếu thấy
) (
2
2 0 1 0
2 1 0
z z k z z
a z z z
thì max P= z z z a
2
2 1 0
+) Nếu thấy z0 z1 z0 z2 thì min P= z z z b
2
2 1 0
2.3.2 Sử dụng kiến thức về véc tơ tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của mô đun số
phức
Bài toán Cho z1 m ,z2 n và az1bz2 p Tính qcz1 dz2
Phương pháp
Gọi u; v là các véc tơ biểu diễn z1; z2 thì 2 2
2
2 2 2 2 1
2 2
,v v z n m
z u
u và ( u 2
2
) p
v
b , (c ud v) 2 q2
Khai triển:
p2 a2m2 b2n2 2ab.u.v (1)
q2 c2m2 d2n2 2cd.u.v (2)
Bây giờ khử u v là xong
Nhân (1) với ab và nhân (2) với cd rồi trừ đi, được:
) (
) (
.
.p2 ab q2 cd a2m2 b2n2 ab c2m2 d2n2
) (
) (
.p2 ab q2 acm2 ad bc bdn2 bc ad
cd.p2 ab.q2 (ad bc)(acm2 bdn2 ) Đặc biệt khi a = b =1 và c = - d =1, ta có công thức hình bình hành
1 2 2
2 2 1
2 2
2
(
2 z z z z z z
(Tổng bình phương hai đường chéo bằng tổng bình phương các cạnh )
Ví dụ 1: Cho các số phức thỏa mãn z1 1 ,z2 3 và z1 3z2 2 tính p 2z1 3z2
Giải
Coi các số phức z1,z2 là vector u ,v ta có 4 z1 3z2 2 z12 9z2 2 6 u.v (1)
1 2 2
2 2z 3z
p 4z12 9z2 2 12 u.v (2)
Nhân (1) với 2 rồi cộng với (2) được: 8 p 2 6 27 2 2 241 p 241
2
2
1 z p
z
Ví dụ 2: Cho hai số phức z1,z2thỏa mãn z1z2 5 và z1 z2 3
Tìm GTLN của pz1 z2
Giải
Các số phức z1,z2có các vec tơ đại diện là u ,v
Ta có
(1) 2
25 z12 z2 2 u v
(2) 2
9 z1 2 z2 2 u v
Cộng (1) với (2) được: 34 2 (z12 z2 2)
Mặt khác, theo bất đẳng thức BNC, ta có p2 (z1 z2)2
34 34
)
(
2
2
1 z p p
Ví dụ 3: : Cho hai số phức z1,z2thỏa mãn z1 2z2 5 và 3z1 z2 3 Tìm GTLN của
2
1 z
z
p
Trang 9Hướng dẫn
Coi các số phức z1,z2 là các vector u ,v ta có
(1) 4 4
25 z12 z2 2 u v
(2) 6 9
9 z12 z2 2 u v
nhân (1) với 3 và nhân (2) với 2 rồi cộng lại ta có: 22
2
1 14 21
93 z z
Áp dụng bất đẳng thức BNC, ta có
2 2 1
2 2 1
14
1 ) 21 ( 21
1 )
p
14
155 ) 14 21
(
14
1
21
2
2
Đáp số:
14
155 max p
Ví dụ 4 Cho bốn số phức a, b, c, z thoả mãn az2 bzc 0 và a b c 0 Gọi
z m
z
M max , min Tính môđun của số phức wM mi
*) Gọi z1 ,z2 là hai nghiệm của phương trình
1
(1) 1
.
1
2 1
2
1
2
1
OB OA
OB OA z
z
z z a
c
z
z
a
b
z
z
OB
OA , là các vector đại diện z1 ,z2 Từ (1) OA2 OB2 2OA.OB cos(OA,OB) 1
2
5 3 2
5 3 3
1 3
) , cos(
2
2 2 2
OA OA OB
OA OB
OA
2
5 -3 m ; 2
5 3
M
Ví dụ 5: Cho số phức z1 ,z2 thoả mãn 12
2 1
2 1
z z
z z
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2
2
1
1
z
z
z
z
P
Giải:
Gọi OA , OB là các véc tơ đại diện z1 ,z2
Khi đó gọi u1là véc tơ đại diện 1 1
1
1 u
z
z
và u1 cùng phương với OA,
gọi u2là véc tơ đại diện 2 1
2
2 u
z
z
và u1 cùng phương với OB,
) , cos(
2 2 ) , cos(
2
2 2
2 1
2 2
1
OB
OA
OB
OA
2 )
).
, cos(
2 (
4 2
2
1 8
6 2
) (
3 2 ) ,
cos(
2 2
OB OA
OB OA OB
OA
2
1 (
2 2 ) , cos(
2
2 OA OB P
Trang 10Ví dụ 6: Cho ba z1 ,z2 , z 3 số phức thoả mãn z1 z2 z3 1 Tính giá trị nhỏ nhất
3 1 2 1
1
z z z z
1 2 3 2
1
z z z
1
z z z
z
Giải:
Gọi A, B, C là các số phức biểu diễn z1 ,z2 , z 3
AB AC AC BC BC
AB
P
.
1
1
1
VậyPmin 1 ABBCAC 3 hay tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn bán kính
R = 1
2.3.3 Sử dụng kiến thức về đường tròn , đường thẳng tìm giá trị lớn nhất , nhỏ
nhất của mô đun số phức
Bài toán 1: Cho số phức z thỏa mãn z1.z z2 k 0
Tìm GTLN, GTNN của T z z0
Bài toán hình học:
z
k z
z z k z z
z
1 1
2 2
1
Với I biểu diễn
1
2
z
z
và R là
1
z
k
Vậy M chuyển động trên đường tròn tâm I bán kính
R Gọi A là điểm biểu diễn z0 thì, bài toán trở thành: “ ChoM di chuyển trên đường tròn tâm I và A là điểm cố định Tìm GTLN, GTNN của AM ”
Nhìn vào hình vẽ ta sẽ thấy ngay
I
M
A
1
2 0 1 1 1
2 0
.
z
k z z z z
k z
z z R AI
MinT
1
2 0 1 1 1
2 0
.
z
k z z z z
k z
z z R AI
MaxT
Chú ý : Không phải phương trình đường tròn nào cũng là dạng z1.z2 z2 k 0mà đôi khi ở dạng z1.z z2 z1.z z3 với z1 z2 Do đó để kiểm tra điều kiện giả thiết là phương trình đường tròn hay phương trình đường thẳng trong trường hợp là cách tốt nhất là gọi z = x +yi rồi thay vào giả thiết để biết (x; y) thỏa mãn phương trình nào
Ví dụ 1: Cho số phức z thoả mãn z 1 2i 4 Tìm GTLN, GTNN của T z 1 i
Giải:
Trang 11Viết T dạng T z z0 thì z0 1 i thay vào phương trình ta được
i
z0 1 2 2 3i = AI
Vậy minT 4 13 và maxT 4 13
Ví dụ 2 : Cho số phức z thoả mãn 2iz 1 3i 1 Tìm GTLN, GTNN của
i
z
T 2 3
Giải:
Viết T dạng T z z0 thì z0 2 3i thay vào 2iz 1 3i ta được
i
i
z 1 3
2 0 7 i 5 2
Vậy
2
1 2 5 minT và
2
1 2 5 maxT
Ví dụ 3: Cho số phức z thoả mãn 2z 1 z 2i Tìm GTLN, GTNN của T z 1 2i
Giải:
Gọi z = x +yi , (x ,yR) và M(x;y) biểu diễn z thì 2z 1 z 2 i
0 3 4 4 3 3 )
2 ( )
2 ( )
1
2
0 1 3
2 3
2
2
2
Vậy M trên đường tròn tâm I
3
1
; 3
1 bán kính R
3
11
Có T z 1 2i AM với A(-1;-2)
Vậy
3
11 3
65 minT và
3
11 3
65 maxT AI R
Bài toán 2: Cho số phức thỏa mãn z0 z R Tìm GTLN của Pa z z1 b z z2
biết rằng z0 z1 k(z0 z2), k 0,a ,b R
Bài toán hình học: Cho điểm M chuyển động trên đường tròn tâm I bán kính R Cho
A, B là 2 điểm cố định thỏa mãn I nằm trên đoạn thẳng AB Tìm giá trị lớn nhất của
P = aMA+bMB (khi I là trung điểm của AB hay I nằm trên đường trung trực của AB)
2
1 2
2MJ AB MA MB MB
Do đó (MA+MB) đạt giá trị lớn nhất khi MJ lớn nhất hay MIJ(C)
J I
B
A
M
Ví dụ 1:(Đề minh hoạ BGD- 2018): Xét các số phức z abi (a,bR) thoả mãn
5 3
4
i
z Tính P = a+ b khi z 1 3i z 1 i đạt giá trị lớn nhất
Giải
Gọi M(a;b), A(-1;3), B(1;-1) tâm I(4;3) Gọi J là trung điểm AB J(0;1)
IJ ( 4 ; 2 );AB ( 2 ; 4 ) IJ.AB 0 IJ là trung trực của AB