Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải một số bài toán cực trị trong hình học giải tích

Lý do chọn đề tài Trong chương trình Hình học giải tích lớp 12, bên cạnh các dạng toán quen thuộc như: viết phương trình mặt phẳng, phương trình đường thẳng,….. Đây là dạng T

MỤC LỤC

Trang

A.Mở đầu 3

1 Lý do chọn đề tài … 3

2 Nhiệm vụ của đề tài……… ………3

3 Đối tượng nghiên cứu……… 3

4 Phạm vi nghiên cứu 3

B.Nội dung … 4

1 Cơ sở lý luận, Cơ sở khoa học 1.1 Nhắc lại một số dạng toán hay được sử dụng 1.1.1 Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (α)……….4

1.1.2 Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng d:………… 4

2 Áp dụng trong thực tế dạy học Các dạng bài tập thường gặp……… ………….5

2.1 Các bài toán cực trị liên quan đến tìm một điểm thỏa điều kiện cho trước 2.2 Các bài toán cực trị liên quan đến vị trí của đường thẳng, mặt phẳng… 15

3 Hiệu quả của sáng kiến……… 23

C.Kêt luận 24

Kiến nghị 25

HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN

CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH

A MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong chương trình Hình học giải tích lớp 12, bên cạnh các dạng toán quen

thuộc như: viết phương trình mặt phẳng, phương trình đường thẳng,… Ta còn gặpcác bài toán tìm vị trí của điểm, đường thẳng hay mặt phẳng liên quan đến một điềukiện cực trị Đây là dạng Toán khó, chỉ có trong chương trình nâng cao và sử dụnglàm câu hỏi VD và VDC trong đề thi TN THPT Quốc Gia

Trong thưc tế giảng dạy, tôi nhận thấy nhiều học sinh bị mất kiến thức cơ bản

trong hình học không gian, không nắm vững các kiến thức về hình học, vec tơ,phương pháp độ trong không gian Đặc biệt khi nói đến các bài toán về cực trịtrong hình học thì các em rất “e ngại” kể cả đối với học sinh khá, giỏi

2 Nhiệm vụ của đề tài

Trong quá trình trực tiếp giảng dạy và nghiên cứu tôi thấy đây là dạng toánkhông chỉ khó mà còn khá hay, lôi cuốn được các em học sinh khá giỏi Nếu ta biếtsử dụng linh hoạt và khéo léo kiến thức của hình học thuần túy, véctơ, phươngpháp tọa độ, hình học giải tích thì có thể đưa bài toán trên về một bài toán quenthuộc

Với đề tài này, tôi cố gắng xây dựng cơ sở kiến thức vững chắc, hệ thống bàitập và ví dụ logic giúp học sinh tiếp thu vấn đề một cách thuận lợi nhất, quy lạ vềquen để bài toán cực trị trong hình học giải tích không còn luôn luôn là bài toán hócbúa, khó giải

3 Đối tượng nghiên cứu

Từ kiến thức cơ bản và các ví dụ dễ hiểu, sau đó phát triển dầnthành các bài toán phức tạp hơn, đối tượng nghiên cứu của đề tài này tập trung vào một số bài toán cực trị hình học cụ thể trong hình học giải tích lớp 12

4 Phạm vi nghiên cứu

Phạm vi nghiên cứu của đề tài là hình học giải tích trong chương trình SGK cơbản và nâng cao hình học lớp 12 đang được lưu hành Tập trung chủ yếu vào cácbài toán ở mức độ VD và VDC trong đề thi TN THPT Quốc Gia

Với tinh thần yêu thích bộ môn, nhằm giúp các em hứng thú hơn, tạo cho các

em niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở ra một cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền tảng cho các học sinh tự học, tự nghiên

toán cực trị trong hình học giải tích”.

B NỘI DUNG 1.Cơ sở lý luận, Cơ sở khoa học

1.1 Nhắc lại một số dạng toán hay được sử dụng.

1.1.1 Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (α)

- Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên (α)

- Viết phương trình đường thẳng MH(qua M

và vuông góc với (α))

- Tìm giao điểm H của MH và (α)

*Nếu yêu cầu tìm điểm M’ đối xứng với Mqua

mặt phẳng (α) thì ta vẫn tìm hình chiếuH của M

lên (α), dùng công thức trung điểm suy ra tọa độ

M’

1.1.2 Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng d:

-Viết phương trình tham số của d

- Gọi H �dcó tọa độ theo tham số t

- H là hình chiếu vuông góc của điểm M lên d khi

-Tìm t, suy ra tọa độ của H

2 Áp dụng trong thực tế dạy học

Các dạng bài tập thường gặp

2.1 Các bài toán cực trị liên quan đến tìm một điểm thỏa điều kiện cho trước.

Bài toán 1: Cho n điểm A 1 , A 2, A n , với n số k 1 , k 2 ,.,k n thỏa k 1 + k 2 + ….+k n = k ≠ 0 và đường thẳng d hay mặt phẳng (α) Tìm điểm M trên đường thẳng d hay mặt phẳng (α) sao cho k MA1uuur1  k MA2uuuur2  k MA nuuuurn có giá trị nhỏ nhất.

Lời giải:

-Tìm điểm I thỏa k IA + k IA + + k IA1uur1 2uuur2 nuuur rn  0

-Biến đổi : k MA + k MA + + k MA = (k + k + + k )MI = k MI1uuuur1 2uuuuur2 nuuuuurn 1 2 n uuur uuur

Giải: Gọi điểm G thỏa uuurGA + GB +GC = 0uuur uuur r thì G là trọng tâm của tam giác ABC và

G(0;-2;1) 1) Ta có uuuur uuur uuurMA + MB MC  =MG + GA + MG GB MG GCuuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur   =3 uuuur

nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của G lên mặt phẳng (α)

Phương trình tham số MG

Ta có (1- x; -y; 1-z) - 2(-2-x; 1-y; 2-z) + 3(1-x; -7-y; -z) = (0;0;0)

Ví dụ 1: Cho mặt phẳng (α): 2x – 2y + 3z + 10 = 0 và ba điểm A 1;0;1  , B -2;1;2 

,C 1;-7;0  Tìm điểm M trên mặt phẳng (α) sao cho :

1) uuuur uuur uuuurMA + MB MC  có giá trị nhỏ nhất.

2) uuuur uuurMA -2MB  3uuuurMC có giá trị nhỏ nhất.

Ta có: MA -2MBuuuur uuur 3 MCuuur =uuur uurMI+IA -2(MI IBuuur uur ) 3(  uuur uurMI IC  ) =2 uuur

khi M là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng (α)

232

Bài toán 2: Cho đa giác A 1 A 2 …. A n và n số thực k 1 , k 2 , …., k n thỏa k 1 + k 2 + ….+ k n

= k Tìm điểm M thuộc mặt phẳng ( hay đường thẳng) sao cho tổng T =

nhỏ nhất hay M là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng hay đường thẳng

1) Tìm M trên mặt phẳng (α) sao cho MA2 + MB2 có giá trị nhỏ nhất

2) Tìm M trên mặt phẳng (α) sao cho MA2 - MB2 – MC2 có giá trị lớn nhất

Giải:1) Gọi điểm I(x; y; z) thỏa IA + IB = 0uur uur r thì I là trung điểm AB và 3 3

IA + IB +2MI +2MI(IA + IB)

Do IA + IB 2 2 không đổi nên MA2 + MB2 nhỏ nhất khi MI2 có giá trị nhỏ nhất, hay

M là hình chiếu vuông góc của I lên (α)

232

2)Gọi J(x; y; z) là điểm thỏa uur uur uurJA - JB -JB = 0r

hay M là hình chiếu của J trên mặt phẳng (α)

Đường thẳng JM qua điểm I và có vtcp n rα  (1; 2; 2)

Phương trình tham số MJ:

IA 2IB MI + 2MI(IA 2 IB)

Do IA - 2 IB 2 2 không đổi nên MA2 -2 MB2 lớn nhất khi MI2 có giá trị nhỏ nhất,hay M là hình chiếu vuông góc của I lên d

A(0; 1; -2), B( 2; -1; 2), C(4; 3; 3) Hãy tìm điểm M trên d sao cho

1) MA2 - 2MB2 có giá trị lớn nhất

2) MA2 + MB2 + MC2 có giá trị nhỏ nhất

M d� �M(1 t; 2 2t; 3 t)   , IM = ( t-3; 2t + 5 ; t - 3)uuur khi M là hình chiếu

ABC và G(2; 1; 1)

nhất, hay M là hình chiếu vuông góc của G lên đường thẳng d

Bài toán 3: Cho mặt phẳng (α) có phương trình:ax + by + cz + d = 0 và hai điểm

A,B không thuộc (α) Tìm điểm M trên (α) sao cho MA + MB có giá trị nhỏ nhất.

Lời giải:

Để MA + MB nhỏ nhất khi M thuộc AB hay M là giao điểm của (α) và AB

Khi đó ta tìm điểm A’ đối xứng với A qua (α) Do MA + MB = MA’+ MB mà đạtgiá trị nhỏ nhất khi M thuộc A’B hay M là giao điểm của (α) và A’B

Giải:

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α) có phương

trình:x – 2y – 2z + 4 = 0 và hai điểm A(1; 1; 2), B(2; 0; 2) Tìm điểm M trênmặt phẳng (α) sao cho MA + MB có giá trị nhỏ nhất

Thay tọa độ của A và B vào phương trình (α) ta thấy hai điểm nằm về hai phía của(α).

Ta có MA + MB có giá trị nhỏ nhất khi M là giao điểm của AB và (α)

Phương trình tham số của AB:

2 2

y t z

Ví dụ 2: Cho mặt phẳng (α) có phương trình: x – y + 2z = 0 và ba điểm

A(1; 2;-1), B(3; 1; -2), C(1; -2; -2) Hãy tìm điểm M trên d sao cho

1) MA + MB có giá trị nhỏ nhất

2) MA - MC có giá trị lớn nhất.

A’B có vtcp uuurA'B  (1;0; 3) 

Phương trình tham số A’B:

2 1

2) Thay tọa độ của A và C vào phương trình (α) ta thấy hai điểm nằm về hai phíacủa (α).Vậy nên A’ và C nằm cùng một phía đối với (α)

thuộc A’C nhưng ở phía ngoài đoạn A’C, tức M là giao điểm của A’C và (α)

Phương trình tham số A’C:

4   4 4

Bài toán 4: Cho đường thẳng d và hai điểm phân biệt A,B không thuộc d Tìm

điểm M trên đường thẳng d sao cho MA + MB có giá trị nhỏ nhất.

Lời giải:

- Đưa phương trình của d về dạng tham số, viết tọa độ của M theo tham số t

- Tính biểu thức MA + MB theo t, xét hàm số f(t) = MA + MB

- Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số f(t), từ đó suy ra t

- Tính tọa độ của M và kết luận

Ví dụ 1: Cho đường thẳng  :

Đường thẳng d có phương trình tham số

1 2

2 2 3

Xét mặt phẳng (P) qua CD và vuông góc với d

Phương trình (P): 2(x +4) – 2(y -1) + 1(z -1) = 0 hay 2x – 2y + z + 9 = 0

Điểm M thuộc d thỏa MC + MD đạt giá trị nhỏ nhất khi M là giao điểm của d vàmp(P)

Tọa độ M ứng với t là nghiệm của phương trình:

Bài toán 5: Cho hai đường thẳng d 1 ,d 2 chéo nhau Tìm các điểm M  d 1 , N  d 2

là chân đoạn vuông góc chung của hai đường trên.

Lời giải:

- Tìm tọa độ M, N và kết luận

Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng

2) Tìm điểm M� d1 và N� d2 sao cho độ dài MN ngắn nhất

Ta có [uur1,

u uuur2]uuuuuur1 2

Phương trình tham số của hai đường thẳng

d1:

5

1 2 11

t t

- Lấy điểm M trên d, Gọi H là hình chiếu vuông

góc của M lên AB

2 AB.MH đạtgiá trị nhỏ nhất khi MH nhỏ nhất, hay MH là

đoạn vuông góc chung của AB và d

Ví dụ 2: Cho đường thẳng d:

2 4 2

và hai điểm A(1;2; 3),B(1; 0; 1) Tìm điểm

M trên d sao cho tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất

Ta thấy d qua M1(2; 4; -2), có vtcp ur  (1;1;0)

Phương trình tham số AB

1

t t

Giả sử mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R tiếp xúc với d tại M, tiếp xúc với Ox tại N

Ta thấy 2R = IM + IN ≥ MN, do đó mặt cầu (S) có đường kính nhỏ nhất là 2R =

MN khi và chỉ khi MN nhỏ nhất hay MN là đoạn vuông góc chung của d và Ox

t t

Trong các mặt cầu tiếp xúcvới cả hai đường thẳng d và trục Ox, hãy viết phương trình mặt cầu (S)

có bán kính nhỏ nhất

Mặt cầu (S) có tâm I (0; ; )1 1

2.2 Các bài toán cực trị liên quan đến vị trí của đường thẳng, mặt phẳng.

Bài toán 1:Cho hai điểm phân biệt A,B Viết

phương trình mặt phẳng (α) đi qua A và cách B

một khoảng lớn nhất.

Lời giải:

Họi H là hình chiếu vuông góc của B lên mặt phẳng

(α), khi đó tam giác ABH vuông tại H và khoảng

cách d(B; (α)) = BH ≤ AB Vậy d(B; (α)) lớn nhất

bằng AB khi A ≡ H, khi đó (α) là mặt phẳng đi qua

A và vuông góc với AB

Giải:

(α) cách điểm I(3; -1; -2) một khoảng lớn nhất khi (α) là mặt phẳng đi qua D vàvuông góc với DI

Ví dụ 1: Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm D(1; -2; 3) và cách điểm

I(3; -1; -2) một khoảng lớn nhất

Ví dụ 2: Cho hai điểm A(2; 1; 3), B(1; -1; 1), gọi (α) là mặt phẳng qua B.Trong các mặt cầu tâm A và tiếp xúc với (α), hãy viết phương trình mặt cầu(S) có bán kính lớn nhất

Bài toán 2: Cho điểm A và đường thẳng ∆ không đi qua A Viết phương trình

mặt phẳng (α) chứa ∆ sao cho khoảng cách từ A đến (α) lớn nhất

Lời giải:

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng

(α),

K là hình chiếu vuông góc của A lên ∆

Ta có d(A; (α)) = AH ≤ AK lớn nhất thì H≡ K,

khi đó (α) là mặt phẳng đi qua ∆ và vuông góc

với AK Hay (α) qua ∆ và vuông góc với mp(∆, A).

Phương trình (α): 3(x– 2) + 2(y – 1) + 1(z – 3) = 0

Bài toán 3: Cho mặt phẳng (α) và điểm A thuộc (α), lấy B không thuộc (α) Tìm

đường thẳng ∆ nằm trong (α) đi qua A và cách B một khoảng lớn nhất, nhỏ nhất.

Lời giải:

Gọi H là hình chiếu của B lên ∆ ta thấy

d(B; ∆) = BH ≤ AB

Vậy khoảng cách từ B đến ∆ lớn nhất khi

A ≡ H hay ∆ là đường thẳng nằm trong

(α) và vuông góc với AB.

Gọi K là hình chiếu vuông góc của B lên (α) khi đó d(B; (α)) = BH ≥ BK

Ví dụ 1: Cho ba điểm A(2; 1; 3), B(3; 0; 2); C(0; -2; 1) Viết phương

trình mặt phẳng (α) đi qua hai điểm A, B và cách C một khoảng lớn

nhất

Vậy khoảng cách từ B đến ∆ nhỏ nhất khi K ≡ H hay ∆ là đường thẳng đi qua hai

điểm A, K

Giải:

1) Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên (α)

Phương trình BH:

2 2

3 2 5

chỉ phương của ∆

Phương trình của ∆:

x+3 y-3 z +3

2) Ta thấy d(B; ∆) lớn nhất khi ∆ là đường thẳng nằm trong (α), qua A và vuông

góc với AB

∆ có véctơ chỉ phương uuru  [uuur uurAB n , ] (16;11; 10)  

Phương trình của ∆:

 x+3 y-3 z +3

Giải:

Ví dụ 1: Cho mặt phẳng (α): 2x – 2y + z + 15 = 0 và điểm A (-3; 3; -3)

Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trên (α), qua điểm A và cách điểm B(2;3; 5)một khoảng :

1) Nhỏ nhất 2) Lớn nhất

Ví dụ 2: Cho hai điểm A(2; 1; -1), B(-1; 2; 0) và đường thẳng d:

1 0

1) Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua d và B

2) Viết phương trình đường thẳng ∆1 đi qua B cắt d sao cho khoảng cách từ

A đến ∆1 lớn nhất

3) Viết phương trình đường thẳng ∆2 đi qua B cắt d sao cho khoảng cách từ

A đến ∆2 nhỏ nhất

1) Đường thẳng d qua điểm M(2; 0; 0) có vtcp urd  (1;0; -1 ), uuurMB   ( 2;2;0)

[ ,uur uuuru MBd ] (2;2;2) 2(1;1;1) 2    uurn

Phương trình (α): x + y + z – 1 = 0

B,H Phương trình tham số AH:

2 1 1

t t

Tọa độ H ứng với t là nghiệm phương trình:

Bài toán 4: Cho mặt phẳng (α) và điểm A thuộc (α), đường thẳng d không song

song hoặc nằm trên (α) và không đi qua A Tìm đường thẳng ∆ nằm trên (α), đi qua A sao cho khoảng cách giữa ∆ và d là

lớn nhất.

Lời giải:

Gọi d1 là đường thẳng qua A và song song với d, B là giao điểm của d với(α).

Ta thấy khoảng cách giữa ∆ và d là BH và

Giải:Đường thẳng d có vtcp ur (1; 2; -1), (α) có vtpt nuur (2; -1; 1)

Phương trình tham số d:

1

2 2 3

1

1 2 1

Mặt phẳng (α) qua A và song song với (P) có phương trình: x + y – z + 2= 0

=> d nằm trên (α)

Phương trình tham số ∆:

1 2 1

Phương trình d :

x-1 y+1 z -2

Bài toán 5: Cho mặt phẳng (α) và điểm A thuộc

(α), đường thẳng d không song song hoặc nằm

trên (α) Tìm đường thẳng ∆ nằm trên (α), đi qua

A và tạo với d góc lớn nhất, nhỏ nhất.

Lời giải:

Vẽ đường thẳng d1 qua A và song song với d Trên d1 lấy điểm B khác A là điểm

cố định, gọi K, H là hình chiếu vuông góc của B lên (α) và ∆

BK

đường thẳng AK

Góc (d, ∆) lớn nhất bằng 900 khi ∆d và ∆ có vtcp uuru [ ,uur uuru nd ]

Giải:

nằm trên (α)

1 2 2

x-1 y-2 z +2

Gọi K là hình chiếu vuông góc của B lên (α)

Phương trình tham số của BK

2 2

3 2 1

t t

, tọa độ của K ứng với t là nghiệm của

Ví dụ 1: Cho mặt phẳng (α): 2x + 2y – z – 7 = 0, điểm A(1; 2; -2) và đường thẳng

Phương trình ∆2 :

x-1 y-2 z +2

Giải:

Phương trình (α): 2x + y + z – 2 = 0

Phương trình tham số của BH

, tọa độ của H ứng với t là nghiệm của

Phương trình ∆ :



3 Hiệu quả của đề tài

Những điều tôi đã thực hiện như nêu ở trên đã có một số tác dụng đối với họcsinh,cụ thể là : Các em tỏ ra rất say mê, hứng thú với dạng toán này đó có thể coi làmột thành công của người giáo viên Kết thúc đề tài này tôi đã khảo sát lại cho các

em học sinh lớp 12A4,12A5 Kết quả như sau:

Khôngnhận

biết

Nhận biết, nhưng không biết vận dụng

Nhận biết và biết vận dụng, chưa giải được

Nhận biết và biết vận dụng , giải được bài

Ví dụ 2: Cho hai điểm A(1; 0; 0) , B( 0; -2; 0) và đường thẳng d:

x-1 y-2 z -3

.Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A, vuông góc với d và tạo với AB một gócnhỏ nhất