Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải một số bài toán vận dụng và vận dụng cao về phương trình, bất phương trình mũ và

Trong đó, trắc nghiệm là phương pháp có thể đánh giá được năng lực của học sinh một cách nhanh nhất và thời gian chấm bài nhanh, khách quan nhất.. Để phù hợp với phương pháp dạy học mới

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài

Là CBQL ở một trường THPT miền núi cao, tôi nhận thấy học sinh có rất nhiều thiệt thòi về mọi mặt trong đó có việc học tập và tiếp thu kiến thức Là một giáo viên dạy Toán tôi càng thấu hiểu sự khó khăn trong quá trình học tập bộ môn Toán của học sinh trong nhà trường Tôi biết:

Quá trình dạy học là một quá trình truyền thụ kiến thức cho học sinh Muốn quá trình đạt kết quả cao ta phải kiểm tra, đánh giá sự nhận thức của học sinh nhằm phân loại học sinh một cách tốt nhất Từ đó rút ra kinh nghiệm, điều chỉnh phương thức dạy học đúng, phù hợp với sự tiếp thu, lĩnh hội kiến thức của học sinh Do đó quá trình kiểm tra đánh giá sự tiếp thu kiến thức của học sinh là một khâu vô cùng quan trọng, nó chẳng những là khâu cuối cùng đánh giá độ tin cậy cao về sản phẩm đào tạo mà nó còn có tác dụng điều tiết trở lại hết sức mạnh mẽ đối với quá trình đào tạo

Có nhiều cách để kiểm tra, đánh giá học sinh Trong đó, trắc nghiệm là phương pháp có thể đánh giá được năng lực của học sinh một cách nhanh nhất và thời gian chấm bài nhanh, khách quan nhất Sự kết hợp giữa phương pháp trắc nghiệm và phương pháp tự luận lại càng đạt được kết quả và độ tin cậy cao hơn

Hiện nay phương pháp dạy và học, cơ cấu và quy trình tổ chức đều có những thay đổi về bản chất Người dạy trở thành chuyên gia hướng dẫn, giúp đỡ người học Người học hướng tới việc học tập chủ động, biết tự thích nghi Môi trường hợp tác tư vấn, đối thoại trở nên quan trọng Kiến thức được truyền thụ một cách tích cực bởi cá nhân người học Toán học là môn học có nhiều điều kiện thuận lợi để thực hiện các phương pháp dạy mới này Để phù hợp với phương pháp dạy học mới người giáo viên cũng cần đổi mới phương pháp kiểm tra đánh giá việc nhận thức của học sinh Trong quá trình giảng dạy môn Toán

12 tôi nhận thấy môn học có nhiều điều kiện thuận lợi cho việc sử dụng hình thức kiểm tra trắc nghiệm

Trước đây các bài thi và kiểm tra phương trình bất phương trình mũ và logarit luôn bằng phương pháp tự luận và sách giáo khoa cũng viết theo định hướng tự luận Từ kỳ thi THPT Quốc gia năm 2017 đến nay có sự đổi mới về phương pháp thi đối với các môn đặc biệt là môn toán từ hình thức tự luận sang hình thức trắc nghiệm nên việc giảng dạy của giáo viên và việc học của học sinh gặp nhiều bỡ ngỡ và khó nắm bắt, nếu chỉ áp dụng cách giải tự luận đôi khi làm bài trắc nghiệm sẽ khó khăn đặc biệt là rất tốn thời gian Do

đó trong quá trình giảng dạy, nghiên cứu và học hỏi, tôi mạnh dạn hệ thống và đưa ra: “Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải một số bài toán vận dụng cao về phương trình, bất phương trình mũ và logarit trong các đề thi THPTQG đồng thời lồng ghép tích hợp trong giải phương trình Mũ và Lôgarit’’ như sau Nhằm trang bị thêm cho học sinh một công cụ hữu ích trong việc giải phương trình mũ và logarit chuẩn bị cho khì thi THPT quốc gia năm 2019

Trong quá trình viết sáng kiến không thể tránh khỏi các thiếu sót, rất mong các Thầy, Cô đóng góp ý kiến để tài liệu được hoàn thiện hơn Tôi xin chân thành cảm ơn!

1.2 Mục đích nghiên cứu

Nhằm giúp bản thân nâng cao chuyên môn nghiệp vụ, giúp đồng nghiệp có thêm tài liệu tham khảo và giúp các em học sinh có thêm phương pháp giải toán dễ hiểu và hiệu quả

Nhằm rèn luyện các kỹ năng toán học và định hướng phát triển cho học sinh những năng lực sau:

- Năng lực tư duy, năng lực tính toán, năng lực tự học và giải quyết vấn đề

- Năng lực sử dụng công nghệ thông tin (máy tính cầm tay casio)

- Năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học

- Kỹ năng vận dụng kiến thức về các phương pháp giải phương trình, bất phương trình

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Một số dạng toán về phương trình, bất phương trình mũ và logarit trong sách giáo khoa, các đề thi thử THPTQG và các đề thi THPTQG

Trình bày một số kết quả nghiên cứu ban đầu để từ đó thấy rõ được vai trò của phương pháp giải mới Góp phần quan trọng giúp học sinh nâng cao năng lực giải toán

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu sử dụng trong đề tài bao gồm

- Bằng phương pháp nghiên cứu lí luận, quan sát, tổng kết kinh nghiệm

- Khai thác tiềm năng dạy và học toán từ đó bồi dưỡng năng lực học toán cho các

em học sinh

- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin: Điều tra, khảo sát thực tế dạy học phần phương trình, bất phương trình Mũ và Lôgarit ở trường THPT Thường Xuân 3 để từ đó thấy được tầm quan trọng của việc áp dụng phương pháp này trong việc nâng cao chất lượng dạy học

- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết: Dựa vào sách giáo khoa Giải tích 12 - Nâng cao và Cơ bản, sách bài tập Giải tích 12 - Nâng cao và Cơ bản, tài liệu phân phối chương trình, tài liệu về dạy học theo định hướng phát triển năng lực học sinh

- Phương pháp thống kê, xử lý số liệu: Thống kê và xử lý số liệu trên lớp thực nghiệm và lớp đối chứng để qua đó thấy được hiệu quả của đề tài

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Trong nghiên cứu khoa học thì việc tìm ra quy luật, phương pháp để giải quyết một vấn đề là vô cùng quan trọng Nó giúp ta có định hướng tìm được lời giải của một lớp các bài toán Trong dạy học giáo viên là người có vai trò thiết kế và điều khiển sao cho học sinh thực hiện và luyện tập các hoạt động tương thích với nội dung dạy học Vì vậy trang

bị về phương pháp, tập trung dạy cách học, rèn luyện các kỹ năng, phát triển các năng lực cho học sinh là một nhiệm vụ quan trọng của người giáo viên

Trong sách Giải tích lớp 12 đã đưa ra một số phương pháp giải phương trình, bất phương trình Mũ và Loogarit nhưng chưa giải quyết được những bài toán khó Vì vậy, tôi nhận thấy mình cần bổ sung và khắc sâu thêm phương pháp giải phương trình, bất phương trình Mũ và Loogarit bằng cách sử dụng tính đơn điệu của hàm số, giúp học sinh

dễ dàng giải quyết dạng toán này

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Trong quá trình giảng dạy phần phương trình, bất phương trình mũ và logarit, tôi thấy các em rất bỡ ngỡ và không biết định hướng với việc làm bài kiểm tra trắc nghiệm phần vận dụng cao do thường là kỹ năng làm trắc nghiệm kém dẫn đến dễ nhầm lẫn và không kịp thời gian làm hết bài Đề tài được viết từ tháng 9/2018 đến tháng 3/2019 nhằm giúp các em học sinh khá giỏi lớp 12 có thêm phương pháp giải toán hiệu quả

Trường THPT Thường Xuân 3 là một trường nằm ở khu vực năm xuân của huyện,

có 5 xã đặc biệt khó khăn thuộc vùng V135, có nhiều học sinh là con em dân tộc thiểu số nên điểm đầu vào thấp Tư duy của học sinh chậm, điều kiện kinh tế còn khó khăn, đường

đi học còn xa và khó đi nên ảnh hưởng rất nhiều đến kết quả học tập của các em

2.3 Các nội dung đã sử dụng để giải quyết vấn đề

A ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

I C Ơ S Ở LÝ THUYẾT :

1 Hàm số y=f(x) đồng biến trên (a;b) � x1 x2�( ; )a b Ta có: f x( )1  f x( )2

2 Hàm số y=f(x) nghịch biến trên (a;b) � x1 x2�( ; )a b Ta có: f x( )1  f x( )2

3 Hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn  a b; và đồng biến trên khoảng (a;b) thì hàm số đồng biến trên đoạn  a b;

4 Hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn  a b; và nghịch biến trên khoảng (a;b) thì hàm số nghịch biến trên đoạn  a b;

5.Điều kiện cần và đủ đề hàm số y=f(x) đồng biến trên (a;b) là:

'( ) 0; ( ; )

f x � x�a b Trong đó f’(x)=0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm �( : )a b

6.Điều kiện cần và đủ đề hàm số y=f(x) nghịch biến trên (a;b) là:

'( ) 0; ( ; )

f x � x�a b Trong đó f’(x)=0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm �( : )a b

7 Nếu hàm số y=f(x) đồng biến trên  a b; thì  ; ( ) ( );  ; ( ) ( )

x a b Min f x f a Max f x x a b f b

6 Nếu hàm số y=f(x) nghịch biến trên  a b; thì  ; ( ) ( );  ; ( ) ( )

x a b Min f x f b Max f x a b f a

II- TỔNG QUAN PHƯƠNG PHÁP:

Xét bài toán liên quan phương trình, bất phương trình mũ và logarit

Để vận dụng tính đơn điệu của hàm số trong giải phương trình, bất phương trình mũ và logarit , ta có một số hướng biến đổi (tương ứng với 2 dạng thông dụng) sau đây:

Dạng 1: D�ng ( )F x 0, v�i ( ) ho�F x c ��ng bi�n, ho�c ngh�ch bi�n tr�n D

Bước 1: Đưa phương trình (1) về dạng: ( )  F x 0

Bước 2: Xét hàm số y F x ( )

Chỉ rõ hàm số y F x đồng biến hay nghịch biến trên D. ( )

Bước 3: Đoán được F x 0 0 Lúc đó phương trình (1) có nghiệm duy nhất

0



x x .

Dạng 2: D�ng ph��ng tr�nh ( )F u F v( ) (*), v�i ( ) ho�F x c ��ng bi�n,

 

ho�c ngh�ch bi�n tr�n ; L�c ��, (*) c� nghi�a b m duy nh�t u v

Bước 1: Đưa phương trình về dạng ( ) F u F v (1)( )

Bước 2: Xét hàm số: y F t  ( )

Chỉ rõ hàm số đồng biến hay nghịch biến trên  a b ;

Bước 3: Khi đó: ( ) F u F v( )� u v

Lưu ý: Đối với bất phương trình, hệ phương trình, tư duy vận dụng tính đơn điệu hoàn

toàn tương tự như trên

III- MỘT SỐ BÀI TẬP MINH HỌA:

Bài 1: (THPT Chuyên Thái Bình-lần 1-năm 2017-2018)

Tính tích tất cả các nghiệm thực của phương trình

1 2

2 2

2

x x

x x

� �



� �

� �

2

Lời giải Đáp án D.

Điều kiện: x 0

2

2 1 2

2 2

2

x x

x x

�  �

� �

� �

� �

Đặt 2 2 1 1 2 1 2

x



Phương trình trở thành log 2t 2t  5 (2)

Xét hàm f t   log 2t 2t t� 2 là hàm đồng biến nên:

 2 � f t    f 2 �t 2(t/m)

Với t 2 thì 2 2 1 2

2

x

x  �    (t/m) Vậy 1 2

1 2

x x  (theo Viet )

Bài 2: (THPT Chuyên Hoàng Văn Thụ-Hòa Bình năm 2017-2018)

Số nghiệm của phương trình 2  

2

ln 2 2018 2

x

Lời giải Đáp án C.

Xét hàm số   2  

2

ln 2 2

x

f x   x x  với x� �  ; 2 � 2;  �

Ta có   2

2 1

2

x

x

�   

 ;  

2 2

2

x

x



Nên suy ra hàm số   2

2 1

2

x

x

�   

 đồng biến trên mỗi khoảng   � ; 2 và  2;� Mặt khác f� 2 �  3  1 1  3 0 và    3 2 8.1 0

7

f� �     nên f x�  có đúng một nghiệm a� �  ; 2 và đúng một nghiệm b� 2;  �

Ta có bảng biến thiên:

Ta có     3

2

2

Nên từ bảng biến thiên suy ra phương trình 2  

2

ln 2 2018 2

x  x x   có 4 nghiệm

Bài 3: (Chuyên Lê Hồng Phong – Nam Đinh - năm 2017-2018)

Số nghiệm thực của phương trình 2018 1 1 2018

x

x x

A 3 B. 0 C. 2018 D. 1

Lời giải Đáp án A.

Điều kiện x �1, x �2018

Xét hàm số   2018 1 1 2018

x

f x

x x

  với x� � ;1 có

x

f x

  , x x� � � ;1

 

f x

� đồng biến trên � ;1.

Do đó trên � ;1 phương trình f x  0 nếu có nghiệm thì sẽ có nghiệm duy nhất.

Bảng biến thiên:

Đường thẳng y 0 cắt đồ thị hàm số y f x   tại đúng một điểm nên f x  0 có nghiệm duy nhất trên � ;1 .

Do đó phương trình đã cho có nghiệm duy nhất trên � ;1 .

Tương tự, trên 1;2018 phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

Trên 2018;� phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm thực

Bài 4: (THPT Chuyên Tiền Giang-lần 1 năm 2017-2018) Phương trình

2log cotx  log cosx có bao nhiêu nghiệm trong khoảng 0;2018 ?

A 2018 nghiệm B 1008 nghiệm

C 2017 nghiệm D 1009 nghiệm

0

x

f'(x

)

f

(x)

0

+

∞

+

∞

a

–∞

– +∞

b

+ +

∞ +∞

1

x –∞

+

f'(x

)

f

(x)

-2018

+

∞

Lời giải Đáp án A.

Điều kiện:���sincosx x00.      2  

2log cotx  log cosx � log cotx  log cosx

log cos x log sin x log cosx

log cos x log 1 cos  x  log cosx

� Đặt t log cos 2 x� cosx 2t

Phương trình trở thành log3 222 4 3 12

1 2

t

3

t t

� � 

� �

� � Hàm số   4 4

3

t t

f t � �� �

� � đồng biến trên � Mặt khác f   1 1 nên x  1 là nghiệm của phương trình

Do đó phương trình có nghiệm duy nhất t  1

2

1

1 6053

0;2018

1 6055

k x

k

�

  

�



�  

�

Vậy trong khoảng 0;2018 có 1009.2 2018  nghiệm

Bài 5: (THPT Hồng Bàng – Hải Phòng – năm 2017 – 2018)

Phương trình 2017 sinx sinx 2 cos  2x có bao nhiêu nghiệm thực trong đoạn ��  5 ;2017  ��

?

A. 2017 B. 2023 C. 2022 D. 2018

Lời giải Đáp án B

Điều kiện 2 cos  2x� 0 � 1 sin  2x� 0  *

Phương trình � 2017 sinx sinx 1 sin  2x  1

Đặt sin x t , t ��� �  1;1 � thì  1 thành 2017t t 1 t2  2

Ta có 2017t 0, t ��� �  1;1 � và t 1 t2  t t2   �t t 0, t ��� �  1;1 �

Do đó  2  2

2017

2017

log t 1 t  t 0

Xét hàm số  2

2017

(x) log 1

f  t t t, với t ��� �  1;1 � có

 

1

1

1 ln2017

t

f t

t



1.ln2017

t



2

2

1 1.ln2017 0

1.ln2017

t

t

 , t� 1;1 � f t  nghịch biến trên �� 1;1 ��.

Do đó trên �� 1;1 ��, phương trình f t   0 nếu có nghiệm thì sẽ có nghiệm duy nhất.

Mặt khác f 0  0 nên f t   0 �t 0

Khi đó  3 �t 0 hay sinx 0 �x k  k��

Bài ra x ���   5 ;2017  � � �k ��� 5 ;2017�� � ��k �5;2017��

Mà k� � � � k    5; 4; 3; ;2017

Vậy phương trình đã cho có 2023 nghiệm thực trong đoạn ��  5 ;2017  ��.

Bài 6: (THPT Lê Xoay-Vĩnh phúc-lần 1 năm 2017-2018)

Số nghiệm của phương trình sin2x cosx  1 log sin 2 x trên khoảng 0;

2

�  �

� � là

Lời giải Đáp án D

Vì sinx 0 và cosx , 0 0;

2

 �� �

� � nên phương trình đã cho tương đương

sin2x cosx log cosx   1 log sinx  log cosx

log cosx  cosx log sin2x  sin2x *

�

Xét hàm số f t  log 2t t , với t� 0;1 ta có   1 1 0,  0;1

ln2

t

Do đó, hàm số f t  đồng biến trên khoảng  0;1

Từ phương trình  * , ta có fcosx  f sin2x � cosx sin2x

1

sin

2

x

6

x 

Bài 7: (THPT Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa-lần 1-năm 2017-2018)

Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn 2 3 5 2  

5 3

xy

          Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T x y  .

A. Tmin  2 3 2 B. Tmin   3 2 3

C. Tmin   1 5 D. Tmin   5 3 2

Lời giải Đáp án B.

Theo đề ra ta có:

5 3

xy

         

�

Xét   5 1

3

t

t

f t   t.� f t�  5 ln5 3 ln3 1 0t  t  

1

2

x

x



2

x

x





T x y x

     

2

2

2 3 2;

4 1

0

2 3 2;

2

x

T

x x

�   �  �

�   �  �

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy Tmin   3 2 3 tại x  2 3

Bài 8: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 3 MĐ 234 năm học 2017-2018) Số nghiệm của

phương trình x2  5x  2 x2  8x 3 8 3x 5 3x 5 8 x2   8x3 là

Lời giải Đáp án B.

Đặt u x 2  8x 3, v 3x 5, phương trình đã cho viết lại là

.8v .8u 1 8v 8u 1 *

Ta thấy u 0 hoặc v 0 thỏa mãn phương trình  *

Với u �0 và v �0 ta có  * 1 8 8 1  **

  

�

Ta thấy:

- Nếu u 0 thì 8 1 0

u

u  và nếu u 0 thì 8 1 0

u

u  Do đó VP **   � 0, u 0.

- Nếu v 0 thì 1 8 0

v

v

  và nếu v 0 thì 1 8 0

v

v

  Do đó VT **   � 0, v 0.

Từ đó suy ra  ** vô nghiệm

Như vậy, phương trình đã cho tương đương với

4 13

5 3

x

x

x

�

 

�

�



�

�

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm

Bài 9: (THPT Ngô Quyền Hải Phòng 2019 lần 1)

Biết phương trình 5 3

2 2

  ��  ��

� � có một nghiệm dạng x a b  2trong đó

a,b là các số nguyên Tính 2a + b.

0

x

T' T

∞ +∞

Lời giải Đáp án B.

ĐKXĐ: x > 1

Ta có:

log 2 1 log 2log 1 2log 2

log 2 1 2log 2 log 2log 1 (1)

�

�

Xét hàm số f t  log 5t 2log 3  t 1 ,t� 1;  � , có:

.ln5 1 ln3



� Hàm số f t  đồng biến trên 1;�

Khi đó, phương trình  1 � f2 x  1 f x 

1 2

1 2 0

x

x

�  

�   

�

Bài 10: (THTT Số 1-484 tháng 10 năm 2017-2018) Biết x1, x2 là hai nghiệm của phương trình

2

2 7

2

x

�   �  

1 2 4

x  x  a b với a, b là hai số nguyên dương Tính a b

A. a b  16 B. a b  11 C. a b  14 D. a b  13.

Lời giải Đáp án C

Điều kiện

0 1 2

x

x

� 

�

�

�

�

2

2 1

x

log 2x 1  2x 1  log 2x 2 1x

�

Xét hàm số   7  

1

ln7

t

�

  �    với t 0 Vậy hàm số đồng biến

Phương trình  1 trở thành   2    2

3 5 4

3 5 4

x

x

� 

�

�

� 

�

�

Vậy  

 

1 2

9 5 4

9 5 4

l

tm

� 

�

�

� 

�

�

Bài 11: (Chuyên Thái Bình 2019 lần 2)

Cho phương trình: 2x3  x2 2x m  2x2 xx3  3x m  0 Tập các giá trị mđể phương trình có 3 nghiệm phân biệt có dạng  a b; Tổng a 2bbằng:

A 1 B 0 C.  2 D 2.

Lời giải Đáp án D.

   

�

�

Xét hàm số f t    2t t ta có f t�   2 ln2 1 0,t    ��t nên hàm số đồng biến trên �

(*) x x  2x m x  x x  3x m(**)

Để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình (**) có 3 nghiệm phân biệt, khi đó m y� CT;y CD của hàm số f x  x3  3x

Ta có   2 1    1 2

�  �  

�  �   � �

  �  

�

2

a

b

�  

� � � � � �

Bài 12: (THPT Tuyên Quang 2019 lần 1): Giả sử a, b là các số thực sao cho

3 3 10 3z .10 2z

x y a b đúng với mọi các số thực dương x, y, z thỏa mãn log x y  z và

log x y  z 1 Giá trị của a b bằng

A. 29.

2

2

2

Lời giải Đáp án D.

Ta có: logx y  z�x y  10z

2 2

10

2 10

2



2