Định hướng cho học sinh lớp 12 THPT giải nhanh một số dạng bài tập tích phân ở mức độ vận dụng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 3 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỊNH HƯỚNG CHO HỌC SINH LỚP 12 THPT GIẢI NHANH MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP TÍCH PHÂN Ở MỨC ĐỘ VẬN DỤNG Người thực hiệ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 3

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỊNH HƯỚNG CHO HỌC SINH LỚP 12 THPT GIẢI NHANH MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP TÍCH PHÂN Ở MỨC ĐỘ

VẬN DỤNG

Người thực hiện: Phạm Văn Quí Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán

THANH HOÁ, NĂM 2018

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 1

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 3

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 4

2.3.1 Phương pháp giải nhanh bài toán tích phân bằng phương

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo

dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường 17

Các đề tài sáng kiến kinh nghiệm đã được hội đồng đánh giá xếp

loại cấp phòng GD & ĐT, cấp Sở GD & ĐT và cấp cao hơn xếp

loại từ C trở lên

22

ra phương pháp giải nhanh các dạng toán trên là rất cần thiết cho học sinh trongquá trình ôn thi THPT quốc gia Xuất phát từ thực tế trên, với một số kinh nghiệm

trong quá trình giảng dạy và tham khảo một số tài liệu, tôi mạnh dạn chọn đề tài “

Định hướng cho học sinh lớp 12 THPT giải nhanh một số dạng bài tập tích phân ở mức độ vận dụng” nhằm giúp các em hiểu và có kỹ năng giải quyết tốt các

bài tập để đạt kết quả tốt nhất trong các kì thi

1.2 Mục đích nghiên cứu

Thông qua việc nghiên cứu các bài toán giúp học sinh hiểu, định hướng đượccách làm bài tập, biết vận dụng lý thuyết để giải quyết một số bài toán tích phânmức độ vận dụng một cách chính xác và nhanh chóng Từ đó kích thích khả năng

tư duy, sự ham hiểu biết của học sinh đối với môn học

1.3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Kiến thức chương nguyên hàm, tích phân và ứng dụng trong chương trình toánTHPT

- Hệ thống và hướng dẫn phương pháp giải nhanh bài toán tích phân bằng phươngpháp đổi biến

- Hệ thống và hướng dẫn phương pháp giải nhanh một số bài toán tích phân bẳngphương pháp tích phân từng phần

- Hệ thống và hướng dẫn phương pháp giải nhanh một số bài toán tích phân liênquan đến đồ thị và diện tích hình phẳng

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lí thuyết

- Phương pháp nghiên cứu tài liệu và sản phẩm hoạt động sư phạm

- Phương pháp tổng hợp

- Phương pháp thống kê, so sánh

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

1 Khái niệm tích phân

Cho hàm số f liên tục trên K và a b, là hai số bất kỳ thuộc K Nếu F là một

nguyên hàm của f trên K thì hiệu số: F b   F a  được gọi là tích phân của f từ

u x v x dx u x v x  v x u x dx

Trong đó các hàm số ,u v có đạo hàm liên tục trên K, và a v bà là hai số thuộc K  1

4 Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng

* Nếu hàm số y f x  liên tục trên đoạn a b thì diện tích S của hình phẳng; 

giới hạn bởi đồ thị hàm số yf x , trục hoành và hai đường thẳng x a x b , là:

 

b

a

S f x dx

* Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số yf x , y g x  

liên tục trên đoạn a b và hai đường thẳng ;  x a x b ,  là:

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

2.2.1 Đối với giáo viên

- Trước đây tích phân trong chương trình thi quốc gia (từ năm 2009 – 2016)chỉ là một bài áp dụng phương pháp đổi biến số hoặc tích phân từng phầnvà đặcbiệt là các em học sinh có thể kiểm tra kết quả bằng máy tính cầm tay

- Hiện tại với đề án thi mới của bộ giáo dục Thông qua các đề minh họa của

Bộ đưa ra và các đề thi thử của các sở, các trường, các câu hỏi trong phần tích phân

đã xuất hiện nhiều hơn, rộng hơn Đặc biệt những câu khó, hoặc rất khó và lạ (mức

độ vận dụng cao) mà trước đây chưa xuất hiện thì nay xuất hiện tương đối nhiều.Tuy nhiên lại chưa có nhiều tài liệu nghiên cứu về vấn đề này vì vậy nguồn thamkhảo của giáo viên còn hạn chế

- Các giáo viên chưa có nhiều thời gian nghiên cứu những dạng toán mới, vìvậy chưa có nhiều kinh nghiệm trong giảng dạy và định hướng cho học sinh giảinhững bài toán tích phân ở mức độ vận dụng

2.2.2 Đối với học sinh

- Trường THPT Hậu Lộc 3 đóng trên địa bàn có nhiều xã khó khăn về kinh

tế, khó khăn trong việc học tập vì vậy kiến thức cơ sở về môn toán của các em hầuhết tập trung ở mức độ trung bình

- Với lớp bài toán vận dụng, các em thường thụ động trong việc tiếp cận vàphụ thuộc nhiều vào những kiến thức được giáo viên cung cấp chứ chưa có ý thứctìm tòi, sáng tạo cũng như tìm được niềm vui, sự hưng phấn khi giải các bài toán

- Số lượng tài liệu tham khảo cho các em còn ít

- Việc thi trắc nghiệm đòi hỏi học sinh không chỉ hiểu đúng bản chất bài toán

mà còn phải tìm ra cách giải nhanh nhất để đạt kết quả tối đa

- Học sinh còn lúng túng nhiều vì các dạng bài toán tích phân ở mức độ vậndụng các em chưa được tiếp xúc nhiều, cũng như chưa được định hướng phươngpháp đúng đắn nên chưa có nhiều kĩ năng giải loại bài tập này.

Trước tình hình đó tôi muốn đưa ra một ý tưởng giải quyết các bài toán vậndụng phần tích phân bằng cách “ định hướng” cho học sinh cách giải một số bài tậptích phân một cách “chính xác” và “nhanh chóng”, giúp các em phát triển tư duy

và kích thích sự ham học tập của các em

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

2.3.1 Phương pháp giải nhanh bài toán tích phân bằng phương pháp đổi biến số

Bài 1: Nếu f(x) liên tục trên [0;3] và f 3 x f x     1, x 0;3 Tính  

Bài2: Nếu f(x) > 0 thỏa mãn f  1 1; f x  f x'  3x1 Mệnh đề nào sau đâyđúng ?

Mặt khác:

 

2 1

toán tìm nguyên hàm Mặt khác ta có: f6 x f x '  12x13 nên ta có thể địnhhướng cho học sinh tìm nguyên hàm f 6 x f x dx '  bằng cách đổi biến t f x 

 Phương trình có hai nghiệm  Chọn A

2.3.2 Phương pháp giải nhanh bài toán tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần

Bài 1: (Đề minh họa THPT Quốc gia năm 2018) Cho hàm số f x có đạo hàm và 

liên tục trên 0;1 thỏa mãn  f  1  , 0  

1

2 0

13

* Phân Tích: Nếu chưa tiếp xúc với bài toán thì thực chất đây là bài toán khó định

hướng Nhưng nếu ta phân tích kỹ bài toán thì ta có thể có hướng giải quyết bàitoán như sau:

- Giả thiết cho:  

1 2 0

13

 

1

2 3 0

13

* Nhận xét: Như vậy không tự nhiên mà ta có được tích phân

 

1

2 3 0

f x  x dx



,cũng không phải đề cho

 

1

2 0

855

* Phân tích:

- Đây cũng là dạng của bài bài 1, tuy nhiên đề bài cho

 

1 4 0

855

x f x dx 



nên sửdụng tích phân từng phần ta tính được  

1 5 0

f x mx dx



- Cụ thể như sau: Đặt

   

5 4

855

* Nhận xét: Với định hướng biến đổi và kỹ thuật thêm đưa về tích phân dạng

 

1

2 5 0

70858855

* Phân tích: Bài toán này tương tự như bài 2, chỉ có một khác biệt nhỏ là tính tích

phân từ 0 đến 3 , nhưng giả thiết vẫn cho f  3  nên về cơ bản vẫn là tương tự0bài 2 vì vậy ta có thể giải quyết hoàn toàn tương tự

- Từ giả thiết  

3 4 0

70858855

x f x dx 



ta tính được  

3 5 0

708588d

70858855

* Phân tích: Bài toán này tương tự các bài trên, chỉ có một khác biệt nhỏ là giả

thiết cho f  4   nên về cơ bản vẫn là tương tự như trên vì vậy vấn đề ở chỗ2 0chỉ cần ta tính được

 

4 3 0

4 7 2 0

57607

* Nhận xét chung: Qua bốn bài tập trên ta thấy bài toán được dễ dàng giải quyết

nếu ta biết được kỹ thuật đưa về tích phân dạng

2.3.3 Phương pháp giải nhanh bài toán tích phân liên quan đến đồ thị và diện tích hình phẳng

Bài 1: Cho hàm số yf x( ) có đồ thị như

hình bên (với f(0)f(1) 2 ) Biết

4

1

31( )d

S 

C

47.8

S 

D

15.8

Bài 2:(Đề thi thử THPT Chuyên Hà Tĩnh) Đồ thị của hàm số yf x  trên đoạn

 3;5 như hình vẽ dưới đây (phần cong của đồ thị là một phần của Parabol

A

53 3

I 

97 6

I 

43 2

I 

95 6

là diện tích hình phẳng giới hạn bởi  1

qua E  3;0, D0; 4 ;  2 qua D0; 4 , C1;3và Parabol P : ax2 bx c qua

1;3

C và có đỉnh A2; 4 Vì vậy chỉ cần tìm được 1;2 và  P là bài toán sẽ

được giải quyết

b y x x c

Bài 3: (Đề thi THPTQG 2017)Cho hàm số yf x( ) Đồ

thị của hàm số yf x( ) như hình bên Đặt

* Nhận xét: Bài toán này cũng có thể giải quyết

bằng cách lập bảng biến thiên của hàm số y h x   ,

tuynhiên lập bảng biến thiên ta chỉ xác định được giá trị

lớn nhất là h 2 , còn việc so sánh h2 à v h 4 vẫn còn phải suy luận thêm vìvậy chọn hướng giải áp dụng tích phân sẽ so sánh

được triệt đểh( 2); (2); (4) h h

Bài 4: (Đề thi THPTQG 2017)Cho hàm số y f x( )

Đồ thị của hàm số y f x,( ) như hình bên

* Phân tích: Về cơ bản bài toán này vẫn cùng dạng với bài 3 ở trên chỉ có một

khác biệt không đáng kể đó là các điểm đề bài thể hiện trên đồ thị là 3 ; 2,

1; 2 ,  3 ; 4  nằm trên đường thẳng y x 1, đồng thời trên khoảng 3; 1

thì đồ thị y f x'  nằm bên dưới còn trên khoảng1; 3 đồ thị  y f x'  nằm ởtrrn đường thẳng y  x 1 Vì vậy ta chỉ cần lưu ý khi tính tích phân dựa vào đòthị đã cho là sẽ giải được bài toán

* Phân Tích:

Về phương pháp thì để tìm giá trị lớn nhất,

nhỏ nhất ta phải giải phương trình g x '  0

trên đoạn 3 ; 3 và so sánh các giá trị hàm

số tại các điểm vừa tìm được và các giá trị

 3 ;  3

g  g Ở bài này thì phương trình

     

g x   f x  x   f x'   x1 Như vậy nghiệm của

phương trình g x  chính là hoành độ giao điểm của đồ thị '  0 y f x'  vàđường thẳng y x 1 Các nghiệm này có thể nhận ra bằng trực quan trên hình vẽ

vì các điểm 3 ; 2 , 1; 2 , 3 ; 4 thể hiện trên đồ thị nằm trên đường thẳng

* Nhận xét chung: Để giải được dạng toán này ta phải vận dụng linh hoạt định

nghĩa tích phân, ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng cũng như khảnăng đọc đồ thị một cách linh hoạt

24

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

Sáng kiến kinh nghiệm được áp dụng thành công ở lớp 12 trường THPT HậuLộc 3 và đã mang lại những kết quả tích cực đối với học sinh cũng như đồngnghiệp giáo viên

- Đối với bản thân tôi sau khi nghiên cứu kĩ những kiến thức liên quan phần tíchphân, đặc biệt là những bài toán tích phân mức độ vận dụng, giúp tôi có những kiếnthức mới và kinh nghiệm hơn trong việc giảng dạy cho các em Từ đó định hướngcho các em cách phát hiện và tư duy trong việc giải các bài toán ở mức độ vận dụngcao

- Với các đồng nghiệp, việc sử dụng tài liệu nhỏ này như một tài liệu để tham khảo

và hướng dẫn cho học sinh khi giải các bài toán tích phân ở mức độ vận dụng

- Đối với học sinh sau khi được áp dụng cách tiếp cận mới trong việc giải toán giúphọc sinh phát triển tư duy hơn Học sinh có khả năng định hướng được cách làmvới những dạng bài tập khó khác Học sinh tự tin hơn trong quá trình làm bài, tạohứng thú cho các em trong quá trình học tập Việc làm các bài tập tích phân nóichung và tích phân ở mức độ vận dụng cao ở các em trở nên nhanh chóng và chínhxác Cụ thể tôi cho các em một số bài kiểm tra phần tích phân trong từng quá trìnhtrước và sau khi áp dụng phương pháp giải mới bài tập số phức, kết quả như sau:

Bài kiểm tra số 1: ( Trước khi áp dụng sáng kiến)

711

Câu 3: Cho hàm số yf x  Đồ thị của hàm số yf x 

3



y

1468855

Lớp Sĩ số Đúng 0 câu Đúng 1 câu Đúng 2 câu Đúng 3 câu

Đề tài đã giúp cho giáo viên rất nhiều trong việc truyền đạt tư tưởng, phương pháp

và kiến thức cho học sinh Bản thân học sinh khi được giảng dạy thông qua đề tài

đã giúp các em phát triển được tư duy, biết định hướng để giải một bài toán Khơidậy ở các em niềm thích thú, sự ham học hỏi và đặc biệt giúp các em đạt hiệu quảcao nhất khi làm bài tập cũng như thi THPT quốc gia

Việc áp dụng đề tài không chỉ dừng lại ở một số bài toán số phức ở mức độvận dụng cao, mà còn có thể mở rộng hơn nữa ở nhiều dạng toán khác Bản thân đềtài là động lực cho mỗi giáo viên và học sinh tìm tòi phát triển hơn nữa để có đượcnhững phương pháp cách truyền thụ kiến thức và cảm hứng cho học sinh tốt hơn

3.2 Kiến nghị

Đối với sở giáo dục và đào tạo Thanh Hóa: Thông qua việc chấm sáng kiếnkinh nghiệm hàng năm, lựa chọn những đề tài có chất lượng và cần phổ biến rộngrãi cho các trường trong tỉnh để những trường có điều kiện tương đồng triển khai ápdụng hiệu quả Nên đưa những SKKN có chất lượng vào mục “tài nguyên” của sở

để các giáo viên toàn tỉnh có thể tham khảo một cách rộng rãi

Đối với trường THPT Hậu lộc 3: Mỗi sáng kiến kinh nghiệm được lựa chọncần được phổ biến rộng rãi trong phạm vi tổ, nhóm Cần có những bản lưu trongthư viện để giáo viên và học sinh tham khảo

Đối với tổ chuyên môn: Cần đánh giá chi tiết những mặt đạt được, nhữnghạn chế và hướng phát triển của đề tài một cách chi tiết cụ thể để hoàn thiện sángkiến hơn nữa

Đối với đồng nghiệp: Trao đổi ý tưởng, kinh nghiệm và hỗ trợ trong việc ápdụng rộng rãi sáng kiến trong mỗi lớp học của mình Phản hồi những mặt tích cực.những mặt hạn chế của sáng kiến

Đề tài nghiên cứu trong thời gian hạn chế, rất mong Hội đồng khoa học Sởgiáo dục và đào tạo Thanh Hóa nghiên cứu, góp ý bổ sung để sáng kiến hoàn thiệnhơn nữa.

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 16 tháng 5 năm 2018

Tôi xin cam đoan đây là sáng kiến kinhnghiệm của tôi, không sao chép nộidung của người khác

Người viết sáng kiến

Phạm Văn Quí TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 SGK giải tích 12 nâng cao – Nhà xuất bản giáo dục 2009

2 Bài tập 13trang 153, SGK giải tích 12 nâng cao – Nhà xuất bản giáo dục 2009

3 Đề thi THPT Quốc gia năm 2017, Đề minh họa của bộ giáo dục và đào tạo nămhọc 2017-2018

4 Website: http://www.dethithu.net

5 Website: http://www.luyenthithukhoa.vn

DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP

CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

Họ và tên tác giả: Phạm Văn Quí

Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên, Trường THPT Hậu Lộc 3

T

Cấp đánh giá xếp loại (Phòng,

Sở, Tỉnh )

Kết quả đánh giá xếp loại (A,

B, hoặc C)

Năm học đánh giá xếp loại

1 Một số phương pháp giải

phương trình không mẫu mực Cấp Sở C 2007-2008

nghiệm của phương trình bậc hai

3 Định hướng cho học sinh phát hiện

và giải quyết vấn đề với bài toán

tọa độ trong mặt phẳng từ các tính

chất của đường tròn Cấp Sở B 2014-2015