Sử dụng các tính chất định tính hình học nhằm giúp học sinh lớp 12 giải bài toán hình học giải tích trong khô

Khi giải các bài toán hình hìnhgiải tích trong không gian, học sinh đôi khi quên chú ý đến những tính chất hìnhhọc của nó, mà những tính chất đó giúp ta đơn giản hơn trong việc tính toán

MỤC LỤC

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 22.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,

1 MỞ ĐẦU

* Lý do chọn đề tài:

Hình giải tích trong không gian (hay phương pháp tọa độ trong không gian)

là một phần quan trọng trong chương trình học Toán THPT Đặc biệt với xu thếhiện nay, các bài tập về tọa độ trong không gian không thể thiếu trong các đề thiTHPT quốc gia, đề thi học sinh giỏi các cấp Khi giải các bài toán hình hìnhgiải tích trong không gian, học sinh đôi khi quên chú ý đến những tính chất hìnhhọc của nó, mà những tính chất đó giúp ta đơn giản hơn trong việc tính toáncung như giải quyết chúng Các em thường áp dụng phương pháp tọa độ hay giảitích để giải quyết Nhưng trong nhiều bài toán nếu học sinh biết khai thác cáctính chất định tính hình học không gian thuần túy của chúng thì sẽ định hướngđược lời giải ngắn gọn và độc đáo Đặc biệt với những bài toán cực trị tronghình giải tích học sinh có thể sử dụng các công cụ giải tích để xét sự biến thiên

và tìm cực trị của một số đại lượng như độ dài, khoảng cách, góc Mặc dù cáchgiải đó khá rõ ràng nhưng lại phải tính toán phức tạp, thậm chí rất dài dòng.Chính vì thế, việc nắm chắc các kiến thức hình học của nó và khai thác đúngmực sẽ đưa tới những phương án giải quyết vô cùng hữu hiệu

Đề tài “Sử dụng các tính chất định tính hình học nhằm giúp học sinh lớp 12 giải bài toán hình giải tích trong không gian” được viết với mong muốngiúp các em học sinh khối 12 nắm chắc các kiến thức định tính cơ bản về hìnhhọc không gian lớp 11 và biết cách khai thác chúng vào giải quyết các bài toánhình học giải tích trong không gian

* Mục đích nghiên cứu

Trang bị cho học sinh về phương pháp sử dụng những tính chất hình họckhông gian vào giải nhanh các dạng toán hình giải tích trong không gian manglại hiệu quả rõ nét trong việc giải đề thi THPT Quốc gia

Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán Qua đó họcsinh nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo và hình thành nhiều cách giải khácnhau

* Đối tượng nghiên cứu

Các bài toán về hình giải tích trong không gian

Đối tượng nghiên cứu trong đề tài là học sinh khối THPT qua các nămgiảng dạy

* Phương pháp nghiên cứu

Tổng hợp kiến thức, kiểm nghiệm qua thực tế dạy học

Tập hợp những vấn đề nảy sinh, những khó khăn của học sinh trong quátrình giải quyết một số bài toán về hình hình giải tích trong không gian Từ đó

đề xuất phương án giải quyết tổng kết thành kinh nghiệm

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm

2.1.1 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu :

- Mặt phẳng ( )P đi qua điểm M x y z( ; ; ) 0 0 0 và nhận nr =( ; ; )A B C làm vectơ pháptuyến có phương trình dạng: A x x( − 0 ) +B y y( − 0 ) +C z z( − 0 ) 0 =

- Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M x y z( ; ; ) 0 0 0 và có vectơchỉ phương ar = ( ; ; )a a a1 2 3 là:

R= A +B +C −D

2.1.2 Các kiến thức khác

- Các tính chất định tính hình học phẳng, hình học không gian như quan hệ song

song, quan hệ vuông góc, góc, khoảng cách, độ dài đoạn thẳng, đường thẳng,mặt phẳng, mặt cầu, đường tròn

- Khoảng cách từ M x y z0 ( 0 ; 0 ; 0 ) đến mặt phẳng ( )α :Ax By Cz D+ + + = 0 cho bởi

công thức 0 0 2 0 2 02

Ax ( , ) By Cz D

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Trước khi áp dụng nghiên cứu này vào giảng dạy tôi đã tiến hành khảo sátchất lượng học tập của học sinh hai lớp 12A5 và 12A8 trường THPT Hậu Lộc 4làm thử 1 đề thi tự luận (tuyển chọn một số bài tập hình giải tích có nhiều cáchgiải) cho học sinh làm và thu được kết quả như sau:

Để thực hiện để tài vào giảng dạy, trước hết tôi nhắc lại các kiến thức vềhình học tọa độ, tiếp đó đưa ra các tính chất thông dụng về hình học không gianthuần túy và ví dụ cụ thể để hướng dẫn học sinh thực hiện, cuối cùng tôi đưa rabài tập tổng hợp để học sinh rèn luyện.

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

2.3.1 Giải pháp 1: Sử dụng các tính chất của tứ diện, hình chóp.

Giáo viên yêu cầu học sinh nắm chắc các tính chất của tứ diện,hình chópbất kỳ hay tính chất của các tứ diện, hình chóp đặc biệt (tứ diện đều, tứ diệnvuông, hình chóp đều, hình chóp có tính chất đặc biệt)

Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2;1;1). Viếtphương trình mặt phẳng ( )α qua M,cắt các trục Ox Oy Oz, , lần lượt tại A B C, ,sao cho 12 12 12 16.

Giải:

Gọi H là trực tâm của tam giác ABC

Theo tính chất tứ diện vuông nên ta có chân

đường cao kẻ từ O trùng với trực tâm của

Khi đó mp P( ) qua MO và nhận OMuuuur=(2;1;1)

làm véc tơ pháp tuyến

Suy ra phương trình mp P( ) là: 2x y z+ + − =6 0. Chọn C

*Nhận xét: Học sinh có thể giải quyết bài toán theo phương pháp tọa độ, sửdụng phương trình của mặt phẳng theo đoạn chắn Tuy nhiên cách giải đó tươngđối dài và dễ sai sót Ở đây ta sử dụng tính chất của tứ diện vuông vào giải quyếtbài toán

Ví dụ 2 (Đề THPTQG năm 2017). Trong

không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm

( 2;0;0), (0; 2;0), (0;0; 2)

A − B − C − Gọi D là điểm

khác O sao cho DA DB DC đôi một vuông góc, ,

nhau và ( ; ; )I a b c là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ

diện ABCD Tính S a b c= + +

A S = −4 B S = −1

C S = −2 D S = −3.

Giải:

Xét tứ diện OABC có OA , OB OC đôi một,

vuông góc và OA OB OC= = =2, ABC∆ đều cạnh bằng 2 2 nên gọi G là

trọng tâm của ABC∆ thì ( 2; 2; 2)

G − − − và đường thẳng OG là trục đường tròn ngoại tiếp ABC∆

Gọi D là điểm đối xứng của O qua mặt phẳng (ABC). Khi đó tứ diện DABC có

,

OABC thì I đối xứng với J qua mặt phẳng (ABC). Vì O ABC là hình chóp tam

giác đều nên J là giao điểm của ba mặt phẳng trung trực của OA, OB, OC (có

định Tuy nhiên nếu nhận thấy độ dài các cạnh AB, CD không đổi và nằm trên

các đường thẳng cố định thì việc tìm ra lời giải là có cơ sở

Ví dụ 4. Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz , cho hình chóp tam giác đều S.ABC biết

Do S có hoành độ dương nên: S(9;9;9 ) Chọn B.

* Nhận xét: Ví dụ trên học sinh thường nghĩ tới hướng áp dụng tích hỗn

tạp để giải quyết Tuy nhiên rất khó thực hiện vì tạo độ điểm S có 3 thành phần

đề chưa biết Ở đây ta đã khai thác tính chất của hình chóp tam giác đều Học

sinh cần nhận thấy tam giác ABC đều và từ đó áp dụng công thức tính thể tính

của khối chóp để suy ra chiều cao(học ở môn Hình không gian)

Ví dụ 5. Trong không gian với hệ tọa độ

( 1;0;0)

B − , (1;0;0)C , (0; 3;0)D Điểm M thuộc

phần trong của tứ diện ABCD Tính tổng khoảng

cách từ M đến các mặt của tứ diện ABCD

A 2 2

2 33

C 2 5

2 63

Giải:

Gọi H H H H lần lượt là hình chiếu của M1, 2, 3, 4

xuống các mặt của tứ diện Ta dễ có ABCD là tứ

diện đều cạnh bằng 2 suy ra 3 2 2 2

Do các mặt bên của tứ diện có diện tích bằng nhau nên suy ra:

* Nhận xét: Điểm mấu chốt của ví dụ trên là ta đã sử dụng phương pháp

cộng thể tích của một khối đa diện Bên cạnh đó việc phát hiện ra tứ diện ABCD đều cạnh a rồi sử dụng công thức công thức 2 3

Bên cạnh đó từ sự định hướng của giáo viên, học sinh cần phải biết xây dựnghướng giải Giáo viên có thể gợi ý các khâu vẽ hình và áp dụng cho học sinh

Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) và

Gọi H là hình chiếu của A trên d,

mặt phẳng (P) đi qua A và (P)//d, khi

* Nhận xét: Ngoài cách giải trên, có thể giải bài toán theo phương pháp

giải tích như sau :

Phương trình (P) qua A có dạng:

a x− +b y− +c z+ = a + + ≠b c

hai điểm (1;2; 1),A − (3; 1; 5)B − − Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm

Vậy khi ( , )d B d nhỏ nhất, ta có phương trình đường thẳng d là: 2

2

x t y

Ví dụ 3 (Sách bài tập hình học nâng cao 11) Trong không gian với hệ

trục tọa độ Oxyz cho hai điểm M(0; 1;2)− và ( 1;1;3)N − Viết phương trình mặt

phẳng (P) đi qua M, N sao cho khoảng cách từ K(0;0;2) đến (P) đạt giá trị lớn

nhất

Giải:

Gọi I, H lần lượt là hình chiếu của K lên

đường thẳng MN và (P) Khi đó khoảng

cách từ K đến (P) là KH

Theo tính chất của đường vuông góc và

đường xiên, ta có KH ≤KI Mà KI không

đổi nên KH đạt max bằng KI khi và chỉ khi

H trùng với I Vậy mp(P) cần tìm đi qua I

và vuông góc với KI.

Vậy phương trình (P) là: x + y – z + 3 = 0.

* Nhận xét: Qua các ví dụ trên ta thấy rõ ràng các cách giải theo phươngpháp sử dụng các tình chất hình học(từ việc dựng hình) là rất khác biệt và bấtngờ Dù rằng việc học sinh sử dụng bất đẳng thức hay phương pháp hàm sốtrong các bài toán cực trị cũng tương đối rõ ràng Nhưng chắc chắn học sinh sẽlúng túng trong qua trình biến đổi và tính toán Vì thế việc định hướng lời giải từviệc khai thác các tính chất hình học của chúng là vô cùng quan trọng

Ví dụ 4 (Đề thi HSG tỉnh Thanh Hóa năm 2013) Trong không gian với

hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(− − − 1; 2; 3 ,) (B − 6;10; 3 − ) Viết phương trình mặt

phẳng (P) sao cho khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) bằng 15 và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (P) bằng 2.

Giải:

Giả sử ta xác định được mặt phẳng (P)

thỏa mãn yêu cầu bài toán Gọi H, K lần

lượt là hình chiếu của A, B trên (P).

Như vậy dấu đẳng thức ở (1) phải xảy ra

Điều đó tương đương với H ≡ ⇔K ( )P ⊥ AB tại điểm H thỏa mãn

Gọi ( ; ; )H x y z

8815

132

* Nhận xét: Trong ví dụ trên, đa phần học sinh đều sử dụng phương pháp

gọi phương trình mặt phẳng (P) dưới dạng tổng quát rồi sử dụng công thức tínhkhoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng để giải quyết Ở đây ta nhận thấy

AH BK− = ABnên suy ra 4 điểm A, B, H, K thẳng hang và H trùng với K Từ

đó giải quyết bài toán một cách nhanh chóng

Ví dụ 5 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm

(0; 1; 1)

A − − ,B(− −1; 3;1) Giả sử C, D là 2 điểm di động thuộc mặt phẳng

( )P : 2x y+ −2z− =1 0 sao cho CD=4 và A, C, D thẳng hàng Gọi S , 1 S lần2

lượt là diện tích lớn nhất và nhỏ nhất của tam giác BCD Khi đó tổng S1+S2 cógiá trị bằng bao nhiêu?

Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm

(1;2; 1 ,) (2;4;1 ,) (1;5;3)

A − M N Tìm tọa độ điểm C nằm trên mặt phẳng

( )P x z: + −27 0= sao cho tồn tại các điểm ,B D tương ứng thuộc các tia

* Phân tích: Trong ví dụ này ta

đã sử dụng tính chất hình học của đường phân giác trong trong tam giác (đã học

từ lớp 8) Từ đó có thể tìm được tọa độ chân đường phân giác E của tam giác.

Việc còn lại là sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian để tìm giao điểm

O.ABC có OA = OB = OC nên chân đường cao

kẻ từ O trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp

∆ và các cạnh bên tạo với đường cao đó các góc bằng nhau Như vậy đường

thẳng d cần tìm là đường cao kẻ từ O.

Ta tìm được vr=uuur uuurAB AC; =(75; 15;105− ) .

Suy ra phương trình đường thẳng d là: .

Ví dụ 3 (Sách bài tập hình học nâng cao 12). Trong không gian với hệtọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) :P x+ 2y z− + = 5 0 và đường thẳng

định trên d khác A Gọi H là hình chiếu

của K lên (P), I là hình chiếu của H trên

∆ thì HI và KI cùng vuông góc với ∆ nên

∆ ⊥ tại A ∆ nằm trong (P) qua A và

vuông góc với d Ta tìm được vectơ chỉ

phương của ∆là uuur∆ = − ( 1;1;1)

Vẽ đường thẳng d bất kỳ song song với d2 và

cắt d1 tại K Gọi A là điểm cố định trên d và H

la hình chiếu của A trên ( )P Ta có góc giữa d2

và ( ) α là góc ·AKH

Kẻ AT ⊥d T d2 ( ∈ 1 ) Do tam giác HKT vuông tại T nên:

·

AK AK

= ≥ (không đổi)

Vậy góc ·AKH lớn nhất khi và chỉ khi HK = KT, hay H trùng với T Góc lớn nhất

bằng góc ·AKT = ( ; )·d d1 2 Khi đó ( ) α cần tìm chứa d1 và vuông góc với mặt phẳng1

( ; )d d hay nó có 1 véctơ pháp tuyến là nuurα =u u uur ur uur1 ,  1 , 2 

Ta có: u uur uur1 , 2  = − ( 1;1;0).⇒nuurα =u u uur ur uur1 ,  1 , 2 = − −( 2; 2; 2)

Vậy phương trình mặt phẳng ( ) α là: x y z+ − − = 1 0.

Khi đó S a b c= + + = − − = − 1 1 1 1. Chọn B.

*Nhận xét: Hai ví dụ trên là các câu hỏi tương đối khó trong một số đề thi.Học sinh thường vận dụng các công thức về góc rồi đánh giá cực trị của nó theocác phương pháp giải tích và bất đẳng thức Ở đây tôi đã hướng dẫn học sinhgiải quyết theo 1 cách đi mới Tất nhiên ở đây tôi khuyến khích học sinh tìm tòiđược nhiều hướng giải khác nhau

2.3.4 Giải pháp 4: Sử dụng các tính chất của mặt cầu

Trước khi đi vào các ví dụ cụ thể, giáo viên cần trang bị cho học sinh một

số tính chất của mặt cầu như vị trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng, đườngthẳng, điều kiện tiếp xúc, các cách xác định tâm và bán kính

Ví dụ 1. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng

( )P x y z: + − − = 3 0 và tọa độ hai điểm A(1;1;1 ,) (B − − − 3; 3; 3) Mặt cầu ( )S đi quahai điểm A B, và tiếp xúc với ( )P tại điểm C Biết rằng C luôn thuộc mộtđường tròn cố định Tính bán kính của đường tròn đó?

Ta dễ dàng tìm được tọa độ điểm D(3;3;3) là

giao điểm của ( )AB và ( )P Do đó theo tính

chất của phương tích ta được:

một giá trị không đổi)

Vậy C luôn thuộc một đường tròn cố định tâm D với bán kính R= 6.Chọn D.

*Nhận xét: Ví dụ đã sử dụng tính chất phương tích của một điểm đối vớimột đường tròn để giải Rõ ràng biết vận dụng hợp lý các tính chất định tínhhình học vào giải các bài toán cho được cách giải rất ngắn gọn

Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;1; 1) − và mặt

( ) : (S x− 1) + − (y 1) + + (z 2) = 4 và Ba mặt phẳng thay dổi đi qua M và đôi

một vuông góc với nhau, cắt ( )S theo ba đường tròn Tổng bình phương của babán kính đường tròn tương ứng là:

A 4 B 1

C 10 D 11

Giải:

Mặt cầu ( )S có tâm I(1;1; 2) − , bán kính R S = 2

Gọi ( ), ( ), ( ) α β γ là ba mặt đôi một vuông góc thỏa

mãn bài toán và A B C, , lần lượt là hình chiếu vuông

góc của I trên ( ), ( ), ( ) α β γ Suy ra A B C, , là tâm của

các đường tròn giao tuyến

Xét đường tròn giao tuyến nằm trong mặt phẳng

*Nhận xét: Bài toán trên đã sử dụng đến tính

chất về vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu,

công thức liên hệ giữa bán kính mặt cầu và đường

Ta có uuur uuurAB AC = 0 nên tam giác ABC vuông tại A Tương

tự ta cũng có tam giác OBC vuông tại O.

Vì thê A, O cùng nhìn BC dưới một góc vuông.Suy ra

đó bán kính mặt cầu là R OI= = 2

Ví dụ 4 (Đề THPTQG năm 2017). Trong không

gian Oxyz, cho điểm M(1;1; 2), mặt cầu (S): 2 2 2

9

x +y +z = và mặt phẳng

( ) :P x y x+ + − = 4 0. Gọi ∆ là đường thẳng qua M, nằm trong (P) và cắt (S) tai 2

điểm A, B sao cho AB nhỏ nhất Biết ∆ có vectơ chỉ phương là ur = (1; ; ).a b Tính

Nhận thấy M(1 ; 1; 2) thuộc (P) và M nằm trong mặt

cầu (S) nên ∆ luôn cắt (S) tạ 2 điểm A, B.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên ∆ Khi

đó H là trung điểm của AB Ta có

Vì uuur uuurAH AB = 0 suy ra t = 1 Từ đó IH = 5.

Gọi K là hình chiếu của I trên (P) Ta có

IK ≤IH = ⇒IK <R Suy ra (P) luôn cắt (S)

theo giao tuyến là 1 đường tròn có bán kính

2 25

2.3.5 Giải pháp 5: Sử dụng tính chất của vectơ, độ dài đoạn thẳng

Ví dụ 1 (Đề thi HSG tỉnh Thanh Hóa năm 2016) Trong không gian với

hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(4;1;5), (3;0;1), ( 1;2;0)B C − và mặt phẳng (P) có

phương trình: 3x− + + 3y 2 37 0z = Tìm toạ độ của điểm M thuộc mặt phẳng (P)

sao cho biểu thức S = MA MB MB MC MC MA uuur uuur uuur uuur uuuuruuur. + . + . đạt giá trị nhỏ nhất

Giải: