Rèn luyện năng lực tự học tự nghiên cứu môn toán cho học sinh thông qua nghiên cứu các bài toán hình học trong tọa độ p

Chính vì vậy trong những năm qua, trường THPT Như Thanh rất coi trọng việc bồi dưỡng nâng cao năng lực nghiên cứu và hướng dẫn, tập dượt nghiên cứu khoa học cho đội ngũ giáo viên của nhà

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài

Giảng dạy, nghiên cứu và hướng dẫn học sinh tập dượt nghiên cứu khoa học là những nhiệm vụ trọng tâm của mỗi giáo viên Chính vì vậy trong những năm qua, trường THPT Như Thanh rất coi trọng việc bồi dưỡng nâng cao năng lực nghiên cứu và hướng dẫn, tập dượt nghiên cứu khoa học cho đội ngũ giáo viên của nhà trường thông qua nhiều hình thức như: Đổi mới sinh hoạt tổ, nhóm chuyên môn; phát động phong trào viết chuyên đề; sáng kiến kinh nghiệm giảng dạy; nghiên cứu các đề tài khoa học sư phạm ứng dụng; tổ chức ngoại khoá Đổi mới phương pháp dạy học phải gắn liền với đổi mới hình thức tổ chức dạy học Hình thức tổ chức dạy học phù hợp sẽ cuốn hút học sinh tham gia vào nội dung bài học, từ đó học sinh có thể phát huy được tính tích cực, chủ động trong quá trình học, tạo điều kiện cho việc tiếp thu kiến thức có hiệu quả hơn

Hình thức tổ chức dạy học phù hợp không chỉ tạo điều kiện cho giáo và học sinh giao lưu, tranh luận với nhau mà còn tạo ra sự tranh luận giữa học sinh với học sinh, giữa các nhóm học sinh với nhau để từ đó đạt được mục đích về kiến thức một cách tự nhiên hơn

Môn Toán là môn khoa học cơ bản, và có vai trò quan trọng trong sự phát triển tư duy, kỹ năng, tính sáng tạo của học sinh, do đó vấn đề cốt lõi của đổi mới phương pháp dạy học môn toán ở trường THPT là: hướng dẫn học sinh học tập tích cực, chủ động, phát huy tính sáng tạo, rèn luyện kỹ năng giải toán, phát triển

tư duy toán học Để làm được điều này đòi hỏi mỗi giáo viên trước hết phải có trình độ chuyên môn vững vàng, đổi mới phương pháp dạy học theo hướng tích cực, chủ động, lấy học sinh làm trung tâm trong quá trình dạy học

Trong chương trình toán THPT, chủ để tọa độ trong mặt phẳng được đông đảo giáo viên dạy bộ môn toán và học sinh quan tâm Câu hình học tọa độ trong mặt phẳng có vị trí quan trọng, đây là một trong những câu hỏi ở mức độ kiến thức vận dụng và vận dụng nâng cao nhằm phân loại học sinh giữa mức điểm khá và điểm giỏi Các bài toán có liên quan đến tọa động trong mặt phẳng luôn

có mặt trong các kỳ thi đại học, thi học sinh giỏi các cấp

Với những lý do trên, tôi đã chọn đề tài “Rèn luyện năng lực tự học - tự nghiên cứu môn Toán cho học sinh thông qua nghiên cứu các bài toán hình học trong tọa độ phẳng”.

1.2 Mục đích nghiên cứu.

- Rèn luyện tư duy sáng tạo, năng lực tự học- tự nghiên cứu trong dạy- học toán

- Rèn luyện kỹ năng giải và xây dựng các bài toán hình học trong tọa độ phẳng

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

- Nghiên cứu cơ sở lý luận về phương pháp dạy học tự học- tự nghiên cứu

- Nghiên cứu các bài toán tổng quát về hình học trong tọa độ phẳng

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

Nghiên cứu tài liệu

1.5 Những điểm mới của SKKN.

- Áp dụng phương pháp dạy học tự học- tự nghiên cứu thông qua nghiên cứu các bài toán hình học trong tọa độ phẳng từ đó làm cơ sở cho việc hướng dẫn HS tự học- tự nghiên cứu

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm

2.1.1 Khái niệm Phương pháp dạy học (PPDH) hướng dẫn học sinh (HS) tự học tự nghiên cứu

Tự học là một hình thức hoạt động nhận thức của cá nhân nhằm nắm vững

hệ thống tri thức và kỹ năng do chính bản thân người học tiến hành ở trên lớp hoặc ở ngoài lớp

Có hai hình thức tự học:

- Tự học có hướng dẫn (GV hướng dẫn ở trên lớp hoặc là hướng dẫn các hoạt động ngoại khoá)

- Tự học không có sự hướng dẫn của GV (HS tự học với sách, tự mình xây dựng

kế hoạch học tập)

- Đối với học sinh phổ thông, tập dượt nghiên cứu khoa học thông qua bài tập nghiên cứu Đó là những bài làm, những công trình nghiên cứu mang tính chất thực hành sau một bài học hoặc một chương học, nhằm đào sâu, mở rộng tri thức, hoặc làm căn cứ bước đầu để học một chủ đề nào đó để làm phong phú thêm bài giảng bằng những tài liệu trong sách báo hay trong thực tế điều tra, tiến hành thử nghiệm Bài tập nghiên cứu này do GV nêu ra và HS tiến hành tự học,

tự nghiên cứu dưới hướng dẫn của GV

2.1.2 Các bước thực hiện dạy học tự học- tự nghiên cứu

Trên cơ sở về khái niệm PPDH tự học, tự nghiên cứu ta có thể đưa ra các bước cơ bản sau để thực hiên việc dạy học tự học, tự nghiên cứu:

- Xác định vấn đề cần nghiên cứu

- GV hướng dẫn học sinh thực hiện nhiệm vụ

- Học sinh thực hiện nhiệm vụ và báo cáo kết quả

- Đánh giá

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Trong giảng dạy lâu nay tại trường THPT Như Thanh đa số GV Tổ Toán đã thực hiện rất tốt công tác chuyên môn như: Đổi mới sinh hoạt tổ, nhóm chuyên môn; phát động phong trào viết chuyên đề, đề tài nghiên cứu khoa học Tuy

nhiên chuyên đề “Hướng dẫn Học sinh tự học- tự nghiên cứu” còn chưa được

quan tâm một cách đúng mức Trong dạy học phần các bài toán hình học trong tọa độ phẳng phần khó và phức tạp, cần nhiều kỹ năng trong việc xây dựng các bài toán đó, do vậy đa số GV còn chưa nghiên cứu sâu và kỹ phần này

Đối với HS chỉ có một số ít có ý thức tự học, phần còn lại học tập thụ động, không sáng tạo, dựa chủ yếu vào thầy-cô giáo Đa số HS còn chưa có ý thức về nghiên cứu toán học Trong học toán phần lớn HS còn rất yếu về hình học phẳng, các hoạt động của HS ở phần này chủ yếu là chứng minh các tính chất hình học đơn giản, có sẵn, việc phát hiện ra tính chất hình học và chứng minh tính chất đó thì đa số học sinh còn rất yếu và không thực hiện được Đó là những điều hạn chế trong cách học của HS tại trường THPT Như Thanh nói riêng và tại các trường THPT nói chung Để một phần khắc phục điều này tác giả mạnh dạn

áp dụng phương pháp dạy học tự học- tự nghiên cứu vào một số đối tượng HS khá, giỏi tại trường

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

Để hướng dẫn HS tự học- tự nghiên cứu có hiệu quả thì trước hết mỗi GV cũng cần phải có những công trình nghiên cứu cụ thể đây là hoạt động đặc biệt quan trọng đối với một GV toán, bởi vì ngoài việc rèn luyện tư duy sáng tạo cho mỗi GV, nó còn làm phong phú thêm kho tàng kiến thức của mỗi người thầy để

từ đó mỗi giờ lên lớp ngày càng hiệu quả, hơn nữa nó là tấm gương sáng cho HS noi theo trên con đường học tập và nghiên cứu ở hiện tại và trong tương lai

Để hướng dẫn HS tự học- tự nghiên cứu có hiệu quả tác giả sẽ trình bày hai nội dung trong phần này Phần thứ nhất nghiên cứu một số các bài toán về hình học trong tọa độ phẳng, việc phát hiện ra tính chất hình học và chứng minh các tính chất này, sau đó sẽ giải quyết trọn vẹn bài toán được yêu cầu Các bài toán được xây dựng logic, chứng minh chặt chẽ dựa trên cơ sở kiến thức về toán học cấp THPT mà học sinh đã được học và các ví dụ áp dụng các bài toán tổng quát

đó

Phần nội dung thứ hai là kế hoạch hướng dẫn học sinh tự học tự nghiên cứu chủ đề các bài toán hình học trong tọa độ phẳng.

Phần1: Nghiên cứu xây dựng một số bài toán về hình học trong tọa độ phẳng từ các tính chất hình học

Tính chất 1: Cho ABC nội tiếp đường tròn tâm I , BH và CK là hai đường cao của ABC Khi đó ta có AI KH

Chứng minh:

 Kẻ tiếp tuyến Ax

Ta có

2

s AC xAC  ABC 

 Mà �ABC �AHK (do tứ giác KHCB

nội tiếp)�xAC� �AHK, mà hai góc

này ở vị trí so le trong Ax / /HK

 Lai có Ax AI (do Ax là tiếp tuyến)

AI HK

�

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho ABC nội tiếp đường tròn tâm I 1;2 , bán kính R5 Chân đường cao kẻ từ B C, lần lượt là

  3;3 , 0; 1

H K  Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tứ giác

BCHK , biết điểm A có tung độ dương.

Hướng dẫn tìm lời giải

Đường tròn  C có tâm I , bán kính R có phương trình5

  2 2

x  y 

I

B

C H K

Ta thấy ngay đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCHK có tâm M là trung điểm của BC , đường kính BC (do �BKC BHC� 900) Như vậy vấn đề

quyết định của bài toán này là đi tìm tọa độ B,C.

Theo tính chất 1 AI KH �AI là đường

thẳng đi qua I , và AI KH �AI có

phương trình 3x4y  11 0

Tọa độ A AI � C , giải hệ ta được

 3;5

A 

Đường thẳng AB đi qua A K, là

AB x y  

Tọa độ B AB � C , giải hệ ta được

1; 3

B  , suy luận tương tự ta được C 6;2

Vậy đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCHK có tâm M là trung điểm của

BC , đường kính BC có phương trình

� � �  �

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho ABC nội tiếp đường tròn tâm O 0;0 Gọi M1;0 ,  N 1;1 lần lượt là các chân đường vuông góc kẻ từ B,C của ABC Tìm tọa độ các đỉnh A B C, , của ABC, biết

điểm A nằm trên đường thẳng  có phương trình 3 x y   1 0

Hướng dẫn tìm lời giải

Ta thấy điểm A thuộc đường thẳng 

do đó: A a ;1 3 a , bây giờ cần thiết

lập một phương trình để tìm a

Ta có AOMN (Tính chất 1)

Giải phương trình uuur uuuurAO MN 0

 

Đường thẳng AB đi qua A N, là

: 1 0

AB x 

Đường thẳng AC đi qua A M, là

AC : x y 1 0  

I

A

B

C

H K

D

O

B

C M N

Đường cao BM đi qua M và vuông góc với AC�BM x y:   1 0

Tọa độ B AB �BM �B 1;2 , tương tự C2;1

Như vậy điểm quan trọng nhất đối với bài này là phát hiện ra AOMN

Tính chất 2: Cho ABC nội tiếp đường tròn tâm I H là trực tâm, kẻ đường

kính AA', M là trung điểm của BC Khi đó uuurAH 2uuurIM

Chứng minh

Ta có �ABA' 90 0 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm I )

'

BA BA

� mà BA CH �BA CH'/ / (1)

Chứng minh tương tự ta cũng có CA BH (2)'/ /

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác BHCA' là

hình bình hành, mà M là trung điểm

của đường chéo BC suy ra M là trung

điểm của đường chéo 'A H

IM

� là đường trung bình của

AA 'H AH 2IM

 �uuur uuur

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho ABC nội tiếp đường tròn tâm I 2;1 bán kính R Trực tâm 5 H  , độ dài 1; 1 BC Hãy viết8 phương trình BC

Hướng dẫn tìm lời giải

H M

I

A

A'

C B

Đây là một bài toán quen thuộc “tam

giác nội tiếp đường tròn, cho biết trực

tâm”, vậy ta sẽ nghĩ ngay đến việc tạo

ra hình bình hành bằng cách kẻ đường

kính AD �BHCD là hình bình hành

(Tính chất 2)

MI

� là đường trung bình của AHD

2

AH  MI

� (kết quả rất quen thuộc)

Với các suy luận trên, ta sẽ tìm được tọa

độ A trước tiên

Thật vậy, gọi A x y  ;

Ta có

5

AI

�



�

Giải hệ trên ta được 1  1;5 5; 3 2; 2

5

x

y

 

�

� 

�

(do I là trung điểm của AD , M là trung điểm của HD )

Như vậy sau khi có điểm A M, ta thấy đường thẳng BC đi qua M , vuông góc với AH �BC y:  2 0

Ví dụ 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho ABC nội tiếp đường tròn tâm I2;0 điểm A3; 7 , trực tâm  H3; 1 Xác định tọa độ điểm  C biết

C có hoành độ dương.

Hướng dẫn tìm lời giải

Hoàn toàn với phương pháp lập luận

như bài VD3, ta cũng có được kết quả

AH  MI �uuurAH  IMuuur, nếu gọi

 ;

M x y thì giải phương trình

2

3

x

y

 

�

uuur uuur

Đường thẳng BC đi qua điểm M ,

vuông góc với AH �BC y:  3 0

Đường tròn  C tâm I , bán kính

R IA có phương trình

 2 2

x y 

Tọa độ điểm B,C là giao của BC và đường tròn  C , giải hệ này ta sẽ có

C  

(vì x C 0)

Nhận xét: qua bài toán trên, cần ghi nhớ một kết quả quan trọng sau: Nếu H I,

lần lượt là trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp ABC , M là trung điểm BC

thì ta có uuurAH 2.IMuuur (đây là điểm nút của vấn đề) Tiếp theo mạch tư tưởng đó,

ta nghiên cứu bài sau cũng có cách khai thác tương tự.

Ví dụ 5: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD , qua B

kẻ đường thẳng vuông góc với AC tại H Gọi E F G, , lần lượt là trung điểm của

các đoạn thẳng CH BH, và AD Biết 17 29; , 17 9; ,  1;5

E� � �F �G

tâm đường tròn ngoại tiếp ABE

Hướng dẫn tìm lời giải

Đây là bài toán phát triển theo mạch

tư duy của dạng bài trên

ABE

 có F là trực tâm, vậy nếu

gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp

ABE

 , M là trung điểm của AB

thì ta chứng minh được EF 2.IMuur uuur

Do tọa độ E F, đã biết vậy để có I

ta cần tìm tọa độ M , mà M là

trung điểm AB nên ta cần tìm tọa

độ A B, , (đây là điểm nút của bài

toán này)

Ta thấy ngay EF là đường trung bình của HCB�uuur uuurAG FE Như vậy nếu gọi

 ;

A x y thì giải phương trình 1  1;1

1

x

y



�

 �� � � uuur uuur

Tiếp theo lập được phương trình đường thẳng AE đi qua

A E� AE    x y

Đường thẳng AB đi qua A và vuông góc với EF�AB:y-1=0

Đường thẳng BH qua F và vuông góc với AE�BH x: 2y 7 0

Do đó B BH �AB�B 5;1 �M 3;1

Giải phương trình EF 2.uur IMuuur�I 3;3

Tính chất 3: Cho ABC nội tiếp đường tròn tâm K , điểm H là trực tâm, gọi I

là tâm đường tròn ngoại tiếp HBC Khi đó K và I đối xứng với nhau qua BC

Chứng minh

Gọi H là giao điểm của AH với

đường tròn tâm K , suy ra tứ giác

'

ACH B nội tiếp đường tròn tâm K

suy ra K cũng là tâm đường tròn

ngoại tiếp BH C'

Mặt khác H và ' H đối xứng với

nhau qua BC suy ra HBC đối

xứng với tam giác H BC' qua BC,

mà K, I lần lượt là tâm đường tròn

ngoại tiếp H BC' và HBC suy

ra I và K đối xứng với nhau qua

BC

Ví dụ 6: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có trực tâm

H , đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC có phương trình  2 2

x y  .

Trọng tâm G của tam giác ABC thuộc trục Oy Tìm tọa độ các đỉnh của ABC biết BC có phương trình x y   và B có hoành độ dương.0

Hướng dẫn tìm lời giải

Trước hết ta có tọa độ B C, là giao điểm của đường tròn  2 2

x  y   C

và đường thẳng BC x y:  0

Giải hệ phương trình ta được

Bây giờ việc khó khăn sẽ là tìm tọa độ A x y theo trình tự suy luận sau: ;

- Điểm G 0;a thuộc Oy là trọng tâm ABC , sử dụng công thức trọng tâm suy

ra A1;y

H K

A

I

B

C

H'

- Gọi K và I lần lượt là tâm đường

tròn ngoại tiếp ABC và HBC

I

� và K đối xứng với nhau quav

BC (tính chất 3), từ đây ta lập được

phương trình KI đi qua I1;0 và

vuông góc với BC

- Ta có tọa độ M KI �BC

M �  � K 

Mặt khác KA3 (bằng bán kính

đường tròn  C ) - Do đường tròn

tâm K và đường tròn tâm I đối

xứng nhau qua BC nên bán kính

bằng nhau Giải phương trình

3 1; 1 2 2

KA �A  

hoặc

1; 1 2 2

A  

Tính chất 4: Cho ABC cân tại A nội tiếp

đường tròn tâm I G là trọng tâm của

ABC

 Gọi D là trung điểm của AB , E là

trọng tâm của ADC Khi đó I là trực tâm

của DEG

Chứng minh:

Gọi F H K, , lần lượt là các trung điểm của BC AC AD, , �E DH �CK .

Do G là trọng tâm ABC�G AF CD�

Ta có

2

/ / 3

CK CD  �

mà ABDI �GEID

M

H K

I

B

C

D

G

A'

E D

F

A

I K

G

Lại có

/ /

DE BC

GI DE

GI BC

�



�

� 

�

Suy ra I là trực tâm của DGE

Ví dụ 7: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho ABC cân tại A , gọi D là

trung điểm của AB , D có tung độ dương, điểm

11 5

;

3 3

� � là tâm đường tròn

ngoại tiếp ABC Điểm

13 5

;

3 3

� � là trọng tâm của ADC Điểm M3; 1 

thuộc đường thẳng DC , điểm N3;0 thuộc đường thẳng AB Tìm tọa độ các

điểm A B C, ,

Hướng dẫn tìm lời giải

Ta có I là trực tâm của DGE

(Tính chất 4)

Do đó ta viết phương trình DC đi qua M

và vuông góc với EI

Suy ra DC x:  3 0

Tiếp theo ta tìm tọa độ điểm D ; di điểm D

thuộc DC nên D 3;x , giải phương trình

 

DN DI  �x �D

uuur uur

Ta sẽ viết tiếp phương trình AB

(đi qua N D, )

Suy ra phương trình AB x: 2y  3 0

Đường thẳng AF đi qua I và vuông góc

với DE suy ra AF : x y   2 0

Giải hệ A AB �AF�A 7;5  �B1;1 (do D là trung điểm của AB )

Đường thẳng BC đi qua B và vuông góc với IA�BC x y:  0

Giải hệ C BC �CD�C3; 3 

Tính chất 5: “Trong một hình thang cân có 2 đường chéo vuông góc, độ dài

đường cao bằng độ dài đường trung bình”

Chứng minh

E H D

F

A

I K

G