VỀ CHIỀU BIẾN THIÊN và áp DỤNG GIẢI một số bài TOÁN LƯỢNG GIÁC CHỨA THAM số NHẰM NÂNG CAO NĂNG lực

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG II SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM VỀ CHIỀU BIẾN THIÊN VÀ ÁP DỤNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN LƯỢNG GIÁC CHỨA THAM SỐ NHẰM NÂNG CAO NĂNG LỰC GIẢI T

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG II

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

VỀ CHIỀU BIẾN THIÊN VÀ ÁP DỤNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN LƯỢNG GIÁC CHỨA THAM SỐ NHẰM NÂNG CAO NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH

LỚP 11 TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG II

Người thực hiện: Nguyễn Bá Đại Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

MỤC LỤC

8 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 3

9 2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh

nghiệm

3

10 2.3 Các sáng kiến và giải pháp đã sử dụng giải quyết vấn

đề

4

11 2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động

giáo dục, bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

15

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài.

Khoa học ngày càng phát triển, đòi hỏi con người ngày càng hoàn thiện hơn Trong toán học cũng vậy ngoài việc đòi hỏi tư duy sáng tạo, kỹ năng tính toán thì phương pháp và cách thức giải một bài toán cũng rất quan trọng Trong sách giáo khoa hợp nhất năm 2000 có trình bày một công cụ rất hữu hiệu để giải quyết một số

bài toán về phương trình đó là “Định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai” tuy nhiên sau khi thay đổi sách giáo khoa 2006 thì phần đó bị cắt bỏ và cùng với đó thì công

cụ này không được sử dụng trong các trường phổ thông nữa Qua một số năm được phân công dạy học sinh khối 11, tôi nhận thấy sự bế tắc của học sinh khi gặp bài toán về phương trình, bất phương trình hay hệ phương trình chứa tham số Chính vì

lẽ đó tôi mạnh dạn chọn chuyên đề “Về chiều biến thiên và áp dụng giải một số

bài toán lượng giác chứa tham số nhằm nâng cao năng lực giải toán cho học sinh lớp 11 trường THPT Nông Cống 2” làm sáng kiến kinh nghiệm cho mình.

Mục đính chính của bản Sáng kiến kinh nghiệm này là trình bày một phương pháp khác để giải quyết vấn đề được nêu ở trên, cụ thể là sử dụng chiều biến thiên của hàm số bậc hai trong sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao và cùng với đó là sử dụng

sự tương quan đồ thị Cụ thể Sáng kiến kinh nghiệm tập trung vào các vấn đề sau:

 Trình bày các khái niệm cơ bản về chiều biến thiên của hàm số bậc hai, sự tương quan hình học

 Các bài toán có nghiệm trên tập D bao gồm các bài toán về phương trình lượng giác có nghiệm trên tập D

 Các bài toán có n nghiệm thuộc D bao gồm các bài toán về phương trình lượng giác có n nghiệm thuộc D

1.2 Mục đích nghiên cứu.

Mục đính chính của bản Sáng kiến kinh nghiệm này là trình bày phương pháp chiều biến thiên trong giải một số bài toán lượng giác chứa tham số lớp 11, cụ thể

là sử dụng chiều biến thiên của hàm số bậc hai trong sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao và cùng với đó là sử dụng sự tương quan đồ thị

1.3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.

Đối tượng nghiên cứu là áp dụng chiều biến thiên của hàm số bậc hai để biện luận một số bài toán về phương trình, bất phương trình và hệ phương trình lượng giác có tham số

Phạm vi nghiên cứu là các kiến thức cơ bản về chiều biến thiên của hàm số bậc hai, cùng với sự tương quan về đồ thị để giải quyết vấn đề

1.4 Phương pháp nghiên cứu Đọc tài liệu, phân tích tổng hợp, quan sát thực tế

và thực nghiệm

2 NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.

Bài toán chứa tham số về phương trình, bất phương trình, hay hệ phương trình thường gây khó khăn cho học sinh khi công cụ “Định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai” được giảm tải và với học sinh lớp 10 lại chưa tiếp cận được với đạo hàm Qua nghiên cứu một số tài liệu liên quan đến vấn đề, tôi thấy nhiều tác giả cũng

đã tiếp cận về vấn đề này nhưng việc giải quyết chưa thật triệt để

Thông qua quá trình giảng dạy những bài toán về phương trình, bất phương trình chứa tham số, tôi thấy việc học sinh nắm vững được các tính chất của hàm số bậc hai cũng như chiều biến thiên của nó thì các em sẽ giải quyết vấn đề dễ dàng hơn

Với mong muốn góp phần nhỏ vào việc nâng cao chất lượng giảng dạy môn Toán nói chung và phân môn Đại Số và Giải Tích nói riêng ở trường THPT Nông

Cống 2, huyện Nông Cống tôi đã nghiên cứu đề tài “Về chiều biến thiên và áp

dụng giải một số bài toán lượng giác chứa tham số nhằm nâng cao năng lực giải toán cho học sinh lớp 11 trường THPT Nông Cống 2”

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

Là giáo viên giảng dạy môn Toán ở vùng khó khăn trình độ nhận biết của học sinh ở mức vừa phải tôi nhận thấy áp dụng đề tài này vào các lớp mà tôi phụ trách rất hiệu quả, đặc biệt năm học này tôi đã tiến hành trên các lớp 11A1 và 11A2 trường THPT Nông Cống 2, kết quả thu được tương đối tốt

Các em thấy rất khó khăn khi giải các bài toán dạng này, sau khi được tiếp cận, hướng dẫn, rèn luyện thì các em đã giải thành thạo các dạng toán này Học sinh không còn lúng túng khi gặp dạng toán này nữa

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

2.3.1 Các khái niệm cơ bản.

Trong phần này, ta nhắc lại một số kiến thức cơ bản về sự biến thiên của hàm

số bậc hai và sự tương quan của đồ thị hàm số để giải quyết một số bài toán phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình chứa tham số

2.3.1.1 Định nghĩa [3] Hàm số bậc hai là hàm số được cho bằng biểu thức có

dạng y ax 2 bx c trong đó , ,a b c là các hằng số với a 0

2.3.1.2 Chiều biến thiên của hàm số bậc hai [3]

Ta có hai bảng biến thiên của hàm số bậc hai y ax 2 bx c a  0 sau:

2.3.1.3 Sự tương quan của đồ thị.

Trong trang này: Mục 2.3.1.1 và mục 2.3.1.2 được tham khảo TLTK số 3; Trong mục 2.3.1.3 hình mình họa là “của” tác giả.

2.3.2 Các bài toán có nghiệm trên tập D

2.3.2.1 Một số kết quả [2]

Số nghiệm của phương trình

   

f x g m là số giao điểm của đồ thị hàm số yf(x) và đường thẳng y g m  

(xem hình minh họa ở bên)

Trong sáng kiến kinh nghiệm này, giả sử các hàm y f x  khi kí hiệu

 

x D

min f x

 hay max f xx D  

 thì đều tồn tại

 Điều kiện để phương trình f(x) g  m có nghiệm x D là

(Số nghiệm của phương trình f x  g m  trên D phụ thuộc số giao điểm của

đồ thị yf x  với đường thẳng y g m   trên D ).

2.3.2.2 Một số bài toán.

Ví dụ 1 Tìm m để phương trình sau có nghiệm

;

2 2

x    

 

2

sin x3sinx5m0 1

Giải Ta có  1  sin2x3sinx5m

Đặt t sinx, với ;  1;1

2 2

x      t

Bài toán quy về tìm m để phương trình t2 3t 5m có nghiệm t   1;1.

Xét f t   t2 3t trên 1;1 , ta có bảng biến thiên sau

Từ bảng biến thiên ta có,  

 

t 1;1

 



,  

 1;1 

t

t

 

 Vậy để phương trình có nghiệm

;

2 2

x    

  thì:

Ví dụ 2 Tìm m để phương trình sau có nghiệm

2 tan x m  2 tanx 4  2

Giải Điều kiện: cosx  0

Trong trang này: Mục 2.3.2.1 được tham khảo TLTK số 2; Ví dụ 1, Ví dụ 2 là “của” tác giả.

Ta có

 

2

Đặt t tan x Khi đó hệ trên trở thành

 

 







Bài toán quy về tìm m để phương trình 2a có nghiệm thỏa mãn  2b 

Xét f t   t2 2t trên 4 2; , ta có bảng biến thiên sau:

Từ bảng biến thiên ta có để phương trình có nghiệm thì: m  4.

Ví dụ 3 Tìm m để phương trình sau có nghiệm

sin 2x4 cosx - sinx m 3

Giải Đặtt cosx sinx, t  2 sin 2x 1 t2

Khi đó phương trình  3 trở thành

 

Bài toán quy về tìm m để phương trình 3a có nghiệm  t  2

Xét f t  t2 4t trên 1 t  2, ta có bảng biến thiên sau:

Từ bảng biến thiên ta có, để phương trình có nghiệm thì: 4 2 1   m 4 2 1

Ví dụ 4 [4] Cho phương trình tham số m

a Giải phương trình khi m  2

Trong trang này: Ví dụ 3 là “của” tác giả Ví dụ 4 tham khảo từ TLTK số 4, lời giải là “của” tác giả.

b Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn

0; 2



 

Giải Ta có  4  2 cos 2x sin2 xsinx.cosx sinx cosx msinxcosx

sinx cosx 2 cos  x sinx sinx.cosx - m 0

 

2 cosx - sinx sinx.cosx - m = 0 4

b





 





4

Với 4b , đặt 

2 1 osx - sinx sinx.cosx =

2

t

Khi đó phương trình 4b trở  thành

 

2 4 1 2 4

a Khi m  ta có 2,  

3

t

t





 

 2

2 os

2

x k













  



Vậy phương trình có các nghiệm là

2

2 2 4

x k













 







 







4

x  k k 

không có nghiệm thuộc

0; 2



  Do 0 x 2



 

nên 1 2cos 1  1;1 

4

        

  Bài toán quy về tìm m để 4c có  nghiệm thuộc đoạn 1;1 

Xét f t  t2 4t trên miền 1 t   1;1 có t  D 2, ta có bảng biến thiên sau:

Từ bảng biến thiên ta có, để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 0;2



thì: 2  m 2.

Ví dụ 5 [4]

Tìm m để phương trình sau có nghiệm

4 sin x c os x  4 sin x c os x  sin 4x m 5

Giải Ta có  5  4 1 2sin cos  2 x 2x  4 1 3sin cos  2 x 2x  sin 42 x m

4 1 sin 2 4 1 sin 2 sin 4

 sin 22 x sin 42 x m

1 os4x

1 os 4 2

c



 

os 4 cos4x - 5

Đặt t c os4x, t  1;1  Khi đó 5  2 1 1  5

Bài toán quy về tìm

m để phương trình  5b có nghiệm t   1;1 

Xét   2 1 1

trên t   1;1 có t  D 14,

ta có bảng biến thiên sau:

Từ bảng biến thiên ta có, để phương trình có nghiệm thì:

9

1

16 m

Trong trang này: Ví dụ 5 tham khảo từ TLTK số 4, lời giải là “của” tác giả.

2.3.3 Các bài toán có n nghiệm trên tập D

2.3.3.1 Một số chú ý

Trong phần này, chúng ta cần chú ý về tương quan nghiệm sau khi đặt ẩn phụ: Có

nghĩa là cứ một nghiệm t trên miền D1 thì cho ta bao nhiêu nghiệm x trên miền

,

D để làm tốt việc này ta có thể sử dụng đường tròn lượng giác Ngoài ra trong

phần này tác giả còn sử dụng công thức cos3x = 4cos3x  3cosxmà không chứng minh

2.3.3.2 Một số bài toán.

Ví dụ 1 [4] Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt thuộc

0;

4



  cos4x + 6sinx.cosx = m 1

Giải Ta có  1  2sin 22 x 3sin 2x m  1 0 Đặt sin 2t x Khi

0;

4

x   

 thì

0;1 ,

t  ngoài ra ta thấy, cứ mỗi t 0;1 thì cho ta một x 0;4



  

 Bài toán quy

về tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt t 0;1

 

2

2t  3t 1 m 1a

Xét f t  2t2 3t trên t 0;1 có t  D 34,

ta có bảng biến thiên sau:

Từ bảng biến thiên ta có, để phương trình  1a có hai nghiệm phân biệt t 0;1 thì

Ví dụ 2 Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt

;

2 2

x   

 

2

sin xsinx 1 5  m0 2

Giải Ta có  2  sin2xsinx 1 5  m

Trong trang này: Ví dụ 1 tham khảo từ TLTK số 4, lời giải “của” tác giả Ví dụ 2 là “của” tác giả. Đặt t sinx, với ;  1;1

2 2

x      t

  Ta thấy cứ một nghiệm t   1;1 cho

một nghiệm

;

2 2

x    

  Bài toán quy về tìm m để phương trình t2   t 1 5m

có 2 nghiệm phân biệt t   1;1 

Xét f t     trên đoạn t2 t 1 1;1 có

1 2

D

t 

, ta có bảng biến thiên sau

Từ bảng biến thiên ta có, để phương trình có 2 nghiệm phân biệt t   1;1 thì:

4  m  20 m5

Vậy để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì

20 m5

Ví dụ 3 [4]

Xác định m để phương trình sau có đúng 7 nghiệm thuộc khoảng

;2 2







 

cos3x - cos2x + mcosx - 1=0 3

Giải

cos3x - cos2x + mcosx - 1=0

4cos x 3cosx 2cos x 1 mcosx 1 0

 

2

2

a





Giải 3 

2

Do

;2 2

x   

  nên

2 3 2

x x













 

Bài toán quy về tìm m để pt  3b có 5 nghiệm thuộc

3

;2 \ ;



Trong trang này: Ví dụ 3 được tham khảo từ TLTK số 4, lời giải là “của” tác giả.

Phương trình  3b đặt t c osx t 1 , phương trình trở thành4t2  2t  3 m c 3

Từ đường tròn lượng giác để phương trình  3b có 5 nghiệm thuộc

3

;2 \ ;



    thì phương trình  3c có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn

Xét f t  4t2  2t trên  1;1 có

1 4

D

t 

, ta có bảng biến thiên sau

Từ bảng biến thiên ta có, để phương trình  3c có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn

     thì

0 3

m

m m

 





 



Ví dụ 4.[4] Cho phương trình tham số m

2 2

1 cot tanx+cotx 2 0 4

Xác định m để phương trình vô nghiệm.

Giải

Điều kiện: sin 2x 0 * 

2 2

1 cot tanx+cotx 2 0

tan x cot x m tanx+cotx 3 0

Đặt t tanx+cotx  t 2  Khi đó phương trình trở thành: t2 mt 1 0 4 a

Để phương trình  4 vô nghiệm thì 4a vô nghiệm trên miền    ; 2 2; Xét f t   t2 mt trên 1   ; 2 2; có D 2

m

t 

, ta có các trường hợp sau:

Trường hợp 1: 2 2 4.

m

m

Ta có bảng biến thiên sau:

Trong trang này: Ví dụ 4 được tham khảo từ TLTK số 4, lời giải là “của” tác giả.

Từ bảng biến thiên ta có, pt 4a vô nghiệm trên miền    ; 2 2;thì:

2

4

4

4

m

m













  



Trường hợp 2: 2 2 4.

m

m

Ta có bảng biến thiên sau:

Từ bảng biến thiên ta có, pt 4a vô nghiệm trên miền    ; 2 2;thì:

2

4

4

4

m

m













  



Trường hợp 3: 2 2 2 4 4.

m

m

       

Ta có bảng biến thiên sau:

Từ bảng biến thiên ta có, phương trình 4a vô nghiệm trên miền



  ; 2 2;thì:

0

5 2

m

m m

m m

m

m m

n

 

   

 











  











  







 

  

 

 Vậy để phương trình vô nghiệm thì:

Ví dụ 5.[4] Cho phương trình

cosx+1 cos2x - mcosx   msin2x  5

a Giải phương trình khi m  2.

b Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm thuộc đoạn

2 0; 3



 

Giải a)  5  cosx+1 cos2x - mcosx   m1 c xos  1cosx

cosx+1 cos2x - m   0

cosx+1 2cos  2x m 1 0 5 a

Với m2, 5 a  cosx+1 2cos  2 x1  0

  osx = -1 x = +k2

   

b) Ta thấy x  k2k  không có nghiệm

2 0; 3

x   

Đặt

t      t  

    Ta thấy cứ một nghiệm

1

;1 2

t   

  cho

một nghiệm

2 0; 3

x   

Bài toán quy về tìm m để phương trình 2t2  1m 5b có 2 nghiệm phân biệt

1

;1

2

t   

 

Trong trang này: Ví dụ 5 được tham khảo từ TLTK số 4, lời giải là “của” tác giả.

Xét f t  2t2  trên 1

1

;1 2



  có t  D 0, ta có bảng biến thiên sau:

Từ bảng biến thiên ta có, phương trình  5b có 2 nghiệm phân biệt

1

;1 2

t   

  thì

1

2

m

  

Bài tập áp dụng không có hướng dẫn giải.

1 [5] Tìm m để phương trình sau có nghiệm

0;

4

x  

 

2

cos 4sin cosx - m - 2 = 0

2 [5] Cho phương trình: sin2 x2m 2 sinx.cosx -  m1 cos 2x m

a Giải phương trình khi m 2.

b Tìm m để phương trình có nghiệm.

3 [5] Tìm m để phương trình sau có đúng một nghiệm thuộc đoạn

0;

4



  cos 4x 6sinx.cosx = m

4 [5] Tìm m để phương trình có đúng một nghiệm thuộc đoạn

2 0;

3



 

cosx1 cos2x - mcosx   msin2 x

Trong trang này: Bài tập áp dụng 1, 2, 3, 4 tham khảo từ TLTK số 5.

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.

Để kiểm tra hiệu quả của đề tài tôi tiến hành kiểm tra trên hai đối tượng có chất lượng tương đương nhau là học sinh lớp 11A1 và lớp 11A2 trường THPT Nông Cống 2 – Nông Cống Trong đó lớp 11A1 chưa được tiếp cận phương pháp

đã sử dụng trong đề tài, kiểm tra bằng hình thức tự luận, thời gian làm bài 45 phút với kết quả thu được như sau:

Lớp Sĩ số Điểm < 5 5  Điểm < 8 Điểm  8

Đối với đồng nghiệp trong trường tôi cũng đã được triển khai ở các buổi sinh hoạt chuyên môn và được các đồng chí đánh giá cao về hiệu quả trong quá trình giảng dạy

3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận.

Sáng kiến kinh nghiệm đề cập về sự biến thiên của hàm số bậc hai cùng với

sự tương quan đồ thị để giải quyết một số bài toán lượng giác chứa tham số lớp 11 Những kết quả chính của sáng kiến kinh nghiệm là:

 Nhắc lại một số kiến thức cơ bản về sự biến thiên của hàm số bậc hai, sự tương quan hình học

 Nhắc lại điều kiện để phương trình có nghiệm hay có n nghiệm trên miền D.

 Đưa ra một số bài tập dưới dạng ví dụ để làm sáng tỏ những điều trên

Kết quả thu được: Sau nhiều năm tác giả mạnh dạn đưa sáng kiến vào dạy học sinh lớp 11 Trường THPT Nông Cống 2, đa số học sinh được tiếp cận đều giải được bài toán về phương trình chứa tham số bằng phương pháp chiều biến thiên

3.1 Kiến nghị.

Nhà trường cần tổ chức nhiều hơn các buổi trao đổi phương pháp giảng dạy cho toàn thể cán bộ giáo viên

Sáng kiến kinh nghiệm có chất lượng nên được phổ biến rộng rãi

Học sinh cần tăng cường học tập trao đổi, học nhóm nâng cao chất lượng học tập

Qua việc nghiên cứu một vấn đề nhỏ này tôi hy vọng cùng các đồng nghiệp có thể góp phần nhỏ cải tiến nâng cao kết quả giảng dạy bộ môn

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 20 tháng 4 năm 2019.

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình