Vận dụng hàm số mũ phương trình mũ vào các bài toán thực tiễn

Lí do chọn đề tài Trong chương trình giải tích lớp 12 thì hàm số mũ và phương trình mũ là một phần rất quan trọng , các bài toán về phần này luôn là nội dung được lựa chon trong các đề t

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH 3

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

“VẬN DỤNG HÀM SỐ MŨ- PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀO CÁC BÀI TOÁN THỰC TIỄN”

Người thực hiện: Trịnh Thị Lệ

Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc môn: Toán

THANH HOÁ NĂM 2018

MỤC LỤC

2.4 Hiệu quả của SKKN

2.4.1 Đối với giáo viên

2.4.2 Đối với học sinh

13

1 MỞ ĐẦU

1

1.1 Lí do chọn đề tài

Trong chương trình giải tích lớp 12 thì hàm số mũ và phương trình mũ là một

phần rất quan trọng , các bài toán về phần này luôn là nội dung được lựa chon trong các đề thi đại học, cao đẳng tất cả các năm đặc biệt với hướng thi trắc nghiệm về môn toán như hiện nay thì những nội dung về hàm số mũ và phương trình mũ được đưa ra trong các đề thi với số lượng câu nhiều hơn Tuy nhiên các bài tập về hàm số

mũ và phương trình mũ không chỉ đơn thuần là những bài toán về tìm tập xác định, tính đạo hàm của hàm số mũ hay giải các dạng về phương trình mũ đơn thuần như trong sách giáo khoa hay trong các đề thi tự luận từ 2016 trở về trước, mà trong các đề thi trắc nghiệm trong 2 năm nay các bài toán mang bản chất của hàm số mũ

và phương trình mũ được gắn vào trong các bài toán về thực tiễn rất đa dạng và phong phú như: bài toán về lãi suất, bài toán về sự tăng trưởng của các vi sinh vật, bài toán về dân số, bài toán về tính khối lượng của chất phóng xạ trong vật lí Nếu như học sinh không được làm quen với các dạng toán này , không nhìn nhận đúng bản chất của bài toán thì học sinh khong thể giải được các dạng toán này Vì vậy với trách nhiệm của mình là một giáo viên hiện đang giảng dạy cho học sinh lớp 12 chuẩn bị bước vào kì thi THPT QG sắp tới tôi thấy cần phải xây dựng thành chuyên

đề từ đó rèn luyện kỹ năng vận dụng linh hoạt, nâng cao năng lực giải toán cho học sinh khi gặp những dạng toán thực tế về hàm số mũ- phương trình mũ Qua quá

trình tích lũy tôi viết sáng kiến kinh nghiệm “Vận dụng hàm số mũ-phương trình

mũ vào các bài toán thực tiễn”

1.2 Mục đích nghiên cứu

Nhằm hệ thống cho học sinh một số dạng toán và phương pháp giaỉ các bài toán thực tế về hàm số mũ và phương trình mũ

Giúp học sinh nâng cao được tư duy, kĩ năng tính toán Từ đó cung cấp cho học sinh một dạng toán nhỏ để bổ sung vào hành trang kiến thức bước vào các kì thi, đặc biệt là kỳ thi THPTQG

Kết hợp giữa định tính và định lượng nhằm giúp các em hệ thống tố hơn kiến thức đã học và giúp các em hứng thú hơn trong học toán

Giúp cho bản thân và đồng nghiệp có thêm tư liệu để ôn tập cho học sinh

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Các bài toán kinh tế, bài toán về lĩnh vực địa lí, bài toán về lĩnh vực sinh học, bài toán về lĩnh vực vật lí

Một số đề thi thử THPTQG năm 2017 và 2018 các trường THPT của tỉnh Thanh Hóa

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu tài liệu Toán lớp 12

- Phân tích, đánh giá, tổng hợp các dạng toán liên quan đến bài toán về hàm

số mũ và phương trình mũ Đặc biệt là các bài toán, dạng toán trong các đề thi thử THPTQG của các trường THPT của tỉnh Thanh Hóa trong 2 năm 2017 và 2018

2 NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận

2.1.1.Các bài toán cơ bản [2]

Bài toán 1.( Dành cho gửi tiền một lần) Một người gửi vào ngân hàng số tiền là a

đồng với lãi suất hàng tháng là r% gửi trong n tháng khi đó số tiền gốc và lãi người

đó nhận được tính theo công thức

Tn=a(1+r)n

Bài toán 2 ( Dành cho gửi tiền hàng tháng )Một người hàng tháng gửi ngân hàng

số tiền là a đồng, biết lãi suất hàng tháng là r% Sau n tháng người đó thu được số tiền được tính theo công thức

[(1 ) 1](1 )

n n

a

r

Bài toán 3 (Dành cho bài toán trả góp) Một người vay ngân hàng với số tiền ban

đầu là N, lãi suất là r%, n là số tháng phải trả, a là số tiền phải trả hàng tháng để sau n tháng trả hết nợ, khi đó ta có công thức

(1 ) 1

n

n

a

r





Bài toán 4.(Rút tiền tiết kiệm theo định kỳ ) Một người gửi ngân hàng với số tiền

ban đầu là N, lãi suất là r%, a là số tiền hàng tháng người đó rút ra, sau n tháng thì người đó rút hết tiền khi đó ta có công thức

(1 ) 1

n

n

a

r





Bài toán 5 Một người gửi vào ngân hàng với số tiền ban đầu là a, lãi suất r%/kỳ.

Sau n tháng người đó thu được số tiền được tính theo công thức

Tn=a(1+r)n

sau thời gian bán rã t thì khối lượng chất phóng xạ còn lại được tính theo công thức

m = 0

1 ( ) 2

t T m

Bài toán 7 Qúa trình sinh trưởng của một vi sinh vật được tính theo công thức

S Ae rt

( Trong đó A là số lượng vi sinh vật ban đầu , r là tốc độ tăng trưởng , t là thời gian tăng trưởng )

Chú ý: Công thức tính tổng của n số hạng đầu tiên trong cấp số nhân với công bội

q

1

(1 )

1

n n

q





2.1.2 Các ví dụ điển hình

2.1.2.1 Các bài toán kinh tế

Bài toán cơ bản 1 Một người gửi vào ngân hàng với số tiền là a đồng với lãi suất

hàng tháng là r% Tính số tiền cả gốc và lãi người đó thu được sau n tháng [2]

3

Gọi Tn là số tiền người đó thu được sau n tháng

Sau tháng thứ nhất (n=1) : T1=a+ar=a(1+r)

Sau tháng thứ hai (n=2) : T2=a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)2

Sau tháng thứ n (n=n) : Tn=a(1+r)n-1+a(1+r)n-1r=a(1+r)n

Vậy sau n tháng số tiền cả gốc và lãi người đó thu được là

T n =a(1+r) n (*)

Từ công thức (*) ta tính được các đại lượng khác như sau

ln

1

n

n n

n

T

a

Ví dụ 1 :(Trích đề thi thử trường THPT Nga Sơn Thanh Hóa năm 2018) [1] Ông A gửi 100 triệu VNĐ vào ngân hàng ACB theo hình thức lãi kép với

lãi suất 8%/năm Tính số tiền ông A thu được sau 10 năm

A 215,802 triệu B 115,802 triệu

C 215,892 triệu D 115,892 triệu

Giải :

Áp dụng công thức : T n =a(1+r) n

Thay các giá trị a=100, r=8%, n=10 vào công thức trên ta được số tiền ông A thu được sau 10 năm là

T10=100(1+0,08)10=215,892 triệu đồng

Chọn đáp án C

Ví dụ 2 : (Trích đề thi thử trường THPT Yên Định 3 năm 2018 ) [1]

Một người gửi tiết kiệm với lãi suất 6,8%/năm và lãi suất hàng năm được nhập vào gốc Hỏi sau bao nhiêu năm người đó thu được số tiền gấp đôi số tiền ban đầu A.8 năm B 9 năm C 10 năm D 11 năm

Giải

Gọi a là số tiền vốn ban đầu người đó gửi vào ngân hàng

Áp dụng công thức lãi kép Tn=a(1+r)n ta có :

2a=a(1+0,068)n  (1,068)n   2 n log1,068(2) 11  Chọn đáp án D

Ví dụ 3 ( Trích đề thi thử lần 1 trường THPT Yên Định 3 năm 2018) [1]

Ông An gửi tiết kiệm một số tiền ban đầu là 1000000 đồng với lãi suất 0,58%/tháng (không kỳ hạn) Hỏi Ông An phải gửi bao nhiêu tháng thì được cả vốn lẫn lãi bằng hoặc vượt quá 1300000 đồng ?

A 46 B 45 C 44 D.47

Giải

Áp dụng công thức T n =a(1+r) n ta có

Theo bài ra ta có 100000(1+0,0058)n 1300000 n log 1,0058 (1,3)  n 45,37

Ta chọn đáp án A

Ví dụ 4: (Trích đề thi thử trường THPT Triệu Sơn 1năm 2018) [1]

Bà Hoa gửi 100 triệu đồng vào tài khoản định kỳ tính lãi kép với lãi suất 8%/năm Sau 5 năm bà rút toàn bộ tiền và dùng một nửa để sửa nhà, số tiền còn lại bà tiếp tục gửi vào ngân hàng Tính số tiền lãi thu được sau 10 năm

A.81,413 triệu B 107,946 triệu C.34,480 triệu D.46,933 triệu

Giải

Số tiền bà Hoa thu được sau 5 năm đầu là : 100(1+0,08)5=146,933 triệu

Số tiền lãi bà Hoa thu được sau 5 năm đầu là : 146,933-100=46,933 triệu

Số tiền bà Hoa thu được sau 5 năm sau là : 73,466(1,08)5=107,946 triệu

Số tiền lãi bà Hoa thu được sau 5 năm sau là : 107,946-73,466=34,48 triệu

Vậy số tiền lãi bà Hoa thu được sau 10 năm là : 46,933+34,48=81,413 triệu

Ta chọn đáp án A

Ví dụ 5( Trích đề thi thử lần 1 trường THPTQuảng xương I năm 2018) [1]

Lãi suất gửi tiền tiết kiệm của các ngân hàng trong thời gian qua liên tục thay đổi

Bác Mạnh gửi vào một ngân hàng số tiền 5 triệu đồng với lãi suất 0,7%/tháng Sau

sáu tháng gửi tiền, lãi suất tăng lên 0,9%/tháng Đến tháng thứ 10 sau khi gửi tiền, lãi suất giảm xuống 0,6%/tháng và giữ ổn định Biết rằng nếu bác Mạnh không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban

đầu (ta gọi đó là lãi kép) Sau một năm gửi tiền, bác Mạnh rút được số tiền là bao nhiêu? (biết trong khoảng thời gian này bác Mạnh không rút tiền ra)

A 5436521,164 đồng B 5452771,729 đồng

C.5436566,169 đồng D 5452733,453 đồng

Giải

Sau tháng thứ 6 số tiền Bác Mạnh có được là : 5(1+0,007)6

Sau tháng thứ 9 số tiền Bác Mạnh có được là : 5(1+0,007)6(1+0,09)3

Sau một năm số tiền Bác Mạnh nhận được là:

5(1+0,007)6(1+0,09)3(1+0,06)3=5452733,453 đồng

Ví dụ 6(Trích câu 50 đề số 6 trong bộ đề ôn thi THPTQG năm 2018) [5]

Một người gửi số tiền 1 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 7%/năm Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu Hỏi người đó sẽ lĩnh bao nhiêu tiền sau 4 năm, Nếu trong khoảng thời gian đó không rút tiền ra và lãi suất không thay đổi?

A.(1,07)4 B (1,93)4 C (2,07)4 D (2,93)4

Giải

Ap dụng công thức lãi kép ta có số tiền người đó thu được sau 4 năm là

C= 1(1+0,07)4=(1,07)4

Ta chọn đáp án A

Ví dụ 7(Trích câu 18 đề số 16 trong bộ đề ôn thi THPTQG năm 2018) [5]

Một người đầu tư 100 triệu đồng vào một công ty theo thể thức lãi kép với lãi suất 13% một năm Hỏi nếu sau 5 năm mới rút lãi thì người đó thu được bao nhiêu tiền lãi ( Gỉa sử lãi suất hàng năm không thay đổi)

A 100[(1,13)5-1] ( triệu đồng) B 100[(1,13)5+1] ( triệu đồng) C.100[(0,13)5-1] ( triệu đồng) D 100(0,13)5 ( triệu đồng)

5

Giải:

Số tiền cả gốc và lãi thu được sau 5 năm là : 100.(1+0,13)5=100.(1,13)5

Số lãi người đó thu được sau 5 năm là: 100(1.13)5-100=100[(1,13)5-1]

Ta chọn đáp án A

Bài toán cơ bản 2 ( Dành cho gửi tiền hàng tháng )Một người hàng tháng gửi

ngân hàng số tiền là a đồng, biết lãi suất hàng tháng là r% Sau n tháng người đó

thu được số tiền được tính theo công thức [2]

Giải

Cuối tháng thứ nhất người đó nhận được số tiền là

T1=a+ar=a(1+r)

Đầu tháng thứ 2 người đó có số tiền là : a(1+r)+a=a[(1+r)+1]

Cuối tháng thứ 2 người đó có số tiền là

Tn= a[(1+r)+1]+a[(1+r)+1]r=a(1+r)2+a(1+r)=a[(1+r)2+(1+r)]

………

Cuối tháng thứ n người đó nhận được số tiền là

Tn=a [(1+r)n+(1+r)n-1+(1+r)n-2+……… +(1+r)]

=

(1 ) 1

n

n

   

Ví dụ 1: ( Trích đề thi thử THPTQG Trường Yên Định I năm 2017) [1]

Một người A được hưởng số tiền trợ cấp lương là 4 triệu đồng một tháng và huyển vào tài khoản ở ngân hàng vào đầu tháng 1năm 2016 với lãi suất 1%/tháng Hàng tháng không rút tiền về mà đến đầu tháng 12 năm 2016 người đó rút toàn bộ số tiền (gồm số tiền lương của tháng 12 và số tiền đã gửi từ tháng 1) Hỏi số tiền mà người

đó rút được là bao nhiêu

Giải:

Số tiền người đó thu được sau 11 tháng

Aps dụng công thức [(1 ) 1](1 )

n n

a

r

Với a=4.106 ,r=0,01, n=11 ta được T11=

6

11

4.10 (1 0,01)[(1 0,01) 1] 46730012, 05

Vậy số tiền người đó thu được đầu tháng 12 gồm tiền của 11 tháng trước và lương của tháng 12 là : 46730012,05+4.106  50730000

Ví dụ 2: (Trích đề thi thử trường Thạch Thành 2 năm 2018 ) [1]

Trong thời gian liên tục 25 năm, một người lao động luôn gửi đúng 4.000.000 đồng vào một ngày cố định của tháng ở ngân hàng A với lãi suất không thay đổi trong suốt thời gian gửi tiền là 0,6%/tháng Gọi A đồng là số tiền người đó có được sau

25 năm Hỏi mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A 3.450.000.000 A 3.500.000.000 B 3.400.000.000 A 3.450.000.000.

C 3.350.000.000 A 3.400.000.000 D 3.500.000.000 A 3.550.000.000.

Giải:

Áp dụng công thức [(1 ) 1](1 )

n n

a

r

Với a=4.106, r=0,006, n=300 ta có số tiền người đó thu được sau 25 năm là

6

300

4.10 (1,006)[(1, 006) 1]

Ta chọn đáp án C

Bài toán cơ bản 3: (Dành cho bài toán trả góp) Một người vay ngân hàng với số

tiền ban đầu là N, lãi suất là r%, n là số tháng phải trả, a là số tiền phải trả hàng

tháng để sau n tháng trả hết nợ, khi đó ta có công thức [2]

(1 ) 1

n

n

a

r





Chứng minh

Số tiền gốc cuối tháng 1 là: N+Nr-a=N(1+r)-a

Cuối tháng thứ 2 : [N(1+r)-a]+[A(r+1)-a]r-a=N(1+r)2-a[(r+1)+1]

Cuối tháng thứ 3: [N(1+r)2-a[(r+1)+1]](1+r)-a= N(1+r)3-a[(1+r)2+(1+r)+1]

………

Cuối tháng thứ n : N(1+r)n-a[(1+r)n-1+(1+r)n-2+………+(1+r)+1]

=N(1+r)n-a

(1 ) 1)

n r r

 

Để người đó trả hết nợ có nghĩa là sau n tháng số tiền còn lại bằng 0 khi đó ta có N(1+r)n=a

(1 ) 1) [ r n ]

r

(1 ) 1

n n

a

r



 

Từ công thức trên ta suy ra được các đại lượng n =log (1 r )

a

a Nr





Ví dụ 1: ( Trích đề thi thử trường THPT Như Thanh năm 2018 ) [1]

Anh Long vay ngân hàng 100 triệu ngân hàng với lãi suất là 0,7%/tháng theo thỏa thuận anh Long cứ mỗi tháng trả 5 triệu đồng và cứ trả hàng tháng như thế cho đến hết nợ( Tháng cuối cùng có thể trả dưới 5 triệu ) Hỏi sau bao nhiêu tháng thì anh Long trả hết nợ

A.23 tháng B 22 tháng C 24 tháng D 21 tháng

Giải:

Áp dụng công thức n =log (1 r )

a

a Nr



 với a=5, N=100, r=0,007 ta có

Số tháng Anh Long trả hết nợ là n= 1,007

5 log ( ) 21,62

4,3  tháng

Vậy ta chọn đáp án B

Ví dụ 2: Một xe máy điện giá 10 triệu đồng bán trả góp 11 lần mỗi lần trả góp với

số tiền 1 triệu đồng (lần đầu trả xe sau khi nhận xe được 1 tháng ).Tính lãi suất

hàng tháng.[2]

7

A 1,51% B.1,62% C 1,73% D.1,49%

Giải

Áp dụng công thức ta có phương trình (1+r)11-10r(1+r)11-1=0

Bằng phương án thử đáp án ta có r=1,62%

Ví dụ 3 ( Trích đề thi thử trường THPT Triệu Sơn 2 năm 2018 ) [1]

Ông A muốn mua một căn hộ trị giá 600 triệu đồng nhưng vì chưa đủ tiền nên ông

đã quyết định chọn mua hình thức trả góp với lãi suất là 8%/ năm và trả trước 50 triệu đồng ngay sau khi mua Hỏi mỗi tháng ông sẽ phải trả số tiền là bao nhiêu để sau hai năm ông hết nợ biết kỳ trả nợ đầu tiên sau ngày mua đúng một tháng(làm tròn đến đơn vị nghìn đồng)

A 24.875.010 đồng C 24.875.000 đồng

B 24.876.000 đồng D 24.880.000đồng

Bài toán cơ bản 4: (Rút tiền tiết kiệm theo định kỳ ) Một người gửi ngân hàng

với số tiền ban đầu là N, lãi suất là r%, a là số tiền hàng tháng người đó rút ra, sau

n tháng thì người đó rút hết tiền khi đó ta có công thức

(1 ) 1

n

n

a

r





( về bản chất bài toán này giống bài toán 3 ở đây xem như ngân hàng là người vay

nợ) [2]

Ví dụ 1(Trích đề thi thử trường THPT Ba Đình năm 2018 ) [1]

Chị Hoa gửi ngân hàng với số tiền 300 triệu đồng với lãi suất 0,5%/tháng Nếu tháng bắt đầu từ tháng thứ nhất chị rút ra mỗi tháng 5,5 triệu đồng Hỏi sau bao nhiêu tháng Chị Hoa rút hết tiền trong ngân hàng

A.64 tháng B.63 tháng C.62 tháng D.65 tháng

Giải:

Áp dụng công thức

(1 ) 1

n

n

a

r





 

300(1,005) 0, 005 5,5

n



Vậy ta chọn đáp án A

Ví dụ 2: (Trích đề thi HSG khu vực 2013) [2]

Một anh sinh viên được gia đình gửi vào sổ tiết kiệm ngân hàng số tiền là

8.000.000 đồng với lãi suất là 0,9%/tháng Nếu mỗi tháng anh sinh viên đó rút ra một số tiền là như nhau vào ngày trả lãi thì mỗi tháng anh ta phai rút ra bao nhiêu

để sau đúng 5 năm sẽ vừa hết số tiền cả vốn lẫn lãi trong ngân hàng

Giải:

Gọi a là số tiền anh sinh viên rút ra hàng tháng

Áp dụng công thức

(1 ) 1

n

n

a

r





  ta được a=

60 60

8000000(1 0,009) 0, 009

173142 (1 0,009) 1





đồng

Ví dụ 3: ( Trích câu 44 đề số 7 trong bộ đề ôn thi THPTQG năm 2018) [5]

Một người gửi 10 triệu đồng vào ngân hàng Hỏi nếu theo kỳ hạn 3 tháng với lãi suất 1,65%/một quý thì sau 2 năm người đó nhận được số tiền ( triệu đồng) là bao nhiêu?

A.10.(1,0165)8 B 10.(0,0165)8 C 10.(1,165)8 D 10.(0,165)8

Giải:

Ta có : 2 năm=8 quý

Aps dụng công thức lãi kép số tiền người đó thu được là: 10

(1+0,0165)8=10(1,0165)8

Ta chọn đáp án A

Bài toán cơ bản 5: Một người gửi vào ngân hàng với số tiền ban đầu là a, lãi suất r

%/kỳ Sau n tháng người đó thu được số tiền được tính theo công thức [2]

Tn=a(1+r)n

Ví dụ 1: (Trích đề thi thử trường THPT Yên Định 2 năm 2018) [1]

Ông A gửi tiết kiệm vào ngân hàng 300 triệu đồng, với loại kì hạn 3 tháng và lãi suất 12,8%/năm Hỏi sau 4 năm 6 tháng thì số tiền T ông nhận được là bao nhiêu? Biết trong thời gian gửi ông không rút lãi ra khỏi ngân hàng ?

18 8

3.10 1, 032

T  (triệu đồng ) B T 3.10 1,032)8 ( 54 ( triệu đồng)

C T 3.10 12( ,032)18 (triệu đồng ) D Đáp án khác

Giải:

Ta có 4 năm 6 tháng =54 tháng =18 kỳ (mỗi kỳ 3 tháng)

Số tiền Ông A nhận được sau 18 kỳ là : T 3.10 12( ,032)18 (triệu đồng ).

Ta chọn đáp án C

Ví dụ 2: ( Trích đề thi thử trường THPT Nông Cống 1năm 2018 ) [1]

Vào 4 năm trước, chị Thương có gửi vào ngân hàng một số tiền là 20 triệu đồng

theo hình thức lãi kép có kỳ hạn Số tiền hiện tại chị nhận được là 29,186792 triệu đồng Biết rằng, lãi suất ngân hàng tại thời điểm mà chị Thương gửi tiền là 0,8

%/tháng Hỏi kỳ hạn k mà chị Thương đã chọn là bao nhiêu tháng?

A k 3 tháng B k 5 tháng C k 4 tháng D k 6 tháng

Giải:

Gọi K tháng là kỳ hạn mà chị Thương gửi tiền ngân hàng

Lãi suất của mỗi kỳ là 0,8k%/kỳ

Thời gian gửi 4 năm =48 tháng =

48

k kỳ

Áp dụng công thức lãi kép ta có : 29,186792=20

48

(1 0,008 )  k k  k 4

9