Một số phương pháp giải phương trình, hệ phương trình bồi dưỡng học sinh khá giỏi

và hơn nữa là góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy, nay tôi viết đề tài sángkiến kinh nghiệm: “Một số phương pháp giải phương trình, hệ phương trình bồi dưỡng học sinh khá giỏi”.. Mục

1. MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài

Mục tiêu đào tạo của nhà trường phổ thông Việt Nam là hình thành những

cơ sở ban đầu và trọng yếu của con người mới: phát triển toàn diện phù hợp vớiyêu cầu và điều kiện hoàn cảnh đất nước con người Việt Nam

Trong giai đoạn hiện nay, mục tiêu đào tạo của nhà trường phổ thông ViệtNam đã được cụ thể hoá trong các văn kiện của Đảng, đại hội đại biểu toàn quốclần thứ VIII Đảng cộng sản Việt Nam và kết luận của hội nghị trung ương khoá

IX, mục tiêu này gắn với chính sách chung về giáo dục và đào tạo “Giáo dục vàđào tạo gắn liền với sự phát triển kinh tế, phát triển khoa học kĩ thuật xây dựngnền văn hoá mới và con người mới…”

“Chính sách giáo dục mới hướng vào bồi dưỡng nhân lực, nâng cao dântrí, bồi dưỡng nhân tài, hình thành đội ngũ lao động có trí thức, có tay nghề…”

Môn Toán trong trường phổ thông giữ một vai trò, vị trí hết sức quantrọng là môn học công cụ Nếu học tốt môn Toán thì những tri thức trong Toán cùngvới phương pháp làm việc trong toán sẽ trở thành công cụ để học tốt những môn họckhác

Môn Toán góp phần phát triển nhân cách, ngoài việc cung cấp cho họcsinh hệ thống kiến thức, kĩ năng toán học cần thiết môn Toán còn rèn luyện chohọc sinh đức tính, phẩm chất của người lao động mới: cẩn thận, chính xác, cótính kỉ luật, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ

Đất nước ta đang trên bước đường xây dựng, phát triển và giáo dục đãđược Đảng, Nhà nước coi là quốc sách hàng đầu, để chấn hưng nền giáo dục củanước nhà thì việc đổi mới phương pháp giảng dạy được Bộ giáo dục luôn coi làmột nhiệm vụ cấp thiết cần phải thực hiện một cách có hiệu quả Muốn làm tốtcông việc đó thì người thầy phải phấn đấu tự học, tự rèn nhằm nâng cao nhậnthức, nghiệp vụ chuyên môn, từ đó tìm ra cho mình phương pháp giảng dạy đạthiệu quả cao nhất, tạo được sự hứng thú và niềm tin ở học trò nhằm góp phầnnâng cao chất lượng giáo dục Một trong những cách để tạo sự chuyển biến tíchcực trong công tác giảng dạy đó là giáo viên viết các chuyên đề, sáng kiến kinhnghiệm phục vụ cho việc dạy và học Thực tế qua quá trình giảng dạy và một vàinăm tham gia ôn thi học sinh giỏi tôi nhận thấy cần có những tài liệu hệ thống lạicác đơn vị kiến thức ở các phần khác nhau

Trong các đề thi học sinh giỏi ở các vòng của THPT hiện nay có rất nhiềucác đơn vị kiến thức nâng cao rất nhiều so với chương trình toán cơ bản Tài liệu

ôn thi học sinh giỏi toán cũng rất nhiều,vì thế việc chọn ra những đơn vị kiếnthức phù hợp để ôn cho các em học sinh một cách có hệ thống cũng là một vấn

đề rất quan trọng Một trong các phần đó là phần giải phương trình, hệ phươngtrình

Trước thực tế đó, nhằm giúp các thầy cô và các em học sinh khá giỏi cóthêm một tài liệu tham khảo trong giảng dạy và học tập phần PT, HPT góp phầnnâng cao khả năng giải quyết các bài tập về phần này một cách thành thạo, nhằmphát huy khả năng suy luận, óc phán đoán tính linh hoạt của học sinh Giúp các

em tìm tòi, phát hiện kiến thức, tạo hứng thú trong quá trình học bộ môn Toán,

và hơn nữa là góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy, nay tôi viết đề tài sáng

kiến kinh nghiệm: “Một số phương pháp giải phương trình, hệ phương trình

bồi dưỡng học sinh khá giỏi”.

1.2 Mục tiêu của sáng kiến

Cung cấp một số phương pháp giải hữu ích để giáo viên giảng dạy và họcsinh có thể tiếp cận, giải quyết được các bài tập về phương trình và hệ phươngtrình trong các đề thi học sinh giỏi cấp trường, cấp tỉnh Từ đó giúp các em nắmvững và khắc sâu các kiến thức hơn, biết cách vận dụng, khai thác một số dạngtoán phương trình, hệ phương trình hay và khó

1.3 Về đối tượng nghiên cứu

Phương trình và hệ phương trình trong chương trình môn Toán THPT và các đềthi học sinh giỏi cấp trường,cấp tỉnh và thi THPT Quốc Gia

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lí luận : Nghiên cứu các tài liệu về lí luận và phương phápdạy học môn Toán

Quan sát, điều tra : Thông qua thực tế giảng dạy của bản thân và học hỏikinh nghiệm từ các đồng nghiệp

- Thực nghiệm sư phạm : Để kiểm nghiệm kết quả đề tài được áp dụngtrong thực tiễn dạy học

Căn cứ vào quy luật phát triển nhận thức và hình thành các đặc điểm tâm

lí thì từ những lớp cuối của cấp THCS, học sinh đã bộc lộ thiên hướng, sởtrường và hứng thú đối với những lĩnh vực kiến thức, kĩ năng nhất định Một sốhọc sinh có khả năng và ham thích Toán học, các môn khoa học tự nhiên; sốkhác lại thích thú văn chương và các môn khoa học xã hội, nhân văn khác.Ngoài ra còn có những học sinh thể hiện năng khiếu trong những lĩnh vực đặcbiệt…

* Cơ sở giáo dục học:

Để giúp các em học tốt hơn GV cần tạo cho học sinh hứng thú học tập.Cần cho học sinh thấy được nhu cầu nhận thức là quan trọng, con người muốn

phát triển cần phải có tri thức cần phải học hỏi Thầy giáo biết định hướng, giúp

đỡ từng đối tượng học sinh

2.2 Thực trạng của vấn đề cần giải quyết.

* Phương trình, hệ phương trình là nền tảng của toán học phổ thông Xuthế thi ngày càng khó, số câu vận dụng và vận dụng cao cũng tăng lên trong lĩnhvực đại số giải tích hầu hết đưa về những phương trình, hệ phương trình khôngmẫu mực mà đa số học sinh lúng túng.Hiểu được bản chất, mấu chốt của vấn đềcác em sẽ dễ dàng thực hiện ước mơ của mình vượt qua tất cả các kỳ thi

* Tôi nhận thấy đa số học sinh có kết quả rất thấp Vì vậy việc lĩnh hội

kiến thức và rèn luyện kĩ năng ở học sinh đòi hỏi nhiều công sức và thời gian

Sự nhận thức của học sinh thể hiện khá rõ

* Thực tế qua quá trình giảng dạy tôi nhận thấy đại đa số các em học sinhđều ngại và lúng túng khi gặp các bài toán không mẫu mực, không có phươngpháp rõ ràng, ngay cả các em học sinh lớp 12 khi đã được trang bị công cụ làđạo hàm cũng thấy khó khăn

2.3 Các giải pháp thực hiện

Phương pháp 1 Dùng đạo hàm để giải phương trình

Ta biết rằng mọi phương trình đều có thể đưa về dạng f x( ) = 0

, trong đóhàm số f x( )

thể hiện đầy đủ tính chất của nghiệm phương trình này Do đó khi

ta khảo sát được hàm số f x( )

, ta có thể có được cái nhìn tổng quát về phươngtrình, xác định được rằng phương trình đó có bao nhiêu nghiệm, thuộc nhữngmiền nào,…những tính chất này tất nhiên không thể rõ ràng bằng nghiệm cụ thểcủa phương trình nhưng nó vẫn có nhiều lợi ích khi mà việc tìm lời giải cho bàitoán đó không tiến hành thuận lợi bằng các cách giải thông thường nữa

Và như thế công công cụ hàm trong trường hợp này thực sự thể hiện rõtính hiệu quả của nó, bằng cách dùng đạo hàm ta có thể xác định được chính xác

số nghiệm của một phương trình cho trước; sau đó ta tiến hành một bước tronglập luận cho điều kiện đủ của bài toán mà thông thường gọ là “nhẩm nghiệm” đểchỉ ra rằng phương trình chỉ có bao nhiêu nghiệm đó thôi và hoàn tất lời giải

1. Sử dụng đạo hàm để giải phương trình.

Trong phần này, chúng ta sẽ tìm hiểu một số ứng dụng trực tiếp của đạo hàmvào giải phương trình và thấy rằng có nhiều bài toán thì đây là cách duy nhất cóthể thực hiện được

Trước hết ta có những kết quả quen thuộc sau:

(1) Trên miền xác định D của hàm số f x( ), nếu f x'( ) 0≥ hoặc f x'( ) 0< thì hàm

số đơn điệu và phương trình f x( ) 0= có không quá một nghiệm

(2) Nếu hàm số f x( ) liên tục trên [ , ]a b và f a f b( ) ( ) 0< thì phương trình( ) 0

có ít nhât một nghiệm trên ( , )a b

(3) Giả sử f x( )có đạo hàm đến cấp n trên khoảng ( , )a b Khi đó nếu phươngtrình

nghiệm (hệ quả của định lí Rolle)

(4) Nếu hàm số f x( ) liên tục trên [ , ]a b và có đạo hàm trên khoảng ( , )a b thì tồn

tại c∈( , )a b

sao cho

( ) ( ) '( ) f b f a

- Dùng đạo hàm chứng minh phương trình có không quá k nghiệm

- Chỉ ra được đầy đủ k nghiệm đó

Ta giải bằng đạo hàm như sau:

Điều kiện xác định của PT là x> −1

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x=0.

Ta xét thêm một ví dụ nữa để thấy tác dụng của công cụ này

Ví dụ 3 Chứng minh PT sau có đúng một nghiệm dương:

tức là hàm số đồng biến hay PT đã cho

có không quá một nghiệm

và đây là nghiệm dương

Từ hai điều này suy ra PT đã cho có đúng một nghiệm dương

Ví dụ 4 Giải PT: 4 1

x

x

= +

Lời giải Rõ ràng khi đứng trước những PT ở dạng hỗn hợp, vừa có hàm mũ,

vừa có hàm tuyến tính thế này ta cũng không thể áp dụng những biến đổi đại sốthông thường Việc sử dụng đạo hàm để khảo sát hàm số là tất yếu

Vậy PT đã cho có hai nghiệm

1 0, 2

, trong đó x 0 là nghiệm của PT trên

PT đã cho có thể viết lại là: f(4)= f(8)

Rõ ràng hàm số này liên tục trên

Vậy phương trình đã cho coa hai nghiệm là x=0, x=1

2. Sử dụng đạo hàm để giải hệ phương trình.

Những ứng dụng của đạo hàm trong việc giải hệ phương trình xoay quanh một

số vấn đề chủ yếu là:

- Tìm được mối quan hệ giữa các biến trong một phương trình nào đó của

hệ để thế vào các phương trình khác rồi giải

- Dùng tính đơn điệu của hàm số để giải các bài toán về hệ lặp



Lời giải Ta thấy bài toán dạng này rất đặc trưng cho phương pháp được nêu và

cách ra đề này cũng thường hay được sử dụng trong các đề thi

Điều quan trọng là chứng minh được x = y từ hệ trên.

Điều này cũng không khó, từ phương trình thứ hai của hệ ta thấy 0≤x y, ≤1 Khi

Hơn nữa ta thấy phương trình g t( ) 0= có một nghiệm t = 1

Từ đó suy ra hệ đã cho có duy nhất một nghiệm

3 2

3

( 1) 5.log (6 ) ( 1) 5.log (6 ) ( 1) 5.log (6 )

Định lí 1:Nếu hàm số y=f(x) luôn đb (hoặc luôn ngb) thì số nghiệm của pt :

f(x)=k

Không nhiều hơn một và f(x)=f(y) khi và chỉ khi x=y

Định lí 2: Nếu hàm số y=f(x) luôn đb (hoặc luôn ngb) và hàm số y=g(x) luôn

ngb (hoặc luôn đb) trên D thì số nghiệm trên D của pt: f(x)=g(x) không nhiều hơn một

Định lí 3:Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm đến cấp n và pt

( )k ( ) 0

có m nghiệm, khi đó pt

Nên dấu của f’(x) chính là dấu của sinx Từ đây ta có f x( ) ≥ f( )0 =2

Vậy pt đã cho có nghiệm duy nhất x = 0

ta có f(t) là hàm

nghịch biến nên f(x)=f(y)⇔

x=y thay vào (2) ta có

π

= = 10

Định lí 1: Nếu f,g là các hàm cùng tăng hoặc cùng giảm trên A và ( , , , )x x1 2 x n

là nghiệm của hệ trên A thì x1= x2= = x n

Định lí 2:Nếu f,g khác tính đơn điệu trên A và 1 2

Ví dụ 8 Giải hệ:

2

3 2

3 2

hàm đồng biến nên ta có nếu (x,y,z) là nghiệm của hệ thì x=y=z thay vào hệ tacó:

log (6 )

x x

− =

pt này có nghiệm duy nhất x=3

Vậy nghiệm của hệ đã cho là x=y=z=3

x x

y y

z z

y z x

sao cho vế phải có dạng một bình phương đúng

∆′ = 8 2 + 2(1 + α) (1 − α 2)= 0 ⇒ α = 3

Khi đó phương trình đã cho tương đương với

− +

+ +

⇔ +

Như vậy

thì a, b là nghiệm của hệ phương trình

3 3 3

3 3

3 3

, 18

1

54

2

b a b

a

b a

là nghiệm của

1 2

54

1 0

18

1 54

1 2

= +

−

2

1 3

1 )

1 ( ) 1 ( 3

β

α β

α

β α β

−

−

− +

đặt u= 1+x,v= 1−x(u,v≥0), ta được

= +

−

⇔

=

− +

−

+

2 3 5 3

1 1 1

1 2 1

0 1

2

0 ) 1 )(

2 ( 0 ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( 0 3 2

x x

uv v u uv u

uv u v v

4 4

I y

x y

x y x

y x

−

+

=

) 2 ( 32 12

2 4 3

) 1 ( 240

2 3

2 3

4 4

y y

y x x x

y x

Suy ra

) 3 ( 240 32

12 2

4 3

32 12

2 240 4

3

2 3

4 2

3 4

2 3

4 2

3 4

+ +

− +

= +

− +

⇔

+

− +

+

= +

− +

y y

y y

x x

x x

y y

y y

x x x x

λ λ

λ λ

λ λ

λ λ

Ta cần chọn λ

sao cho ( )3

có dạng( ) (4 4)4 4 4 3 6 2 2 4 3 4 4 4 3 6 2 2 4 3 4 ( 4 )

b y b y b by y

a x a x a x a x y

240

32 4

12 6

2 4

4 4

3 6

4

4 4 3 2

3 2

λ λ

λ λ λ λ λ

b a

a b b b b a a a

y x y x

y x

y x

6

2 4

2

4 2

4

+) x= y−2 thay vào ( )1

ta được

y

x y

x

Nhận xét: Với cách làm này thì cho dù bài toán có các hệ số lớn thì chúng ta

vẫn giải quyết được Có thể hình dung tác giả đã sang tạo bài toán như sau:Xuất phát từ (x− 2) (4 = y− 4)4

ta có

( )I y y

y x x x

y x y y

y x

x x

y

x

y y

y y

x x

−

=

− +

−

= +

− +

−

32 12

2 4 3

240 256

96 16

32 24

8

240

256 256

96 16

16 32 24

8

2 3

2 3

4 4 2

3 2

3

4

4

2 3

4 2

x xy y

x

y y x

= + +

) 2 ( 0 13 5 2 5 5

) 1 ( 0 35 2

6

2 2

3 2

Lời giải

Đặt x+y =u; x−y=v

; 2

v u y v u

=

v v u u

v u

4 2 9 3

35

2 2

3 3

b v b bv v a u a au u

b v a

35

4 3

2 3

9 3

3 3

3 3 2

2

λ λ

λ λ λ

b a

b a b b a a

2 5 2 1 2

3

y

x y

x

y x

2 5 2 1 3

2

y

x y

x

y x

Kết luận: Hệ đã cho có hai nghiệm là

; 2 5 2 1

y x

1 3 1

−

−

= +

x y y xy x

xy x

17 8 8

49 3

2 2

2 3

2.4. Hiệu quả của sáng kiến:

Khi áp dụng chuyên đề này vào giảng dạy đã mang lại một hiệu quả bất

ngờ, các em học sinh thấy hứng thú hơn với môn toán Đối với học sinh lớp 10các em hầu như không còn sợ phương trình và hệ phương trình không mẫu mựcnhư trước Còn đối với lớp 12 nhiều em đã giải tốt những phương trình và hệphương trình mũ- logarit ở mức độ vận dụng cao trong các kỳ thi thử THPTQuốc Gia

Các em học sinh sau khi được tiếp cận với chuyên đề trên đã cảm thấy dễ

dàng, hứng thú hơn trong quá trình giải quyết các bài toán liên quan đếnphương trình và hệ phương trình khó

Thông qua bài khảo sát chất lựơng tôi thu được kết quả như sau:

Lớp 10 A2: (42 học sinh)

- Phương trình và hệ phương trình là một dạng khó đối với các em học sinh,nên tôi đã cố gắng tập hợp, giải quyết các bài toán đó thông qua các phươngpháp giải cụ thể để học sinh dễ hiểu Qua ứng dụng SKKN này giảng dạy chohọc sinh tôi nhận thấy đối với bài toán về phương trình, hệ phương trình khôngmẫu mực thì đạo hàm và hàm số là công cụ tuyệt vời và dễ hiểu, giúp các emhọc sinh tự tin lên rất nhiều khi đối mặt với dạng bài tập này.

- Như vậy, với SKKN này dù ít hay nhiều cũng giúp ích cho cho công việcgiảng dạy của tôi, nâng cao chất lượng học môn toán hơn trước Đối với bảnthân tôi, là một giáo viên đứng lớp viết SKKN này cũng giúp ích rất nhiều trongviệc tự học và trau dồi chuyên môn, nghiệp vụ của mình

- Từ quá trình áp dụng SKKN tôi thấy bài học kinh nghiệm được rút ra là khigiảng dạy giáo viên phải giúp học sinh tiếp thu kiến thức một cách nhẹ nhàng và

tự nhiên, không nên gò ép, áp đặt, phải đưa ra được phương pháp giải đối vớitừng loại toán Có như vậy học sinh mới hứng thú học tập và yêu thích môntoán

3.2 Kiến nghị

Bài toán giải phương trình, hệ phương trình đại số hay mũ- logarit, kể cảlượng giác là bài toán khó trong chương trình toán THPT, hầu hết học sinh đềugặp khó khăn khi tiếp cận với bài toán này Để giúp học sinh nắm vững các kiếnthức cơ bản về phương pháp toán, đồng thời biết vận dụng một cách linh hoạtcác kiến thức đó để giải quyết nhiều tình huống khác nhau tôi xin nêu một sốgiải pháp đề nghị sau:

1 Đối với tổ chuyên môn và chuyên môn nhà trường cho phép tôi được ápdụng SKKN với một số lớp bằng cách cho học sinh đi học phụ đạo buổi chiều

2 Tổ chuyên môn thường xuyên đóng góp ý kiến cho SKKN của tôi trongquá trình tôi thực hiện SKKN này

Do kinh nghiệm còn thiếu, thời gian nghiên cứu và ứng dụng chưa dài nên

đề tài của tôi không tránh khỏi còn nhiều hạn chế Rất mong được sự đóng gópcủa các đồng nghiệp để tôi có thể hoàn thiện hơn đề tài của mình

XÁC NHẬN

CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 24 tháng 5 năm 2018

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác

Người viết

Nguyễn Thị Thúy

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1) Phương pháp giảng dạy môn toán

Tác giả: Vũ Dương Thụy – Nguyễn Bá Kim – NXB Giáo dục

2) Trọng tâm kiến thức đại số 10

Tác giả: Phan Huy Khải – Nhà xuất bản Giáo dục.

3) Sách giáo khoa đại số 10 nâng cao

DANH MỤC

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC

CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

Họ và tên tác giả: Nguyễn Thị Thúy ……… Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên toán ,

TT Tên đề tài SKKN

Cấp đánh giá xếp

loại

(Ngành GD cấp huyện/tỉnh; Tỉnh )

Kết quả đánh giá xếp loại

(A, B, hoặc C)

Năm học đánh giá xếp loại

1 Ứng dụng phần mềm Cabri

3D nâng cao hiệu quả bài dạy

“Mặt cầu- khối cầu”

2 Sử dụng phương pháp tọa độ

trong không gian giải một số

bài toán hình học không gian