Giúp học sinh nắm vững kiến thức chương i – giải tích 12 thông qua phân tích và sửa chữa sai lầm của học sinh

Xuất phát từ điều đó, trong năm học 2017 – 2018, tôi có Sáng kiến kinh nghiệm trong giảng dạy là: “Giúp học sinh nắm vững kiến thức Chương I – Giải Tích 12 thông qua phân tích và sửa chữ

MỤC LỤC

1 MỞ ĐẦU Trang 01 1.1 Lí do chọn đề tài Trang 01 1.2 Mục đích nghiên cứu ……… Trang 01 1.3 Đối tượng nghiên cứu ……… Trang 01 1.4 Phương pháp nghiên cứu ……… Trang 01

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Trang 02 2.1 Cơ sở lí luận của Sáng kiến kinh nghiệm Trang 02 2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng Sáng kiến

2.3.2 Mốt số bài toán về cực trị và giá trị lớn nhất,

giá trị nhỏ nhất của hàm số Trang 112.3.3 Một số bài toán về đường tiệm cận của đồ thị

hàm

số Trang 15

2.3.4 Một số bài toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm

số Trang 17

2.4 Hiệu quả của Sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt

động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà

trường Trang 19

3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Trang 20 3.1 Kết luận ….……… Trang 20 3.2 Kiến nghị ……… Trang 20 TÀI LIỆU THAM KHẢO ……… Trang 21 DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH

NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI Trang 21

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài:

Trong các môn khoa học và kỹ thuật, toán học giữ một vị trí quantrọng Nó là môn học giúp chúng ta rèn luyện tư duy, phương pháp suy luận,rèn luyện trí thông minh, sáng tạo Nó còn giúp chúng ta rèn luyện tính cần

cù, nhẫn nại, ý chí vươn lên, ham chuộng chân lí, yêu thích chính xác Trongbất cứ công việc gì, kiến thức và phương pháp toán học cũng rất cần thiết đốivới mọi người

Ở trường THPT, đối với học sinh có thể xem giải toán là hình thức chủyếu của hoạt động toán học, là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích dạyhọc toán Các bài toán ở trường THPT là một phương tiện rất có hiệu quảtrong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, hình thành kỹ năng, ứng dụngtoán học vào cuộc sống Do đó, tổ chức có hiệu quả việc dạy học giải toán cóvai trò quyết định đối với chất lượng dạy học toán, nhằm rèn luyện cho họcsinh tư duy toán học cùng những phẩm chất quý báu của con người lao động

Tuy nhiên qua giảng dạy, để tổ chức có hiệu quả việc dạy học giải toán,tôi nhận thấy cần phải giúp học sinh nhận thức được sai lầm, khắc phục sailầm và có sự phòng tránh sai lầm tiếp theo Bởi bất kỳ một sai lầm nào cũng

có thể làm học sinh học kém đi nếu như giáo viên không chú ý ngay tới sailầm đó, không hướng dẫn học sinh tự nhận ra và sửa chữa, khắc phục sai lầm.Người học phải biết học ở những sai lầm và những thiếu sót của mình

Xuất phát từ điều đó, trong năm học 2017 – 2018, tôi có Sáng kiến kinh

nghiệm trong giảng dạy là: “Giúp học sinh nắm vững kiến thức Chương I – Giải Tích 12 thông qua phân tích và sửa chữa sai lầm của học sinh” 1.2 Mục đích nghiên cứu:

Sáng kiến kinh nghiệm này phục vụ cho quá trình giảng dạy của tôitrong năm học 2017 – 2018, giúp học sinh lớp 12 THPT nắm vững kiến thứcChương I - Giải Tích 12 và rèn luyện kỹ năng giải toán; phòng tránh sai lầm,thiếu sót cho học sinh; đặc biệt là hiện nay đang thi theo hình thức trắcnghiệm khách quan việc phòng tránh sai lầm, thiếu sót cho học sinh là vôcùng quan trọng Sáng kiến kinh nghiệm này còn nhằm trao đổi với với đồngnghiệp về phương pháp dạy học, là một tài liệu tham khảo đối với học sinh đểgóp phần nâng cao hiệu quả dạy và học toán ở trường THPT Như Xuân nóiriêng và các trường THPT nói chung

1.3 Đối tượng nghiên cứu:

Đối tượng nghiên cứu của đề tài này là những sai lầm thường gặp củahọc sinh trong giải toán về hàm số thuộc nội dung Chương I - Giải Tích 12(Chương trình chuẩn) “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàmsố”

1.4 Phương pháp nghiên cứu:

Trong quá trình thực hiện Sáng kiến kinh nghiệm này, tôi sử dụng haiphương pháp nghiên cứu chủ yếu là: Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở

lý thuyết và phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận:

Trong hệ thống các phương pháp giảng dạy toán, có những phươngpháp mà trong đó khẳng định cần phải có biện pháp nhằm dạy học môn toándựa trên các sai lầm, khi các sai lầm của học sinh xuất hiện Chính những tìnhhuống mắc sai lầm của học sinh tạo điều kiện để phát huy ưu điểm của cácphương pháp này Điển hình là phương pháp dạy học giải quyết vấn đề Khihọc sinh mắc sai lầm ở lời giải là xuất hiện tình huống có vấn đề Sai lầm củahọc sinh tạo ra mâu thuẫn và mâu thuẫn này chính là động lực thúc đẩy quátrình nhận thức của học sinh Sai lầm của học sinh còn làm nảy sinh nhu cầucho tư duy mà tư duy sáng tạo luôn bắt đầu bằng một tình huống gợi vấn đề

Mặt khác, sai lầm của học sinh xuất hiện thì sẽ khêu gợi được hoạtđộng học tập mà học sinh sẽ được hướng đích, gợi động cơ để tìm ra sai lầm

và tìm lời giải đúng Tìm ra cái sai của chính mình hay của bạn mình đều là

sự khám phá Từ sự khám phá này, học sinh chiếm lĩnh được kiến thức mộtcách trọn vẹn

Bên cạnh đó, các biện pháp sửa chữa sai lầm cho học sinh khi giải toánphải tác động vào hoạt động của học sinh Trước hết cần tạo ra động cơ họctập sửa chữa các sai lầm và cần gây niềm tin cho học sinh là bản thân mình cóthể tìm ra được sai lầm trong một lời giải toán nào đó Học sinh phải thấy việcsửa chữa các sai lầm khi giải toán là một nhu cầu và cần phải tham gia nhưmột chủ thể một cách tự nguyện, say mê, hào hứng Học sinh phải có đượcđộng cơ hoàn thiện tri thức Từ đó học sinh sẽ tự tin sửa chữa sai lầm, hìnhthành năng lực tìm ra các sai lầm khi giải toán và sẽ tạo ra năng lực giải toáncho bản thân

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm:

Qua nhiều năm giảng dạy Chương I - Giải Tích 12 “Ứng dụng đạo hàm

để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số” tại trường THPT Như Xuân, tôi nhận thấyhọc sinh rất hay mắc sai lầm trong các bài toán về hàm số Mặc dù đây là nộidung quan trọng của chương trình nên học sinh được ôn luyện nhiều Sai lầmxảy ra đối với cả học sinh khá, giỏi và từ những dạng toán cơ bản nhất.Nguyên nhân dẫn đến sai lầm chủ yếu là do học sinh chưa nắm vững kiếnthức cơ bản, chưa có thói quen nghiên cứu kỹ lí thuyết, kiểm tra lại lời giải,thiếu kỹ năng phát hiện và phòng tránh sai lầm Bên cạnh đó, hiện nay cókhông ít tài liệu tham khảo chạy theo thị trường, viết ẩu, tùy tiện, trình bàynội dung kiến thức, lời giải toán không chính xác, mắc sai lầm Khi học sinh

sử dụng các cuốn tài liệu này dễ bị mắc sai lầm theo do học sinh chưa có nềntảng kiến thức rộng và sự bao quát vấn đề để nhận ra cái đúng, cái sai

Thực trạng đó ảnh hưởng rất lớn đến kết quả học tập của học sinh Nếukhông khắc phục thì sẽ dẫn đến học sinh không nắm vững kiến thức và nhữngkiến thức học sinh nắm được có thể chứa sai lầm, tạo nền tảng cho những sai

lầm nghiêm trọng hơn Bên cạnh đó còn làm cho học sinh chưa có thói quen

đề phòng và phát hiện sai lầm; hạn chế khả năng phân biệt “đúng – sai”… Từ

đó dẫn đến những hậu quả nghiêm trọng không chỉ đối với việc học toán vàthi cử hiện nay của học sinh; mà còn đối với công việc và cuộc sống của họcsinh trong tương lai

Hơn nữa, hiện nay chưa có nhiều tài liệu viết về vấn đề này hoặc chưatập trung khai thác vào nội dung kiến thức theo chương trình Sách giáo khoa(SGK) hiện hành Do đó nhu cầu nhận thức về sai lầm, tìm ra nguyên nhân sailầm và những biện pháp sửa chữa kịp thời những sai lầm cho học sinh trongdạy học là quan trọng và cấp thiết, qua đó rèn luyện năng lực giải toán chohọc sinh đồng thời nâng cao hiệu quả dạy học toán trong nhà trường và khắcphục những hậu quả nêu trên

2.3 Các sáng kiến và giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề:

Để giúp học sinh nắm vững kiến thức Chương I – Giải Tích 12 thôngqua phân tích và sửa chữa sai lầm của học sinh, tôi đã tiến hành tìm hiểu vềcác sai lầm mà học sinh thường gặp thông qua các đồng nghiệp, tài liệu, quakinh nghiệm của bản thân và đặc biệt là thông qua lời giải các bài toán củahọc sinh Từ đó giải pháp của tôi đưa ra trên tinh thần người học phải biết học

ở những sai lầm và thiếu sót của mình

Cụ thể, để thực hiện theo giải pháp này người dạy luôn đặt học sinhtrong thử thách thường xuyên với những bài toán dễ dẫn đến sai lầm trong lờigiải, những bài toán mà giáo viên đã đặt “bẫy” một cách có chủ định mangtính tích cực trong giảng dạy Tức là trong tiết dạy, giáo viên có sự cân nhắclựa chọn các bài toán mà khi học sinh làm dễ bị mắc sai lầm Sau đó giáo viênphân tích chỉ ra những sai lầm của học sinh, tìm nguyên nhân và biện phápkhắc phục, trình bày lời giải đúng, đưa ra những chú ý, nhận xét quan trọng.Qua đó tạo tình huống có vấn đề giúp học sinh ghi nhớ, nắm vững và khắcsâu kiến thức, rèn luyện kỹ năng và phương pháp giải toán; đồng thời tạo chohọc sinh tính cẩn thận, thói quen kiểm tra kết quả, phòng và tránh sai lầmtrong giải toán cũng như trong cuộc sống

Sau đây, trong khuôn khổ của Sáng kiến kinh nghiệm này, tôi giới thiệumột số bài toán học sinh dễ mắc sai lầm mà tôi đã sử dụng để giảng dạy nộidung Chương I - Giải Tích 12 (Chương trình chuẩn) “Ứng dụng đạo hàm đểkhảo sát và vẽ đồ thị hàm số” theo giải pháp nêu trên, qua đó giúp học sinhnắm vững kiến thức, khắc phục được những sai lầm trong giải toán

2.3.1 Một số bài toán về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

D Hàm số (1) đồng biến trên mỗi khoảng ( �; 1) và (1;� )

*Lời giải sai lầm:

Sai lầm ở đây khi cho rằng khẳng định ở phương án C: “Hàm số (1)

đồng biến trên tập xác định của nó” là khẳng định đúng, thực chất khẳng định

Để sửa thành khẳng định đúng phải kết luận là:

“Hàm số (1) đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó” Hoặc: “Hàm số (1) đồng biến trên mỗi khoảng ( � và (0; );0) � ”

(Trong các khẳng định trên, có thể thay từ “mỗi” thành từ “các”).

*Lưu ý với học sinh (HS):

Không được kết luận hàm số (1) đồng biến “trên tập xác định của nó”,

hay “trên tập R\ 0  ”, hay “trên (� �;0) (0;� ”.)

Hơn nữa, trong chương trình SGK hiện hành chỉ đưa ra khái niệm hàm

số đồng biến, nghịch biến trên một khoảng, một đoạn, một nửa khoảng nên khi kết luận tính biến thiên của hàm số chỉ kết luận hàm số đồng biến, nghịch biến trên mỗi khoảng, mỗi đoạn, mỗi nửa khoảng; không dùng dấu “ �” để hợp các khoảng, các đoạn, các nửa khoảng “rời nhau” (tức là giao nhau bằng �) thành một tập.

Ngoài ra, khẳng định ở phương án D là khẳng định đúng vì

( �; 1)� � , (1;( ;0) � �) (0;� )

*Bình luận:

Câu kết luận đúng so với câu kết luận sai chỉ khác nhau giữa cụm từ

“trên mỗi khoảng xác định” với “trên tập xác định”, hay giữa từ “và” với

dấu “�” Nếu giáo viên không nhắc nhở thì học sinh khó phát hiện ra sai lầmnày

Bài 2 Cho hàm số y mx 2m 3

x m



 với m là tham số Gọi S là tập tất cả các

giá trị nguyên của m để hàm số đồng biến trên các khoảng xác định Tìm số phần tử của S.

A 5 B 4 C Vô số D.3

(Câu 31, mã đề 103, đề thi chính thức THPT Quốc gia năm 2017 [1]).

*Lời giải sai lầm:

Sai lầm khi cho rằng: “Điều kiện cần và đủ để hàm số đã cho đồng

biến trên các khoảng xác định là:

đây chỉ là điều kiện cần

Từ đó đã dẫn đến chọn sai đáp án Đáp án đúng của Bài 2 phải là D.

cho đồng biến trên các khoảng xác định

- Với m = -1 hoặc m = 3 thì ' 0,y   � nên hàm số đã cho khôngx D

2) '( ) 0,f x   �x ( ; )a b là điều kiện đủ để hàm số y f x( ) đồng biếntrên ( ; )a b

3) '( ) 0,f x � x�( ; )a b và '( ) 0f x  tại hữu hạn điểm trên khoảng ( ; )a b

là điều kiện đủ để hàm số y  f x( ) đồng biến trên ( ; )a b

4) '( ) 0,f x   �x ( ; )a b là điều kiện cần và đủ để hàm số y  f x( )không đổi trên ( ; )a b

(Phát biểu tương tự đối với trường hợp hàm số nghịch biến).

-Lưu ý 2:

Trong Sáng kiến kinh nghiệm này, nếu không nói gì thêm ta luôn giả sử

K là một khoảng hoặc một đoạn hoặc một nửa khoảng

Từ lời giải Bài 2, có thể rút ra cách giải ngắn gọn dạng toán này đối với

(Câu 41 Đề minh họa lần 3 - THPT Quốc gia năm 2017 của Bộ GD&ĐT [2]).

*Lời giải sai lầm:

m m

Lời giải trên có hai sai lầm:

1) Sai lầm thứ nhất khi cho rằng: “Điều kiện cần và đủ để hàm số đã

cho nghịch biến trên khoảng (   � � ; ) là: ' 0,y � x R� ” Thực chất đây chỉ là điều kiện cần.

2) Sai lầm thứ hai xảy ra khi chưa xét m2   mà đã biến đổi:1 0

' 0,

y � x R�

2 1 00

- Trường hợp 3: Với m��, khi đó hàm số đã cho là hàm số bậc 3 nên:1

Điều kiện cần và đủ để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (   � � ; ) là

' 0,

y � x R�

2 1 00

m m

Sai lầm khi cho rằng:

“y’ = 0 tại vô số điểm trên R nên hàm số không đồng biến trên R”.

Như đã nói ở sai lầm Bài 2 (Lưu ý 1, trang 5), điều kiện: “

'( ) 0, ( ; )

f x � x�a b và '( ) 0f x  tại hữu hạn điểm trên khoảng ( ; )a b ” chỉ là

điều kiện đủ để hàm số đồng biến trên ( ; )a b Do đó, nếu một hàm số không

thỏa mãn điều kiện “ '( ) 0 f x  tại hữu hạn điểm trên khoảng ( ; ) a b ” thì hàm

số đó vẫn có thể đồng biến trên khoảng ( ; )a b Chẳng hạn, xem lời giải đúng

dưới đây ta thấy hàm số y mx sinx vẫn đồng biến trên R khi m = 1.

- Với m > 1 thì ' y  m cosx  � nên hàm số đã cho đồng biến trên R.0, x R

- Với m = 1 thì hàm số là y x sinxvà ' 1 cosy   x�0,x� R

Qua Bài 5, để một lần nữa khẳng định:

Điều kiện: “ '( ) 0, f x � x K � và '( ) 0 f x  tại hữu hạn điểm trên K”

chỉ là điều kiện đủ để hàm số y  f x( ) đồng biến trên K.

(Phát biểu tương tự đối với trường hợp hàm số nghịch biến).

Bài 6 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số

Hàm số sin 2

sin

x y

 đồng biến trên khoảng (0;1) ”

Không thể đồng nhất tính biến thiên của hàm số sin 2

sin

x y

t m



 .Theo công thức đạo hàm của hàm số hợp ta có:

Do đó ta có:  0;1

m m

2.3.2 Mốt số bài toán về cực trị và giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bài 7 Hàm số f x( ) x8 2x4  có bao nhiêu điểm cực trị?3

f  � Hàm số đã cho không đạt cực trị tại x = 0.

Vậy hàm số đã cho chỉ có hai điểm cực trị, do đó chọn phương án B (?).

� thì hàm số f(x) không đạt cực trị tại điểm x 0 ”.

Điều này không đúng vì điều kiện: 0

0

'( ) 0''( ) 0

x � -1 0 1 �

f’(x) - 0 + 0 - 0 +

f(x)

Suy ra hàm số đã cho có ba điểm cực trị

Vậy đáp án Bài 7 phải là phương án C.

*Lưu ý với HS:

Nếu tại x0 mà 0

0

'( ) 0''( ) 0

� thì chưa được kết luận hàm số đạt hay

không đạt cực trị tại điểm x0 Muốn kết luận được ta phải lập bảng biến thiên

Bài 8 Hàm số f x( ) x32x2  có bao nhiêu điểm cực trị?x

A 1 B 2 C 3 D.4.

*Lời giải sai lầm:

Tập xác định: [0;� )

2 2

x

Khi tìm cực trị của hàm số f(x) ta phải tìm tất cả các điểm thuộc tập

xác định của nó mà làm cho '( )f x bằng 0 hoặc không tồn tại; sau đó xét

dấu '( )f x khi x đi qua các điểm đó.

Bài 9 Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số

m m

1

m f

f f

- Nếu m = 0 (thì ''(0) 0 f  nên chưa thể kết luận mà phải xét dấu '( )f x ).

Khi đó f x'( ) 3x2 không bị đổi dấu khi x đi qua 0 nên hàm số không đạt cực trị tại điểm x = 0.

- Nếu m = 1 (thì ''(0) 0 f  nên cũng chưa thể kết luận mà phải xét dấu '( )f x ).

Khi đó f x'( ) 4 x3 bị đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0.

Từ các trường hợp trên, ta được tất cả các giá trị của m để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm x = 0 là m� � �( ;0) [1;� )

Vậy đáp án của Bài 9 phải là phương án B.

� chỉ là điều kiện đủ để hàm số đạt cực đại tại x0.

Bài 10 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f x( ) x2 12 2 x 1 5

Sai lầm xảy ra khi chuyển bài toán đối với hàm số ( )f x về bài toán đối

với hàm số ( )g t không tương đương vì không tìm điều kiện cho t.