Rèn luyện kỹ năng phân loại và giải toán nguyên hàm, tích phân chứa hàm ẩn trong đề thi THPT quốc gia

Nhưng với cách đổi mới căn bản về hình thức thi trắc nghiệm nhưhiện nay trong đề thi thường xuất hiện các bài toán tìm nguyên hàm hay tích phân cóchứa hàm ẩn nên làm cho học sinh gặp khó

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT NGA SƠN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG PHÂN LOẠI VÀ

GIẢI BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN CHỨA HÀM ẨN TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA

Người thực hiện: Lê Diễm Hương Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực: Toán học

THANH HÓA NĂM 2019

2.3.2.4 Phương pháp nguyên hàm, tích phân từng phần 18

1 MỞ ĐẦU

1.1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong chương trình môn Toán ở cấp THPT bài toán về tìm nguyên hàm, tích phân là

một nội dung mới và khó đối với đa số học sinh Đứng trước bài toán này các em chủ yếuđược làm quen với cách tìm nguyên hàm, tích phân của một số hàm sô thường gặp bằngbảng nguyên hàm và hai phương pháp cơ bản đổi biến số, phương pháp nguyên hàm tíchphân từng phần… Nhưng với cách đổi mới căn bản về hình thức thi trắc nghiệm nhưhiện nay trong đề thi thường xuất hiện các bài toán tìm nguyên hàm hay tích phân cóchứa hàm ẩn nên làm cho học sinh gặp khó khăn trong việc định hướng tìm ra lời giải.Các em thường lúng túng trong việc áp dụng lý thuyết đã học, thậm chí đa số các em bỏqua câu này kể cả với các em có học lực khá, giỏi và suy nghĩ đây là câu hỏi có tính chấtvận dụng cao

Vì lí do đó trong quá trình giảng dạy học sinh nhiều năm ở các lớp 12 và trong quátrình ôn tập tiến tới kỳ thi THPTQG sắp tới tôi mạnh dạn đưa ra cách giải quyết nhữngkhó khăn trên của học sinh bằng đề tài “ RÈN LUYỆN KỸ NĂNG PHÂN LOẠI VÀGIẢI TOÁN NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN CHỨA HÀM ẨN TRONG ĐỀ THI THPTQUỐC GIA”

1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Đứng trước những vấn đề trên trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng kiến thức chohọc sinh , tôi đã luôn trăn trở và đi tìm những thuật giải, những hướng đi cụ thể để giảiquyết những vấn đề từ dễ đến khó Nhưng chúng ta đã biết không có một chìa khoá vạnnăng nào có thể “mở khoá” được mọi bài toán Trong khi đó việc giảng dạy toán học nóichung và trong quá trình ôn thi THPTQG nói riêng, việc làm cho học sinh giải quyếtđược vấn đề đặt ra của bài toán một cách sáng tạo, hoàn chỉnh là rất cần thiết Trong bàiviết này, dựa trên kinh nghiệm một số năm giảng dạy ở lớp 12, luyện thi THPTQG bồidưỡng kiến thức cho các em giành được số điểm cao nhất , tôi xin nêu lên hướng giảiquyết bài toán về nguyên hàm, tích phân chứa hàm ẩn với đề tài “ RÈN LUYỆN KỸNĂNG PHÂN LOẠI VÀ GIẢI TOÁN NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN CHỨA HÀM ẨNTRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA”, nhằm làm cho học sinh nâng cao khả năng tư duy,phát triển trí tuệ đồng thời bồi dưỡng niềm đam mê toán học cho các em học sinh,giúpcác em tự tin để bước vào kì thi THPTQG sắp tới

1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

- Nội dung là các bài toán về nguyên hàm, tích phân chứa hàm ẩn trong chương trìnhmôn Toán cấp THPT

- Một số bài tập vận dụng thấpvà vận dụng cao nằm trong đề thi khảo sát chất lượngTHPTQG của các trường THPT và các đề thi THPTQG những năm gần đây của Bộ GD

& ĐT

1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

* Phương pháp:

- Phương pháp nghiên cứu lý luận chung

- Phương pháp khảo sát điều tra từ thực tế dạy và học

- Tổng hợp, so sánh, đúc rút kinh nghiệm

* Cách thực hiện:

- Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên cùng bộ môn

- Liên hệ thực tế trong nhà trường, áp dụng đúc rút kinh nghiệm qua quá trình giảng dạy.

- Thông qua việc giảng dạy trực tiếp các lớp khối THPT ở những năm học qua

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 CƠ SỞ LÝ LUẬN

- Nhiệm vụ trung tâm trong trường học THPT là hoạt động dạy của thầy và hoạt

động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực,

bồi dưỡng nhân tài” Giúp học sinh củng cố những kiến thức phổ thông đặc biệt là bộ

môn toán học rất cần thiết không thể thiếu trong đời sống của con người Toán học làmột môn học quan trọng và khó, kiến thức rộng, không ít học sinh ngại học môn này

- Muốn học tốt môn Toán các em phải nắm vững những tri thức khoa học ở mônToán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào từng dạng bài tập.Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic vàcách biến đổi Giáo viên cần định hướng cho học sinh học và nghiên cứu môn Toán họcmột cách có hệ thống trong chương trình học phổ thông, vận dụng lý thuyết vào làm bàitập, phân dạng các bài tập rồi tổng hợp các cách giải

- Do vậy, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đính giúp chohọc sinh THPT vận dụng và tìm ra phương pháp giải khi gặp các bài toán nguyên hàmtích phân chứa hàm ẩn

Khi gặp một bài toán về nguyên hàm tích phân có chứa hàm ẩn chúng ta có rất nhiềuhướng tiếp cận để tư duy ra lời giải Tuy nhiên với những bài toán hay và khó, lối tư duytheo hướng bó hẹp trong khuôn khổ kiến thức của SGK sẽ khiến học sinh khó khăn tìm

ra hướng giải quyết Vì tính chất phân loại của đề thi hiện nay, bài toán về tìm nguyênhàm tích phân nói chung và bài toán tìm nguyên hamg tích phân có chứa hàm ẩn nóiriêng đã đặt ra một yêu cầu cao hơn ở học sinh Để giải quyết được bài toán, học sinhkhông chỉ nắm được lý thuyết cơ bản mà phải biết kết hợp thành thạo các cách giải tổngquát mà các em học được Tạo nên một sự liên kết chặt chẽ giữa các mặt kiến thức nhất

là kiến thức giữa các cấp học giúp học sinh thấy được bản chất của vấn đề đang học, gâynên sự hứng thú tích cực trong học tập, làm cho các em chủ động hơn trong việc tiếp thu

và lĩnh hội tri thức, giúp các em không ngừng tìm tòi thêm nhiều cách giải mới, khắcphục được tâm lý lo sợ khi gặp bài toán khó là mục tiêu quan trọng nhất trong hoạt độngdạy học của mỗi giáo viên

Trong giới hạn của SKKN tôi chỉ hướng dẫn học sinh giải thành thạo một số bài

toán về nguyên hàm tích phân chứa hàm ẩn bằng “ Bốn phương pháp cơ bản”.

2.2 THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI

Qua việc khảo sát khảo sát rất nhiều nhóm học sinh trong trường THPT Nga Sơncũng như các trường THPT trong địa bàn huyện Nga Sơn và trong quá trình kiểm trakhảo sát định kỳ học tập, luyện đề ôn thi THPTQG hai năm gần đây tôi nhận thấy họcsinh khi gặp câu về tìm nguyên hàm, tích phân có chứa hàm ẩn thường không định hướngđược cách giải hoặc thậm chí bỏ qua câu này Điều một phần thấy khó do yếu tố tâm lícủa học sinh nghĩ rằng đây là bài toán dành cho học sinh giỏi lấy điểm cao nên chủ quankhông thể làm được Điều đó dẫn đến một sự thật đáng buồn, phần lớn học sinh dự thi

nhận biết học thậm chí khoanh bừa Một điều đáng ngạc nhiên là những năm gần đâytrong các đề thi khảo sát chất lượng các môn thi THPTQG của các trường THPT trong cảnước, đề thi và đề minh họa của Bộ GD &ĐT từ năm 2017 đến nay thường xuất hiện cácdạng câu hỏi này Lúc này vai trò của người giáo viên là rất quan trọng, phải hướng dẫnchỉ rõ cho học sinh phương pháp giải toán, nên giải như thế nào cho hợp lý đối với từngloại toán để được một bài toán đúng biến đổi đúng và suy luận có logic giúp các em họcsinh có thêm tự tin để giải quyết được những bài toán khó này Đó là mục đích của đề tài

“ RÈN LUYỆN KỸ NĂNG PHÂN LOẠI VÀ GIẢI TOÁN NGUYÊN HÀM, TÍCHPHÂN CHỨA HÀM ẨN TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA”mà tôi hướng đến

2.3 GIẢI PHÁP THỰC HIỆN

Qua nghiên cứu trao đổi và đúc rút kinh nghiệm từ thực tế và ý kiến của đồng nghiệp

tôi mạnh dạn đưa ra bốn hướng giải quyết vấn đề bài toán về nguyên hàm, tích phânchứa hàm ẩn để giúp học sinh có những kỹ năng cần thiết trong quá trình ôn tập thi

THPTQG đó là: “phương pháp sử dụng định nghĩa, tích chất nguyên hàm; phương pháp

sử dụng định nghĩa tính chất tích phân, giải hệ tích phân; phương pháp đổi biến số, phương pháp nguyên hàm tích phân từng phần”.

Đối với mỗi phương pháp, tôi phân tích và định hướng cho học sinh cho các em làm cụthể, đồng thời lấy các ví dụ có tính đặc trưng để học sinh nắm vững cách giải Nhữngdạng bài tập có nhiều cách giải tôi đều so sánh phân tích để các em thấy được ưu nhượccủa từng cách giải để từ đó các em chủ động trong việc định hướng,lựa chọn cách giảicho những bài tập tương tự

Để minh họa cho từng phương pháp, tôi đều đưa ra những bài toán nằm trong các Đềthi khảo sát THPT QG của các trường THPT hoặc của Bộ GD & ĐT Với mỗi bài toánnhư vậy tôi dẫn ra những cách giải phù hợp với nội dung chương trình đang học từ đóhọc sinh có định hướng phân loại, kỹ năng giải thành thạo các bài toán sẽ gặp

2.3.1.Hệ thống kiến thức liên quan

2.3.1.1 Định nghĩa nguyên hàm, tích phân

* Định nghĩa 1: Cho hàm số f x( )xác định trên K Hàm số F x( ) được gọi là nguyênhàm của f x( ) trên K nếu F x( ) �  f x( ),  �x K.Họ tất cả các nguyên hàm của f x( ) trên

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi f x g x( ), ( ) tỉ lệ trên  a b; .

2.3.1.3 Phương pháp đổi biến số và phương pháp nguyên hàm, tích phân từng phần

* Phương pháp đổi biến số :

+ Cho hàm số u x( )có đạo hàm liên tục trên K và hàm số y f u( )liên tục sao cho

u b b

2.3.1.4 Quy tắc tính đạo hàm và nguyên hàm của một số hàm số

* Giả sử u u x v v x ( ),  ( )là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định

2.3.2 Các phương pháp tính nguyên hàm, tích phân

2.3.2.1 Phương pháp sử dụng định nghĩa, tính chất của nguyên hàm

Ví dụ 1: Cho hàm số f x( ) xác định trên tập R\ 1  thỏa mãn : ( ) 1 ; (0) 2017;

f  Tính giá trị của biểu thức: S f(3)  f( 1).

A S 1 B S  ln 2 C S  ln 4035 D S  4

Hướng dẫn: Đáp án A

Phân tích: Khi gặp bài toán này các em học sinh sẽ lúng túng trong việc sử dụng giá trị

của hàm số tại điểm cho trước để tìm ra hàm ẩn f x( ) Thậm chí có những em sẽ thấy đề bài cho“ thừa” dữ kiện khi có hai giá trị của f x( ) và dẫn đến sai lầm khi tìm hằng số C của f x( ).Với những dạng toán này khi giả thiết có thể cho từ hai giá trị hàm tại 1 điểm trở lên tôi hướng dẫn các em giải quyết theo hai cách sau:

f  Tính giá trị của biểu thức: S f(3)  f( 1).

A S  4 ln 5 B S   3 ln15 C S   2 ln15 D S  ln15

Hướng dẫn: Đáp án B

Phân tích: Với bài toán này tôi hướng dẫn học sinh tìm hàm ẩn f x( ) theo hai cách

2 ( 1) (3) 3 ln151

2 1

dx

x dx

Hướng dẫn: Đáp án A Áp dụng định nghĩa nguyên hàm

Ta có f x( ) �f x dx� ( ) �(2x 1)dx x   2 x C Theo giả thiết:

 �    � � � Suy ra: S  log 2 x1  log 2 x2  1

Ví dụ 5: Cho hàm số f x( ) nhận giá trị dương và có đạo hàm trên khoảng (0; � ) thỏamãn (2) 1

Phân tích: Khi gặp dạng bài toán này tôi hướng dẫn học sinh kết hợp quy tắc đạo hàm

với định nghĩa nguyên hàm để tìm ra hàm ẩn f x( )

Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.

Ví dụ 7: Cho hàm số f x( ) xác định và liên tục trên R thỏa mãn:

1 ( ) 2; (0) 5; (ln ) 0.

x x

x x x

f  �C  � f  e  e  Tương tự:

Phân tích: Với những bài toán đề bài cho tỉ số giữa đạo hàm và hàm số tôi định hướng

cho học sinh sử dụng theo nguyên hàm u dx ln ( )u x C

Hướng dẫn: Đáp án A Áp dụng quy tắc đạo hàm của một thương và định nghĩa nguyên hàm.

Ví dụ 11: Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm và liên tục trên đoạn  0;1 , thỏa mãn f �(0) 9 

* Phân tích: Đây là một bài toán khó gây lúng túng trong việc định hướng tìm ra cách

giải Nên khi gặp những hệ thức chứa đạo hàm tôi hướng dẫn các em khéo léo biến đổi bám theo quy tắc đạo hàm dẫn đến hàm ẩn f x( )

 

2

2

1 ( 1) ( ) ( ) 0 ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( )

2.3.2.2.Phương pháp sử dụng định nghĩa, tính chất tích phân, giải hệ tích phân

* Nhận xét: Sau đây là một số bài toán tìm tích phân chứa hàm ẩn ngoài việc sử dụng

định nghĩa, tính chất tích phân còn có sự kết hợp nhạy bén các quy tắc đạo hàm của hàm số ở chương trình lớp 11 Tôi đã đưa ra một số ví dụ sau để học sinh tự phân tích, định hướng và đưa ra lời giải.

Ví dụ 1: Cho

5

2 ( ) 10

f x dx

0

9 ( ) 16

f x dx

5

2 ( ) 1

f x dx 

5

1 ( )

f x dx

6

2 ( ) 3

Ví dụ 6: Biết

8

1 ( ) 2

f x dx 

4

1 ( ) 3

f x dx

4

1 ( ) 7

f x g x dx

8

4 ( ) 1

f  C 2 324

(2) 15

f  D 2 323

(2) 15

f x dx

A 8 B 1 C 10 D 80

Hướng dẫn: Đáp án C

*Phân tích: Đây là một bài toán tính tích phân hàm ẩn chứa lũy thừa đặc biệt là mũ 2,

tôi định hướng học sinh đi phân tích theo hằng đẳng thức và sử dụng thêm tích chất:

2.3.2.3 Phương pháp đổi biến số

A Phương pháp đổi biến số loại 1

Ví dụ 1: Cho

6

0 ( ) 12

f x dx

2

0 (3 )

Ví dụ 2: Cho

2 2

1 ( 1) 2

f x  dx

5

2 ( )

1 ( 1) 2

B Phương pháp đổi biến số loại 2

Cho hàm số f x( ) thỏa mãn: A f x ( ) B u f u ( ) � C f a b x (    ) g x( ) Bằng phương pháp đổi

biến ta chứng minh được:

Ví dụ 2: Cho hàm số f x( )liên tục trên  1; 2 và thỏa mãn:

* Phân tích: Với ví dụ này tôi hướng dẫn học sinh thực hiện theo hai cách đổi biến số và

vận dụng công thức đã nêu để từ đó thấy được hiệu quả của từng cách làm

f x  x f x  

Tích phân:

1

0

2 ( ) a b ; , , ; ;a b

C Phương pháp đổi biến số loại 3

Phương pháp: Lần lượt đặt t u x t v x ( );  ( )đưa về hệ phương trình hai ẩn (ẩn là f(x)) để

* Phân tích: Đối với dạng bài toán này tôi hướng dẫn học sinh giải theo hai cách sau để

qua đó các em thấy được ưu nhược của từng phương pháp để có định hướng và lựa chọ cách giải phù hợp cho quá trình làm bài thi trắc nghiệm.

+ Cách 1: (Áp dụng PP đổi biến số loại 2)

Chứng minh: Đổi biến đặt x t

Ví dụ 1: Cho hàm số y f x( ) là hàm lẻ và liên tục trên  4; 4 thỏa mãn :

I �f x dx

A I   6 B I  10 C I   10 D I  6

Hướng dẫn: Đáp án A

* Phân tích: Đây là một trong những bài toán đặc trưng về tính tích phân hàm ẩn của

một hàm số lẻ Tôi hướng dẫn các em sử dụng các tính chất được nêu trong bài.

E Phương pháp đội biến số loại 5

Bài toán: Cho hàm số y f x( ) thỏa mãn g f x ( )x và g t( )là hàm đơn điệu trên R Tính tích phân: ( )

* Phân tích: Đây là một trong những bài toán đặc trưng về tìm tích phân của hàm ẩn.

Để giải bài toán này tôi định hướng cho học sinh sử dụng phép đổi biến như sau và có lời giải khá ngắn gọn phù hợp với tư duy họcsinh.

2

5 ( ) (3 1)

2.3.2.4 Phương pháp nguyên hàm, tích phân từng phần.

Ví dụ 1: Cho hàm số y f x( )có đạo hàm f x�  liên tục trên  0;2 và   2

0

f  �f x dx Tính

* Phân tích: Với bài toán trong dấu tích phân xuất hiện tích của hàm ẩn và một hàm số

nào đó tôi định hướng cho học sinh sử dụng phương pháp tích phân từng phần với phép đặt u là là số đã biết.

Ví dụ 3: Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm liên tục trên R thỏa mãn:

Phân tích: Với bài toán này tôi hướng dẫn cho học sinh sử dụng phương pháp tích phân

từng phần và đổi biến số loại 1 để tìm ra đáp số.

Theo giả thiết : (0) 0; ( ) ( ) sinx.cos (0) ( ) 0 ( ) 0

* Phân tích:Đây là một câu hỏi có mức độ vận dụng cao ngoài việc định hướng cho học

sinh sử dụng phương pháp từng phần thì tôi hướng dẫn các em có kỹ năng phân tích tìm

ra hàm ẩn f x( )nhờ tính chất

 

( ) 0, ; ( ) 0

( )

1 1

* Bình luận: Qua những ví dụ trên tôi nhận thấy học sinh dễ dàng tư duy và hình thành

nên kỹ năng giải quyết những bài toán tương tự gặp trong các đề thi THPT QG.

Bài 3 (Đề thi KS THPT QG lần 2 năm học 2018 - 2019– THPT Ba Đình )

Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm cấp 2 trên Rthỏa mãn 2 2

(1 ) ( 3) ( 1).

f  x x  f x Biết rằng( ) 0

Bài 5: (Đề thi KS THPT QG lần 2 năm học 2018 - 2019– THPT chuyên Lam Sơn )

Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm cấp liên tục trên đoạn  0; thỏa mãn

 

cos ( ) sin ( ) cos x, 0;

f x�  f x  x e  �x  Tính

0 ( )

I f x dx



� (làm tròn đến phần trăm)

A I � 6,55 B I � 17,30 C I � 10,31 D I � 16,91

2.4 KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

Thực tế cho thấy, với cách đưa ra các giải pháp như trên đã tạo được cho học sinh sựnhanh nhẹn, linh hoạt, vững vàng, tiết kiệm được thời gian hơn trong quá trình giải toán.Học sinh biết vận dụng và có sự sáng tạo hơn trong học tập, biết liên kết nhiều mảng kiếnthức, nhiều phương pháp giải cho mỗi phần trong cùng một bài toán Cách làm trên đãđáp ứng được nhu cầu học tập tích cực của học sinh Sau khi đã được ôn tập những kiếnthức cơ bản về lý thuyết, học sinh đã tự giải được những bài tập tương tự, nhất là nhữngbài tập nằm trong các đề thi đại học những năm gần đây Hiệu quả trong học tập của họcsinh đã được nâng lên rõ rệt

Để có được bài viết trên, tôi đã phải nghiên cứu rất nhiều tài liệu và kiểm chứng quamột số nhóm học sinh có học lực giỏi, khá và trung bình trong các lớp mà tôi giảng dạynhư lớp 12E,12C năm học 2018 -2019

Với các bài toán 1,2,3,4 trong hệ thống bài tập tự luyện ở trên, mỗi lớp tôi đã

chọn ra hai nhóm học sinh với số lượng bằng nhau, có học lực ngang nhau, nhóm I: tôi cho làm sau khi triển khai bài viết, nhóm II: tôi cho làm trước khi triển khai bài viết; tôi