Trước tình hình đó cùng với việc nghiên cứu các đề thi THPT Quốc Gia năm học 2016-2017 và đề thử nghiệm của Bộ giáo dục và đào tạo vừa qua, kết hợp với quá trình giảng dạy và nghiên cứu,
Trang 1MỤC LỤC
1 MỞ ĐẦU 1
1.1 Lí do chọn đề tài 1
1.2 Mục đích nghiên cứu 2
1.3 Đối tượng nghiên cứu 2
1.4 Phương pháp nghiên cứu 2
2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2
2 1 Cơ sở lí luận của sáng kiến 2
2.2.Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến 4
2 3 Các giải pháp đã thực hiện để giải quyết vấn đề 5
2.3 1 Hệ thống kiến thức liên quan 5
2.3.2 Các bài tập vận dụng 5
2.3.3 Hệ thống bài t ập tự luyện ……… .12
2.4 Hiệu quả của sáng kiến 13
3 KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ 15
3.1 Kết quả 16
3.2 Kiến nghị 16
Trang 21.Mở đầu:
1.1 Lí do chọn đề tài:
Kể từ kỳ thi THPT Quốc Gia năm học 2016- 2017, Bộ giáo dục và đào tạo đã
quyết định thay đổi hình thức thi đối với môn toán, chuyển từ hình thức thi tự luận sang hình thức trắc nghiệm Đây là cả một sự thay đổi lớn đối với môn học này Nó đã làm cho cả giáo viên và học sinh phải thay đổi cách dạy, cách học, cách tư duy để có thể đáp ứng được sự thay đổi nói trên Bản thân là một giáo viên trực tiếp giảng dạy môn này và đang thực hiện công việc ôn thi THPT Quốc Gia cho học sinh cuối cấp, tôi đã phải suy nghĩ và trăn trở rất nhiều, mình phải giảng dạy và hướng dẫn làm sao để học sinh hiểu, biết cách vận dụng, để học sinh có thể giải quyết bài toán trắc nghiệm một cách nhanh nhất, hiệu quả nhất
có thể
Trước tình hình đó cùng với việc nghiên cứu các đề thi THPT Quốc Gia năm học 2016-2017 và đề thử nghiệm của Bộ giáo dục và đào tạo vừa qua, kết hợp với quá trình giảng dạy và nghiên cứu, tôi nhận thấy các bài toán giải phương trình mũ có chứa tham số xuất hiện tương đối nhiều và nằm ở vị trí từ câu 40 trở
đi, trong khi những năm trước đây khi còn thi theo hình thức tự luận thì bài toán này gần như không thấy xuất hiện nên đã gây cho giáo viên và học sinh nhiều vướng mắc Chính vì vậy, với mong muốn có thể cung cấp thêm cho các em một
số kiến thức, giúp các em vượt qua vướng mắc đó và hướng dẫn để các em có thể giải được những bài toán liên quan đến giải phương trình mũ có chứa tham
số nhằm mục đích nâng cao số điểm thi cho các em trong kỳ thi THPT Quốc Gia
sắp tới Từ đó tôi nghiên cứu và viết đề tài: “Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh
giải một số phương trình mũ có chứa tham số theo hướng trắc nghiệm’’
Trong khuôn khổ sáng kiến kinh nghiệm của mình, tôi chỉ đề cập đến hai dạng toán:
Dạng 1: Tìm m để phương trình mũ có nghiệm.
Trang 3Dạng 2: Tìm m để phương trình mũ có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước.
Hi vọng đây sẽ là tài liệu tham khảo bổ ích cho giáo viên và học sinh.
1.2 Mục đích nghiên cứu:
- Thứ nhất: Giúp học sinh tiếp cận và làm quen với cách học, cách làm nhanh bài toán trắc nghiệm, từ đó có thể phát huy tối đa hiệu quả làm bài, nhằm đạt được kết quả cao nhất
-Thứ hai: Thông qua sáng kiến kinh nghiệm của mình, tôi muốn định hướng để học sinh có thể giải nhanh và chính xác đối với bài toán về phương trình mũ có chứa tham số
1.3 Đối tượng nghiên cứu:
- Kiến thức về hàm số mũ
- Kiến thức về một số phương pháp giải phương trình mũ
- Kiến thức về sự tương giao giữa hai đồ thị hàm số
- Kiến thức liên quan đến phương trình bậc hai
- Học sinh lớp 12D, 12G năm học 2017 – 2018 trường THPT Nga Sơn
1.4 Phương pháp nghiên cứu:
- Sử dụng phương pháp nghiên cứu tổng hợp
- Sử dụng phương pháp thực nghiệm
- Sử dụng phương pháp phân tích và so sánh những vấn đề có liên quan đến đề tài
2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm:
2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm:
a) Hàm số mũ :
+) Tập xác định:
+) Tập giá trị:
b) Một số phương pháp giải phương trình mũ:
Trang 4+) Đưa về cùng cơ số: Với :
+) Logarit hóa:
+) Đặt ẩn phụ:
Dạng 2:
Chia cả hai vế cho: , rồi đặt
+) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số:
Đoán nhận là nghiệm của phương trình (1)
Dựa vào tính đồng biến, nghịch biến của để kết luận là nghiệm duy nhất
+) Đưa về các phương trình đặc biệt:
Phương trình tích:
+) Phương pháp đối lập:
c) Sự tương giao giữa hai đồ thị hàm số:
Trang 5+) Định lí Viet: Nếu phương trình (1) có hai nghiệm thì ta có:
+) Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:
+) Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi:
+) Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi:
+) Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi:
2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
Việc hướng dẫn cho học sinh biết cách giải một số phương trình mũ có chứa
tham số theo hướng trắc nghiệm là rất cần thiết vì các lí do sau: Thứ nhất, môn
toán đã có sự thay đổi hình thức thi từ hình thức tự luận sang trắc nghiệm, từ đó đòi hỏi học sinh phải giải một bài toán một cách nhanh nhất có thể, để tiết kiệm thời gian Thứ hai, trong các đề thi tự luận ngày trước bài toán về phương trình
mũ gấn như không xuất hiện, nếu có chỉ xuất hiện thoáng qua trong đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh, nhưng nay thì khác một số phương trình mũ chứa tham số xuất hiện khá nhiều trong các đề thi thử THPT Quốc Gia của các trường và trong các
đề thử nghiệm của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo, nó nằm ở ví trí từ câu 40 trở đi, điều đó cho thấy bài toán này đã được khai thác sâu hơn và phức tạp hơn
Trong bài viết này, tôi đưa ra hai dạng toán mà trong quá trình giảng dạy
thường gặp và một số bài tập tự luyện Mong rằng bài viết này sẽ giúp ích cho một số em học sinh hay chí ít cũng cung cấp cho các em có một tài liệu hữu ích trong quá trình ôn luyện, đồng thời cùng trao đổi, học hỏi với các đồng nghiệp
Trang 6Chúc các em học sinh đạt kết quả cao trong kì thi cho kì thi THPT Quốc Gia sắp tới
2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề:
2.3.1 Hệ thống kiến thức liên quan
2.3.2 Một số bài tập vận dụng
Dạng 1: Tìm m để phương trình mũ có nghiệm:
Phương pháp: - Biến đổi đưa phương trình về dạng
ẩn số phụ)
- Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đồ thị hàm số với đường thẳng ( hoặc là số giao điểm của đồ thị
- Khảo sát hàm số ( hoặc hàm số trên miền đã tìm ở điều kiện cho ẩn phụ)
- Từ kết quả khảo sát đưa ra kết luận
Dưới đây là một số ví dụ ứng với các phương pháp giải của phương trình
mũ đã trình bày ở trên:
Thí dụ 1 : Số nguyên dương lớn nhất để phương trình:
có nghiệm
A 9 B 10 C 11 D 12
(Trích đề thi thử THPT Quốc gia năm 2018 , trường Chuyên Đại học Huế) Hướng dẫn: Điều kiện:
Trang 7
Ta có: , với , do đó hàm số đồng biến trên đoạn , suy ra:
Kết luận: Đáp án A
Phân tích: Học sinh có thể dễ dạng nhận ra cách để giải bài này là dùng
phương pháp đặt ẩn phụ, tuy nhiên sai lầm mà học sinh hay mắc phải ở đây là
hễ cứ đặt là các bạn sẽ viết ngay điều này sẽ dẫn đến dư nghiệm nên đối với ví dụ này, để tránh mắc phải sai lầm thì đầu tiên phải hướng dẫn học sinh đặt điều kiện cho biến , sau đó xem , với và tiến hành khảo sát hàm tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị nhỏ nhất trên đoạn , từ đó suy ra
Thí dụ 2: Tìm tất cả các giá trị của để phương trình: có
4 nghiệm phân biệt:
(Trích đề thi thử THPT Quốc gia năm 2018 , trường Đại học Sư Phạm Hà Nội)
Hướng dẫn: Phương trình:
Ta có bảng biến thiên của hàm số:
x 1 2 3
y’ - 0 + 0 - 0 +
y 1
0 0
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:
Kết luận: Đáp án D
Nhận xét: Đối với ví dụ này học sinh phải nhận dạng và đưa ra cách giải là sử
dụng phương pháp logarit hóa Như vậy học sinh muốn làm được bài toán
Trang 8phương trình mũ có chứa tham số thì trước hết phải nắm vững các phương pháp giải phương trình mũ để có thể đưa ra hướng giải quyết nhanh nhất.
Thí dụ 3:Tìm tất cả các giá trị của để phương trình:
có nghiệm:
A B C D
(Trích bộ đề thi THPT Quốc gia năm 2017 )
Hướng dẫn:
Suy ra: phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (1) có
nghiệm
Bảng biến thiên của hàm số :
t 0 4
+ 0
16
0 -Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:
Kết luận: Đáp án D
Thí dụ 4: Tìm tất cả các giá trị của để phương trình:
có 2 nghiệm phân biệt:
(Trích bộ đề thi THPT Quốc gia năm 2017 )
Hướng dẫn: Đặt:
Phương trình đã cho trở thành:
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt
Kết luận: Đáp án A
Nhận xét: Đối với ví dụ này học sinh phải phát hiện ra được mối quan hệ giữa
hai số mũ và biểu thức bên vế phải, từ đó đưa ra hướng làm đồng thời biết sử
Trang 9dụng tính đơn điệu của hàm số để đưa phương trình về dạng phương trình bậc 2 đơn giản.
Thí dụ 5:Tìm tất cả các giá trị của để phương trình:
có đúng một nghiệm:
(Trích đề thi thử THPT Quốc gia năm 2018 , trường Phan Đình Phùng, Đắc Lắc)
Hướng dẫn: Giả sử là nghiệm của phương trình thì cũng là nghiệm của phương trình Do đó phương trình có nghiệm duy nhất thì nghiệm đó chỉ có thể
Với , Ta có phương trình:
Suy ra: phương trình có nghiệm duy nhất:
Vậy :
Kết luận: Đáp án A
A B C D
(Trích đề thi thử THPT Quốc gia năm 2018 , trường Trần Nhân Tông, Quảng Ninh)
Hướng dẫn: Ta có:
Đặt:
Khi đó phương trình đã cho tương đương với:
+) thì VT > 0 Suy ra phương trình vô nghiệm
+) thì VT < 0 Suy ra phương trình vô nghiệm
Suy ra:
Đặt:
Trang 10Ta có:
Ta có bảng biến thiên sau: x 1 3
- 0 + 0 -
8
4
-Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ
Kết luận: Đáp án B
Nhận xét: Thí dụ 5, thí dụ 6 học sinh muốn làm được thì đòi hỏi học sinh phải
có khả năng tư duy linh hoạt hơn, bởi vì các phương trình này không nằm trong các dạng cơ bản Học sinh phải phát hiện được sự đặc biệt của các phương trình
từ đó đưa ra được cách đánh giá chính xác.
Dạng 2: : Tìm m để phương trình mũ có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước
Phương pháp:
Trường hợp 1: - Phương trình đưa được về dạng phương trình bậc 2:
( lưu ý ta phải tìm điều kiện cho ẩn phụ)
- Tùy yêu cầu của đề bài mà sử dụng khéo léo định lý Viet:
và các điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm cho phù hợp
Trường hợp 2: - Phương trình không đưa được về dạng phương trình bậc 2, thì
với trong trường hợp này ta phải tìm điều kiện cho ẩn số phụ)
Trang 11- Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đồ
- Khảo sát hàm số ( hoặc hàm số trên miền đã tìm ở điều kiện cho ẩn phụ)
- Từ kết quả khảo sát đưa ra kết luận
nghiệm trái dấu là:
(Trích đề thi thử THPT Quốc gia năm 2018 , Thành phố Đà Nẵng)
Hướng dẫn: Đặt : , , ta có phương trình:
(1)
Để phương trình đã cho có 2 nghiệm trái dấu thì phương trình (1) có 2 nghiệm
Kết luận: Đáp án D
Thí dụ 2 : Tìm tất cả các giá trị của để phương trình:
có đúng 2 nghiệm âm phân biệt:
(Trích đề thi thử THPT Quốc gia năm 2018, Sở GD và ĐT Hà Tĩnh)
Hướng dẫn: Đặt : , , ta có phương trình:
(1)
Để phương trình đã cho có 2 nghiệm âm phân biệt thì phương trình (1) có 2
Kết luận: Đáp án C
Nhận xét: Đối với những bài toán yêu cầu tìm m để phương trình có nghiệm
thỏa mãn điều kiện cho trước là so sánh nghiệm đó với số 0 như ở 2 ví dụ trên
Trang 12thì ta thường làm theo cách biến đổi phương trình ban đầu về phương trình bậc
2 đối với ẩn phụ t( có điều kiện của ẩn phụ kèm theo) Sau đó sử dụng linh hoạt các kiến thức liên quan đến phương trình bậc 2 như đã trình bày ở trên để giải bởi vì phần so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số đã được giảm tải
Còn đối với những bài toán yêu cầu tìm m để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước là so sánh nghiệm với một số khác 0 hay với một
khoảng, một đoạn nào đó thì ta cùng xét thí dụ sau:
Thí dụ 3:Tìm tất cả các giá trị của để phương trình:
có nghiệm
(Trích bộ đề thi THPT Quốc gia năm 2018 )
Hướng dẫn: Đặt:
Khi đó phương trình đã cho được đưa về phương trình sau:
suy ra:
Kết luận: Đáp án A
Nhận xét: Như vậy trong trường hợp này thì ta sẽ tìm cách đặt ẩn phụ đồng thời
tìm điều kiện chặt cho ẩn phụ Sau đó đưa phương trình về dạng: và tiến hành khảo sát hàm số rồi đưa ra kết luận.
Thí dụ 4: Tìm tất cả các giá trị của để phương trình: có 2
nghiệm phân biệt thỏa mãn:
(Trích đề thi thử THPT Quốc gia năm 2018, trường Chuyên Hưng Yên) Hướng dẫn: Logarit hóa theo cơ số 2 cả hai vế ta được phương trình:
(1)
Trang 13Để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn: thì:
Kết luận: Đáp án D
Thí dụ 5: Tìm tất cả các giá trị của để phương trình: có 2
A B C D
(Trích bộ đề thi THPT Quốc gia năm 2018 )
Hướng dẫn: Đặt : , , ta có phương trình: (1)
Để phương trình đã cho có 2 nghiệm trái dấu thì phương trình (1) có 2 nghiệm
Nhận xét: Đối với thí dụ 5 thì đơn giản hơn, bởi vì sau khi tiến hành lgarit hóa
thì học sinh có thể sử dụng trực tiếp nội dung định lí Viet cho phương trình bậc hai đối với ẩn x Còn với thí dụ 6 nếu là đối tượng học sinh trung bình thì sẽ mắc
phải sai lầm là sử dụng luôn định lí Viet cho phương trình ẩn t Chính vì vậy
trong quá trình giảng dạy giáo viên phải nhấn mạnh để học sinh phân biệt và chuyển từ mối quan hệ giữa các nghiệm của ẩn x sang mối quan hệ giữa các nghiệm của ẩn t.
Qua việc phân dạng và đưa ra phương pháp giải tương ứng như trên Hi vọng rằng nó sẽ giúp học sinh có thể nhanh chóng đưa ra cách giải phù hợp cho từng bài nhằm tiết kiệm thời gian tối đa và có kết quả làm bài chính xác nhất.
Dưới đây là hệ thống bài tập tương tự mà tôi đã siêu tầm được Mong rằng đây sẽ là tài liệu tham khảo bổ ích giúp các em học sinh ôn tập tốt phần kiến thức này:
2.3.3 Hệ thống bài tập tự luyện:
Bài tập 1: Giá trị của để phương trình: có hai nghiệm phân biệt là:
(Trích đề thi thử THPT Quốc gia năm 2018, trường THPT Hàn Thuyên, Bắc Ninh)
Bài tập 2: Tìm tất cả các giá trị của để phương trình: có đúng hai nghiệm trong đoạn
A 1 B 0 C 2 D 3
Trang 14(Trích đề thi thử THPT Quốc gia năm 2018, trường THPT Phương Xá, Phú Thọ)
Bài tập 3: Tìm tất cả các giá trị của để phương trình:
có hai nghiệm phân biệt:
Bài tập 4: Giá trị của để phương trình: có hai nghiệm trái dấu là:
A B C D
(Trích bộ đề trắc nghiệm luyện thi THPT Quốc gia năm 2017 môn toán) Bài tập 5: Giá trị của để bất phương trình: có nghiệm đúng với mọi là:
A B C D
(Trích đề thi thử THPT Quốc gia năm 2018, trường THPT Quảng Xương, Thanh Hóa)
nghiệm là:
A B C D
(Trích đề thi thử THPT Quốc gia năm 2018 lần 2 , trường THPT Hậu Lộc, Thanh Hóa)
Bài tập 7: Tìm tất cả các giá trị của để phương trình: có đúng một nghiệm:
(Trích đề thi thử THPT Quốc gia năm 2018 , trường THPT Lê Lợi, Thanh Hóa)
Bài tập 8: Tìm tất cả các giá trị của để phương trình:
có 4 nghiệm phân biệt:
Bài tập 9: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình:
có 4 nghiệm phân biệt:
A B C D 3
(Trích đề thi thử THPT Quốc gia năm 2018 lần 1, trường Thanh Chương 3, Nghệ An)