LUAN VAN PHO TIEN SI MOT SO BAI TOAN NGUOC TRONG PHUONG PHAP TRONG LUC

G

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO: _ TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÔNG HỢP THÀNH PHỔ HỒ CHÍ MINH

Công trình được hoàn thành tai

TRƯỜNG ĐẠI HỌC TỔNG HỢP THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

+

Người hướng dẫn khoa học :

Giáo Sư Tiến Sĩ ĐẶNG ĐÌNH ÁNG

Luận án được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận án Nhà nước

vào giờ ngày tháng năm 1995 tại Trường Đại Học Tổng Hợp Tp

Hồ Chí Minh

Có thể tìm dọc luận án tại Thư viện Trường Đại Học Tổng

Hợp Tp Hề Chí Minh và Thư viện Khoa Học Tổng Hợp Tp Hồ

Chí Minh :

liệu trong phương pháp trọng lực

2 Phương pháp nghiên cứu

Các bài toán được đưa về phương trình tích phân loại I

Av=F

trong đó A là toán tử tuyến tính liên tục giữa các không

gian hàm, F' được tính từ các dữ kiện cho và v là hàm cần

tìm

Hai phương pháp chỉnh hóa được dùng là phương pháp Tikhonov và phương pháp bài toán moment Công cụ toán

học được sử dụng là lý thuyết giải tích và giải tích hàm,

giải tích số Các thuật toán đưa ra được lập trình để chạy

trên máy tính cá nhân

3 Những đóng góp mới của luận án

(1) Tìm được nghiệm chỉnh hóa của một số bài toán

ngược tuyến tính; ước lượng được sai số giữa

nghiệm chỉnh hóa và nghiệm chính xác dưới

ảnh hưởng của nhiễu đo đạc:

2

(ii) Dua ra phuong phap tinh các số liệu đo trọng lực

trong những vùng không có số liệu đo

(ii) Đưa ra một cách tiếp tục giải tích trường dị

thường trọng lực về phía dị vật

(iv) Xác định hiệu số mật độ dị vật và môi trường xung quanh từ số đo dị thường trọng lực và

gradient của nó trên một miền hữu hạn

Đóng góp mới là đưa bài toán Cauchy vào mô

hình xử lý số liệu trọng lực

4 Ý nghĩa thực tiễn của luận án

Kết quả nghiên cứu của để tài là cơ sở khoa học trong giải toán định lượng số liệu trọng lực trong Vật lý địa cầu ứng dụng Đồng thời đề tài còn được sử dụng trong nghiên cứu khoa học và giáo dục đào tạo ngành Vật lý địa cầu

5 Cấu trúc luận án

Nội dung luận án được trình bày trong 6 chương, mở

đầu, kết luận và thư mục tài liệu tham khảo; gồm 99

trang đánh máy

6 Giới thiệu các bài báo và báo cáo khoa học

liên quan đến luận án

Nội dung của luận án đã được công bố trong 7 công trình trong nước và nước ngoài Một phần kết quả của

luận án đã được báo cáo tham gia hội nghị khoa học trong

nước

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc về Thầy hướng

dan GSTS Dang Dinh Ang, người đã hết lòng dìu dắt và hướng dẫn thực hiện luận án này

*

3

Trong quá trình hoàn thành luận án, tác giả đã nhận

được nhiều ý kiến quý báu của PGS Lê Quang Toại,

ĐHTH Tp HCM, PGS Trần Vĩnh Tuân, Trung Tâm Học Liệu Tp HCM, GSTS Lê Minh Triết, Viện Khoa Học

Công Nghệ và Môi Trường, PTS Nguyễn Đức Tiến, ĐHBK

Tp HCM, PTS Lê Quang Quyết, Phân viện Dầu Khí

Luận án này không thể hoàn thành nếu thiếu sự giúp đỡ

về vật chất cũng như tỉnh thần của PGS Nguyễn Văn

Đến, PGS Nguyễn Nhật Khanh, Thạc Sĩ Trần Tấn Mỹ,

Giảng Viên Đặng Văn Liệt, Khoa Vật Lý ĐHTH Tp

HƠM, Giảng Viên Định Ngọc Thanh, Khoa Toán ĐHTH

Tp HCM, Giảng Viên Chu Đức Khánh, Trường Dự Bị Đại

Học Tp HCM

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đối với tất

cả các cá nhân và cơ quan nói trên

I1 Bài toán thuận, bài toán ngược

Trong Vật lý, khi một nhóm sự kiện nhất định nào đó được hội đủ thì sinh ra một nhóm sự kiện nhất định khác Hai nhóm sự kiện này được bảo là có liên hệ nhân - quả

đối với nhau Nhóm trước gọi là nhân, nhóm sau gọi là quả Thí dụ trong Trọng lực, phân bố mật độ khối lượng

của một vật là nhân còn thế trọng lực do vật này sinh ra

là quả Bài toán cho mật độ khối lượng (nhân), tìm thế trọng lực (quả) được gọi là bài toán thuận; còn bài toán biết thế trọng lực tìm phân bế mật độ khối lượng là bài

toán ngược

H Biểu diễn toán học

Một quá trình Vật lý thường được biếu diễn bằng mô hình toán gồm : đầu vào, hệ thống, đầu ra (hình 1)

5

Hình 1 Mô hình toán của một quá trình Vật lý

Việc nghiên cứu quá trình Vật lý thông qua mô hình

toán có thể chia thành ba loại bài toán sau đây :

(A) Bài toán thuận : Cho đầu vào và hệ thống (tham số), tìm đầu ra

() Bài toán khôi phục : Cho đầu ra và hệ thống (tham số) tìm đầu vào

(C) Bai todn xác định hệ thống : Cho đầu vào và đầu

ra, xác định hệ thống (tham số)

Bài toán thuộc loại (A) được bảo là thuận vì nó theo

chiều từ nhân tới quả Theo ý nghĩa này thì các bài toán

thuộc loại (B) và (C) được gọi là bài toán ngược

Bài toán (B) thường xuất hiện trong phương pháp từ

trọng lực; bài toán (C) trong thăm dò điện và địa chấn

IH Bài toán không chỉnh

Năm 1902, nhà toán học Pháp J.Hadamard đưa ra các

tiêu chuẩn để một bài toán được gọi là đặt đúng (chỉnh)

như sau

1.- Nghiệm phải tồn tại (sự tổn ta])

2.- Nghiệm phải được xác định một cách duy nhất

bởi các dữ kiện cho (sự duy nhất)

3.- Nghiệm phải tùy thuộc một cách liên tục và các

đữ kiện cho (sự ổn định)

Nếu một (hoặc nhiều hơn) trong ba tiêu chuẩn nói trên

không được thỏa thì bài toán được gọi là không chỉnh

IV Chinh héa

Chỉnh hóa một bài toán không chỉnh là tìm nghiệm

xấp xỉ ổn định của bài toán, gọi là nghiệm chỉnh hóa

Trong luận án này tác giả dùng hai phương pháp :

phương pháp Tikhonov và phương pháp dùng bài toán

momen hữu hạn

1 Phương pháp chỉnh hóa Tikhonov

Với U và F là các không gian hàm, xét ánh xạ

ueUprnfeF

Giả sử phương trình (1), với ẩn u là bài toán không

chỉnh theo nghĩa điều kiện 3 bị vi phạm

Để chỉnh hóa Tikhonov, thay bài toán (1) bằng bài

=

Giả sử phương trình (3), với ẩn hàm v, nếu có nghiệm thì sẽ có vô số nghiệm Bấy giờ ta có bài toán không

chỉnh theo Hadamard (điều kiện 2 bị vi phạm)

Chỉnh hóa (3) bằng cách thay (3) bởi các bài toán moment hữu hạn

trong đó ẩn hàm v trong phương trình (6) (mà chúng tôi

ký hiệu là vn) được tìm trong không gian hữu hạn chiểu

sinh bởi các gị với

g¡(9 = g(x¡,9

V Một số bài toán ngược trong Trọng lực

Trong phương pháp trọng lực thường gặp các bài toán

ngược tuyến tính sau đây :

a/ Bài toán tìm phân bố mật độ p()

Trong bài toán này người ta cho hình dáng và kích

thước của dị vật O, dị thường Ag do dị vật gây ra Tìm

phân bố mật độ øp

8

Đây là bài toán không chỉnh theo nghĩa có vô số

nghiệm hoặc không có nghiệm

b/ Bài toán chuyển trường xuống dưới

Trong bài toán này người ta cho dị thường trọng lực tại

mặt có độ cao h, bên trên mặt đất, tìm dị thường trọng lực tại mặt đất

Bài toán này thuộc loại không chỉnh theo nghĩa không

có nghiệm hoặc nếu có nghiệm thì nghiệm là duy nhất nhưng không tùy thuộc một cách liên tục vào các dữ kiện

c/ Bài toán ngoại suy số liệu đo

Trong bài toán này người ta chỉ cho dị thường trọng lực uọ

và gradient uq của nó trong một vùng hữu hạn trên mặt

đất, tìm v là gradient của dị thường trên mặt đất bên

ngoài miền đo đạc

Đây là bài toán không chỉnh theo nghĩa nghiệm không

tùy thuộc một cách liên tục vào điều kiện cho

đ/ Bài toán tìm hình dạng D

Trong bài toán này người ta cho p tìm hình dạng D từ

di thường trong lực đo trên mặt đất Đây là bài toán phi

tuyến Bài toán này đã được R.A Smith (1960) chứng

mỉnh có nghiệm duy nhất

Chuong 2

BAI TOAN CAUCHY CHO PHUONG TRINH

LAPLACE

I Gidi thiéu

Bai todn Cauchy cho phương trình Laplace đã được

Hadamard dau tiên chỉ ra là bài toán không chỉnh Trong

khi đó bài toán Dirichlet cho phuong trinh Laplace là bài toán đặt đúng Tuy nhiên, khoa học và kỹ thuật lại yêu

cầu, trong một số trường hợp phải xét bài toán Cauchy cho loại phương trình nói trên Thí dụ, người ta muốn xác

định dị thường trọng lực (một đại lượng thỏa phương trình Laplace) ở bên trên mặt đất, do các dị vật ở bên dưới mặt đất gây nên, từ các số liệu đo đạc thực hiện trên một tuyến hoặc một vùng.Với mô hình là bài toán Cauchy cho phương trình Laplace trên nửa mặt phẳng trên hoặc nửa không gian trên người ta chỉ cần dữ kiện đo trên một

tuyến có độ dài hữu hạn, hoặc một phần mặt phẳng có

diện tích hữu hạn; điều này có được là đo các định lý về duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy cho phương trình

Laplace

Trong tính toán thực dụng, các bài toán không chỉnh

cần phải được chỉnh hóa Nghiệm chỉnh hóa là một nghiệm xấp xỉ ổn định Vấn để chỉnh hóa bài toán

Cauchy cho phương trình Laplace trong trường hợp tổng quát đã được Lattès 8 và Lions J.L xét năm 1967.Các tác

giả này dùng phương pháp quasi-reversibilité để chỉnh

hóa bài toán, nhưng không đưa ra ước lượng về sai số

Chúng tôi dùng phương pháp chỉnh hóa Tikhonov và ước

lượng được sai số giữa nghiệm chỉnh hóa và nghiệm chính

1I.1 Bài toán

Bài toán được xét là : Tìm một hàm u(x,y) với (x,y) e D trong đó D= { (x,y) |-o<x <œ,gy>0 \théa

u(x,0)=ug(x) ,-1l<x<l, (2)

uy(x,0)=u(x) ,=1<x<1, (8)

và liên tục trên D={(œ,y)|-œ<x<œ,y>0}

1L2 Thiết lập phương trình tích phân và chỉnh

hóa

Ký hiệu :

T=(-1,1),J=R\I Bài toán (1), (2), (3) là bài toán Cauchy trên nửa mặt

phẳng trên D Lấy trị giá biên Neumann v(x) = uy (x,0),

x e J là ấn hàm Khi đó nếu tìm được v(x), x e J thi sé xác định được u(x,y), (x,y) e D Như vậy chúng ta có bài

toán Cauchy ngược Chúng tôi thiết lập được phương trình

tích phân tính v ([3])

| In |x—š w()dš = ø() (4)

11

trong đĩ

o(x) = muọ(x) — | In |x—š yy (dé

I

(4) La phuong trinh tich phan tinh v

Chỉnh hĩa (4) bằng các bài tốn moment hữu hạn

ange ø¡ =In|x; =Š | SiSn,x¡ eT

_ 0¡ =@(¡) Chúng tơi thu được kết quả ([6])

() Nghiệm chỉnh hĩa : Với ọ={o¡},UL<i<n cho

trước, tìm được Š, ,Én R để cho

Vn (0) = > am

i=1

là nghiệm chỉnh hĩa của (4)

(ii) Ước lượng sai số : Với nhiễu đữ kiện ư > 0 thỏa

lu-ø |, <6

thì sai số giữa nghiệm chỉnh hĩa và nghiệm chính xác vọ

là

ÍYà@)- vọ |<s

12

Ill Bai Todn Cauchy Cho Phuong Trinh Laplace Trên Nửa Không Gian

IH.1 Bài Toán

Bài toán được xét là : Tìm một hàm u(x,y,z) với (x,y,z) € D= {(x, y,z)|- 0 <x,y<œ,z>0 ) thỏa

Chỉnh hóa bằng bài toán moment hữu hạn, thu được

kết quả tương tự như IL2 trong chương này

ai?

13

IV Bài toán Cauchy cho phương trinh Laplace

trong một dải không đều

TV.1 Bài toán

Bài toán được xét là :

Tìm một hàm u(x,y) với (x,y) e D trong đó D là một

miền phẳng được định nghĩa bởi

Với F(x) là hàm tính được từ các dữ kiện cho

Dùng phương pháp chỉnh hóa Tikhonov, chúng tôi thu

được kết quả : ([1])

(1) Nghiệm chỉnh hóa : Nghiệm chỉnh hóa của (12) là

r vp (x) = cute (13)

14

w=ê.(B+ả3) ”.Ê

-k|t| § trong đó đ=e , f là biến đổi Fourier của F, B là hằng số

(ii) Ước lượng sai số : Với nhiễu dữ kiện e > 0 thỏa

Bài toán Dirichlet cho phương trình Laplaee là bài toán

đặt đúng cổ điển Tuy nhiên trong khoa học và kỹ thuật

có nhiều trường hợp quan trọng đưa đến việc phải xét bài

toán tìm dữ kiện Dirichlet trên biên của miền xác định của một hàm điều hòa khi chỉ biết giá trị của hàm điều

hòa này trên một miền con của miền xác định Đây là bài

toán Dirichlet ngược cho phương trình Laplace Trong

phương pháp thăm dò trọng lực của Địa vật lý, người ta

đo dị thường trọng lực ở độ cao k đối với mặt đất Trường

di thường này phản ánh các cấu trúc địa chất ở gần mặt đất - dị thường địa phương - cùng với các cấu trúc địa chất

ở sân dưới mặt đất - dị thường khu vực - Để lọc đi dị

15

thường khu vực, nghĩa làm nổi bật các dị thường địa

phương, người ta phải xác định dị thường trọng lực ở ngay

trên mặt đất Trong trường hợp này, các trị giá dị thường

trong luc do 6 dé caok so với mặt đất đủ để xác định di

thường trên mặt đất

II Bài toán Dirichlet ngược cho phương trình

Laplace trên nửa mặt phẳng

IL.1 Bài toán

Bài toán được xét là cho hàm uí(x, y) với (x, y) e D

Dùng phương pháp chỉnh hóa Tikhonov chúng tôi thu

được kết quả giống IV.2 Chương 2 ([4])

IH Bài toán Dirichlet ngược cho phương trình

Laplace trên nửa không gian

Ta tim v(x,y) = u(x,y,0)

I2 Thiết lập phương trình tích phân va chỉnh

17

PHAN II UNG DUNG TRONG TRONG LUC

(1) Loại bài toán thứ nhất là cho biết hình dạng của

dị vật, xác định hàm phân bố mật độ khối lượng

từ các dị thường trọng lực đo được trên mặt đất

() Loại bài toán thứ nhì là cho biết hàm phân bố

mật độ khối lượng của dị vật, xác định hình

dạng từ các dị thường trọng lực đo được trên mặt

đất

Trong chương này chúng tôi xét bài toán tìm hàm hiệu

số mật độ v của dị vật Q từ các số đo đị thường Ag va

gradient của Ag trong một miền hữu hạn trên mặt đất

I BAI TOÁN HAI CHIEU

IL1 Thiết Lập Bài Toán

Bài toán được đặt dưới dạng hệ thống phương trình

tích phân

II BÀI TOÁN BA CHIỀU

Kết quả tương tự như Bài toán hai chiều

Giả sử trên một tuyến đo có chiều đài hữu hạn I=(-1,1),

chúng ta đo được dị thường trọng lực Ag = up va gradient của nó u¡ Vì dị thường trọng lực thỏa phương trình Laplace; do d6 uy va u; 1a diéu kién Cauchy trên 1 của bài toán Cauchy cho phương trình Laplace trén nửa mặt

phẳng Dùng kết quả trong II.2 chương 2, tính