Phát triển một số dạng toán lớp 7 từ dãy tỉ số bằng nhau

Đặc biệt trong chương trìnhmôn Toán lớp 7 các bài toán về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau là một dạngtoán cơ bản, các em không những gặp dạng toán này trong chương trình toánhọc THCS m

1 MỞ ĐẦU1.1 Lí do chọn đề tài

Toán học trong chương trình THCS nói chung được coi là một môn khoahọc Với vai trò là môn học công cụ, môn Toán đã góp phần tạo điều kiện chocác em học sinh học tốt các bộ môn khoa học khác Đặc biệt trong chương trìnhmôn Toán lớp 7 các bài toán về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau là một dạngtoán cơ bản, các em không những gặp dạng toán này trong chương trình toánhọc THCS mà còn ở nhiều môn học khác Vật lí, Hóa hoc, Địa lí… Trong thực

tế khi giảng dạy và vận các dạng toán này vào thực tiễn còn thiếu tính đa dạngđôi lúc khiến học sinh thường ngộ nhận và vấp phải nhiều sai sót đáng tiếc

Mặt khác hệ thống các bài tập vừa đa dạng, vừa phong phú đòi hỏi họcsinh phải có đầy đủ kiến thức cơ bản, phương pháp phân tích hợp lí để tìmđược lời giải cho từng bài toán Vì vậy việc hướng dẫn học sinh cách phân tích,khai thác hướng đi và tìm lời giải cho từng bài toán, từng dạng toán là hết sứcquan trọng Từ đó khơi dậy hứng thú học tập cho học sinh không những họctoán, giúp học sinh học tự tin, hào hứng, đạt kết quả tốt hơn

Trong xu thế đổi mới giáo dục, đổi mới phương pháp dạy học đòi hỏingười dạy toán không chỉ dạy các kiến thức cơ bản SGK, hướng dẫn cho HSgiải các bài tập cụ thể mà phải hướng dẫn cho các em nắm được cách giải củatừng dạng toán, cách phát triển bài toán từ những bài toán gốc hay phát triểndạng toán theo mảng kiến thúc cơ bản nào đó Nếu làm tốt điều này chúng ta sẽcho HS thấy việc học toán và giải toán trở nên thú vị hơn nhiều Trong nhữngnăm học vừa qua bản thân được giao nhiệm vụ giảng dạy môn toán và bồidưỡng đội tuyển học sinh giỏi tại trường Tôi đã tích cực tự bồi dưỡng, xâydựng hướng dạy học cho các em học sinh cách vận dụng và khai thác bài toán,dạng toán để giải quyết các bài tập từ cơ bản đến nâng cao và đã đem lại kếtquả tốt

Vì các lí do đó mà tôi đã chọn đề tài “Phát triển một số dạng toán đại

số 7 từ tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau” Với mực đích chia sẻ và trao đổi

kinh nghiệm cùng đồng nghiệp

Mặc dù đã rất cố gắng song đề tài khó tránh khỏi những thiếu sót, rấtmong đồng nghiệp, chuyên môn góp ý

1.2 Mục đích nghiên cứu

Bằng cách xây dựng hệ thống một số dạng toán cơ bản trong sách giáokhoa “Đại số 7” về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau Từ đó phát triển lên cácbài toán khó nhằm phát triển tư duy, khơi dậy hứng thú học tập, giúp học sinh

tự tin, hào hứng, đạt kết quả tốt hơn trong học toán

1.3 Đối tượng nghiên cứu

- Học sinh lớp 7A tại đơn vị công tác trong hai khóa học đã giảng dạy

- Thời gian thực hiện: Các năm học: 2014 – 2015 và 2018 – 2019

- Chương trình toán học lớp 7

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu phương pháp trình bầy lí thuyết SGK đại số 7 và xây dựng

hệ thống bài tập SGK, SBT và các loại sách tham khảo, từ đó tổng hợp và phânloại các dạng bài tập ở nhiều mức độ khác nhau, có liên quan với nhau để xâydựng đề tài

- Khảo sát chất lượng học sinh trước và sau triển khai đề tài dưới dạngbài kiểm tra kiến thức và trắc nghiệm tâm lí về đề tài để lấy kết quả phân tích,thu thập các thông tin trên các mức độ, từ đó thống kê, so sánh rút ra kết luận

1.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm

Trong quá trình giảng dạy và khai thác kiến thức bản thân tôi nhận thấy

có rất nhiều học sinh chăm chỉ, thuộc lí thuyết nhưng khi giải toán rất thụ động

và thiếu niềm tin, bởi vậy tôi nghĩ rằng yếu tố quyết định đến kết quả học tậpcủa học sinh chính là phương pháp “ Phương pháp dạy của thầy và phươngpháp học của trò” cần phải dạy cho học sinh phương pháp học và phát triển bàitoán từ bài toán cơ bản Đây chính là điểm mới của đề tài này

2 NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm

Hiện nay, chúng ta đang thực hiện chương trình cải cách giáo dục với nộidung và kiến thức ngày càng nâng cao Đòi hỏi học sinh không những nắmvững kiến thức cơ bản mà còn phải vận dụng, khai thác và phát triển tốt các bàitập thực tiễn Rèn luyện khả năng suy luận lôgic, khả năng quan sát và dự đoán,phát triển trí tưởng tượng, luyện kĩ năng sử dụng ngôn ngữ chính xác Bồidưỡng phẩm chất tư duy như: linh hoạt, độc lập sáng tạo

Trong chương trình toán học THCS nói chung mỗi phân môn đều cónhững dạng toán riêng, đi kèm với nó là những phương pháp giải riêng Chính

vì vậy mà người dạy lẫn người học phải có phương pháp nghiên cứu một cáchhợp lí thì mới có kết quả tốt Khi giải các bài tập toán học không những đòi hỏihọc sinh phải linh hoạt trong việc áp dụng công thức mà phải đào sâu khai thác,phát triển bài toán để tổng quát hóa dạng toán

Để đạt được mục tiêu đó, mỗi thầy cô giáo chúng ta cần trang bị cho họcsinh không chỉ có kiến thức, kĩ năng làm bài tập mà còn phải khơi dậy ở các emlòng say mê, tính tích cực, tự giác trong học tập Đây không phải là vấn đềmới Nhưng làm thế nào để đạt được mục tiêu đó thì quả là không dễ

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Có một thực trạng dễ nhận thấy của các học sinh học toán hiện nay làphần lớn chỉ đầu tư vào việc giải hết các bài toán này đến bài toán khó khác màchưa tìm cho minh phương pháp nâng cao năng lực học toán Mặt khác trongcác tiết bài tập thường chỉ có thầy và một số học sinh khá giỏi hoạt động tích

cực còn lại tham gia một cách thụ động, phải chăng các em còn thiếu niềm tin,kiến thức và kỹ năng cơ bản khi học toán

Qua quan sát và theo dõi bản thân tôi nhận thấy có rất nhiều học sinhchăm chỉ, lí thuyết thuộc lòng nhưng khi giải toán rất thụ động và thiếu niềmtin, bởi vậy bản thân nghĩ rằng yếu tố quyết định đến kết quả học của học sinhchính là phương pháp “ Phương pháp dạy của thầy và phương pháp học củatrò” cần phải dạy cho học sinh phương pháp học toán trước khi dạy toán, cáchvận dụng kiến thức, khai thác bài toán từ bài toán gốc…

Trong Toán học bao gồm nhiều nội dung, nhiều dạng toán khác nhau, cácdạng toán có thể không liên quan với nhau, có thể ít liên quan, cũng có thể liệnquan mật thiết với nhau song học sinh rất khó nhận ra điều này Đặc biệt là cácbài toán chứng minh, tính giá trị biểu thức…

2.3 Các giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề

d a

c b

a = ta suy ra

d b

c a

c a

* Mở rộng từ dãy tỉ số bằng nhau b a = d c = e f ta suy ra

f d b

e c a f d b

e c a f

e d

+ +

=

=

=

(Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)

3.Tính chất cơ bản của phân số

m b

m a

n a b

DẠNG 1CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC

* Bài toán cơ bản

Bài toán 1

Cho

d

c b

a = Chứng minh

d b

c a d b

c a

−

−

= + +

a = =

d b

c a

+

+ (1)

d

c b

a = =

d b

c a

−

− (2)

Từ (1) và (2) ta có

d b

c a

+

+ =

d b

c a

−

− ( ĐPCM)

Cách 2: Dùng phương pháp tính giá trị biểu thức để tính:

Đặt

d

c b

a

= = k => a =kb; c = kd

Ta có: a+c = kb+kd = k(b+d) =k (3)

d b

c a

−

−

d b

d b k d b

c a

+

+ =

d b

c a

−

− ( ĐPCM)

Bài toán 2

Chứng minh rằng nếu a2 = bc (với a ≠b và a ≠c; a,b,c ≠0)

Thì

a c

a c b a

b a

a = = = > = ; =

Ta có:

a c

a c ak ck

ak ck b a

b a

=> (ac – cb) + (a2 – ab) = (ac – a2) + (bc – ab)

=> c (a-b) + a(a-b) = a (c-a) +b (c-a)

=> (a-b) (c+a) = (a+b) (c-a)

=>

a c

a c b a

b a

a = (a±b≠ 0 ;c±d ≠ 0 ;a,b,c,d ≠ 0)

Ta có thể suy ra tỉ lệ thức

d c

d c b a

b a

−

+

=

− +

* Từ cách phân tích như trên GV có thể cho học sinh tự tìm lời giải

Hướng giải

Cách 1 : Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

Từ

d

c b

a = =>

d

b c

a = (vì c; d ≠0)

d c

b a d c

b a d

b a d c

b a

−

−

= +

d c

d c b a

b a

1 (

) 1 (

d

k d d dk

d dk d

d c b a

b a

=> (ac + bc) – (bd + ad) = (ac – bc) – (bd – ad)

=> c (a + b) – d (a+b) = c (a-b) + d (a-b)

=> (a+b) (c-d) = (a-b) (c + d)

=>

d c

d c b a

b a

a = Chứng minh (a+b)(c−d) (= a−b)(c+d)

Hướng giải

Phát triển từ cách giải của bài toán 2 và 3 ta chứng minh được:

d c

d c b

a = Chứng minh

d b

c b d a

c a

3 2

3 2 3 2

3 2

−

−

= + +

* Phân tích:

+ Ta thấy dấu hiệu chứng minh giống các bài tập nêu trên , điểm khác là xuất hiện: 2a, 2b, 3c, 3d

+ Để đi đến kết luận ta suy nghĩ tìm cách làm xuất hiện các biểu thức… + Để xuất hiện biểu thức trên cần áp dụng tính chất cơ bản của phân số

m b

m a b

a = ⇒

d

c b

a = =

d

c b

a

3

3 2

a

3

3 2

2 = =

d b

c a

3 2

3 2

+

+ (1)

a

3

3 2

2 = =

d b

c a

3 2

3 2

−

− (2)

Từ (1) và (2) suy ta

d b

c b d a

c a

3 2

3 2 3 2

3 2

−

−

= +

a = = k Thực hiện như cách 2 của bài toán 3

* Bài toán phát triển

Cho

d

c b

a = Chứng minh :

1

d b

b c a

a

+

= + 2 c d

b a d c

b a

−

−

= + +

3

d c

b a d

b a d c

b a

11 3

11 3 3 11

3 11

−

−

= +

+

8

d c

b a

d c

b a

2004 2003

2004 2003

2004 2003

2004 2003

c a d b

c a

−

−

= + +

Khi gặp bài toán dạng này tâm lí học sinh thường cảm thấy sợ, nếu giáo viênhướng dẫn học sinh cách quan sát, nhận định thì thực chất đây cũng là dạng bài tập nêu trên

* Phân tích:

+ Ta thấy đẳng thức cần chứng minh có dạng bài toán 1 và bài toán 2 nhưng xuất hiện thêm các bình phương bởi vậy ta phải làm gì để xuất hiện lũy thừa.

a = ⇒ ( ) 2 ( ) 2

d

c b

a = = 22 22

d

c b

a = = 22 22 22 22

d b

c a d b

c a

−

−

= +

a

= = 22 22

d

c b

a = ( Suy luận sai)

Suy luận đúng :

d

c b

a = ⇒

2

2 2

2

d

c b

a = = k Thực hiện như cách giải của các bài trên

* Giáo viên có thể mở rộng, phát triển các bài tập cùng dạng sau:

Bài toán 7

Cho

d

c b

a = Chứng minh 33 33 33 33

d c

b a d c

b a

−

−

= + +

a = ⇒ ( ) 3 ( ) 3

d

c b

a = = 33 33

d

c b

a

= => 33 33

d

b c

a = = 33 33 33 33

d c

b a d c

b a

−

−

= +

+ ( ĐPCM)

Cách 2: Đặt

d

c b

a = = k => …….

* Nhận xét: Qua cách phát triển của bài toán 4 và bài toán 5 thì có thể thấy việc chứng minh đẳng thức với lũy thừa bao nhiêu điều đó không còn quan trọng nữa

• Bài toán phát triển

Cho

d

c b

a = Chứng minh

1 3 3

3 3 3

3

) (

) (

d c

b a d c

b a

+

+

= +

+

2 10

10 10 10

10 10

) ( )

d a b

a

b a

+

+

= + +

3 n

n n

n b

a d c

c a

=

−

−

) (

) (

4 3 3 2

2 3 3 3 2 2

3 2 2

) (

) (

) (

) (

d c

b a d

c

b a

+

+

= +

+

5 22 2 22 2

10 7

5 3 10

7

5 3

d c

ac c

b a

ab a

n n

n n

n n

qd pc

md kc qb pa

mb ka

−

+

=

− +

(Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)

Bài toán 8

Cho

c

b b

a = Chúng minh rằng:

c

a c b

b

+

+ 2 2

2 2

* Lưu ý : Để giải bài toán này đòi hỏi học sinh có bước suy luận cao hơn, không dập khuôn máy móc mà phải chọn lọc tinh tế các bước biến đổi từ các tính chất của tỉ lệ thức để có cách giải phù hợp

Hướng giải Cách 1: Sử dụng tính chất cơ bản rồi thay thế, biến đổi ta có lời giải sau:

Từ:

c

b b

a = ⇒ b2 = ac Thay thế vào vế trái ta có:

c

a c a c

c a a c ac

ac a c

+

= +

+

) (

) (

2

2 2

2

2

2

(đpcm)

Cách 2: Vận dụng tính chất đơn điệu của phép nhân (lũy thừa) của đẳng thức

đẳng thức ta có lời giả sau:

2 2

2 2 2

2 2

2

c b

b a c

b b

a c

b c

b b

a b

a c

a b

a ac b c

a = Chứng minh

bd

ac d

2 2

Phân tích :

+ Ta thấy đẳng thức cần chứng minh không những xuất hiện tổng các lũy thừa mà còn xuất hiện tích ac; bd, bởi vậy ta phải vận dụng linh hoạt tỉ lệ thức và dãy tỉ số bàng nhau.

+ Dấu hiệu nhận thấy tính chất cần dùng ở đây là (1.1);(2.1) và (3.1)

Hướng giải

Cách 1: Tính chất mở rộng của tỉ lệ thức

ac d

c b

a b

a b

a = =

Do đó: 22 22

d

c b

c a

+ + (2)

Từ (1) và (2) suy ra 22 22

d b

c a

2

2 ( ) )

(

d b

kd kb

+

2 2

2 2

d b

d b k

c a

a = )

Suy ra: ac( b2 + d2) = bd(a2 + c2)

Do đó: 22 22

d b

c a

b b

c b

c c

b b

a = (1) ; .

a c b

c b a d

c c

b b

a

+ +

+ +

=

=

= (2)

Từ (1) và (2) =>

d

a d c b

c b

+

+ =

2 2

2 2

d b

c

a 2 2016

2016 2016

2016

) (

) (

b

a d

c

b a

= +

+ 2

2

) (

) (

(Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)

Bài toán 11:

Cho a, b, c thỏa mãn

2010 2009

2008

c b

Chứng minh rằng: 4(a – b) (b – c) = (c – a)2 (*)

* Phân tích:

- Bài toán đã cho xuất hiện một dãy tỉ số bằng nhau

- Dấu hiệu của kiến thức cần vận dụng là tính chất dãy tỉ số bằng nhau

- Làm thế nào để xuất hiện các thành phần là a – b; b – c; c – a?

- Từ đó GV định hướng học sinh tìm lời giải

Hướng giải

Cách 1 :

Từ giả thiết áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

2008 2010

2010 2009

2009 2008

2010 2009

) ( 1

) ( 2

2008

=> a = 2008k ; b = 2009k ; c = 2010k

Ta có: 4(a – b) ( b- c) = 4 (2008k – 2009k) (2009k – 2010k)

= 4.(-k) (-k) = 4k2

c a c

a c

2008 2010

2009 2008

* Kết luận: Thông qua các bài toán cơ bản trên thì có thể thấy việc giải và pháttriển qua từng bài sẽ làm cho học sinh tự tin, chủ động và hứng thú hơn trong quá trình làm bài tập, từ đó cho thấy học toán, giải toán chứng minh đẳng thức khi sử dụng tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau với học sinh không còn là khó nữa

b b

a = = với a,b,c ≠0 và a + b + c ≠ 0 So sánh các số a, b, c

Phân tích

- Dấu hiệu của bài toán cho là một dãy tỉ số bằng nhau

- Vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để giải

Hướng giải

Cách 1: Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có

+ +

+ +

=

=

=

c b a

c b a a

c c

b

b

a

(Do a + b + c ≠ 0) ⇒ a = b; b = c; c = a ⇒ a = b = c

b b

a = = =

=> a = k.b ; b = c.k ; c = a.k

=> a.b.c = (bk) (c.k) (a.k) = abc k3 => k3 = 1 (do a.b.c ≠ 0)

=> k = 1; => a = b ; b = c ; c = a => a = b = c

Cách 3 : Đặt k

a

c c

b b

b b

a = = = => k3 = = = = = 1

abc

abc a

c c

b b

*Phân tích

- Dấu hiệu cho xuất hiện một dãy tỉ số bằng nhau và lũy thừa là:

3333 + 6666 = 9999 Nếu chỉ ra x = y = z thi đi đến được kết quả

- Kiến thức vận dụng là gì ? Bài toán số 12 là hương giải quyết.

Hướng giải

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

+ +

+ +

=

=

=

z y x

z y x x

z z

y

y

x

(Do x + y + z ≠ 0) ⇒ x = y; y = z; z = x ⇒ x = y = z Đặt x= y =z=k ≠ 0

Khi đó: A = 333399996666

z

y x

= 33339999. 6666

k

k k

Hướng giải

Ta có: xz = y2 ⇒

z

y y

x = (1) và xy = z2 ⇒

x

z z

y = (2)

Từ (1) và (2) ⇒

x

z z

y y

) (

z y x

z y

) (

k k k

k k

k+ + =

999

999

) 3 (

1.Cho ; ( 1 2 0 )

1

1 3

2 2

n n

n

a

a a

a a

a a a

Chứng minh rằng: a1 = a2 = =an

2 Cho

a

c c

b b

a = = và a = 2008 Tính b; c?

3 Cho

a

c c

b b

a

=

= ;a+b+c≠ 0 và a; b; c là những số khác 0 Tính A = 106030001940

c

b a

3 3

2 2

a

a a

a a

a a

a a

2 1

2 2

1

3 2

)

(

n

n na a

a a

a a

a

+ + + +

+ + +

(Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)

* Nhận xét: Thông qua các bài toán cơ bản trên thì có thể thấy việc giải

và phát triển qua từng bài sẽ làm cho học sinh tự tin, chủ động và hứng thú hơn trong quá trình giải toán

DẠNG 3

TÌM CÁC SỐ BIẾT TỔNG, HIỆU HOẶC TÍCH VÀ TỈ SỐ CỦA CHÚNG

* Bài toán cơ bản

Bài toán 16: Tìm các số x ; y biết

3 2

y x

= gợi cho các em lien tưởng đến mảng kiến thức nào?

Hướng giải

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:

3 2

= 2 5

z y x

2 5

42

2 6 50

5 21 6

− +

+ +

* Từ đó giáo viên phát triển các bài tập sau:

21 5

7 5

7

15 10 3 2 2

3

z y x y

z y z z y

y x y x y x

y x

= =>

14 9

2

2 y

x = =>

14 9

9

2 2

=

= +

+ y x

3 2

3 2

20 9 5 4 3 5 24

) 5 ( 4 12

) 3 ( 3 10

) 1 (

3 2

+ +

z y x

z y x

Do x+y+z≠ 0

2

1 2

+ +

z y x

=> x + y = 0.5 – z; y + z = 0.5 – x; x + z = 0.5 – y

Từ

Từ

Thay các giá trị vào dãy tỉ số trên ta được

1 + +1 = 2 → 0,5 − +1 = 2

x

x x

z x

⇔ 0.5 – y + 2 = 2y ⇔ y =

6 5

3 + − 3 = 2 ⇒ 0,5 − −3 = 2

z

z z

y

x ⇔ 0.5 – z - 3 = 2z ⇔ z = -

6 5

* Theo tinh thần trên giáo viên tiếp tục thể phát triển lên các dạng bài tập

* Bài toán phát triển

Tìm x ; y ; z biết

1

5

4 4

3 3

2x = y = z và x + y + z = 49

2

4

3 5

2 2

x = làm thế nào để xuất hiện dãy tỉ số trong đó có thành phần là (xy)?

từ đó giúp học sinh định hướng cách giải

Cách 2: Sử dụng tính chất của phép nhân ta có lời giải sau giải

Từ: xy = 90 => x ≠ 0 Nhân 2 vế của (1) với x ta có:

6 36

18 2

18 5

90 5 2

xy x

+ Nếu x = 6 => 15

5 2

6 = y = >y =

+ Nếu x = -6 => 15

5 2

Cách 3: Tính chất mở rộng của tỉ lệ thức ta có lời giải sau: