Phương pháp Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, HPT, BPT

Chúng ta đã biết, bài toán giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình là các bài toán rèn luyện tư duy rất tốt cho học sinh và nó ứng dụng rất nhiều trong các môn khoa học khác nhau. Vì vậy dạng toán này học sinh được học trong tất cả các cấp học và nó xuất hiện thường xuyên trong các đề thi từ thi Đại học đến thi học sinh giỏi các cấp. Các phương pháp và kỹ thuật giải cũng rất đa dạng, phong phú. Tuy nhiên phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình thì đến lớp 12 học sinh mới được tiếp cận đến. Những bài toán phương trình, hệ phương trình, bất phương trình giải được bằng phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số nói riêng ( PP sử dụng hàm số nói chung) xuất hiện với tần suất rất cao trong các đề thi trong nhưng năm gần đây đặt ra vấn đề là giáo viên phải trang bị cho học sinh của mình các kiến thức, kỹ năng cơ bản của phương pháp này.

MỞ ĐẦU

Chúng ta đã biết, bài toán giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình là các bài toán rèn luyện tư duy rất tốt cho học sinh và nó ứng dụng rất nhiều trong các môn khoa học khác nhau Vì vậy dạng toán này học sinh được học trong tất cả các cấp học và nó xuất hiện thường xuyên trong các đề thi từ thi Đại học đến thi học sinh giỏi các cấp Các phương pháp và

kỹ thuật giải cũng rất đa dạng, phong phú Tuy nhiên phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình thì đến lớp 12 học sinh mới được tiếp cận đến Những bài toán phương trình, hệ phương trình, bất phương trình giải được bằng phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số nói riêng ( PP sử dụng hàm số nói chung) xuất hiện với tần suất rất cao trong các đề thi trong nhưng năm gần đây đặt ra vấn đề là giáo viên phải trang bị cho học sinh của mình các kiến thức, kỹ năng cơ bản của phương pháp này

Với mục đích như trên, qua tham khảo nhiều tài liệu và thực tế giảng dạy, chúng tôi mạnh dạn viết ra chuyên đề nhỏ này để một là chúng tôi coi đây như một tài liệu dùng trong việc giảng dạy, hai là, muốn trao đổi, giao lưu học hỏi với các đồng nghiệp Chúng tôi biết chuyên đềnày đã được rất nhiều người đã viết, nhưng chúng tôi vẫn muốn đóng góp thêm một chút kiến thức của mình để làm phong phú thêm phương pháp này Trong thời gian hạn hẹp, với kiến thức

có hạn của mình nên không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong được sự góp ý của mọi người Chúng tôi xin chân thành cảm ơn

Lập Thạch, tháng 11 năm 2015

Các tác giả

NỘI DUNG

Tính chất 1: Nếu hàm số ( )f x liên tục và đơn điệu trên khoảng ( ; ) a b thì phương trình

f x  có nhiều nhất một nghiệm trong khoảng ( ; ) a b

Mở rộng: Nếu hàm số ( )f x liên tục và có đạo hàm đổi dấu n lần trên khoảng ( ; ) a b thì

phương trình ( )f x  có nhiều nhất 0 n 1 một nghiệm trong khoảng ( ; )a b

Tính chất 2: Nếu hàm số f x liên tục và đơn điệu trên khoảng ( ; )( ) a b thì phương trình

f  f v Û  với u v "u v, ( ; )a b

Tính chất 3: Nếu hàm số f liên tục và đơn điệu tăng trên ( ; ) a b thì ( ) f x f y( )Û  ( Nếu x y

f đơn điệu giảm thì ( ) f x  f y( )Û < ) với x y "x y, ( ; )a b

Việc chứng minh các tính chất trên rất đơn giản và trong áp dụng dụng tính chất thì học sinh cũng không phải chứng minh nên tôi không đưa ra các chứng minh ở đây

Lưu ý 1: Để dễ hiểu nên các tính chất ở trên được trình bày ngắn gọn như trên, nhưng tính đơn điệu của hàm số trong các tính chất đó được mở rộng như sau:

Nếu hàm số ( )f x liên tục trên khoảng ( ; ) a b hoặc đoạn [ ; ] a b hoặc nửa đoạn ( ; ], [ ; )a b a b

và có '( )f x ³ ( hoặc '( ) 00 f x  ) ( với '( ) f x  hoặc không xác định tại hữu hạn điểm) trên 0trên khoảng ( ; )a b thì hàm số ( ) f x đơn điệu trên khoảng ( ; ) a b ( hoặc đoạn [ ; ] a b hoặc nửa đoạn

+ Đưa phương trình về dạng ( )f x  0 hoặc ( )f x  (  là hằng số) 

+ Xét hàm số ( )f x , chứng minh hàm số đơn điệu.

+ Nhẩm nghiệm và suy ra nghiệm duy nhất của phương trình

Ví dụ 1 Giải phương trình sau: 2x - 1 4x2- 3 2 (1)

Lời giải

2

f x  có nhiều nhất một nghiệm trên [ 3; )

2 ¥ Mà (1)f  suy ra 0 x 1 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho

Nhận xét : Ta thấy phương trình có 3 loại căn bậc nên dùng phép biến đổi tương đương hoặc

đặt ẩn phụ đều khó khăn, thậm chí liên hợp cũng rất cồng kềnh mặt khác ta có thể dễ dàng nhìn thấy sự đơn điệu của hàm số vế trái nên ta có thể nghĩ đến dùng hàm số.

Vậy hàm số ( )f x liên tục và đồng biến biến trên 1;

;5

Nhận xét: Ta nhận thấy phương trình có cả căn bậc hai và căn bậc 3, biểu thức trong các căn

thức lại có bậc khác nhau nên dùng phép biến đổi tương đương hoặc đặt ẩn phụ đều rất khó khăn Nên ta nghĩ đến nhẩm nghiệm rồi liên hợp hoặc sử dụng tính đơn điệu của hàm số.

Lời giải

Điều kiện:

3

15

-

-Suy ra hàm số ( )f x đơn điệu tăng trên khoảng

Suy ra hàm số ( )f x nghịch biến trên R nên phương trình ( ) f x  0 có nhiều nhất một nghiệm

Mà (1)f  suy ra 0 x 1 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho

Ví dụ 5 Giải phương trình x  3x  1 x2  x 1

Lời giải

Điều kiện: x ³0

Phương trình đã cho tương đương với phương trình sau: x  3x  -1 (x2   x 1) 0

Xét hàm số f x( ) x  3x  -1 (x2  x 1) trên [0;¥ Hàm số ( )) f x liên tục trên

các biểu thức thêm bớt để liên hợp như trên.

Để biến đổi được như trên ta làm nháp như sau: Ta biết trước hai nghiệm của phương trình là 0

x  và x 1( Bằng cách nhẩm hoặc dùng MTCT) Khi phương trình có hai nghiệm thì việc thêm bớt hằng số là không khả thi vì khi đó vẫn còn nghiệm nữa trong một phương trình phứctạp hơn khi ta liên hợp xong Ta để ý vì có hai nghiệm như trên nên khi liên hợp xong, các sốhạng sẽ có thừa số là (x x - Do đó ta phải thêm bớt các biểu thức dạng x1)  b như sau:

Để hiểu rõ hơn về cách liên hợp như trên mời các bạn thực hành với bài sau:

B2: Dựa vào hàm đặc trưng để biến đổi vế phức tạp của phương trình về dạng giống với hàm đặc trưng.

B3: Đưa phương trình về dạng ( )f u  f v( ) Xét hàm đặc trưng ( )f t chỉ ra ( ) f t đơn điệu suy ra

u v

Ví dụ 6 Giải phương trình sau 3x  2 3x  1 32x2  1 32x2 (*)

Nhận xét: ta thấy biểu thức dưới dấu căn của hai vế đều có dạng giống nhau là:

11,

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 1

Ví dụ 8 Giải phương trình sau x3 3x2 -3 33 x   -5 1 3x

Lời giải

Ta có x3 3x2-3 33 x   -5 1 3x Û(x 1)3 3(x  1) (3x  5) 3 (33 x 5) (*)

Xét hàm số f t( )t3 3 ,t t R

Ta có f t'( )3t2  3 0, " t R suy ra hàm ( )f t đồng biến và liên tục trên R

Phương trình (*)Û f x(  1) f( 33 x 5)Û  x 1 3(3x 5) ( do f đơn điệu tăng trên R)

+ Bằng kinh nghiệm ta thấy phương trình đã cho sẽ đưa được về dạng ( )f u  f v( )

+ Làm sao để biến đổi phương trình đã cho về dạng :

(x 1) 3(x  1) (3x  5) 3 (3x 5) ?

Ta thấy dạng của hàm ( )f t sẽ là bậc 3 ( có lũy thừa bậc 3 và căn bậc 3) và trong đó không có số

hạng bậc 2 và tự do ( vì không có biểu thức 3(3x 5)2 , tự do thì rút gọn hai vế) Do đó

Lưu ý:

+ Ở phương trình trên với u  -3 ,x v2x  1 u v R,  Nếu ta xét hàm số

4 2

f t  t  t  t t R thì hàm ( )f t không đơn điệu trên R nên sẽ không áp dụng được

tính chất 2 Do đó, đôi khi ta phải thu nhỏ tập khảo sát bằng các đánh giá dựa và điều kiện có nghiệm của phương trình Như ở phương trình trên ta đánh giá đư ợc 1 0

u v ³ nên ta xét hàm số f t( )2t t4 3 ,t t2 ³0

+ Phương trình dạng ( )f u  f v( ) với u D v D 1,  2 thì ta phải xét hàm số ( )f t trên tập D

chứa được cả tập D1 và D2tức là D1 ÈD2 ÌD, tất nhiên là D1 D2 phải khác tập rỗng

Phương trình đã cho tương đương với

Vậy phương trình có hai nghiệm là x 0,x  1

Ví dụ 13 Giải phương trình x3 - 4 3x2 4 (1) ( Báo THTT)

Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau

II ỨNG DỤNG TRONG GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Ví dụ 1 Giải bất phương trình sau x  -6 7- ³x 1 (1)

Nhận xét: BPT trên có thể giải bằng các bình phương hai lần, nhưng ta dễ dàng nhận thấy hàm

số vế trái đơn điệu và nhẩm được dấu bằng tại x 3 nên ta có thể sử dụng tính chất 3 để giải bài này sẽ ngắn gọn hơn

trên [-6;7] Ta thấy (3)f  nên bất phương trình (1)1 Û f x( )³f(3)Û ³x 3

Kết hợp với điều kiện (*) ta có tập nghiệm của (1) là [3;7]

Lưu ý: Ta có thể hiểu để giải BPT ( ) f x  0 trên ( ; )a b thì ta đi giải phương trình ( ) f x  và0chia tập ( ; )a b thành các khoảng giả sử ( ; )a x1 , ( ; )x x1 2 ….( ;b)x n ( trong đó x1 <x2 < < x n là các nghiệm của ( )f x  ) trong mỗi khoảng đó ( )0 f x có một loại dấu, ta chỉ việc chọn các

khoảng sao cho ( )f x  lấy làm tập nghiệm Ở đây ta sử dụng tính đơn điệu của hàm số để0chọn khoảng nghiệm của BPT

Ví dụ 2 Giải bất phương trình sau x  5 2x  <3 9

- ¥ Ta thấy (11) 9f  nên bất phương trình (1)Û f x( )< f(11)Û <x 11

Kết hợp với điều kiện (*) ta có nghiệm của (1) là 3 11

-  <

Ví dụ 3 Giải bất phương trình sau: 6 8 6 (1)

3-x  2-x <

Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của (1) là 2<  x 3

Ví dụ 5 Giải bất phương trình sau: x2 15 3x - 2 x2 8

Vậy nghiệm của BPT là x <1

Bài tập tương tự: Giải các bất phương trình sau

III ỨNG DỤNG TRONG GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Phương pháp : Tương tự các phương pháp giải phương trình ở phần I

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau:

Hàm số ( )f t liên tục và có f t'( ) 3t2  3 0, " t R suy ra ( )f t đồng biến trên R.

Nên phương trình (*)Û f x( ) f y( )Û  thay vào (2) ta có được phương trìnhx y

5

Vậy hệ có nghiệm duy nhất x 2,y 2

Nhận xét: Từ phương trình (1) đ ể suy ra x y ta có thể biến đổi tương đương(x y x- )( 2 y2 xy3)0, với x2 y2 xy  3 0 vô nghiệm Nhưng nhiều bài toán nếu dùng biến đổi tương đương như trên ngoài phương trình x y còn phương trình nữa

mà ta giải hoặc chứng minh vô nghiệm là khó khăn, nên trong những trường hợp này thì dùng hàm số là đơn giản nhất, như ví dụ dưới đây.

Ví dụ 2 Giải hệ phương trình sau:

Trở lại bài toán ta có :

2

Vậy hệ có nghiệm duy nhất x   y 1

Ví dụ 3 Giải hệ phương trình sau: 1 1 0 (1)

khoảng [0;1] Nên phương trình (*)Û f x( ) f y( )Û x y

Thay x y vào phương trình (2) ta được: x  1- x 2 Û2 (1x -x)1

Nhận xét: Bài này nhiều học sinh nhìn ra yếu tố hàm số nhưng không để ý kỹ sẽ mắc sai lầm

î mà ta chỉ xét t ³0 thì lời giải sai.

Ở bài này để tránh sai lầm như trên thì việc đầu tiên là ta phải thu nhỏ điều kiện của y bằng cách

đánh giá điều kiện có nghiệm của hệ ta được y ³ sau đó mới giải tiếp như trên.0

Nên phương trình (*)Û f u( ) f v( )Û  Ûu v 4x-  Û 1 y x y4  thay vào phương 1trình (2) ta có:

Nhận xét : Bài này học sinh rất dễ dàng nhìn ra yếu tố hàm số nhưng không đơn giản là cứ nhìn

ra biểu thức giống nhau hai vế là dùng hàm số được HS hay mắc sai lầm như sau :

Lời giải ở trên mắc sai lầm ở chỗ là : hàm số ( )f t liên tục đơn điệu tăng trên hai khoảng

(-¥;0) và (0;¥ nên ta không thể kết luận (1)) Û f x( ) f y( )Û x y ( vì có thể còn có nghiệm x ¹y nữa)

Thật vậy (1) vẫn còn có nghiệm x ¹y nữa khi ta biến đổi như sau :

suy ra :

1

21

2

x y

Hàm số liên tục và có f t( )3t2-12<0,"  -t ( 2;2) suy ra hàm số nghịch biến trên ( 2;2)- Nên phương trình (*)Û f x( - 1) f y(  Û -   Û  -1) x 1 y 1 y x 2

Lời giải

ĐK: x ³ -3

Phương trình (1)Û(x -1)3 3(x- 1) (y-2)3 3(y-2) (3)

Xét hàm số f t( )t3 3 ,t t R có f t'( )3t2   "  , suy ra ( )3 0 t R f t đồng biến trên R.

Nên phương trình (3)Û f x( - 1) f y( -2)Û -  - Û  - ( suy ra x 1 y 2 x y 1 y ³ - )2Thay x  - vào phương trình (2) ta được phương trình: y 1

Suy ra (*) vô nghiệm

Với y  ® 7 x 6 vậy hệ có nghiệm duy nhất ( ; )x y (6;7)

Nhận xét: Ta thấy có những bài khi nhìn vào phương trình nào đó của hệ ta nhận ra ngay yếu tố

hàm số, nhưng với nhiều bài khó hơn thì đôi khi ta phải biến đổi tinh tế thì mới áp dụng được được hàm số Như một số ví dụ dưới đây

Ví dụ 8 Giải hệ phương trình sau

Mà (1)g  suy ra 6 x 1 là nghiệm duy nhất của (4)

Từ x 1 suy ra 1

2

y  (thỏa mãn điều kiện)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là: ( ; ) (1; )1

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: ( ; ) 3 1; , ;3 1

Vậy hệ có hai nghiệm x  y 1,x  y 6

Ví dụ 11 Giải hệ phương trình sau

Nên phương trình (*) f( )x f y( ) x y2

y

Û  Û  , thay vào (2) ta được phương trình:

Ví dụ 12 Giải hệ phương trình sau

3 4

Có f x'( ) -3x2 2x- < "2 0 x suy ra hàm số nghịch biến trên [1;¥)

Còn hàm số ( ) đồng biến trên [1;¥), nên phương trình (*)Û f x( )g x( ) có nhiều nhất một nghiệm, mà f(2)g(2) x 2 là nghiệm duy nhất của phương trình.

Vậy hệ có nghiệm duy nhất: x 2,y 1 .

Lưu ý: Bài trên ta sử dụng kết quả sau: Hàm số f x( ) đồng biến trên ( ; )a b , hàm số g( )x nghịch biến

( ; )a b suy ra hàm số h x( ) f x( )-g x( ) đồng biến trên ( ; )a b Nên phương trình

h x  f x -g x  có nhiều nhất một nghiệm ( theo tính chất 1) hay phương trình f x( )g x( )

có nhiều nhất một nghiệm trên ( ; )a b .

Ví dụ 13 Giải hệ phương trình sau

3 3



- -

Từ bảng biến thiên suy ra phương trình ( )f y  chỉ có đúng hai nghiệm, mà ( 1)0 f - f(2) 0

2

x  - y  - x  y 

Lưu ý : Ta thấy ( ) f y đồng biến và nghịch biến trên nhiều khoảng ( ba khoảng) nhưng dựa vào

bảng biến thiên ta vẫn kết luận được số nghiệm chính xác của phương trình ( )f y  Nên đôi 0khi hàm số không đơn điệu ta nên lập bảng biến thiên để suy ra số nghiệm của phương trình

Bài tập tương tự: Giải các hệ phương trình sau

y y