Giúp học sinh lớp 12 học tốt phần ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng

Lí do chọn đề tài: Vấn đề diện tích của các hình quen thuộc như tam giác, tứ giác, ngũ giác,lục giác,… gọi chung là đa giác học sinh đều đã biết công thức tính diện tích từcác lớp dưới.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRUNG TÂM GDNN – GDTX THỌ XUÂN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

TÊN ĐỀ TÀI GIÚP HỌC SINH LỚP 12 HỌC TỐT PHẦN ỨNG DỤNG

MỤC LỤC

Trang

PHẦN I MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài ……… 1

2 Mục đích của đề tài ……… ……… 1

3 Đối tượng nghiên cứu ……… 1

4 Phương pháp nghiên cứu ……… 1

PHẦN II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm ……… 3

2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm … 3

3 Diện tích hình phẳng ……… 3

3.1 Hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số và trục hoành 3

3.2 Hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số 11

4 Hiệu quả đạt được sau khi áp dụng SKKN ……… 17

PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 1 Kết luận ……… 18

2 Kiến nghị ……… 18

Tài liệu tham khảo ……… 19

PHẦN I: MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài:

Vấn đề diện tích của các hình quen thuộc như tam giác, tứ giác, ngũ giác,lục giác,… gọi chung là đa giác học sinh đều đã biết công thức tính diện tích từcác lớp dưới Đây là một vấn đề rất thực tế nhưng để học tốt nó vốn khôngđơn giản đối với các học sinh có tư duy hình học yếu, đặc biệt là tư duy cụ thểhoá, trừu tượng hoá.Việc dạy và học các vấn đề này ở chương trình toán lớpdưới vốn đã gặp rất nhều khó khăn

Do đó khi học về vấn đề mới: vấn đề diện tích của các hình phẳng, ởchương trình giải tích 12 học sinh gặp rất nhiều khó khăn Hầu hết các em họcsinh thường có cảm giác “sợ” bài toán tính diện tích hình phẳng Khi học vấn đềnày nhìn chung các em thường vận dụng công thức một cách máy móc chưa có

sự phân tích, thiếu tư duy thực tế và trực quan nên các em hay bị nhầm lẫn, họckhông giải được, đặc biệt là những bài toán cần phải có hình vẽ để “chia nhỏ”diện tích mới tính được Thêm vào đó trong sách giáo khoa cũng như các sáchtham khảo có rất ít ví dụ minh hoạ một cách chi tiết để giúp học sinh học tập vàkhắc phục “những sai lầm đó” Càng khó khăn hơn cho những học sinh có kỹnăng tính tích phân còn yếu và kỹ năng “đọc đồ thị” còn hạn chế

Vì vậy tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm với tên là: “ GIÚP HỌC

SINH LỚP 12 HỌC TỐT PHẦN ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG”

2 Mục đích của đề tài:

Nhằm giúp cho học sinh lớp 12 rèn kỹ năng tính tích phân, đặc biệt làtích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối, rèn kỹ năng đọc đồ thị của hàm số, vàkhắc phục những khó khăn , sai lầm khi gặp bài toán tính diện tích hình phẳng

Từ đó giúp học sinh phát huy tốt kiến thức về diện tích mà học sinh đã học ởlớp dưới, thấy được tính thực tế và sự liên hệ nội tại của vấn đề này trongchương trình toán , học sinh sẽ cảm thấy hứng thú, thiết thực và học tốt vấn đềứng dụng của tích phân Đây là một tài liệu tham khảo rất tốt cho học sinh đểluyện thi THPT quốc gia

3 Đối tượng nghiên cứu:

Kiến thức môn toán như đã trình bày đóng vai trò nền tảng Vì vậy để giúphọc sinh lớp 12 học tốt phần ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng làvấn đề không chỉ của riêng một cá nhân giáo viên dạy toán nào Tuy nhiên, đểđạt hiệu quả rõ ràng trong việc nghiên cứu và thể nghiệm trong đề tài này tôichủ yếu tập trung đi sâu vào các phương pháp dạy học toán như rèn kỹ phântích, kỹ năng đọc đồ thị để xét dấu các biểu thức, kỹ năng “ chia nhỏ” hìnhphẳng để tính, kỹ năng cộng , trừ diện tích và phát huy tính linh hoạt sáng tạocho học sinh lớp 12 Các bài toán được đề cập đến trong đề tài thuộc phạm visách giáo khoa, sách bài tập, sách tham khảo đảm bảo tính vừa sức đối với cácem

4 Phương pháp nghiên cứu:

- Nghiên cứu về phương pháp dạy học sinh lớp 12 thi THPT quốc gia trong cácnăm giảng dạy

- Đề tài này được hoàn thành trên phương pháp thống kê, tổng hợp, trao đổi vàtổng kết các năm học, quan sát, phân tích nguyên nhân và phương pháp thựcnghiệm sư phạm Kinh nghiệm của các đồng chí giáo viên và bản thân quanhiều năm dạy học.

PHẦN II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

1 Cơ sở lí luận

Xuất phát từ việc giải toán đi kèm với tư duy, tính toán Mặt khác Toán học

là một môn khoa học yêu cầu phải chính xác do đó học sinh dễ nhàm chán, cảmthấy khó khăn khi tiếp thu Việc học tập môn Toán có tính kế thừa, các tiết sauvận dụng các tiết trước cũng như các kiến thức khác đã học qua ở trước đó do

đó nếu học sinh lơ là không chú ý ở một tiết, một nội dung nào đó thì sẽ rất khókhăn khi học, tiếp thu kiến thức ở các tiết sau

2 Thực trạng của vấn đề :

Chủ đề ứng dụng của tích phân là một trong những kiến thức cơ bản ởchương trình toán giải tích lớp 12 Việc dạy và học vấn đề này học sinh giúp họcsinh hiểu rõ ý nghĩa hình học của tích phân, đặc biệt là tính diện tích của hìnhphẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số Đây cũng là một nội dung thường gặptrong các đề thi THPT quốc gia Nhìn chung khi học vấn đề này, đại đa số họcsinh thường gặp những khó khăn, sai lầm như :

- Nếu không có hình vẽ thi học sinh thường không hình dung được hình phẳng

Do dó học sinh có cảm giác “xa lạ” hơn so với khi học về diện tích của hìnhphẳng đã học trước đây Học sinh không tận dụng được kiểu “tư duy liên hệ cũvới mới” vốn có của mình khi nghiên cứu vấn đề này

-Học sinh chưa thực sự hứng thú và có cảm giác nhẹ nhàng khi học vấn đề này,trái lại học sinh có cảm giác nặng nề, khó hiểu

- Học sinh thường chỉ nhớ công thức tính diện tích hình phẳng một cách máymóc, khó phát huy tính linh hoạt sáng tạo, đặc biệt là kỹ năng đọc đồ thị để xétdấu các biểu thức, kỹ năng “ chia nhỏ” hình phẳng để tính; kỹ năng cộng, trừdiện tích Đây là một khó khăn rất lớn mà học sinh thường gặp phải

Trước khi thực hiện sáng kiến của mình, kết quả khảo sát lực học của 102 họcsinh khối 12 trong phần ứng dụng của tích phân tính diện tích hình phẳng nhưsau:

3.1 Hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số và trục hoành.

a/ Công thức tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

y = f(x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b

Chú ý : Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn a ; b

Khi đó hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b có diện tích là S và được tính theo công thức:

S ( ) ( )

 Nếu f(x)  ,  x a ; b thì    

b a

b a

dx x f dx

x f

 Muốn “phá” dấu giá trị tuyệt đối ta phải xét dấu của biểu thức f(x)

Thường có hai cách làm như sau :

- Cách 1: Dùng định lí “dấu của nhị thức bật nhất” , định lí “dấu của tam thức bậc hai” để xét dấu các biểu thức f(x) ; đôi khi phải giải các bất phương trình f(x) ≥ 0 , f(x) ≤ 0 trên đoạn a ;b

- Cách 2: Dựa vào đồ thị của hàm số y =f(x) trên đoạn  a ; b  để suy ra dấu của f(x)

2 4 2

Giải:

Xét dấu nhị thức bậc nhất f(x) = 2x + 4

x -∞ -2 +∞ f(x)=2x + 4 - 0 +

Suy ra 2x40 ,x-2;0

2

0 ) 4 ( ) 4 2 ( 4

dx x I

Xét dấu tam thức f(x) = - x2 + 2x – 2 , có

0121)2)(

1(1

()22(2

3

0 2 3

0

2 x dx x x dx x x x x

60693

270

.203

03.23

23

2

x

x x

x

x -∞ 0 1 2 +∞f(x)= x2 - 3x + 2 + 2 + 0 - 0 +Suy ra f(x)  0 ,  x  0;1 và f(x)  0 ,  x  1;2

2

1 2 1

0 2 2

0

2 3x 2dx (x 3x 2 )dx (x 3x 2 )dx x

K

1

2 ) 2 2

3 3

( 0

1 ) 2 2

3

3

(

2 3

2 3

x x

x x

x x

Bài toán 1: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 2x + 4 ,trục hoành , các đường thẳng x = - 2 , x = 0

Diện tích S của hình phẳng trên là S  x dx





 0

2 4 2

Từ hình vẽ , suy ra 2x4 0 ,x-2;0

2

0 ) 4 ( ) 4 2 ( 4

dx x

-2 O A 1 B

Hình 4Hình phẳng trên được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x2 , trục hoành và hai đường thẳng x = 0 , x = 2

Giải:

Diện tích S của hình phẳng trên là S x dx

2

0 2

Vì x2  0 ,  x 0;2

3

8 3

0 3

2 0

2 ) 3 (

3 3 3

2 0 2 2

-2 O A 1 B

Hình 6Giải:

Diện tích S của hình phẳng trên là S  x dx

9 0 2 2

0 3 2 2

3 0

3 ) 2 2 ( ) 2 ( 2

2 2

2 3

4

Hình 12 Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ) , trục hoành , trục tung

Khi đó để tính tích phân 

b a

dx x f

x f dx x f dx x f

S ( ) ( ) ( ) ( )

2

1 1

3 2

0

2 3

20214

11

2)24

(0

1)24

2

5214

1484

0

2 3 2

0

2

3 3x 2dx (x 3x 2)dx (x 3x 2)dx x

S

2

5 4

5 4

5 4

5 4

5 1

2 ) 2 4

( 0

1 ) 2 4

( 4  3   4  3       

Bài toán 5: Cho hàm số y = x4 - 3x2 + 2 có đồ thị ( C ) (Hình 13 )

(C) y

x

f x   = x 4 -3x 2+2

3

2 -1

4

B

Hình 13 Hãy tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ( C ) , trục hoành , và haiđường thẳng x = - 1 , x = 1

1)25

()23

(2

1

1

5 2

4 1

1

2 4

x dx x

x dx

x x

Bài toán 6 : Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = xlnx ,trục hoành , trục tung và đường thẳng x = e (Hình 16)

A

e

Hình 16GiảiTrục tung có phương trình x = 0

e e

xdx x

dx x x S

1 1

ln ln

2

x v

dx x du xdx

dv

x u

Do đó

4

11

421

ln2

1.21

ln2ln

2 2

x xdx x

S

e e

Khi x = 0 => u = 4

Khi x =1 => u = 9

2 3

5

1 5

1 5

3 9

4 2 1 9

4

Hình 21Giải:

2 1

3 2

2 2

2 3

0 2 3

0

2 3x 2dx x 3x 2dx (x 3x 2 )dx (x 3x 2 )dx (x 3x 2 )dx x

S

6

11 6

1/ Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau :

a) y = x2 , trục hoành và hai đường thẳng x = -2 , x = 1

3.2.Hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số

* Công thức tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số :

Cho hai đồ thị của hai hàm số y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x =b(a<b)

Hình phẳng giới hạn bởi bốn đường y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng

x = a, x = b có diện tích S được tính theo công thức:

dx x g x f S b

ln

x

Vì x > 0 nên x(lnx 1)0  lnx 10 lnx 1 x e

Vậy hoành độ giao điểm của hai đồ thị đã cho là x = e

Trên đoạn 1 ; e phương trình xlnx – x = 0 chỉ có một nghiệm x = e

Hình phẳng giới hạn bởi bốn đường y =xlnx , y = x và hai đường thẳng

x = 1, x = e có diện tích S được tính theo công thức :

dx x x

e e

xdx x

x dx

x x x dx

x x

x

S

1 1

1 1

ln)

ln(ln

4

32

124

11

24

x dx

x x x

x x

2

0

2 2

0

2 3

2

Hoành độ giao điểm của hai đồ thị trên là nghiệm của phương trình :

0)12()12(0

122

44

2

; 0 1

2

; 0 2 1

0 1

0 1 2 0

) 1 )(

1

2

x x

x x

x x

x

7 6

35 6

7 )

1 )(

1 2 ( )

1 )(

-3 -2 -1

3 2 1

Hình 26Giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = x2 -3x + 2 và đường thẳng

3 4 1

x x

x x

Suy ra diện tích của hình phẳng trên là :

dx x x dx x

x

x

3 1 2 3

4 1

3 ) 3 2 3 ( )

3 4

41

3)32

3()

34

4

1

3 ) 3 2 3 ( )

3 4 ( 3

1 2 3

Bài toán 4 Cho hàm số y = x3 – 3x + 2 có đồ thị (C )

a/ Viết phương trình tiếp tuyến  của đồ thị (C ) tại điểm có hoành độ bằng 2 b/ Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ) , đường thẳng x = 1 và tiếp tuyến 

(C)

x y

-5

2

-2 -3 -1

3

1

Hinh 28Giải :

1612(

1612)

149(23

2

1 3 2

1 3 2

(C) d

x y

-2 4

-3 -1

3 2 1

O 1

Hình 29Giải :Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị đã cho là :

016

43

04

)143

4

1(4

3

2 2

x

x x

x x

x x

x x x

x

Diện tích của hình phẳng đã cho là :

dx x

x dx

x x dx

x

x dx

0

0

2

2 2

3

4

14

344

3

4

dx x

416

(9

14

169

14

162

36

16

16

3 16

4 2 1 16

112 4

9

56 56 9

56 4

1 9

y = 2 , y = -2x – 4 (Hình 29).Tính diện tích của hình phẳng đó

−10 −8 −6 −4 −2 2 4 6

−2

2 4

x

Hình 31Bài 2 Tính diện tích của hình phẳng sau :

Hình 32Biết rằng (C ) là đồ thị của hàm số

1

2 3

điểm (4 ;0) và ( 0 ; - 4) ; đường thẳng  là tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 1

Bài 3 Cho hình phẳng (H) được giới hạn bởi hai đường parabol (P) và đường thẳng (d) như hình vẽ sau :

Hình 35Biết rằng parabol (P) đi qua gốc toạ độ O(0,0) và điểm A(2; -4); đường thẳng (d) đi qua hai điểm A(2 ; -4 ) và B(-2 ; 0)

Tính diện tích của hình phẳng đã cho

Bài 4 Cho hình phẳng sau giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) = x(x +1)(x-2) và trục hoành

(

- 6 - 4 - 2 2 4

- 2

2 4

x

Hinh 37a/ Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị hàm số y =f(x) với trục hoành

b/ Tính diện tích của hình phẳng trên

Bài 5 Tính diện tích của hình phẳng giới parabol y = x2 - 2x + 2 , tiếp tuyến với parabol tại điểm M(3 ; 5) và trục tung

Bài 6.Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y =x3 , y = 2 - x2 ,

Tính diện tích của hình phẳng trên

Bài 8 Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 0; y = x3 - 3x2 + 3x - 1 và tiếp tuyến của đường cong đó tại điểm có hoành độ x = 3

Bài 9 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường

y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng

Tính diện tích của hình phẳng trên

Bài 12 Cho hình phẳng sau được giới hạn bởi các đường

1 2

x y

Hình 39a/ Tính diện tích của hình phẳng trên

Bài 13.Tính diện tích của hình phẳng sau :

x y

Hình 40Bài 14 Cho hàm số

2

33

a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số đã cho

b/ Viết phương trình tiếp tuyến (d) của đồ thị (C ) tại điểm uốn

c/ Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ), trục tung và tiếp tuyến (d)

x y

Hình 41

2.4 Hiệu quả đạt được sau khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:

Trong năm học 2018 – 2019 bản thân tôi được giao nhiệm vụ giảng dạy mônToán 12 cùng với những thuận lợi và những khó khăn gặp phải trong quá trìnhgiảng dạy như tôi đã trình bầy, tôi đã trăn trở suy nghĩ tìm các biện pháp vớimục đích không phải cái gì khác mà chỉ muốn làm cho chất lượng dạy học củamôn mình được phân công được phát triển tốt, các em có ý thức học tập mônToán và đạt kết quả tốt hơn

Sau khi thực hiện sáng kiến của mình, kết quả khảo sát lực học của 102 họcsinh khối 12 trong phần ứng dụng của tích phân tính diện tích hình phẳng nhưsau:

3.2.1 Với giáo viên:

- Trong từng tiết dạy cần kế thừa và phát triển những phương pháp tích cực,nên áp dụng rộng rãi dạy học các phương pháp tìm tòi, đặt – giải quyết vấn đề,chú ý phương pháp tự học của học sinh

3.2.2 Với ban giám đốc:

- Là những người chịu trách nhiệm việc đổi mới phương pháp dạy họctrong trung tâm, nên cần có những biện pháp tổ chức quản lí phù hợp để khuyếnkhích, tạo điệu kiện cho giáo viên áp dụng các phương pháp dạy học tích cựcngày càng rộng rãi, thường xuyên và có hiệu quả hơn

3.2.3 Với lãnh đạo:

- Chương trình SGK đổi mới đã mang lại sự chyển biến mạnh mẽ trongquá trình dạy và học, trong đó người học đóng vai trò chủ thể của nhận thức Từhiệu quả của đề tài trên tôi mạnh dạn đề xuất cần bổ sung thêm nhiều tại liệuthiết thực và hiệu quả vào thư viện nhà trường giúp học sinh tự tìm tòi nghiêncứu trong quá trình học tập

Trên đây là sáng kiến kinh nghiệm đã tôi áp dụng vào thực tế dạy học trongquá trình giảng dạy môn toán khối 12 và đã đạt được những kết quả nhất định,rất mong được sự đóng góp ý kiến của các bạn bè đồng nghiệp và của cấp trên

để cho sáng kiến của tôi ngày một hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG

ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2019

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,không sao chép nội dung của người khác

Mai Phương Thảo

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Sách giáo khoa toán 12 - Nhà xuất bản giáo dục

2 Sách bài tập toán 12 - Nhà xuất bản giáo dục

3 Bài giảng chuyên sâu Toán THPT – Giải Toán, Giải tích 12 – Lê Hồng Đức - Nhà xuất bản, Hà Nội

4 Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập toán giải tích 12 – Lê Thị Hương ( Chủ Biên ) – Nhà xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội

DANH MỤC

CÁC ĐỀ TÀI SKKN ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI

CẤP SỞ GD & ĐT XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

Họ và tên: Mai Phương Thảo

Chức vụ, đơn vị công tác: Giáo viên Trung tâm GDNN – GDTX Thọ Xuân

TT Tên đề tài SKKN Cấp đánh giá

xếp loại ( Ngành

GD )

Kết quả đánh giá xếp loại ( A, B,

C )

Năm học đánh giá xếp loại

1

Khai thác bài toán

cực trị trong hình

học không gian nâng

cao hiệu quả giải bài