M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC M khỏc B, C.Tia AM cắt đường thẳng CD tại N.. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC.. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xu
Trang 1Ngày soạn:11/2/2019
Ngày giảng:13/2/2019
Tuần 25: Buổi 13: Chuyên đề 9
CÁC BÀI TOÁN HèNH HỌC THƯỜNG GẶP TRONG KỲ THI HSG TOÁN 8
Cõu 1 : Cho hỡnh vuụng ABCD cú AC cắt BD tại O M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC
(M khỏc B, C).Tia AM cắt đường thẳng CD tại N Trờn cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = CM
a) Chứng minh : ∆OEM vuụng cõn
b) Chứng minh : ME // BN.
c) Từ C kẻ CH BN ( H BN) Chứng minh rằng ba điểm O, M, H thẳng hàng.
a
3
đ
Xột ∆OEB và ∆OMC
Vỡ ABCD là hỡnh vuụng nờn ta cú OB = OC
1 1 45
B C
BE = CM ( gt )
Suy ra ∆OEB = ∆OMC ( c g.c)
OE = OM và O1O 3
Lại cú O2O 3 BOC 900 vỡ tứ giỏc ABCD là hỡnh vuụng
2 1
O O EOM 900 kết hợp với OE = OM ∆OEM vuụng cõn tại O
b
2đ
c
1đ
Gọi H’ là giao điểm của OM và BN
Từ ME // BN OME OH E ' ( cặp gúc so le trong)
Mà OME 450 vỡ ∆OEM vuụng cõn tại O
1
'
H' 1
1
3 2 1 E
N H
M O
D
C B A
Trang 2Vậy 0
BH C BH M MH C CH'BN
Câu 2: Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD Gọi E, F lần lượt là
hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD
a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ?
b) Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK
c) Ch ng minh r ng : AB.AH + AD.AK = ACứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC ằng : AB.AH + AD.AK = AC 2
E
K
H
C
A
D B
A
Ta có : BEAC (gt); DFAC (gt) => BE // DF
Chứng minh : BEODFO g c g( )
=> BE = DF
Suy ra : Tứ giác : BEDF là hình bình hành
B
Ta có: ABCADC HBC KDC
Chứng minh : CBH CDK g g( )
CH CD CK CB
B,
Chứng minh : AF DAKC g g( )
AF
AK
AD AK F AC
Chứng minh : CFDAHC g g( )
AD
b Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy
c Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất
Trang 3M F
E
B A
Câu 3
(6 điểm)
HV + GT + KL
b DE, BF, CM là ba đường cao của EFC đpcm
c Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi
AEMF
M
Bài 4: Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O Đường thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M và N
a, Chứng minh rằng OM = ON
b, Chứng minh rằng
MN CD AB
2 1 1
c, Biết SAOB= 20082 (đơn vị diện tích); SCOD= 20092 (đơn vị diện tích) Tính SABCD Bài 6 (5 điểm)
a, (1,5 điểm)
Lập luận để có
BD
OD AB
OM
AC
OC AB
ON
Lập luận để có
AC
OC DB
OD
AB
ON
AB
OM
b, (1,5 điểm)
Xét ABD để có
AD
DM AB
OM
(1), xét ADCđể có
AD
AM DC
OM
CD AB
1 1
) 1
AD
AD AD
DM AM
0,5đ
CD AB
0,5đ
CD
2 1 1
b, (2 điểm)
OD
OB
S
S
AOD
AOB
OD
OB S
S
DOC
BOC
AOD
AOB
S
S
DOC
BOC
S
S
Thay số để có 20082.20092 = (SAOD)2 SAOD = 2008.2009
0,5đ
sao cho HD = HA §êng vu«ng gãc víi BC t¹i D c¾t AC t¹i E
Trang 42 Gọi M là trung điểm của đoạn BE Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng Tính số đo của góc AHM
BC AH HC .
có:
Góc C chung
vuông CDE và CAB đồng dạng)
Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c)
Suy ra: BECADC 1350(vì tam giác AHD vuông cân tại H theo giả thiết).
Nên AEB 450 do đó tam giác ABE vuông cân tại A Suy ra:
BEAB m
4.2
BC BC AC (do BECADC)
mà AD AH 2 (tam giác AHD vuông vân tại H)
Do đó BHM BEC (c.g.c), suy ra: BHM BEC 1350 AHM 450
AC DC HC HC
GC HC GB GC HD HC BC AH HC
Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đờng cao AH (HBC) Trên tia HC lấy
điểm D sao cho HD = HA Đờng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E
5 Gọi M là trung điểm của đoạn BE Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng Tính số đo của góc AHM
BC AH HC .
có:
Góc C chung
vuông CDE và CAB đồng dạng)
Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c)
Suy ra: BECADC1350(vì tam giác AHD vuông cân tại H theo giả thiết).
Nên AEB 450 do đó tam giác ABE vuông cân tại A Suy ra:
BEAB m
BC BC AC (do BECADC)
mà AD AH 2 (tam giác AHD vuông vân tại H)
Trang 5BHM BEC AHM
AC DC HC HC
GC HC GB GC HD HC BC AH HC
Câu 7: Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD) Qua A vẽ đường thẳng song song với
BC cắt BD ở E và cắt CD ở K Qua B kẻ đường thẳng song song với AD cắt AC ở F và cắt CD ở I Chứng minh rằng:
a) DK = CI
b) EF // CD
c) AB2 = CD.EF
I
F
K
E
B A
a)
Tứ giác ABCK có:
AB // CK (AB // CD, K CD)
AK // BC (gt) ABCK là hình bình hành CK = AB
DK = CD – CK = CD – AB (1) Chứng minh tương tự, ta có DI = AB
IC = CD – DI = CD – AB (2)
Từ (1) và (2) suy ra: DK = IC b)
DEK có AB // DK, theo hệ quả định lý Ta-let ta có:
AE AB=
EK DK (3)
FIC có AB // IC, theo hệ quả định lý Ta-let ta có:
AF AB=
FC IC (4) Mà: DK = IC (câu a) (5)
Từ (3), (4), (5) suy ra: AE AF=
EK FC AKC có AE AF=
EF // CD
5
c)
Trang 6Ta có: AB CK=
CD CD (vì AB = CK) (6) BCD có EK // BC, theo định lý Ta-lét ta có:
CK BE=
CD BD (7) BDI có EF // DI, theo định lý Ta-let ta có:
BE EF=
BD DI
Mà DI = AB
Suy ra: BE= EF
BD AB (8)
Từ (6), (7), (8) suy ra: AB CK=
CD CD
BE
= BD
EF
= AB
AB
CD
EF
=
2 = CD EE
Trang 7Câu 8: Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F sao cho AE =
AF Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC và BC lần lượt tại hai điểm M, N
1 Chứng minh rằng tứ giác AEMD là hình chữ nhật
2 Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH Chứng minh rằng: AC = 2EF
Câu 4
1
(2.0 điểm)
Ta có DAM = ABF (cùng phụ BAH )
AB = AD ( gt) BAF = ADM = 90 (ABCD là hình vuông) 0
ΔADM=ΔBAFADM = ΔADM=ΔBAFBAF(g.c.g) => DM=AF, mà AF = AE (gt) Nên AE = DM
Lại có AE // DM ( vì AB // DC ) Suy ra tứ giác AEMD là hình bình hành Mặt khác DAE = 90 (gt) 0
Vậy tứ giác AEMD là hình chữ nhật
2
(2.0 điểm)
Ta có ΔADM=ΔBAFABH ΔADM=ΔBAFFAH (g.g)
=
Lại có HAB = HBC (cùng phụ ABH )
ΔADM=ΔBAFCBH ΔADM=ΔBAFEAH
2 ΔADM=ΔBAFCBH
ΔADM=ΔBAFEAH
=
, mà ΔADM=ΔBAFCBH
ΔADM=ΔBAFEAH
S
= 4
2
BC
= 4 AE
Do đó: BD = 2EF hay AC = 2EF (đpcm) 3
(2.0 điểm)
Do AD // CN (gt) Áp dụng hệ quả định lý ta lét, ta có:
=
=
Lại có: MC // AB ( gt) Áp dụng hệ quả định lý ta lét, ta có:
AN MN
N M
H F
E
B A
Trang 8(Pytago)
Câu 9: Cho tam giác ABC vuông tại A Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh AC Từ C vẽ một đường
thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E
trị không đổi
I P
Q
H
E
D A
M
4
a) Chứng minh EA.EB = ED.EC Chứng minh EBD đồng dạng với ECA (g-g)
b) Kẻ MI vuông góc với BC (I BC ) Ta có BIM đồng dạng với BDC (g-g)
BM BD BI BC
BM BD CM CA BI BC CI BC BC BI CI BC (không đổi) c) Chứng minh BHD đồng dạng với DHC (g-g)
2 2
- Chứng minh DPB đồng dạng với CQD (c-g-c) BDP DCQ
mà BDP PDC 90o DCQ PDC 90o CQPD
Bài 10: Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H.
AD BE CF
c Chứng minh: H cách đều ba cạnh tam giác DEF
d Trên các đoạn HB,HC lấy các điểm M,N tùy ý sao cho HM = CN
Chứng minh đường trung trực của đoạn MN luôn đi qua một điểm cố định.
Trang 9O
K I
N
M
E
H F
A
D B
C
a
Trước hết chứng minh: c h t ch ng minh: ết chứng minh: ứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC HD
AD =
S HBC
S ABC
Tương tự có: ng t có: ự có: ( )
HE S HCA
BE S ABC ;
HF S HAB
CF S ABC
AD BE CF =
S HBC S HCA S HAB
S ABC
AD BE CF = 1
b Trước hết chứng minh: c hêt ch ng minh ứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC BDH BEC BH.BE = BD.BC
V à CDH CFB CH.CF = CD.CB
BH.BE + CH.CF = BC.(BD + CD) = BC2 ( pcm) đpcm)
c Trước hết chứng minh: AEF ABC AEF ABC
Và CDE CAB CED CBA
AEF CED mà EBAC nên EB là phân giác của góc DEF
Tương tự: DA, FC là phân giác của các góc EDF và DFE
Vậy H là giao điểm các đường phân giác của tam giác DEF
nên H cách đều ba cạnh của tam giác DEF (đpcm)
d Gọi O là giao điểm của các đường trung trực của hai đoạn MN và HC, ta có OMH =
ONC (c.c.c) OHM OCN (1)
Mặt khác ta cũng có OCH cân tại O nên: OHC OCH (2)
Từ (1) và (2) ta có: OHC OHB HO là phân giác của góc BHC
Vậy O là giao điểm của trung trực đoạn HC và p/giác của góc BHC nên O là điểm cố định Hay trung trực của đoạn MN luôn đi qua một điểm cố định là O
Bài 11: Cho hình vuông ABCD ( AB = a ), M là một điểm bất kỳ trên cạnh BC Tia Ax vuông góc với AM cắt đường thẳng CD tại K Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng MK Tia AI cắt đường thẳng
CD tại E Đường thẳng qua M song song với AB cắt AI tại N
1/ Tứ giác MNKE là hình gì ? Chứng minh
3/ Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh BC thì tam giác CME luôn có chu vi không đổi
AG
vị trí của điểm M
Trang 10E
I
G K
B A
M
Cõu 1: 0, 75 điểm.
+ Từ MN // AB // CD và MI = IK ỏp dụng định lý Ta let ta cú NI = IE
( 0,25 điểm )
+ Chỉ ra tam giỏc AMK vuụng cõn tại A để cú AE KM ( 0,25 điểm )
+ Tứ giỏc MNKE là hỡnh bỡnh hành cú hai đường chộo vuụng gúc với nhau nờn MNKE là hỡnh thoi ( 0,25 điểm )
Cõu 2: 0, 75 điểm.
+ Từ tớnh chất hỡnh vuụng cú ACK = 45 0 ( 0,25 điểm )
+ Chứng minh hai tam giỏc AKE và CKA đồng dạng, suy ra ĐPCM ( 0,5 điểm )
Cõu 3: 1, 0 điểm.
+ Từ hai tam giỏc ABM và ADK bằng nhau ta cú MB = DK nờn EK = MB + ED ( 0,25 điểm )
+ Tam giỏc AMK vuụng cõn tại A cú MI = IK nờn AI là trung trực của MK do đú ME =
EK ( 0,25 điểm )
+ Từ đú ME = MB + ED, suy ra ME + CM + CE = 2a ( 0,25 điểm )
+ KL: ( 0,25 điểm )
Cõu 4: 1, 0 điểm.
+ Tam giỏc AMK vuụng cõn tại A nờn AM = AK; do đú
2 2
1 1
AG
1 1
AG
AK ( 0,25 điểm )
KG2 AD2 ( 0,25 điểm )
+ Mặt khỏc lại cú KG2 = AK2 + AG2 và AD = a nờn ta cú
AK2 AG2 = a2( AK2 + AG2 ), hay 22 22 12
AK
AG AK
AG
AK = 2
1
a
( 0,25 điểm ) Bài 13 :
Cho hỡnh bỡnh hành ABCD , trờn cạnh AB và CD lần lượt lấy cỏc điểm M , K sao cho
AM = CK Lấy điểm P nằm trờn cạnh AD ( P ≠ A ; P ≠ D ) Nối PB , PC cắt MK tại
E , F Chứng minh S PEF S BMES CKF
Bài 14:
1 Chứng minh: ° ABF # °AMC
3 Chứng minh S AEF = 2
1
S AMN
4 Chứng minh chu vi tam giác CMN không đổi khi M chuyển động trên DC
Giải
Bài 14:
Trang 11I H F
E
N
M
B A
1 Chứng minh: ° ABF # °AMC ( 1,25 điểm)
suy ra : ° ABF # °AMC
Từ AFB # AMC (g.g)
AC
AM AB
AF AC
AB
AM
AF
Từ 1 và 2 => AFM # ABC
=> AFM = ABC = 90o
3 S AEF = 1/2 S AMN (2 điểm)
Có AFM # AEN =>
AN
AE AM
AF
=> AEF # AMN (c.g.c) => ( ) 2 ( 1 )
AM
AF SAMN
SAEF
=> AFM Vuông cân đỉnh F nên AM2 = AF2 + FM2 = 2AF2
=> ( )2
AM
AF
=
2 1
Thay vào (1) ta đợc
SAMN
SAEF
=
2
1
hay: S AEF = 1/2 S AMN
4 C/M chu vi CMN không đổi ( 1,25 điểm)
Trên tia đối của tia DC lấy điểm K sao cho DK = BN
ADK = ABN => AK = AN và BAN = DAK
do đó AMN = AKM (c.gc) => MN=KM
Vì vậy: Chu vi CMN = MN + CN +CM = CM + KM + CN
= CD + KD + CN = CD + NB + CN
= CD + CB = 2a không đổi
Tức là: Chu vi CMN không thay đổi khi M chuyển động trên cạnh DC
Kẻ HI ^ MN tại I
- Cm: ° MHI # ° MNF => MH.MF =MI.MN
- Cm: °NHI # °NME => NH.NE =NI.NM
- áp dụng định lí Pitago vào °CMN ta có: MN2 = MC2 +CN2
Bài 15:Cho tam giỏc ABC nhọn (AB<AC) Cỏc đường cao AE, BF cắt nhau tại H Gọi M trung điểm của BC, qua H vẽ đường thẳng a vuụng gúc với HM, a cắt AB, AC lần lượt tại I và K
a Chứng minh ABC đồng dạng EFC
b Qua C kẻ đường thẳng b song song với đường thẳng IK, b cắt AH, AB theo thứ tự tại N
và D Chứng minh NC = ND và HI = HK
Trang 12c Gọi G là giao điểm của CH và AB Chứng minh:AH BH CH 6
HE HF HG
Giải
G
N
D
K
I
M
H
F
E
A
Ta có AEC BFC (g-g) nên suy ra CE CA
CF CB
Xét ABC và EFC có CE CA
CF CBvà góc C chung nên suy ra ABC EFC ( c-g-c)
Vì CN //IK nên HM CN M là trực tâm HNC
IH = IK ( theo Ta let)
CHE BHE CHE BHE BHC
AH
AHC
BH
BHA
CH
HE HF HG
AHC ABH BHC
S
BHC BHA
AHC
S
BHC AHC
BHA
S
BHC BHC
BHC BHA AHC AHC
BHC AHC BHA BHA
AB < AC nên không xảy ra dấu bằng
Câu 16 :
Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình thang ABCD (AB//CD) Đường thẳng qua O song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại M và N
MN CD AB
2 1 1
c) Biết S AOB a2 ;S COD b2 Tính S ABCD ?
d) Nếu Dˆ Cˆ 90 0 Chứng minh BD > AC
Trang 13N M
O
D
C
a/ Ta có
BD
OB AC
OA
DC
ON DC
OM
AD
AM CD
OM
và
AD
DM AB
OM
AB
ON DC
ON
(2)
AB
MN DC
MN
MN AB DC
2 1 1
c/ Hai tam giác có cùng đường cao thì tỉ số diện tích 2 tam giác bằng tỉ số giữa 2 cạnh đáy tương ứng Do
AOD
AOB
và S S OC OA
COD
AOD
Nhưng
OC
OA OD
OB
COD
AOD AOD
AOB
S
S S
S
S2AOD SAOB SCOD a2 b2 nên S AOD ab.Tương tự S BOC ab
b a
S ABCD
d/ Hạ AH, BK vuông góc với CD tại H và K
90
ˆ
ˆC
Ta có A EˆDB CˆDCˆ Dˆ AD AE
Tứ giác BCEA là hình bình hành nên BC=AE Vậy AD>BC DH>KC DK > CH
Theo định lý pitago cho tam giác vuông BKD ta có : DB2 BK2DK2 AH2CH2 AC2(Do
2 2)
AH BK BD AC
H