Ứng dụng của hàm sinh trong việc giải các bài toán tổ hợp

Lí thuyết hàm sinh đã được biết ột trong các công cụ ầy đủ đối với học sinh các lớp đầu cấp THPT là ủa dãy số; các bài toán tổ hợp… Tuy nhiên, để nắm vững lý ố dạng bài toán khó.. Lí thu

A më ®Çu

I – Đ t v n đ : ặt vấn đề: ấn đề: ề:

Hàm sinh (Generating Function) trong toán h c là m t trong các công cọc là một trong các công cụ ột trong các công cụ ụ

m nh đ gi i quy t m t s d ng bài toán khó Lí thuy t hàm sinh đã đết một số dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ột trong các công cụ ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ết một số dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ược biếtc bi tết một số dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết

đ n t lâu và đết một số dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ược biếtc nghiên c u khá kĩ lứu khá kĩ lưỡng, tuy nhiên những tài liệu đã được sơ ưỡng, tuy nhiên những tài liệu đã được sơng, tuy nhiên nh ng tài li u đã đững tài liệu đã được sơ ệu đã được sơ ược biết ơc s

c p hoá và được biếtc d ch ra ti ng Vi t thành các bài vi t chuyên đ hi n t i khôngịch ra tiếng Việt thành các bài viết chuyên đề hiện tại không ết một số dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ệu đã được sơ ết một số dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ề hiện tại không ệu đã được sơ nhi u Trong quá trình gi ng d y cho h c sinh chuyên Toán, tôi nh n th y cóề hiện tại không ọc là một trong các công cụ ận thấy có nhi u d ng bài toán n u bi t v n d ng khéo léo công c hàm sinh thì l i gi i r tề hiện tại không ết một số dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ết một số dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ận thấy có ụ ụ ời giải rất

đ n gi n trong khi n u không dùng công c này l i gi i sẽ r t ph c t p, th m chíơ ết một số dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ụ ời giải rất ứu khá kĩ lưỡng, tuy nhiên những tài liệu đã được sơ ận thấy có không th gi i được biếtc b ng các phằng các phương pháp thông thường như: Các bài toán tìm ương pháp thông thười giải rấtng nh : Các bài toán tìmư công th c t ng quát c a dãy s ; các bài toán t h p… Tuy nhiên, đ n m v ng lýứu khá kĩ lưỡng, tuy nhiên những tài liệu đã được sơ ủa dãy số; các bài toán tổ hợp… Tuy nhiên, để nắm vững lý ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ợc biết ắm vững lý ững tài liệu đã được sơ thuy t hàm sinh m t cách đ y đ đ i v i h c sinh các l p đ u c p THPT làết một số dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ột trong các công cụ ầy đủ đối với học sinh các lớp đầu cấp THPT là ủa dãy số; các bài toán tổ hợp… Tuy nhiên, để nắm vững lý ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ới học sinh các lớp đầu cấp THPT là ọc là một trong các công cụ ới học sinh các lớp đầu cấp THPT là ầy đủ đối với học sinh các lớp đầu cấp THPT là không đ n gi n, vì trong lý thuy t này c n s d ng không ít ki n th c toán caoơ ết một số dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ầy đủ đối với học sinh các lớp đầu cấp THPT là ử dụng không ít kiến thức toán cao ụ ết một số dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ứu khá kĩ lưỡng, tuy nhiên những tài liệu đã được sơ

c p b c đ i h c.ở bậc đại học ận thấy có ọc là một trong các công cụ

Đ gi i quy t v n đ đó, tôi đã tìm cách đ n gi n hoá m t s ki n th cết một số dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ề hiện tại không ơ ột trong các công cụ ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ết một số dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ứu khá kĩ lưỡng, tuy nhiên những tài liệu đã được sơ cho phù h p v i đ i tợc biết ới học sinh các lớp đầu cấp THPT là ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ược biếtng h c sinh và th áp d ng vào gi ng d y đ i v i h cọc là một trong các công cụ ử dụng không ít kiến thức toán cao ụ ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ới học sinh các lớp đầu cấp THPT là ọc là một trong các công cụ sinh l p 10 chuyên Toán K t qu thu đới học sinh các lớp đầu cấp THPT là ết một số dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ược biếtc r t kh quan và đã được biếtc đúc rút thành SKKN v i tiêu đ “ ng d ng phới học sinh các lớp đầu cấp THPT là ề hiện tại không Ứng dụng phương pháp hàm sinh để tìm công thức tổng ụ ương pháp hàm sinh đ tìm công th c t ngứu khá kĩ lưỡng, tuy nhiên những tài liệu đã được sơ quát c a m t s dãy s ” (SKKN năm 2012, đã đủa dãy số; các bài toán tổ hợp… Tuy nhiên, để nắm vững lý ột trong các công cụ ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ược biếtc H i đ ng ch m SKKN c aột trong các công cụ ồng chấm SKKN của ủa dãy số; các bài toán tổ hợp… Tuy nhiên, để nắm vững lý ngành x p lo i A) Tuy nhiên, k t thúc chuyên đ này, m c dù các em h c sinh đãết một số dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ết một số dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ề hiện tại không ặc dù các em học sinh đã ọc là một trong các công cụ

nh n th y m i liên h gi a hàm sinh v i các bài toán đ m (T h p) nh ng v nận thấy có ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ệu đã được sơ ững tài liệu đã được sơ ới học sinh các lớp đầu cấp THPT là ết một số dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ợc biết ư ẫn còn g p nhi u khó khăn khi v n d ng hàm sinh đ gi i quy t Trong đó, v n đặc dù các em học sinh đã ề hiện tại không ận thấy có ụ ết một số dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ề hiện tại không khó khăn nh t là: Làm th nào đ xây d ng đết một số dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ựng được hàm sinh cho các đối tượng ược biếtc hàm sinh cho các đ i tố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ược biếtng

“r i r c”, r t khó “n m b t” trong các bài toán T h p?ời giải rất ắm vững lý ắm vững lý ợc biết

Ti p n i ý tết một số dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ưở bậc đại học.ng c a SKKN trủa dãy số; các bài toán tổ hợp… Tuy nhiên, để nắm vững lý ưới học sinh các lớp đầu cấp THPT làc, sau khi đã trang b thêm cho h c sinhịch ra tiếng Việt thành các bài viết chuyên đề hiện tại không ọc là một trong các công cụ

m t s ki n th c c b n trong chột trong các công cụ ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ết một số dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ứu khá kĩ lưỡng, tuy nhiên những tài liệu đã được sơ ơ ương trình THPT (S ph c) vào l p 11, tôi ti pố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ứu khá kĩ lưỡng, tuy nhiên những tài liệu đã được sơ ới học sinh các lớp đầu cấp THPT là ết một số dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết

t c đ n gi n hoá m t s ki n th c toán cao c p nh m giúp h c sinh có th n mụ ơ ột trong các công cụ ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ết một số dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ứu khá kĩ lưỡng, tuy nhiên những tài liệu đã được sơ ằng các phương pháp thông thường như: Các bài toán tìm ọc là một trong các công cụ ắm vững lý

b t và v n d ng đắm vững lý ận thấy có ụ ược biếtc công c hàm sinh đ gi i quy t các bài toán T h p (d ngụ ết một số dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ợc biết bài toán được biếtc cho là khó nh t trong các đ thi HSG) Theo dõi qua quá trình gi ngề hiện tại không

d y cho th y, nhi u h c sinh trong l p đã có th x lý đề hiện tại không ọc là một trong các công cụ ới học sinh các lớp đầu cấp THPT là ử dụng không ít kiến thức toán cao ược biếtc nh ng bài toán Tững tài liệu đã được sơ

h p c b n b ng phợc biết ơ ằng các phương pháp thông thường như: Các bài toán tìm ương pháp hàm sinh và bưới học sinh các lớp đầu cấp THPT làc đ u bi t cách xây d ng hàmầy đủ đối với học sinh các lớp đầu cấp THPT là ết một số dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ựng được hàm sinh cho các đối tượng sinh đ x lý nh ng bài toán khó Nh ng h c sinh khá đã có th s d ng tử dụng không ít kiến thức toán cao ững tài liệu đã được sơ ững tài liệu đã được sơ ọc là một trong các công cụ ử dụng không ít kiến thức toán cao ụ ương

đ i thành th o hàm sinh đ gi i quy t linh ho t nh ng bài toán khó Vì v y, tôiố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ết một số dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ững tài liệu đã được sơ ận thấy có

ti p t c ch n vi t v n đ này đ trao đ i kinh nghi m gi ng d y v i các đ ngết một số dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ụ ọc là một trong các công cụ ết một số dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ề hiện tại không ệu đã được sơ ới học sinh các lớp đầu cấp THPT là ồng chấm SKKN của nghi p, đ ng th i cũng là đ làm t li u cho nh ng năm gi ng d y ti p theo c aệu đã được sơ ồng chấm SKKN của ời giải rất ư ệu đã được sơ ững tài liệu đã được sơ ết một số dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ủa dãy số; các bài toán tổ hợp… Tuy nhiên, để nắm vững lý mình

Sáng ki n kinh nghi m này đết một số dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ệu đã được sơ ược biếtc trình bày theo c u trúc

1 Trình bày nh ng k t qu c b n có liên quan c a S ph c và toán cao c pững tài liệu đã được sơ ết một số dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ơ ủa dãy số; các bài toán tổ hợp… Tuy nhiên, để nắm vững lý ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ứu khá kĩ lưỡng, tuy nhiên những tài liệu đã được sơ

dưới học sinh các lớp đầu cấp THPT lài d ng đ n gi n nhât ơ

2 V n d ng lý thuy t vào gi i toán.ận thấy có ụ ết một số dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết

3 Đ a ra m t h th ng bài toán ch n l c nh m nâng cao kỹ năng.ư ột trong các công cụ ệu đã được sơ ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ọc là một trong các công cụ ọc là một trong các công cụ ằng các phương pháp thông thường như: Các bài toán tìm

II - M c đích: ục đích:

Ti p t c nâng cao kỹ năng gi i toán cho h c sinh l p 11 khi đã đết một số dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ụ ọc là một trong các công cụ ới học sinh các lớp đầu cấp THPT là ược biếtc trang

b ki n th c hàm sinh (dịch ra tiếng Việt thành các bài viết chuyên đề hiện tại không ết một số dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ứu khá kĩ lưỡng, tuy nhiên những tài liệu đã được sơ ưới học sinh các lớp đầu cấp THPT lài d ng đ n gi n nh t) l p 10 và m t s ki n th cơ ở bậc đại học ới học sinh các lớp đầu cấp THPT là ột trong các công cụ ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ết một số dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ứu khá kĩ lưỡng, tuy nhiên những tài liệu đã được sơ

v S ph c l p 11.ề hiện tại không ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ứu khá kĩ lưỡng, tuy nhiên những tài liệu đã được sơ ở bậc đại học ới học sinh các lớp đầu cấp THPT là

III - Đ i t ối tượng áp dụng: ượng áp dụng: ng áp d ng: ục đích: H c sinh l p 11 chuyên Toán.ọc là một trong các công cụ ới học sinh các lớp đầu cấp THPT là

IV- Nhi m v nghiên c u : ệm vụ nghiên cứu : ục đích: ứu :

Đ n gi n hoá m t s ki n th c toán cao c p đ h c sinh có th n m b tơ ột trong các công cụ ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ết một số dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ứu khá kĩ lưỡng, tuy nhiên những tài liệu đã được sơ ọc là một trong các công cụ ắm vững lý ắm vững lý

đ y đ v cách v n d ng hàm sinh trong gi i toán.ầy đủ đối với học sinh các lớp đầu cấp THPT là ủa dãy số; các bài toán tổ hợp… Tuy nhiên, để nắm vững lý ề hiện tại không ận thấy có ụ

Hưới học sinh các lớp đầu cấp THPT làng d n h c sinh xây d ng hàm sinh trong các bài toán T h p thôngẫn ọc là một trong các công cụ ựng được hàm sinh cho các đối tượng ợc biết qua m t s ví d c th (nhi m v chính).ột trong các công cụ ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ụ ụ ệu đã được sơ ụ

B N I DUNG ỘI DUNG

1 M t vài tính ch t c a căn nguyên thu b c ột vài tính chất của căn nguyên thuỷ bậc ấn đề: ủa căn nguyên thuỷ bậc ỷ bậc ậc n c a đ n v ủa căn nguyên thuỷ bậc ơn vị ị.

Trong ph n này nh c l i m t s ki n th c c b n v s ph c mà h c sinh ần này nhắc lại một số kiến thức cơ bản về số phức mà học sinh ắc lại một số kiến thức cơ bản về số phức mà học sinh ại một số kiến thức cơ bản về số phức mà học sinh ột số kiến thức cơ bản về số phức mà học sinh ố kiến thức cơ bản về số phức mà học sinh ến thức cơ bản về số phức mà học sinh ức cơ bản về số phức mà học sinh ơ bản về số phức mà học sinh ản về số phức mà học sinh ề số phức mà học sinh ố kiến thức cơ bản về số phức mà học sinh ức cơ bản về số phức mà học sinh ọc sinh

l p 11 đã đ ớp 11 đã được trang bị ược trang bị c trang b ị.

Đ nh nghĩa: ị.  là m t căn b c ột trong các công cụ ận thấy có n c a đ n v và đủa dãy số; các bài toán tổ hợp… Tuy nhiên, để nắm vững lý ơ ịch ra tiếng Việt thành các bài viết chuyên đề hiện tại không ược biếtc g i là căn nguyên th y b c ọc là một trong các công cụ ủa dãy số; các bài toán tổ hợp… Tuy nhiên, để nắm vững lý ận thấy có n

c a đ n v n u m i s nguyên dủa dãy số; các bài toán tổ hợp… Tuy nhiên, để nắm vững lý ơ ịch ra tiếng Việt thành các bài viết chuyên đề hiện tại không ết một số dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ọc là một trong các công cụ ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ương m n ta có  1m

T đ nh nghĩa, k t h p v i các tính ch t c a s ph c bi u di n d ị ến thức cơ bản về số phức mà học sinh ợc trang bị ớp 11 đã được trang bị ất của số phức biểu diễn dưới dạng ủa số phức biểu diễn dưới dạng ố kiến thức cơ bản về số phức mà học sinh ức cơ bản về số phức mà học sinh ểu diễn dưới dạng ễn dưới dạng ướp 11 đã được trang bị ại một số kiến thức cơ bản về số phức mà học sinh i d ng

mũ, ta d dàng ch ng minh đ ễn dưới dạng ức cơ bản về số phức mà học sinh ược trang bị ến thức cơ bản về số phức mà học sinh c k t qu sau: ản về số phức mà học sinh

Đ nh lý 1 ị. : N u ết một số dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết  là m t căn nguyên th y b c n c a đ n v thì:ột trong các công cụ ủa dãy số; các bài toán tổ hợp… Tuy nhiên, để nắm vững lý ận thấy có ủa dãy số; các bài toán tổ hợp… Tuy nhiên, để nắm vững lý ơ ịch ra tiếng Việt thành các bài viết chuyên đề hiện tại không

( )

   2    1 

1 0 v i ới học sinh các lớp đầu cấp THPT là ( , )k n 1

Đ c bi t ặc dù các em học sinh đã ệu đã được sơ v i ới học sinh các lớp đầu cấp THPT là k 1 ta có 1    2  n10

Đ nh lý 2: ị. Kí hi u ệu đã được sơ  e2i n/ v i ới học sinh các lớp đầu cấp THPT là n là m t s nguyên dột trong các công cụ ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ương là m t căn nguyênột trong các công cụ thu b c ỷ bậc ận thấy có n c a đ n v Khi đó m i đa th c ủa dãy số; các bài toán tổ hợp… Tuy nhiên, để nắm vững lý ơ ịch ra tiếng Việt thành các bài viết chuyên đề hiện tại không ọc là một trong các công cụ ứu khá kĩ lưỡng, tuy nhiên những tài liệu đã được sơ F x( )f0 f x1  f x2 2 , v i ới học sinh các lớp đầu cấp THPT là f = 0 k

n u ết một số dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết k degF , đ u có: ề hiện tại không f f n f n F( ) F( ) F( ) F( n )

n



       2    1

1 1

Ch ng minh: ứu : Ta có nh n xét: ận thấy có

   1   1  n u ết một số dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết n chia h t ết một số dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết k (do  1n nên 1k )

Trong trười giải rấtng h p khác ta có ợc biết  1k và

nk

 

1

0

   2    1  0 0 1 1 2 2  0  2  1

Đ nh lý địch ra tiếng Việt thành các bài viết chuyên đề hiện tại không ược biếtc ch ng minh.ứu khá kĩ lưỡng, tuy nhiên những tài liệu đã được sơ

Cũng t nh n xét trong ch ng minh đ nh lý 2, ta d dàng ch ng minh đ ận xét trong chứng minh định lý 2, ta dễ dàng chứng minh được ức cơ bản về số phức mà học sinh ị ễn dưới dạng ức cơ bản về số phức mà học sinh ược trang bị c

k t qu sau ến thức cơ bản về số phức mà học sinh ản về số phức mà học sinh

Đ nh lý 3: ị. N u ết một số dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết  e i2/p, v i ới học sinh các lớp đầu cấp THPT là p là m t s nguyên t , khi đó:ột trong các công cụ ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết

|

|

p

kj

j

p n u p k

n u p k







 







1

‰

‰

2 Đ o hàm c a tích các hàm s , đ o hàm riêng c a hàm nhi u bi n: ạo hàm của tích các hàm số, đạo hàm riêng của hàm nhiều biến: ủa căn nguyên thuỷ bậc ối tượng áp dụng: ạo hàm của tích các hàm số, đạo hàm riêng của hàm nhiều biến: ủa căn nguyên thuỷ bậc ề: ến:

2.1 Đ o hàm c a tích các hàm s : ạo hàm của tích các hàm số, đạo hàm riêng của hàm nhiều biến: ủa căn nguyên thuỷ bậc ối tượng áp dụng:

Đ nh lý 4: ị. N u hàm s ết một số dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết

i



1 v i ới học sinh các lớp đầu cấp THPT là h x là các hàm s có đ o hàm thì: i( ) ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết '( )

( )

n i i

h x

h x



Đ nh lý này d dàng ch ng minh đ ị ễn dưới dạng ức cơ bản về số phức mà học sinh ược trang bị c b ng quy n p theo ằng quy nạp theo ại một số kiến thức cơ bản về số phức mà học sinh n Tr ng h p ường hợp ợc trang bị.

n 2 là công th c quen thu c ức cơ bản về số phức mà học sinh ột số kiến thức cơ bản về số phức mà học sinh

2.2 Đ o hàm riêng c a hàm nhi u bi n: ạo hàm của tích các hàm số, đạo hàm riêng của hàm nhiều biến: ủa căn nguyên thuỷ bậc ề: ến:

Vì chương trình THPT ch a h c khái ni m đ o hàm riêng nên đây khôngư ọc là một trong các công cụ ệu đã được sơ ở bậc đại học

đ a ra đ nh nghĩa đ y đ , chính xác V i m c đích hư ịch ra tiếng Việt thành các bài viết chuyên đề hiện tại không ầy đủ đối với học sinh các lớp đầu cấp THPT là ủa dãy số; các bài toán tổ hợp… Tuy nhiên, để nắm vững lý ới học sinh các lớp đầu cấp THPT là ụ ưới học sinh các lớp đầu cấp THPT làng d n h c sinh v n d ngẫn ọc là một trong các công cụ ận thấy có ụ cách tính đ o hàm riêng vào m t s hàm nhi u bi n đ n gi n nên ch ti p c nột trong các công cụ ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ề hiện tại không ết một số dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ơ ỉ tiếp cận ết một số dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ận thấy có khái ni m qua ví d ệu đã được sơ ụ

Ví d : ục đích: Cho hàm s ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết F x y( , )x5x y4 2x y3 3 3xy4 y6 Khi đó, đ o hàm riêng

c a hàm ủa dãy số; các bài toán tổ hợp… Tuy nhiên, để nắm vững lý F x y theo bi n ( , ) ết một số dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết x được biếtc ký hi u ệu đã được sơ

F x



 và được biếtc tính nh đ o hàm c aư ủa dãy số; các bài toán tổ hợp… Tuy nhiên, để nắm vững lý hàm s theo bi n ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ết một số dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết x (bi nết một số dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết y được biếtc coi là tham s ) ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết

Nh v y: ư ận thấy có

F

x



   



Tương t ta có: ựng được hàm sinh cho các đối tượng

F

y



   



3 Xây d ng hàm sinh ựng hàm sinh :

Hàm sinh có th được biếtc áp d ng trong các bài toán đ m Nói riêng, các bàiụ ết một số dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết toán ch n các ph n t t m t t p h p thông thọc là một trong các công cụ ầy đủ đối với học sinh các lớp đầu cấp THPT là ử dụng không ít kiến thức toán cao ột trong các công cụ ận thấy có ợc biết ười giải rấtng sẽ d n đ n các hàm sinh.ẫn ết một số dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết Khi hàm sinh được biếtc áp d ng theo cách này, h s c a ụ ệu đã được sơ ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ủa dãy số; các bài toán tổ hợp… Tuy nhiên, để nắm vững lý x chính là s cách ch n n ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ọc là một trong các công cụ n

ph n t ầy đủ đối với học sinh các lớp đầu cấp THPT là ử dụng không ít kiến thức toán cao

3.1 Ch n các ph n t khác nhau: ọn các phần tử khác nhau: ần tử khác nhau: ử khác nhau:

Hàm sinh cho dãy các h s nh th c đệu đã được sơ ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ịch ra tiếng Việt thành các bài viết chuyên đề hiện tại không ứu khá kĩ lưỡng, tuy nhiên những tài liệu đã được sơ ược biếtc suy ra tr c ti p t đ nh lý nhựng được hàm sinh cho các đối tượng ết một số dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ịch ra tiếng Việt thành các bài viết chuyên đề hiện tại không ịch ra tiếng Việt thành các bài viết chuyên đề hiện tại không

th cứu khá kĩ lưỡng, tuy nhiên những tài liệu đã được sơ

 0 1 2 0 0   0 1    1

Nh v y h s c a ư ận thấy có ệu đã được sơ ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ủa dãy số; các bài toán tổ hợp… Tuy nhiên, để nắm vững lý x trong (( n 1x)k b ng s cách ch n ằng các phương pháp thông thường như: Các bài toán tìm ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ọc là một trong các công cụ n ph n t phân bi t tầy đủ đối với học sinh các lớp đầu cấp THPT là ử dụng không ít kiến thức toán cao ệu đã được sơ

m t t p h p g m ột trong các công cụ ận thấy có ợc biết ồng chấm SKKN của k ph n t Ví d , h s c a ầy đủ đối với học sinh các lớp đầu cấp THPT là ử dụng không ít kiến thức toán cao ụ ệu đã được sơ ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ủa dãy số; các bài toán tổ hợp… Tuy nhiên, để nắm vững lý x2 là C k2

cũng là s cách ch n 2ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ọc là một trong các công cụ

ph n t t t p h p ầy đủ đối với học sinh các lớp đầu cấp THPT là ử dụng không ít kiến thức toán cao ận thấy có ợc biết k ph n t Tầy đủ đối với học sinh các lớp đầu cấp THPT là ử dụng không ít kiến thức toán cao ương t , h s c a ựng được hàm sinh cho các đối tượng ệu đã được sơ ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ủa dãy số; các bài toán tổ hợp… Tuy nhiên, để nắm vững lý x k1 là s cách ch n ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ọc là một trong các công cụ k 1

ph n t t t p h p ầy đủ đối với học sinh các lớp đầu cấp THPT là ử dụng không ít kiến thức toán cao ận thấy có ợc biết k ph n t và b ng 0.ầy đủ đối với học sinh các lớp đầu cấp THPT là ử dụng không ít kiến thức toán cao ằng các phương pháp thông thường như: Các bài toán tìm

3.2 Xây d ng các hàm sinh đ đ m: ựng hàm sinh ể đếm: ến:

Thông thười giải rấtng ta có th d ch mô t c a bài toán đ m th ng sang ngôn ngịch ra tiếng Việt thành các bài viết chuyên đề hiện tại không ủa dãy số; các bài toán tổ hợp… Tuy nhiên, để nắm vững lý ết một số dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ẳng sang ngôn ngữ ững tài liệu đã được sơ hàm sinh đ gi i Ví d , ta có th ch ng t r ng ụ ứu khá kĩ lưỡng, tuy nhiên những tài liệu đã được sơ ỏ rằng ằng các phương pháp thông thường như: Các bài toán tìm (1x)k sẽ sinh ra s các cáchố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết

ch n ọc là một trong các công cụ n ph n t phân bi t t t p h p ầy đủ đối với học sinh các lớp đầu cấp THPT là ử dụng không ít kiến thức toán cao ệu đã được sơ ận thấy có ợc biết k ph n t mà không c n dùng đ n đ nh lýầy đủ đối với học sinh các lớp đầu cấp THPT là ử dụng không ít kiến thức toán cao ầy đủ đối với học sinh các lớp đầu cấp THPT là ết một số dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ịch ra tiếng Việt thành các bài viết chuyên đề hiện tại không

nh th c hay các h s nh th c ịch ra tiếng Việt thành các bài viết chuyên đề hiện tại không ứu khá kĩ lưỡng, tuy nhiên những tài liệu đã được sơ ệu đã được sơ ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ịch ra tiếng Việt thành các bài viết chuyên đề hiện tại không ứu khá kĩ lưỡng, tuy nhiên những tài liệu đã được sơ

Ta làm nh sau: Đ u tiên, xét t p h p có m t ph n t ư ầy đủ đối với học sinh các lớp đầu cấp THPT là ận thấy có ợc biết ột trong các công cụ ầy đủ đối với học sinh các lớp đầu cấp THPT là ử dụng không ít kiến thức toán cao  a1 Hàm sinh cho

s cách ch n ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ọc là một trong các công cụ n ph n t t t p h p này đ n gi n là ầy đủ đối với học sinh các lớp đầu cấp THPT là ử dụng không ít kiến thức toán cao ận thấy có ợc biết ơ x0x1 1 x Ta có 1 cách

ch n không ph n t nào, 1 cách ch n 1 ph n t và 0 cách ch n hai ph n t trọc là một trong các công cụ ầy đủ đối với học sinh các lớp đầu cấp THPT là ử dụng không ít kiến thức toán cao ọc là một trong các công cụ ầy đủ đối với học sinh các lớp đầu cấp THPT là ử dụng không ít kiến thức toán cao ọc là một trong các công cụ ầy đủ đối với học sinh các lớp đầu cấp THPT là ử dụng không ít kiến thức toán cao ở bậc đại học lên Tương t , s cách ch n ựng được hàm sinh cho các đối tượng ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ọc là một trong các công cụ n ph n t t t p h p ầy đủ đối với học sinh các lớp đầu cấp THPT là ử dụng không ít kiến thức toán cao ận thấy có ợc biết  a2 cũng cho b i hàm sinhở bậc đại học

x



1 S khác bi t c a các ph n t trong hai trựng được hàm sinh cho các đối tượng ệu đã được sơ ủa dãy số; các bài toán tổ hợp… Tuy nhiên, để nắm vững lý ầy đủ đối với học sinh các lớp đầu cấp THPT là ử dụng không ít kiến thức toán cao ười giải rấtng h p trên là không quanợc biết

tr ng.ọc là một trong các công cụ

Ta có nguyên lý quan tr ng sau đây: ọc là một trong các công cụ hàm sinh cho s cách ch n các ph n ố cách chọn các phần ọn các phần ần

t t h p c a hai t p h p b ng tích các hàm sinh cho s cách ch n các ph n ủa hai tập hợp bằng tích các hàm sinh cho số cách chọn các phần ập hợp bằng tích các hàm sinh cho số cách chọn các phần ằng tích các hàm sinh cho số cách chọn các phần ố cách chọn các phần ọn các phần ần

t t m i t p h p ỗi tập hợp ập hợp bằng tích các hàm sinh cho số cách chọn các phần

Ví d : Theo nguyên lý, hàm sinh cho s cách ch n các ph n t t t p h pụ ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ọc là một trong các công cụ ầy đủ đối với học sinh các lớp đầu cấp THPT là ử dụng không ít kiến thức toán cao ận thấy có ợc biết

a a1; 2 là: (1x)(1x) ( 1 x)2  1 2x x 2

Có th ki m ch ng r ng đ i v i t p h p ứu khá kĩ lưỡng, tuy nhiên những tài liệu đã được sơ ằng các phương pháp thông thường như: Các bài toán tìm ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ới học sinh các lớp đầu cấp THPT là ận thấy có ợc biết  a a1; 2 ta có 1 cách ch n 0 ph nọc là một trong các công cụ ầy đủ đối với học sinh các lớp đầu cấp THPT là

t , 2 cách ch n 1 ph n t , 1 cách ch n 2 ph n t và 0 cách ch n 3 ph n t trử dụng không ít kiến thức toán cao ọc là một trong các công cụ ầy đủ đối với học sinh các lớp đầu cấp THPT là ử dụng không ít kiến thức toán cao ọc là một trong các công cụ ầy đủ đối với học sinh các lớp đầu cấp THPT là ử dụng không ít kiến thức toán cao ọc là một trong các công cụ ầy đủ đối với học sinh các lớp đầu cấp THPT là ử dụng không ít kiến thức toán cao ở bậc đại học lên

Ti p t c áp d ng quy t c này, ta sẽ đết một số dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ụ ụ ắm vững lý ược biếtc hàm sinh cho s cách ch n ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ọc là một trong các công cụ n

ph n t t t p h p ầy đủ đối với học sinh các lớp đầu cấp THPT là ử dụng không ít kiến thức toán cao ận thấy có ợc biết k ph n t là: ầy đủ đối với học sinh các lớp đầu cấp THPT là ử dụng không ít kiến thức toán cao (1x)(1x) (1x) ( 1 x)k

Đây chính là công th c hàm sinh mà ta đã nh n đứu khá kĩ lưỡng, tuy nhiên những tài liệu đã được sơ ận thấy có ược biếtc b ng cách s d ngằng các phương pháp thông thường như: Các bài toán tìm ử dụng không ít kiến thức toán cao ụ

đ nh lý nh th c Nh ng trong trịch ra tiếng Việt thành các bài viết chuyên đề hiện tại không ịch ra tiếng Việt thành các bài viết chuyên đề hiện tại không ứu khá kĩ lưỡng, tuy nhiên những tài liệu đã được sơ ư ười giải rấtng h p này, chúng ta đã đi th ng t bài toánợc biết ẳng sang ngôn ngữ

đ m đ n hàm sinh.ết một số dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ết một số dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết

Ta có th m r ng đi u này thành m t nguyên lý t ng quát.ở bậc đại học ột trong các công cụ ề hiện tại không ột trong các công cụ

Đ nh lý 5: ị. (Quy t c xo n) G i ắm vững lý ắm vững lý ọc là một trong các công cụ A x là hàm sinh cho cách ch n các ph n t t( ) ọc là một trong các công cụ ầy đủ đối với học sinh các lớp đầu cấp THPT là ử dụng không ít kiến thức toán cao

t p h p ận thấy có ợc biết A và ( ) B x là hàm sinh cho cách ch n các ph n t t t p h p ọc là một trong các công cụ ầy đủ đối với học sinh các lớp đầu cấp THPT là ử dụng không ít kiến thức toán cao ận thấy có ợc biết B N u ết một số dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết A và

B là r i nhau thì hàm sinh cho cách ch n các ph n t t ời giải rất ọc là một trong các công cụ ầy đủ đối với học sinh các lớp đầu cấp THPT là ử dụng không ít kiến thức toán cao A  B là ( ) ( ) A x B x

L u ý: Quy t c này là khá đa nghĩa, vì c n hi u chính xác cách ch n các ư ắc lại một số kiến thức cơ bản về số phức mà học sinh ần này nhắc lại một số kiến thức cơ bản về số phức mà học sinh ểu diễn dưới dạng ọc sinh

ph n t t m t t p h p có nghĩa là th nào? R t đáng chú ý là Quy t c xo n v n ần này nhắc lại một số kiến thức cơ bản về số phức mà học sinh ột số kiến thức cơ bản về số phức mà học sinh ận xét trong chứng minh định lý 2, ta dễ dàng chứng minh được ợc trang bị ến thức cơ bản về số phức mà học sinh ất của số phức biểu diễn dưới dạng ắc lại một số kiến thức cơ bản về số phức mà học sinh ắc lại một số kiến thức cơ bản về số phức mà học sinh ẫn đúng cho nhi u cách hi u khác nhau c a t cách ch n Ví d , ta có th đòi h i ề số phức mà học sinh ểu diễn dưới dạng ủa số phức biểu diễn dưới dạng ọc sinh ụ, ta có thể đòi hỏi ểu diễn dưới dạng ỏi

ch n các ph n t phân bi t, cũng có th cho phép đ ọc sinh ần này nhắc lại một số kiến thức cơ bản về số phức mà học sinh ệt, cũng có thể cho phép được chọn một số lần có giới ểu diễn dưới dạng ược trang bị c ch n m t s l n có gi i ọc sinh ột số kiến thức cơ bản về số phức mà học sinh ố kiến thức cơ bản về số phức mà học sinh ần này nhắc lại một số kiến thức cơ bản về số phức mà học sinh ớp 11 đã được trang bị.

h n nào đó, ho c cho ch n l p l i tuỳ ý M t cách đ n gi n, gi i h n duy nh t là: ại một số kiến thức cơ bản về số phức mà học sinh ọc sinh ại một số kiến thức cơ bản về số phức mà học sinh ột số kiến thức cơ bản về số phức mà học sinh ơ bản về số phức mà học sinh ản về số phức mà học sinh ớp 11 đã được trang bị ại một số kiến thức cơ bản về số phức mà học sinh ất của số phức biểu diễn dưới dạng

(1) th t ch n các ph n t không quan tr ng ức cơ bản về số phức mà học sinh ự chọn các phần tử không quan trọng ọc sinh ần này nhắc lại một số kiến thức cơ bản về số phức mà học sinh ọc sinh

(2) nh ng gi i h n áp d ng cho vi c ch n các ph n t c a A và B cũng áp ớp 11 đã được trang bị ại một số kiến thức cơ bản về số phức mà học sinh ụ, ta có thể đòi hỏi ệt, cũng có thể cho phép được chọn một số lần có giới ọc sinh ần này nhắc lại một số kiến thức cơ bản về số phức mà học sinh ủa số phức biểu diễn dưới dạng

d ng cho vi c ch n các ph n t c a A ụ, ta có thể đòi hỏi ệt, cũng có thể cho phép được chọn một số lần có giới ọc sinh ần này nhắc lại một số kiến thức cơ bản về số phức mà học sinh ủa số phức biểu diễn dưới dạng  B (Ch t chẽ h n, c n có m t song ánhơ bản về số phức mà học sinh ần này nhắc lại một số kiến thức cơ bản về số phức mà học sinh ột số kiến thức cơ bản về số phức mà học sinh

gi a các cách ch n n ph n t t A ọc sinh ần này nhắc lại một số kiến thức cơ bản về số phức mà học sinh  B v i b s p th t các cách ch n t A và Bớp 11 đã được trang bị ột số kiến thức cơ bản về số phức mà học sinh ắc lại một số kiến thức cơ bản về số phức mà học sinh ức cơ bản về số phức mà học sinh ự chọn các phần tử không quan trọng ọc sinh

ch a t ng th n ph n t ) ức cơ bản về số phức mà học sinh ổng thể n phần tử) ểu diễn dưới dạng ần này nhắc lại một số kiến thức cơ bản về số phức mà học sinh

Ch ng minh ứu :

Đ nh nghĩaịch ra tiếng Việt thành các bài viết chuyên đề hiện tại không

Trưới học sinh các lớp đầu cấp THPT làc tiên ta tính tích A x B x và bi u di n h s ( ) ( ) ễn hệ số ệu đã được sơ ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết c thông qua các h s n ệu đã được sơ ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết a và

b Ta có th s p x p các s h ng này thành d ng b ng nh sau:ắm vững lý ết một số dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ư

Chú ý r ng các s h ng có cùng luỹ th a c a ằng các phương pháp thông thường như: Các bài toán tìm ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ủa dãy số; các bài toán tổ hợp… Tuy nhiên, để nắm vững lý x x p trên các đết một số dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ười giải rấtng chéo Nhóm t t c các s h ng này l i, ta th y r ng h s c a ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ằng các phương pháp thông thường như: Các bài toán tìm ệu đã được sơ ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ủa dãy số; các bài toán tổ hợp… Tuy nhiên, để nắm vững lý x trong tích b ng n ằng các phương pháp thông thường như: Các bài toán tìm

c a b0 a b1 1 a b1 1a b0

Bây gi ta ch ng minh r ng đây cũng chính là s cách ch n ời giải rất ứu khá kĩ lưỡng, tuy nhiên những tài liệu đã được sơ ằng các phương pháp thông thường như: Các bài toán tìm ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ọc là một trong các công cụ n ph n t tầy đủ đối với học sinh các lớp đầu cấp THPT là ử dụng không ít kiến thức toán cao

AB M t cách t ng quát, ta có th ch n ột trong các công cụ ọc là một trong các công cụ n ph n t t ầy đủ đối với học sinh các lớp đầu cấp THPT là ử dụng không ít kiến thức toán cao AB b ng cách ch n ằng các phương pháp thông thường như: Các bài toán tìm ọc là một trong các công cụ j

ph n t t ầy đủ đối với học sinh các lớp đầu cấp THPT là ử dụng không ít kiến thức toán cao A và n j ph n t t ầy đủ đối với học sinh các lớp đầu cấp THPT là ử dụng không ít kiến thức toán cao B, trong đó j là m t s t 0 đ n ột trong các công cụ ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ết một số dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết n Đi u này cóề hiện tại không

th được biếtc th c hi n b ng ựng được hàm sinh cho các đối tượng ệu đã được sơ ằng các phương pháp thông thường như: Các bài toán tìm a b j n j

cách L y t ng t 0 đ n ết một số dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết n, ta có:

a b0 a b1 1 a b1 1a b0 cách ch n ọc là một trong các công cụ n ph n t t ầy đủ đối với học sinh các lớp đầu cấp THPT là ử dụng không ít kiến thức toán cao A B Đó chính là giá trịch ra tiếng Việt thành các bài viết chuyên đề hiện tại không

n

c đã đ c tính trên.ược biết ở bậc đại học

3.3 Ch n các ph n t có l p: ọn các phần tử khác nhau: ần tử khác nhau: ử khác nhau: ặt vấn đề:

Ta xét bài toán ví d sau: ụ

Bài toán 1: Có bao nhiêu cách ch n 12 cây k o t 5 lo i k o? ọc là một trong các công cụ ẹo từ 5 loại kẹo? ẹo từ 5 loại kẹo?

T ng quát: Có bao nhiêu cách ch n ra ọc là một trong các công cụ k ph n t t t p h p có ầy đủ đối với học sinh các lớp đầu cấp THPT là ử dụng không ít kiến thức toán cao ận thấy có ợc biết n ph n t , trongầy đủ đối với học sinh các lớp đầu cấp THPT là ử dụng không ít kiến thức toán cao

đó ta cho phép m t ph n t có th đột trong các công cụ ầy đủ đối với học sinh các lớp đầu cấp THPT là ử dụng không ít kiến thức toán cao ược biếtc ch n nhi u l n? ọc là một trong các công cụ ề hiện tại không ầy đủ đối với học sinh các lớp đầu cấp THPT là

Ta sẽ xây d ngựng được hàm sinh cho các đối tượng hàm sinh cho bài toán này

Gi s ta ch n ử dụng không ít kiến thức toán cao ọc là một trong các công cụ n ph n t (có l p) t t p h p ch có duy nh t m t ph n t ầy đủ đối với học sinh các lớp đầu cấp THPT là ử dụng không ít kiến thức toán cao ặc dù các em học sinh đã ận thấy có ợc biết ỉ tiếp cận ột trong các công cụ ầy đủ đối với học sinh các lớp đầu cấp THPT là ử dụng không ít kiến thức toán cao Khi đó có 1 cách ch n 0 ph n t , 1 cách ch n 1 ph n t , 1 cách ch n 2 ph n t …ọc là một trong các công cụ ầy đủ đối với học sinh các lớp đầu cấp THPT là ử dụng không ít kiến thức toán cao ọc là một trong các công cụ ầy đủ đối với học sinh các lớp đầu cấp THPT là ử dụng không ít kiến thức toán cao ọc là một trong các công cụ ầy đủ đối với học sinh các lớp đầu cấp THPT là ử dụng không ít kiến thức toán cao

Nh th , hàm sinh c a cách ch n có l p t t p h p có 1 ph n t b ngư ết một số dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ủa dãy số; các bài toán tổ hợp… Tuy nhiên, để nắm vững lý ọc là một trong các công cụ ặc dù các em học sinh đã ận thấy có ợc biết ầy đủ đối với học sinh các lớp đầu cấp THPT là ử dụng không ít kiến thức toán cao ằng các phương pháp thông thường như: Các bài toán tìm

x

       



1

Áp d ng đ nh lý 5 (Quy t c xo n) ta có (hàm sinh c a cách ch n các ph n t tụ ịch ra tiếng Việt thành các bài viết chuyên đề hiện tại không ắm vững lý ắm vững lý ủa dãy số; các bài toán tổ hợp… Tuy nhiên, để nắm vững lý ọc là một trong các công cụ ầy đủ đối với học sinh các lớp đầu cấp THPT là ử dụng không ít kiến thức toán cao

h p c a các t p h p r i nhau b ng tích c a các hàm sinh c a cách ch n các ph nợc biết ủa dãy số; các bài toán tổ hợp… Tuy nhiên, để nắm vững lý ận thấy có ợc biết ời giải rất ằng các phương pháp thông thường như: Các bài toán tìm ủa dãy số; các bài toán tổ hợp… Tuy nhiên, để nắm vững lý ủa dãy số; các bài toán tổ hợp… Tuy nhiên, để nắm vững lý ọc là một trong các công cụ ầy đủ đối với học sinh các lớp đầu cấp THPT là

t t m i t p h p):ử dụng không ít kiến thức toán cao ỗi tập hợp): ận thấy có ợc biết

V y, hàm sinh c a cách ch n các ph n t t t p h p ận thấy có ủa dãy số; các bài toán tổ hợp… Tuy nhiên, để nắm vững lý ọc là một trong các công cụ ầy đủ đối với học sinh các lớp đầu cấp THPT là ử dụng không ít kiến thức toán cao ận thấy có ợc biết n ph n t có l p là: ầy đủ đối với học sinh các lớp đầu cấp THPT là ử dụng không ít kiến thức toán cao ặc dù các em học sinh đã (  x)n

1 1

4 Xây d ng hàm sinh trong các bài toán t h p: ựng hàm sinh ổ hợp: ợng áp dụng:

Bài toán m đ u: ở đầu: ần tử khác nhau: Có bao nhiêu nhiêu cách s p m t gi ắm vững lý ột trong các công cụ ỏ rằng n trái cây tho mãn các

đi u ki n ràng bu c sau:ề hiện tại không ệu đã được sơ ột trong các công cụ

1 S táo ph i ch nố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ẵn

2 S chu i ph i chia h t cho 5ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ết một số dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết

3 Ch có th có nhi u nh t 4 qu camỉ tiếp cận ề hiện tại không

4 Ch có th có nhi u nh t 1 qu đàoỉ tiếp cận ề hiện tại không

Ví d , đ s p m t gi 6 trái cây ta ch có 7 cách s p sau:ụ ắm vững lý ột trong các công cụ ỏ rằng ỉ tiếp cận ắm vững lý

Chu i ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết 0 0 0 0 0 5 5

Nh n xét: Các đi u ki n ràng bu c c a bài toán quá ph c t p và d ận xét trong chứng minh định lý 2, ta dễ dàng chứng minh được ề số phức mà học sinh ệt, cũng có thể cho phép được chọn một số lần có giới ột số kiến thức cơ bản về số phức mà học sinh ủa số phức biểu diễn dưới dạng ức cơ bản về số phức mà học sinh ại một số kiến thức cơ bản về số phức mà học sinh ường hợp ng

nh không th gi i quy t đ ư ểu diễn dưới dạng ản về số phức mà học sinh ến thức cơ bản về số phức mà học sinh ược trang bị c Tuy nhiên, n u ta xem xét bài toán b ng hàm sinh ến thức cơ bản về số phức mà học sinh ằng quy nạp theo thì l i gi i h t s c b t ng ờng hợp ản về số phức mà học sinh ến thức cơ bản về số phức mà học sinh ức cơ bản về số phức mà học sinh ất của số phức biểu diễn dưới dạng ờng hợp

Gi i: ải: Trưới học sinh các lớp đầu cấp THPT làc h t, ta tìm hàm sinh cho s cách ch n táo:ết một số dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ọc là một trong các công cụ

Có 1 cách ch n 0 qu táo, có 0 cách ch n 1 qu táo (vì s táo ph i ch n),ọc là một trong các công cụ ọc là một trong các công cụ ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ẵn

có 1 cách ch n 2 qu táo, có 0 cách ch n 3 qu táo… Nh v y ta có hàm sinh choọc là một trong các công cụ ọc là một trong các công cụ ư ận thấy có

s cách ch n táo là: ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ọc là một trong các công cụ A x( )  x x    x

2

1 1

1

Tương t , hàm sinh cho s cách ch n chu i là:ựng được hàm sinh cho các đối tượng ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ọc là một trong các công cụ ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết

x

    



5

1 1

1

Bây gi , ta có th ch n 0 qu cam b ng 1 cách, 1 qu cam b ng 1 cách, …ời giải rất ọc là một trong các công cụ ằng các phương pháp thông thường như: Các bài toán tìm ằng các phương pháp thông thường như: Các bài toán tìm

Nh ng ta không th ch n h n 4 qu cam, vì th ta có hàm sinh cho s cách ch nư ọc là một trong các công cụ ơ ết một số dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ọc là một trong các công cụ

x

x



     



5

1

1

Tương t , hàm sinh cho s cách ch n đào là:ựng được hàm sinh cho các đối tượng ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ọc là một trong các công cụ

x



  



2 1 1

1 Theo quy t c xo n, hàm sinh cho cách ch n t c 4 lo i trái cây b ng:ắm vững lý ắm vững lý ọc là một trong các công cụ ằng các phương pháp thông thường như: Các bài toán tìm

V y s cách s p gi trái cây g m ận thấy có ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ắm vững lý ỏ rằng ồng chấm SKKN của n trái cây đ n gi n b ng ơ ằng các phương pháp thông thường như: Các bài toán tìm n 1.

Sau đây, ta xem xét m t s bài toán gi i b ng ph ột số kiến thức cơ bản về số phức mà học sinh ố kiến thức cơ bản về số phức mà học sinh ản về số phức mà học sinh ằng quy nạp theo ươ bản về số phức mà học sinh ng pháp hàm sinh và chú

ý cách xây d ng hàm sinh trong t ng bài toán ự chọn các phần tử không quan trọng.

Bài toán 1: M t con xúc x c g i là “chu n” có các m t đánh d u b i các ch một trong các công cụ ắm vững lý ọc là một trong các công cụ ẩn” có các mặt đánh dấu bởi các chấm ặc dù các em học sinh đã ở bậc đại học

mà s ch m l n lố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ầy đủ đối với học sinh các lớp đầu cấp THPT là ược biếtt là: 1, 2, 3, 4, 5, 6 Khi ta tung hai con xúc x c “chu n”, dắm vững lý ẩn” có các mặt đánh dấu bởi các chấm ễn hệ số dàng tính được biếtc xác su t c a t ng s ch m các m t xu t hi n Ch ng h n, xácủa dãy số; các bài toán tổ hợp… Tuy nhiên, để nắm vững lý ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ở bậc đại học ặc dù các em học sinh đã ệu đã được sơ ẳng sang ngôn ngữ

su t khi tung hai con xúc x c nh n đắm vững lý ận thấy có ược biếtc t ng s ch m các m t xu t hi n b ngố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ở bậc đại học ặc dù các em học sinh đã ệu đã được sơ ằng các phương pháp thông thường như: Các bài toán tìm

2 là 1/36, còn xác su t nh n đận thấy có ược biếtc t ng s ch m các m t xu t hi n b ng 7 làố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ở bậc đại học ặc dù các em học sinh đã ệu đã được sơ ằng các phương pháp thông thường như: Các bài toán tìm 1/6

H i có th t o ra m t c p xúc x c “không chu n” t m t c p xúc x cỏ rằng ột trong các công cụ ặc dù các em học sinh đã ắm vững lý ẩn” có các mặt đánh dấu bởi các chấm ột trong các công cụ ặc dù các em học sinh đã ắm vững lý

“chu n” b ng cách đánh d u l i s ch m các m t (không làm thay đ i c u trúcẩn” có các mặt đánh dấu bởi các chấm ằng các phương pháp thông thường như: Các bài toán tìm ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ở bậc đại học ặc dù các em học sinh đã

c a các con xúc x c đó, s ch m m i m t ph i là s nguyên dủa dãy số; các bài toán tổ hợp… Tuy nhiên, để nắm vững lý ắm vững lý ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ở bậc đại học ỗi tập hợp): ặc dù các em học sinh đã ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ương) sao cho xác

su t c a t ng s ch m các m t xu t hi n khi tung hai con xúc x c đó khôngủa dãy số; các bài toán tổ hợp… Tuy nhiên, để nắm vững lý ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ở bậc đại học ặc dù các em học sinh đã ệu đã được sơ ắm vững lý

đ i so v i khi tung hai con xúc x c “chu n”? Ch ng h n, trên m t m t c a m tới học sinh các lớp đầu cấp THPT là ắm vững lý ẩn” có các mặt đánh dấu bởi các chấm ẳng sang ngôn ngữ ột trong các công cụ ặc dù các em học sinh đã ủa dãy số; các bài toán tổ hợp… Tuy nhiên, để nắm vững lý ột trong các công cụ con xúc x c không chu n ta đánh d u 8 ch m, trên con xúc x c còn l i có hai m tắm vững lý ẩn” có các mặt đánh dấu bởi các chấm ắm vững lý ặc dù các em học sinh đã

được biếtc đánh d u m i m t 3 ch m Nh ng xác su t c a t ng s ch m các m tỗi tập hợp): ặc dù các em học sinh đã ư ủa dãy số; các bài toán tổ hợp… Tuy nhiên, để nắm vững lý ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ở bậc đại học ặc dù các em học sinh đã

xu t hi n khi tung hai con xúc x c này b ng 2 v n là 1/36, và xác su t c a t ngệu đã được sơ ắm vững lý ằng các phương pháp thông thường như: Các bài toán tìm ẫn ủa dãy số; các bài toán tổ hợp… Tuy nhiên, để nắm vững lý

s ch m các m t xu t hi n b ng 7 v n là 1/6.ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ở bậc đại học ặc dù các em học sinh đã ệu đã được sơ ằng các phương pháp thông thường như: Các bài toán tìm ẫn

Gi i ải: : Xét m t con xúc x c chu n, ta xây d ng hàm sinh s l n xu t hi n m tột trong các công cụ ắm vững lý ẩn” có các mặt đánh dấu bởi các chấm ựng được hàm sinh cho các đối tượng ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ầy đủ đối với học sinh các lớp đầu cấp THPT là ệu đã được sơ ặc dù các em học sinh đã

ch a ứu khá kĩ lưỡng, tuy nhiên những tài liệu đã được sơ k ch m b ng cách: gán cho m t ch a ằng các phương pháp thông thường như: Các bài toán tìm ặc dù các em học sinh đã ứu khá kĩ lưỡng, tuy nhiên những tài liệu đã được sơ k ch m b i ký hi u ở bậc đại học ệu đã được sơ x và s l n k ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ầy đủ đối với học sinh các lớp đầu cấp THPT là

xu t hi n m t ệu đã được sơ ặc dù các em học sinh đã k ch m b ng h s c a ằng các phương pháp thông thường như: Các bài toán tìm ệu đã được sơ ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ủa dãy số; các bài toán tổ hợp… Tuy nhiên, để nắm vững lý x Khi đó hàm sinh s ch m các m t k ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ở bậc đại học ặc dù các em học sinh đã

c a con xúc x c chu n là:ủa dãy số; các bài toán tổ hợp… Tuy nhiên, để nắm vững lý ắm vững lý ẩn” có các mặt đánh dấu bởi các chấm

( )

D x x1x2x3x4x5x6

Rõ ràng, khi tung hai con xúc x c chu n, hàm sinh c a t ng s ch m xu t hi nắm vững lý ẩn” có các mặt đánh dấu bởi các chấm ủa dãy số; các bài toán tổ hợp… Tuy nhiên, để nắm vững lý ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ệu đã được sơ trên m t hai con xúc x c là:ặc dù các em học sinh đã ắm vững lý

          

: Trong đó x là ký hi u cho t ng s ch m các m t xu t hi n b ng k ệu đã được sơ ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ở bậc đại học ặc dù các em học sinh đã ệu đã được sơ ằng các phương pháp thông thường như: Các bài toán tìm k và h sệu đã được sơ ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết

c a ủa dãy số; các bài toán tổ hợp… Tuy nhiên, để nắm vững lý x là s l n xu t hi n c a c p các m t xu t hi n có t ng s ch m b ng k ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ầy đủ đối với học sinh các lớp đầu cấp THPT là ệu đã được sơ ủa dãy số; các bài toán tổ hợp… Tuy nhiên, để nắm vững lý ặc dù các em học sinh đã ặc dù các em học sinh đã ệu đã được sơ ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ằng các phương pháp thông thường như: Các bài toán tìm k

Ch ng h n, xét t ng s ch m xu t hi n trên hai con xúc x c chu n khi gieo b ngẳng sang ngôn ngữ ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ệu đã được sơ ắm vững lý ẩn” có các mặt đánh dấu bởi các chấm ằng các phương pháp thông thường như: Các bài toán tìm

6 Ta th y trong tích trên có các c p sau có tích b ng ặc dù các em học sinh đã ằng các phương pháp thông thường như: Các bài toán tìm x là ( )( )6 x x1 5 , ( )( )x2 x ,4

( )( )x3 x , ( )( )3 x4 x , và ( )( )2 x5 x , v y h s c a 1 ận thấy có ệu đã được sơ ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ủa dãy số; các bài toán tổ hợp… Tuy nhiên, để nắm vững lý x là 5 Nói cách khác, ta có 5 cách6

phân tích s 6 thành t ng s ch m xu t hi n trên các m t c a m i con xúc x cố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ệu đã được sơ ặc dù các em học sinh đã ủa dãy số; các bài toán tổ hợp… Tuy nhiên, để nắm vững lý ỗi tập hợp): ắm vững lý chu n là: ẩn” có các mặt đánh dấu bởi các chấm

1 + 5, 2 + 4, 3 + 3, 4 + 2, và 5 + 1

Do đó đa th c tíchứu khá kĩ lưỡng, tuy nhiên những tài liệu đã được sơ :

      

có các h s c a ệu đã được sơ ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ủa dãy số; các bài toán tổ hợp… Tuy nhiên, để nắm vững lý x b ng s các cách phân tích s k ằng các phương pháp thông thường như: Các bài toán tìm ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết k thành t ng s ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ch m xu t

hi n trên m t các con xúc x c chu n trong phép gieo hai con xúc x c ệu đã được sơ ặc dù các em học sinh đã ắm vững lý ẩn” có các mặt đánh dấu bởi các chấm ắm vững lý

Ta có th áp d ng phụ ương pháp này cho trười giải rấtng h p các con xúc x c khôngợc biết ắm vững lý chu n Kí hi u: ẩn” có các mặt đánh dấu bởi các chấm ệu đã được sơ a a1, , ,2 a và , , ,6 b b1 2 b là s các ch m trên các m t c a hai con6 ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ặc dù các em học sinh đã ủa dãy số; các bài toán tổ hợp… Tuy nhiên, để nắm vững lý xúc x c không chu n, và hàm sinh c a các s này trên m i con xúc x c khôngắm vững lý ẩn” có các mặt đánh dấu bởi các chấm ủa dãy số; các bài toán tổ hợp… Tuy nhiên, để nắm vững lý ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ỗi tập hợp): ắm vững lý chu n tẩn” có các mặt đánh dấu bởi các chấm ương ng là: ứu khá kĩ lưỡng, tuy nhiên những tài liệu đã được sơ A x( )x a1  x a6

và ( )B x x b1  x b6

Tương t trên, tích ựng được hàm sinh cho các đối tượng A x B x bi u di n hàm sinh cho t ng s ch m xu t( ) ( ) ễn hệ số ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết

hi n trên các m t c a phép gieo hai con xúc x c không chu n Do gi thi t, xácệu đã được sơ ặc dù các em học sinh đã ủa dãy số; các bài toán tổ hợp… Tuy nhiên, để nắm vững lý ắm vững lý ẩn” có các mặt đánh dấu bởi các chấm ết một số dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết

su t t ng s ch m xu t hi n trên m t khi gieo hai con xúc x c không chu nố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ệu đã được sơ ặc dù các em học sinh đã ắm vững lý ẩn” có các mặt đánh dấu bởi các chấm trùng v i xác su t khi gieo hai con xúc x c chu n, ta suy ra: ới học sinh các lớp đầu cấp THPT là ắm vững lý ẩn” có các mặt đánh dấu bởi các chấm

 A x B x  x x x x x x

x x x  x  x  x

x x  x  x

   

x x x  x x  x

Gi s :ử dụng không ít kiến thức toán cao

A x x x1  2 x2 x 3 x2 x 4

và

 f  f   f   f

trong đó e và i f là các s nguyên không âm tho mãn i ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết e i f i 2 v i ới học sinh các lớp đầu cấp THPT là 1 i 4

Do ( )A 0 B( )0 0 nên m i đa th c ph i chia h t cho ỗi tập hợp): ứu khá kĩ lưỡng, tuy nhiên những tài liệu đã được sơ ết một số dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết x , t đó e1f1 1

M t khác, t cách xác đ nh ban đ u ta ph i có ặc dù các em học sinh đã ịch ra tiếng Việt thành các bài viết chuyên đề hiện tại không ầy đủ đối với học sinh các lớp đầu cấp THPT là A( )1 B( )1 6, nghĩa là

2 4 2 4

2 3e e 2 3f f 6, suy ra e2 f2 e4 f4 1

N u ta có ết một số dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết e3 f3 1 thì ( )A x B x( )D x và nh v y các con xúc x c đ u( ) ư ận thấy có ắm vững lý ề hiện tại không

ph i là xúc x c chu n ắm vững lý ẩn” có các mặt đánh dấu bởi các chấm

Nh v y ch có duy nh t trư ận thấy có ỉ tiếp cận ười giải rấtng h p ợc biết e3 2 và f3 0 (trười giải rấtng h pợc biết

;

30 3 2

e f hoàn toàn tương t ), khi đó:ựng được hàm sinh cho các đối tượng

           

       

Nh v y, ta có th xây d ng hai con xúc x c không chu n tho mãn bàiư ận thấy có ựng được hàm sinh cho các đối tượng ắm vững lý ẩn” có các mặt đánh dấu bởi các chấm toán b ng cách đánh d u l i s ch m trên các m t c a m i con b i các s : 1; 3;ằng các phương pháp thông thường như: Các bài toán tìm ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ặc dù các em học sinh đã ủa dãy số; các bài toán tổ hợp… Tuy nhiên, để nắm vững lý ỗi tập hợp): ở bậc đại học ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết 4; 5; 6; 8 và 1; 2; 2; 3; 3; 4

Bài toán 2: (Rumania MO 2003)

Có bao nhiêu s có ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết n ch s , các ch s thu c t p {2,3,7,9} và chia h t choững tài liệu đã được sơ ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ững tài liệu đã được sơ ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ột trong các công cụ ận thấy có ết một số dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết 3?

Gi i: ải: Ta có m t s chia h t cho 3 n u và ch n u t ng các ch s c a nó chia h tột trong các công cụ ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ết một số dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ết một số dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ỉ tiếp cận ết một số dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ững tài liệu đã được sơ ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ủa dãy số; các bài toán tổ hợp… Tuy nhiên, để nắm vững lý ết một số dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết cho 3 Nh v y yêu c u bài toán tư ận thấy có ầy đủ đối với học sinh các lớp đầu cấp THPT là ương đương v i vi c tìm s các s có ới học sinh các lớp đầu cấp THPT là ệu đã được sơ ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết n ch sững tài liệu đã được sơ ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết

mà t ng các ch s c a nó chia h t cho 3 Ta có m i ch s c a s th a mãn cóững tài liệu đã được sơ ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ủa dãy số; các bài toán tổ hợp… Tuy nhiên, để nắm vững lý ết một số dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ỗi tập hợp): ững tài liệu đã được sơ ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ủa dãy số; các bài toán tổ hợp… Tuy nhiên, để nắm vững lý ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ỏ rằng giá tr là m t trong các s 2,3,7 ho c 9 Do đó hàm sinh cho m i ch s sẽ làịch ra tiếng Việt thành các bài viết chuyên đề hiện tại không ột trong các công cụ ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết ặc dù các em học sinh đã ỗi tập hợp): ững tài liệu đã được sơ ố dạng bài toán khó Lí thuyết hàm sinh đã được biết

x2x3x7x9 Xét hàm sinh: