Tạo hứng thú cho học sinh khá, giỏi trong trường THPT thường xuân 3 về định hướng và tìm lời giải bài toán hình học tọa đ

Thế nhưng các bài toán mà sách giáo khoa đưa ra chỉ nhằm mục đích giúp học sinh bước đầu biết được phương pháp tọa độ và áp dụng phương pháp này vào các bài toán đơn giản như: lập phương

1 Mở đầu 1.1 Lí do chọn đề tài

+ Môn toán là một trong những môn học quan trọng nhất ở chương trình

giáo dục phổ thông Nó là chìa khóa để mở ra các môn học khác Đồng thời nó

có khả năng phát triển tư duy lôgic, phát triển trí tuệ cần thiết giúp con người vận dụng vào cuộc sống hằng ngày Phần phương pháp tọa độ trong mặt phẳng Oxy lại thể hiện khá rõ nét những đặc tính đó

+ Ở lớp 10, các em học sinh đã được tiếp cận với phương pháp tọa độ trong mặt phẳng Thế nhưng các bài toán mà sách giáo khoa đưa ra chỉ nhằm mục đích giúp học sinh bước đầu biết được phương pháp tọa độ và áp dụng phương pháp này vào các bài toán đơn giản như: lập phương trình đường thẳng, đường elip, đường tròn, và các bài toán về khoảng cách và góc Do đó, học sinh vẫn còn rất lúng túng khi gặp những bài toán khó trong các đề thi THPT quốc gia và đề thi học sinh giỏi

+ Khi gặp các bài toán hình học tọa độ trong mặt phẳng Oxy sử dụng đến các tính chất hình học thuần túy các em không biết bắt đầu từ đâu, dựa vào đâu

để suy luận tìm lời giải Nguyên nhân của vấn đề trên một phần vì học sinh ngại hình học phẳng vì cứ nghĩ hình học phẳng là khó nên “ lười’’ tư duy, một phần

vì giáo viên khi dạy cũng không chú trọng khai thác hướng dẫn cho học sinh, chưa phân tích kĩ tìm lời giải cho các bài toán, các bài tập minh họa cũng đơn điệu, rời rạc, thiếu sức lôi cuốn, điều này không gây được hứng thú học tập và

sự sáng tạo cho các em và dẫn đến kết quả học tập của học sinh còn nhiều hạn chế

+ Giải các bài toán hình phẳng trong các kỳ thi THPT quốc gia và thi học sinh giỏi thường phù hợp hơn với những học sinh khá, giỏi, những học sinh có kiến thức vững vàng về hình học phẳng ở THCS

+ Ngoài ra, học sinh trường THPT Thường Xuân 3 là học sinh miền núi,

đa số là con em dân tộc thiểu số Với điều kiện kinh tế khó khăn và trình độ dân trí còn thấp nên số lượng học sinh có lực học khá giỏi ở môn toán còn ít

Vì vậy tìm ra một cách tiếp cận để giải quyết các vấn đề trên giúp học sinh học một cách tự nhiên, dễ hiểu là sự trăn trở của tác giả, để học sinh không còn sợ môn học này nữa và đặc biệt là có hứng thú khi gặp các bài toán dạng này

Từ những lí do trên tôi chọn đề tài: “Một số giải pháp giúp học sinh khá, giỏi ở lớp 10 trường THPT Thường Xuân 3 giải các bài toán hình học tọa độ Oxy.”

1.2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu nội dung chương trình hình học lớp 10 THPT, các bài toán dành cho học sinh khá, giỏi từ đó xây dựng các thao tác cần thiết để giúp học sinh sử dụng tốt phương pháp tọa độ vào giải các bài toán tổng hợp

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu mà đề tài hướng tới là:

- Xây dựng nguyên tắc xác định hệ trục tọa độ Đề các tương ứng với mỗi loại hình

- Hình thành cô đọng lượng kiến thức thiết yếu, nền tảng làm cơ sở cho giải pháp sử dụng công cụ tọa độ

- Phân dạng được các bài tập và hướng dẫn từng cách giải

- Khám phá, phân tích nhiều lời giải trên một bài toán, làm rõ quan hệ hữu

cơ, sự hỗ trợ bổ sung cho nhau giữa các cách giải, từ đó hoàn thiện kiến thức và nắm bắt bài toán một cách thấu đáo và có chiều sâu

1.4 Phương pháp nghiên cứu

+ Phương pháp nghiên cứu lý luận: nghiên cứu tài liệu, các đề thi THPT

quốc gia, đề thi HSG các cấp, sách tham khảo liên quan đến vấn đề sử dụng phương pháp tọa độ Oxy, nghiên cứu chương trình giáo khoa của bộ môn

+ Phương pháp nghiên cứu thực tế: thông qua việc dạy và học phân môn Hình học lớp 10 ở THPT rút ra một số nhận xét và phương pháp giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải toán bằng phương pháp tọa độ hóa

+ Phương pháp kiểm chứng sư phạm: tiến hành dạy và kiểm tra khả năng ứng dụng của học sinh nhằm minh chứng bước đầu cho khả năng giải quyết mạnh mẽ của phương pháp tọa độ hóa và việc áp dụng phương pháp tọa độ hóa vào giải toán

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Mục đích của dạy học toán là phải mang lại cho học sinh những kiến thức phổ thông, những kỹ năng cơ bản của người lao động, qua đó rèn luyện tư duy logic, phát triển năng lực sáng tạo, góp phần hình thành thế giới quan và nhân sinh quan đúng đắn cho các em

Các bài toán hình học phẳng là phần kiến thức rất đa dạng đòi hỏi kiến thức logic tổng hợp Để học tốt được phần này học sinh phải nắm chắc các kiến thức,

kĩ năng về hình học phẳng ở cấp THCS Học sinh phải thường xuyên sưu tầm các bài tập mới lạ, thường xuyên làm bài tập để học hỏi, trau dồi phương pháp,

kĩ năng khi biến đổi Thế nhưng làm được điều này thật không đơn giản bởi một

số nguyên nhân sau:

- Các bài tập trong SGK Hình học 10 ở phần này ở mức độ nhận biết, thông hiểu hoặc ở vận dụng thấp, trong khi đó ở các đề thi nằm ở mức độ vận dụng cao

- Có quá nhiều dạng toán và đi kèm với đó là nhiều phương pháp, dẫn tới việc các em cảm thấy lúng túng khi gặp dạng toán lạ Kĩ năng nhận biết, biến đổi quy lạ về quen còn hạn chế

- Số tiết theo PPCT ở chương III – Hình học 10 còn ít

Do đó tôi luôn luôn có ý định tìm ra một phương pháp mới để truyền dạy cho học sinh, một phương pháp đơn giản dễ làm, một phương pháp mà học sinh cảm thấy phấn chấn khi học, một phương pháp giải quyết được nhiều dạng toán khó mà các em gặp phải trong quá trình ôn luyện

2.2 Thực trạng của vấn đề nghiên cứu trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

- Bài toán hình học tọa độ Oxy là phần khó Lượng kiến thức khai thác là rất

nhiều và đa dạng, nếu không khéo truyền đạt sẽ làm cho các em thấy lan man, mất phương hướng chứ chưa nói đến sau khi học xong các em nắm được những phương pháp nào, kĩ năng gì Do vậy ở phần này người giáo viên cần phải có hệ thống bài tập minh hoạ cho các phương pháp trọng tâm, các dạng toán quan trọng Đặc biệt làm cho các em phải cảm thấy tự tin

Qua thực tế giảng dạy trực tiếp các lớp 10, tôi thấy rằng khi dạy học sinh theo sách giáo khoa rồi mở rộng ra những bài tập lấy ở đề thi THPT Quốc gia những năm trước, đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh, thì tỉ lệ học sinh giải được là thấp, thậm chí là “bỏ qua” trong khi bản thân chưa có sự đào sâu suy nghĩ, cộng thêm nguyên nhân khách quan là phần kiến thức khó, đòi hỏi tư duy cao Cụ thể năm học 2017-2018 khi chưa áp dụng sáng kiến này vào giảng dạy Tôi cho học sinh lớp 10A1, 10A2 (2 lớp tập trung nhiều học sinh khá, giỏi nhất khối10) giải thử một số câu lấy từ nguồn tài liệu trên Kết quả như sau:

Lớp Tổng

số HS

Xuất phát từ thực tế đó, trong năm học 2018-2019 tôi đã tiến hành đổi mới

dạy nội dung này tại lớp 10A1 và 10A2 (lớp 10A1 có chất lượng tương đương

với lớp 10A1, lớp 10A2 có chất lượng tương đương với lớp 10A2 trong năm học trước)

2 3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

2 3 1 Xây dựng hệ tọa độ

Xây dựng hệ tọa độ hợp lý là điều rất cần thiết cho việc ứng dụng của phương pháp tọa độ trong việc giải toán Đây là bước đầu tiên của bài giải Người giáo viên cần hướng dẫn khéo léo giúp học sinh nhận ra các tính chất đặc biệt của bài toán, ở đây chủ yếu là sử dụng tính vuông góc, để xây dựng một hệ tọa độ mà trên đó các tham số được giảm một cách tối ưu nhất

Ở đây, ta xem xét một số trường hợp áp dụng tốt phương pháp này

Đối với các bài toán có sẵn góc vuông như: hình vuông, hình chữ nhật, tam giác vuông Đối với các hình như vậy ta có thể chọn hệ trục tọa độ có gốc

nằm tại một đỉnh vuông, có hai trục Ox và Oy chứa 2 cạnh tương ứng của góc

vuông đó Và chọn đơn vị trên các trục bằng độ dài của một trong hai cạnh góc vuông Bằng cách chọn như vậy, các tham số được giảm tối đa có thể Và dạng hình này cũng là dạng áp dụng thuận lợi nhất phương pháp tọa độ trong mặt phẳng này

Đối với các bài toán có chứa tam giác đều, tam giác cân, tam giác thường

Ta có thể xây dựng một hệ trục bằng cách dựa vào đường cao Cụ thể, ta dựng đường cao từ một đỉnh bất kỳ (đối với tam giác cân ta nên dựng đường cao từ đỉnh cân) Chân đường cao khi đó chính là gốc tọa độ, cạnh đáy và đường cao vừa dựng nằmtrên hai trục tọa độ

Đối với các bài toán có chứa các đường tròn thì ta có thể chọn gốc tọa độ nằm tại tâm của đường tròn và đơn vị của hệ tọa độ bằng bán kính đường tròn, một hoặc hai trục chứa bán kính, đường kính của đường tròn

Tuy nhiên, khi áp dụng thì không cứng nhắc trong việc chọn hệ trục tọa

độ Nên để học sinh linh hoạt và tìm ra cách chọn tối ưu cho bài toán

Một số bài toán có thể có nhiều đối tượng hình học trên đó, thì tùy vào giả thuyết ta chọn hệ trục tọa độ cho phù hợp

2.3.2 Một số tính chất của hình học phẳng vận dụng vào bài toán phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.

Học sinh muốn giải thành thạo, giải nhanh các bài toán hình học tọa độ

trong mặt phẳng Oxy ở kỳ thi THPT, thi học sinh giỏi các cấp thì cần nắm vững

được kiến thức về các tính chất, các bài toán cơ bản của hình học phẳng

Bài toán 1: Cho hình vuông ABCD Gọi M N, lần lượt là trung điểm của AB và

BC Khi đó AN DM

Giải: Gọi cạnh hình vuông là a. Ta có

.

AN DM AB BN DA AM

AB DA AB AM BN DA BN AM

a a

uuuur uuuur uuur uuur uuur uuuur

uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuuur

Suy ra AN DM.

Chứng minh hoàn toàn tương tự như trên ta có bài toán sau

Bài toán 2 Cho hình vuông ABCD. Gọi M N, lần lượt thuộc AB và BC sao cho AMuuuur kABuuuur, BNuuur kBCuuur. Khi đó AN DM.

Bài toán 3 Cho hình chữ nhật ABCD có AB a AD a ,  2. Gọi M là trung điểm AD. Khi đó AC BM .

Giải: Ta có

2

2

.

2

2

AC BM AB BC BA AM

AB AB AM BC BA BC AM

a

uuur uuuur uuur uuur uuur uuuur

uuur uuuur uuur uuur uuur uuuur

Suy ra AC BM.

Bài toán 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình

vuông ABCD gọi M là trung điểm của cạnh BC, N là điểm

nằm trên cạnhACsao cho 1

4

AN  AC Chứng minh rằng

DN MN

Giải: Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ Khi đó

     0;0 , 0;a , a;0

� � � � do đó

DN MN   a  a 

uuur uuuur

Suy ra DN MN

Nhận xét : Bài toán này được áp dụng khá nhiều trong các

đề thi Việc chứng minh nó bằng hình học thuần túy như

sau:

Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD Điểm F

là trung điểm DI Khi đó FNMClà hình bình hành và F là

trực tâm tam giác NDC nên CF DN mà CF / /MN Nên

MN  DN

Bài toán 5: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD Gọi

H là hình chiếu của B xuống AC Biết điểm M K, lần lượt là trung điểm của

AH và CD Chứng minh rằng BM MK

Giải:

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ Khi đó

     0;0 , 0;a , ;0

B A C c Tọa độ điểm ;

2

a

K c� �

� �

� �

AC ax cy ac BH cx ay    Tọa độ

điểm H là nghiệm của hệ phương trình

2 2 ; 2 2

0

H

�

�

Do đó điểm

2

uuuuruuuur

Nhận xét:

-Ta có thể chứng minh theo cách sau

Gọi E là trung điểm HB Khi đó tứ giác MECKlà hình

bình hành Suy ra E là trực tâm

tam giácBMC nên BM CE mà CE / /MK Nên

MK MB

- Theo cách này không phải học sinh nào cũng có thể

lấy thêm điểm E Nhìn ra được tính chất được tính

chất đặc biệt của nó

Bài toán 6: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang vuông ABCD

� �

 A D 900 và CD 2AB Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm D lên đường chéo AC M là trung điểm HC Chứng minh rằng BM DM

Giải:

Cách 1: Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ Khi đó

     0;0 , 0;a , ;0 , ;

2

c

� � Phương trình đường thẳng

AC ax cy ac DH cx ay   

Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình

2 2 ; 2 2

0

H

�

�

Do đó điểm

2

;

M

   

2

4

BM DM

a c

�





�

uuuuruuuur

Cách 2: (thuần túy hình phẳng)

Gọi E là trung điểm HD Khi đó tứ giác MEAB là hình bình

hành Suy ra BE  AD nên E là trực tâm tam giác ADM suy

ra DM  AE mà AE/ /MB Nên MDMB

Bài toán 7: Cho hình chữ nhật ABCD có AB2BC

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên BD E, F lần

lượt là trung điểm của các đoạn thẳng CD, BH Chứng

minh rằng EF AF (trường hợp đặc điệt của bài toán 5)

Giải:

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ Khi đó

    0;0 , 0;a , 2 ;0 , 2 ; 

D A C a B a a Phương trình

đường thẳng BD x: 2y 0;AH : 2 x y a 0   Tọa độ điểm H  AH �BD

Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình

;

H

x y a

�

5 5

a a

EF �� ��AF ��  ��

Suy ra EFAF

Ta có thể chứng minh bài toán này theo cách thuần túy sau:

Gọi E, F, I lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng CD, BH, AB.

Ta chứng minh AF  EF Ta thấy các tứ giác ADEI và ADFI nội tiếp nên

tứ giác ADEF cũng nội tiếp, do đó AF  EF

Bài toán 8: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A.

Gọi D là một điểm trên cạnh AB sao cho AB3AD và H là hình chiếu vuông góc của B trên CD Điểm M là trung điểm của HC Chứng minh rằng

MAMB

Giải:

Cách 1:Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ Khi đó

      0;0 , 0;a , ;0 , ;0

I A C c B c Phương trình các đường thẳng

2

DC ax cy ac BH cx ay   c Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ

phương trình

2

;

H

Do đó điểm

2

;

M

2

4



uuuuruuuur

Cách 2: Gọi N I, là giao điểm của đường thẳng qua B

vuông góc với BCvới các đườngCD CA, Do tam giác

IDC vuông tại B và AB AC nên Alà trung điểm IC

Suy ra D là trọng tâm tam giác IBC Do đóANlà đường

trung bình tam giác IBC Gọi Elà trung điểm BH , khi đó

E là trực tâm tam giácNBM và tứ giác NAME là hình

bình hành nên từ NE MB�MAMB

Sau đây tôi xin giới thiệu một số dạng toán áp dụng cụ thể phương pháp tọa độ hóa vào giải bài toán hình học phẳng trong các đề thi THPT Quốc gia,

đề thi thử của các trường THPT trong cả nước những năm trước và đề thi học sinh giỏi của một số tỉnh.

2.3.3 Một số dạng toán áp dụng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Dạng 1: Ba điểm phân biệt và mối liên hệ vuông góc.

Trong hình học tọa độ phẳng bài toán thường cho nhiều điểm, nhưng giả thiết của bài toán thường xoay quanh ở một số điểm đặc biệt Bằng cách vẽ hình chính xác ta có thể phỏng đoán được 3 điểm nào đó sẽ có mối quan hệ vuông góc và đây cũng chính là điểm mấu chốt của bài toán Khi học sinh phát hiện được điều này sẽ giúp cho các em định hướng cách giải bài toán một cách

dễ dàng.

Bài 1.1.[3] (Trích đề thi học sinh giỏi môn Toán- Thanh hóa năm 2015-2016)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình thang , ABCD có

B BAD  ADC  và A C, thuộc trục hoành Gọi E là trung điểm của đoạn AD, đường thẳng EC đi qua điểm ( 4;1).F  Tìm toạ độ các đỉnh A C D, , biết ECvuông góc với BD và điểm E có tọa độ nguyên

Nhận xét: Các giả thiết của bài toán xoay xung quanh các điểm A D E C, , , Nếu

vẽ hình chính xác thì học sinh có thể dễ dự đoán được EB AC Và có thể coi

đây là chìa khóa, nút thắt của bài toán Xử lí được nút thắt này thì bài toán đã giải được một nửa

Giải: Để chứng minh EB AC gắn thêm hệ trục tọa độ khác như hình vẽ ta có:

   0;0 , 0; , 0; ,  ;0

2

a

� �

� � Phương trình

2

Trở lại bài toán ta có:

Đường thẳng BE qua B 2; 4 vuông góc với Ox nên

có phương trình x 2.

Gọi ( ;0), (2; )A a E b �D(4a b BA a;2 ); uuur(  2; 4);EA auuur(  2; b);

(2 ;2 4) và (6; 1)

BD a b FE b

2

BAEA� a  b

uuur uuur

6(2 ) ( 1)(2 4) 0 (2)

FE BD�   a b b 

uuur uuur

Thay (2) vào (1) ta được :b4 6b3 13b2 24b  4 0

(b1)(b 7b 20b 4) 0 b 1

(Ta chứng minh được phương trình b3 7b2 20b 4 0

có nghiệm duy nhất trên khoảng 1;0 nên không có nghiệm nguyên) Khi đó (4;0), (0; 2)

A D  , đường thẳng CD có phương trình 2 x y    cắt Ox tại C(-2 0 1;0) Vậy (4;0), (0; 2) và ( 1;0)A D  C  là các điểm cần tìm.

Ta có thể chứng minh EB AC bằng cách sau:

Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với BE, cắt BE và BD lần lượt tại I và H;

gọi J là giao điểm của BD với CE Khi đó ta có:

2

EH EB EA EB EI EB EA  

uuur uuur uuuruuur uur uuur

và uuur uuur uuur uuur uuuruuurEH EC  ED EC EJ EC ED   2 EA2

EH EB EH EC EH EB EC  EH  BC

�uuur uuur uuur uuur�uuur uuur uuur r �uuur uuur suy ra H là trực tâm

của EBC suy ra , ,A H C thẳng hàng Do đó BE  AC

Bài 1.2 [2] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình thang ABCDvuông tại Avà

D, biết D 2;2 và CD2AB. Gọi H là hình chiếu vuông góc của D lên AC Điểm 22 14;

5 5

� � là trung điểm của HC Xác định tọa độ các điểm A B C, , của

hình thang biết B thuộc đường thẳng : x 2y 4 0.

EB AC  �EB AC

uuuruuur

Nhận xét: Các giả thiết của bài toán xoay xung quanh các điểm B M D, , Nếu tinh ý ta có thể nhận thấy MB DM.(Để chứng minh MB DM xem lại bài toán 6 )

Giải: Ta có BM DM Suy ra phương trình

: 3 16

BM x y 

Tọa độ B là nghiệm của hệ:

(4;4)

B

x y

  

�

�

�  

� Gọi I là giao điểm của AC và BD,

AB IB

CD ID

uur uur

Suy ra AC x: 2y  , 10 DH : 2x y  Tìm được 2 14 18;

5 5

H �� ���

� � C(6;2) Từ

CIuur IAuur� A

Bài 1.3 [3] ( Trích đề thi HSG thanh hóa năm 2014-2015) Trong mặt phẳng

với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm H 1; 2 là hình chiếu vuông góc của A lên BD Điểm 9;3

2

M � �

� �

� � là trung điểm của cạnh BC, phương trình đường trung tuyến AKkẻ từ AcủaADHlà :4x y   4 0 Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD

Nhận xét:

- Giả thiết bài toán xoay quanh các điểm M K A, , Bằng trực quan ta đề xuất giả

thuyết AK KM và nếu giả thuyết đề ra là đúng chúng ta sẽ “mở nút thắt đầu tiên” là tìm tọa độ điểm K và D Từ đó bằng các phương pháp giải toán quen

thuộc ta sẽ tìm được tọa độ các đỉnh còn lại của hình chữ nhật (Để chứng minh

AK KM xem lại bài toán 5 )

Giải: Ta có: AK KM Suy ra phương trình đường thẳng : 4 15 0

2

KM x y 

Do K AK�MK Toạ độ 1; 2

2

K � �

� �

Do Klà trung điểm của HD mà H 1; 2 nên tọa độ điểm D 0; 2

 phương trình của BD y:   2 0

AHđi qua H 1; 2 và vuông góc với BD nênAHcó phương trình: x  1 0

Ta có : A AK �AH  A 1;0

Phương trình BC là: 2x y   12 0suy ra tọa độ

   5; 2 ; 4; 4

Vậy tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật là:

       1;0 , 5; 2 , 4; 4 , 0;2

Dạng 2: Ba điểm phân biệt và mối liên hệ góc