SỬ DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC để GIẢI một số DẠNG PHƯƠNG TRÌNH vô tỷ

Kết luận và kiến nghị 16 - 17 Tài liệu tham khảo 18 Danh mục các đề tài SKKN được Sở GD & ĐT Thanh Hóa xếp loại 19 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT MAI ANH TUẤN SÁNG KIẾN K

THANH HOÁ NĂM 2017

MỤC LỤC

Trang

1 Mở đầu 1 - 2

2 Nội dung của đề tài 2

2.1 Bài toán 1: Cực trị giữa điểm và đường thẳng trong hình học 2 - 6 giải tích phẳng

2.2 Bài toán 2: Cực trị giữa điểm và đường thẳng trong hình học 7 - 10 giải tích không gian

2.3 Bài toán 3: Cực trị giữa điểm và đường thẳng trong hình học 10 - 12 giải tích không gian

2.4 Bài toán 4: Cực trị giữa điểm và mặt phẳng trong hình học 12 - 14 giải tích không gian

2.5 Bài toán 5: Ứng dụng bài toán về cực trị trong hình học 14 - 15 giải tích để tìm GTLN, GTNN của biểu thức

Bài tập áp dụng 15 - 16 2.6 Kiểm nghiệm đề tài 16

3 Kết luận và kiến nghị 16 - 17 Tài liệu tham khảo 18

Danh mục các đề tài SKKN được Sở GD & ĐT Thanh Hóa xếp loại 19

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT MAI ANH TUẤN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

SỬ DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC

ĐỂ GIẢI MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

Người thực hiện: Lê Đình Chung Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán

THANH HOÁ NĂM 2018

MỤC LỤC

Trang

Mục lục 1

I Đặt vấn đề 2

II Nội dung của đề tài 1 Dạng 1: ax2bxc qxp 3

2 Dạng 2: ax2bxc qx kp (k  0) 4

3 Dạng 3: ax2bxc dxe qx2 pxr 5

4 Dạng 4: ax4bx3cx2dxe qx2pxr 6

Bài tập áp dụng 7

III Kết luận và kiến nghị 8

Tài liệu tham khảo 9

Danh mục các đề tài SKKN được Sở GD & ĐT Thanh Hóa xếp loại 10

SỬ DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ DẠNG

PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

I ĐẶT VẤN ĐỀ

1 Lí do chọn đề tài

Trong xu thế chung nhưng năm gần đây, việc đổi mới phương pháp dạy học

là vấn đề cấp bách, thiết thực nhất nhằm đào tạo những con người có năng lực hoạt động trí tuệ tốt Đổi mới phương pháp dạy học không chỉ trong các bài giảng lý thuyết, mà ngay cả trong các giờ luyện tập Nhằm giúp học sinh vận dụng kiến thức

đã học vào giải bài tập một cách năng động sáng tạo

Có thể nói, bài toán về phương trình vô tỷ là bài toán cơ bản và thường gặp trong chương trình lớp 10 Trong quá trình bồi dưỡng cho học sinh, đặc biệt là bồi dưỡng học sinh giỏi Những bài toán như vậy gây không ít khó khăn đối với học sinh Nhưng bằng kiến thức cơ bản mà các em đã được học ở cấp hai, sử dụng khéo léo 7 hằng đẳng thức đáng nhớ, thì việc giải các dạng phương trình vô tỷ sau sẽ đơn giản đi rất nhiều

Ở bài viết này chủ yếu đề cập đến các bài toán về phương trình vô tỉ, có dạng tổng quát:

a x a 1x 1 a1x a0 b x b 1x m1 b1x b0

m m m n

n

n

Với m,n  * và n 2 ;nm

Trong khoảng thời gian có hạn nên tôi chỉ mới ứng dụng trong phạm vi m 2, n 4

Cụ thể có các dạng như sau:

1 ax2bxc qxp

2

k

p qx c bx

ax2    (k 0)

3 ax2bxc dxe qx2 pxr

4 ax4bx3cx2dxe qx2pxr

2 Mục đích nghiên cứu

Trong quá trình dạy cho học sinh lớp 10 giải phương trình vô tỷ trong đó có một bài toán giải phương trình 2 6 3 3







 x x

x Đây là một dạng toán rất quên thuộc, nếu dùng theo cách giải truyền thống thì bài toán trên rất phức tạp và học sinh đọc cũng rất khó hiểu Nhưng nếu sử dụng khéo léo 7 hằng đẳng đáng nhớ thì bài toán trên sẽ đơn giản hơn và cách giải tự nhiên hơn

3 Đối tượng nghiên cứu

Qua nhiều năm thực tế giảng dạy trong trường THPT tôi thấy học sinh rất lúng túng trong việc giải các bài tập về phưng trình vô tỷ, mà cụ thể là ba dạng toán

ở trên Đa số các em đều áp dụng cách giải bài toán một cách máy móc, không phát huy được tính tích cực, sáng tạo trong giải toán

4 Phương pháp nghiên cứu

Trong đề tài này tôi muốn trình bày với một ý tưởng giúp học sinh khai thác những kiến thức cơ bản từ các hằng đẳng thức đáng nhớ Nhằm giúp các em thấy được sự liên kết, thống nhất trong quá trình học toán

Giải pháp và tổ chức thực hiện là:

- Giáo viên dạy, học sinh học và làm bài tập

- Kiểm tra đánh giá mức độ nhận thức của học sinh trước và sau khi học đề tài

- Tổng kết các mặt đã làm được và chưa làm được trong đề tài để có hướng vận dụng đề tài cho các khóa học sinh tiếp theo

II NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI

1.Dạng 1: ax2bxc qxp (I)

Nhân cả hai vế của phương trình (I) với 2a ' sao cho 2aa ' là số chính phương

p qx ' a ' ca x '

ba

x

'

p qx ' n ' m

n

Bài toán 1: Giải phương trình

2 6 3 3







 x x

Lời giải: Nhân cả hai vế của pt (1) với 4 hoặc 16,… nhân 2; 4; 6; 8…

không phù hợp

pt(1) 4 2 24 12 4 3









Bây giờ ta thêm bới vế phải VP = 4 x 3 về hằng đẳng thức

VP có hai tình huống là  2

3

2  x hoặc  2

3 2

- Nếu lấy  2

3

3 2

19 23

- Nếu lấy  2

3 2

1  x thì pt(1’)

2 20 25 1 2 3

3 2 1 5





















































4 2 3 2

6 2 3 2 5 2 3 2

1

5 2 3 2

1

x x

x x

x x

x x

Đến đây việc giải các phương trình này là cơ bản (vì bình phương 2 vế đưa về phương trình bậc hai một ẩn)

KL: phương trình có tập nghiệm S =











2

21 5

6;

Bài toán 2: Giải phương trình

3 2 4 2 21 22









x (2) (số 384 – THTT)

Lời giải: pt(2) 3 2 4 2 21 22











Nhân cả hai vế của pt (2) với 4 ta có

88 84 16

2

3









VP có hai tình huống là  2

2 3

2  x hoặc  2

2 3 2

- Nếu lấy 2  3x 2 thì pt(2’) 2 3 2 16 2 81 90











- Nếu lấy  2

2 3 2

1  x thì pt(1’)

9 4 2 3

2





















































4 2 2 3

10 4 2 3 2 9 4 2 3

2

1

9 4 2 3

2

1

x x

x x

x x

x x

KL: phương trình có tập nghiệm S =











8

97 23 8

73 19

;

2.Dạng 2: ax2bxc qx kp (k 0) (II)

Khử mẫu số k ta có akx2bkxck qkxpk (trở về phương trình dạng 1)

Bài toán 3: Giải phương trình

2

3 4

2 2 



 x x

x (3) ( Olympic 30/4/2003)

Lời giải: pt(3) 4 2 8 2 6







 x x x (khử mẫu số 2)

6 2 4 32

16 2







 x x x

2 40 25 1 2 2 6

6 2 2 1 5





















































3 2 6 2

2 2 6 2 5

4 6 2

2

1

5 4 6 2

2

1

x x

x x

x x

x x

KL: phương trình có tập nghiệm S =











4

13 5 4

17 3

;

Bài toán 4: Giải phương trình

x x

x

7 7

28

9







với x 0 (4) (Đề thi ĐHAN khối D năm 2000)

Lời giải: pt(4) x 14x 14x

7

9







x x

x 63 98 98









x x

x 63 196 196

28



















8 14 63

28





















































9 14 63

28

7 14 63 28 8

14 63

28

1

8 14 63 28

1

x x

x x

x x

x x

KL: pt có nghiệm duy nhất

14

2 5

6 





3.Dạng 3: ax2bxc dxe qx2 pxr (III)

Nhân cả hai vế của phương trình (III) với 2a ' sao cho 2aa ' là số chính phương

dx e qx px r '

a ' ca x

'

ba

x

'

dạng

p qx ' n e dx '

m

n

mx    

Bài toán 5: Giải phương trình

2 3 1 2 2







Lời giải: pt(5) 4 2 12 4 4 2 2









2

2 12 4 2 2

9     

 x x x x

2

2

3    

 x x x



















































1 2 2

1 2

2 3 2

2

2 3 2

2

2 2 2

2

x x

x x

x x

x

x x

x

KL: phương trình có tập nghiệm S =











3 7 2 2

1

;

Bài toán 6: Giải phương trình

2 2  2  2 4 1











x

Lời giải: pt(6) 4 2 4 8 4  2  2 4 1













2

2 24 16 2 2 4 1

9       

 x x x x x

2

4

3      

































































3 2 1 4

1 1

4 4

3 1 4 2

2

4 3 1 4 2

2

2 2 2

2

x x

x

x x

x x

x x x

x x

x x

KL: pt có nghiệm duy nhất x  0

4.Dạng 4: ax4bx3cx2dxe qx2pxr (IV)

Dùng hằng đẳng thức biến đổi phương trình (IV) về dạng

1 3 2 2

4

1 mx n a mx n a b mx n b

Đặt   2 0





 mx n t

2 1 3

2

2

1t a t a b t b

a     (trở về phương trình dạng 1)

Bài toán 7: Giải phương trình

4 4 3 3 2 2 7 2 2 4 7













Lời giải: pt(7)  1  4 3  1  2 5 2  1  2 5















Đặt  1 2 0





x t

2 3 5 2 5







 t t

t

5 2 4 20 12

4 2









2 4 1 1 2 2 5

5 2 2 1 1



















































t t

t t

t t

t t

5 2

1 5

2 1

2 5 2

2

1

1 2 5 2

2

1

- Phương trình 2t 5  t vô nghiệm vì t  0

- Phương trình 2t 5 t 1 có nghiệm t 2  2 2

Suy ra  1  2 2 2 2 1 2 2 2















x

Phương trình (7) có nghiệm x  1  2  2 2

Bài toán 8: Giải phương trình

4 2 3 3





Lời giải: pt(8) 4 3 2 3









Đặt 2  0



x t

2 3 3







 t

t

3 4 12

4 2









2 4 1 1 2 3

3 2 1

1



















































1 3

3 1

2 3 2

1

1 2 3 2

1

t t

t t

t t

t t

- Phương trình t 3  t vô nghiệm vì t  0

- Phương trình t 3 t 1 có nghiệm t  1 hoặc t   2 (loại)

Suy ra x2  1  x  1

Phương trình (8) có nghiệm x   1

* Chúng ta thấy những dạng toán ở trên là những dạng toán khó, nhưng bằng cách giải sử dụng khéo léo 7 hằng đẳng thức đáng nhớ, thì những bài toán này biến đổi

về dạng rất cơ bản Phù hợp với học sinh học lớp 10 khi học về phần giải phương trình vô tỷ Cách giải rất tự nhiên kết hợp hài hòa giữa kiến thức cấp hai và kiến thức giải phương trình vô tỷ ở lớp 10 Còn các dạng toán này nếu mà giải theo cách cũ như một số tài liệu đã trình bày thì rất phức tạp, mất đi vẽ đẹp theo sự tư duy tự nhiên thông thường đưa về cơ bản.

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Giải các phương trình sau:

1 14 9 18 2 37 5







 x x

2 4  3 10  3x x 2 (Học sinh giỏi Toàn Quốc 2002)

3 2 2 2 2 1





 x x

4 2 2 3 3 3 1







 x x

3

8 5 1





x

6 2 2 4 3 4 4 3 7 2 6 2













7 4 2 3 2 2 2 2 1









x

8 4x2 3x 1 x 2x2 2x









9 2 1  2  2 2









x

10 4 2 5  2  2 2 4 3









x

III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

- Kết quả việc đánh giá cho thấy học sinh tiếp thu đề tài một cách tích cực, biết vận dụng thành thạo vào giải các bài tập tương tự

- Cách giải mà tôi đã trình bày trong đề tài hoàn toàn rất tự nhiên, trong sáng

Do đó đã gây được sự hứng thú trong học tập cho học sinh, nâng cao khả năng tư duy lôgic và khả năng sáng tạo của học sinh

- Đề tài có tác dụng tốt trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi

Trong khi trình bày đề tài chắc chắn còn những hạn chế, thiếu sót Mong được sự góp ýtừ đồng nghiệp

Tôi xin chân thành cảm ơn!

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 25 tháng 05 năm 2018

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của

người khác

Lê Đình Chung

TÀI LIỆU THAM KHẢO

*********

1 Báo Toán học và tuổi trẻ

2 Sách giáo khoa và sách bài tập đại số lớp 10 - Nhà xuất giáo dục

Việt Nam, năm 2006

3 Tham khảo một số tài liệu trên mạng internet - Đề thi học sinh giỏi của một

số trường

DANH MỤC

CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP

CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

Họ và tên : Lê Đình Chung

Chức vụ : Giáo Viên

Đơn vị công tác : Trường THPT Mai Anh Tuấn

TT Tên đề tài SKKN

Cấp đánh giá xếp loại (Phòng, Sở, Tỉnh )

Kết quả đánh giá xếp loại (A, B, hoặc C)

Năm học đánh giá xếp loại

1. Đưa phương trình vô tỉ về

hệ phương trình gần đối

xứng

Sở GD & ĐT Thanh Hóa

2 Ứng dụng của phép quay và

phép đối xứng để giải một

số bài toán hình học giải tích

phẳng

Sở GD & ĐT Thanh Hóa

3

4

5