Khắc phục một số sai lầm của học sinh lớp 12 trường THPT triệu thị trinh khi giải các bài toán liên qua đến xác định tính

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT TRIỆU THỊ TRINH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KHẮC PHỤC MỘT SỐ SAI LẦM CỦA HỌC SINH LỚP 12 TRƯỜNG THPT TRIỆU THỊ TRINH KHI GIẢI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUA

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT TRIỆU THỊ TRINH

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

KHẮC PHỤC MỘT SỐ SAI LẦM CỦA HỌC SINH LỚP 12 TRƯỜNG THPT TRIỆU THỊ TRINH KHI GIẢI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN XÁC ĐỊNH TÍNH ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH

BIẾN CỦA HÀM SỐ

Người thực hiện: Lê Đình Quyền Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán

THANH HOÁ NĂM 2018

MỤC LỤC PHẦN 1: MỞ ĐẦU

III NHIỆM VỤ VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

1 Về nhiệm vụ

2 Về phương pháp

02 02 PHẦN 2: NỘI DUNG

III.BIỆN PHÁP THỰC HIỆN VÀ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI

1 BIỆN PHÁP THỰC HIỆN

1.1 Bổ sung, hệ thống những kiến thức cơ bản mà học sinh chưa nắm vững

1.2 Rèn luyện cho học sinh về mặt tư duy, kĩ năng, phương pháp

1.3 Tăng cường đổi mới phương pháp dạy học

03 04

04 04

2 CÁC GIẢI PHÁP THỰC HIỆN ( NGUYÊN CỨU QUA THỰC TẾ

GIẢNG DẠY)

2.1 Sai lầm khi xét tính đơn điệu của hàm số

2.2 Phương pháp giải một số bài toán tìm giá trị của tham số m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên một miền D và khắc phục một số lỗi sai khi giải toán này

04 04

06

III KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

1 Các bài tập khảo sát:

2 Kết quả khảo việc giải các bài tập trên trong năm học 2016-2017 ở

hai lớp 12C1 và 12C2

3 Kết quả khảo việc giải các bài tập trên trong năm học 2017-2018 ở

hai lớp 12A1 và 12A5

11 11 12 12

PHẦN 1: MỞ ĐẦU

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.

Bài toán xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số là một bài toán rất quen thuộc đối với học sinh lớp 12, nó có mặt trong hầu hết các kì thi, đặc biệt là trong kỳ thi THPT Quốc gia Vì vậy nó có một vị trí rất quan trọng trong chương trình toán phổ thông Tuy nó cũng không phải là nội dung được xếp vào

“dạng khó” trong đề thi THPT Quốc gia, Nhưng do đối tượng học sinh của trường THPT Triệu Thị Trinh (nguyên là trường THPT bán Cống số 1 Nông Cống được chuyển sang công lập từ năm 2010) chất lượng đầu vào không cao nên việc dạy và học phần này cũng gặp nhiều khó khăn Nhất là khi các em giải bài thi trắc nghiệm, do nắm bản chất bài toán không tốt nên các em thường mắc một số sai lầm dẫn đến chọn phương án nhiễu sai Những sai lầm của các em tưởng như là rất nhỏ ( Nếu như đối với bài thi tự luận thì các em vẫn có chút ít điểm), Nhưng với cách thi mới như hiện nay là thi trắc nghiệm môn toán thì dù chỉ sai rất nhỏ thì các em sẽ được dẫn đến đáp án sai và kết quả học sinh sẽ được điểm không câu này

Việc giúp học sinh nắm vững bản chất bài toán xác định đồng biến của hàm số có tác dụng to lớn đối với học sinh:

- Thứ nhất: Thông qua bài toán xác định tính đồng biến và nghịch biến của hàm số giúp học sinh chủ động hơn trong cách phân tích, tìm lời giải cho bài, học sinh thấy được mối quan hệ giữa toán học và thực tiễn, qua đó giúp học sinh có hứng thú học tập hơn, hiệu quả giờ dạy cao hơn

- Thứ hai: Việc giải bài toán xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm

số giúp học sinh củng cố, đào sâu kiến thức rèn luyện tính linh hoạt, khả năng sáng tạo Khi giải bài toán này học sinh phải thường xuyên phải sử dụng kiến thức liên quan như: Giải phương trình, biến đổi tương đương, các kiến thức về đạo hàm, tam thức bậc hai, xét chiều biến thiên, kĩ năng biến đổi

- Thứ ba: Thông qua việc giải bài toán xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số giúp học sinh rèn luyện các thao tác tư duy như: Phân tích, tổng hợp, có khả năng đặc biệt hoá, khái quát hoá bài toán Mặt khác còn rèn luyện cho học sinh các phẩm chất trí tuệ như: Tính cẩn thận, chặt chẽ, linh hoạt, nâng cao khả năng sáng tạo mỗi khi gặp một bài toán có thể suy nghĩ tìm tòi những lời giải khác nhau, chọn ra cách giải hay nhất

Vì những lí do trên, bài viết này tôi hệ thống một số dạng bài tập, phương pháp giải bài toán xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số, cũng như nêu lên một số sai lầm mà học sinh hay mắc phải trong quá trình giải bài toán

Đây chỉ là một sai lầm trong số rất nhiều sai lầm mà học sinh thường mắc phải, việc khắc phục những sai lầm này trong kỳ ôn thi THPT Quốc gia năm

2017 diễn ra mất rất nhiều thời gian Sang năm học 2017-2018 này, nhằm giúp học sinh nắm chắc các kiến thức về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số, có

kỹ năng giải các bài toán liên quan đến tính đồng biến, nghịch biến của hàm số,

tôi đã nghiên cứu để phân tích những sai lầm mà học sinh thường gặp và trong

kỳ ôn thi THPT Quốc gia vừa qua những vấn đề tồn tại của năm học trước được

khắc phục một cách có hiệu quả Vì vậy tôi viết sáng kiến kinh nghiệm " Khắc

phục một số sai lầm của học sinh lớp 12 trường THPT Triệu Thị Trinh khi giải các bài toán liên quan đến xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm

số " với hy vọng giúp các em học sinh học tập tốt và có kết quả cao trong kỳ thi

THPT Quốc gia 2018

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU.

1 Chỉ ra cho học sinh thấy những sai lầm thường mắc phải Qua đó, học

sinh hiểu đúng bản chất của vấn đề

2 Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán Qua đó học

sinh nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo

III NHIỆM VỤ VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.

1 Về nhiệm vụ:

Đánh giá thực tế quá trình vận dụng giải bài tập toán liên quan đến xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số, để có được bài giải toán hoàn chỉnh và chính xác

2 Về phương pháp:

- Phương pháp điều tra

- Phương pháp đối chứng

- Phương pháp nghiên cứu tài liệu, đề thi thử THPT Quốc gia 2017, 2018

PHẦN 2: NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

I CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI

Học sinh cần nắm được một số vấn đề sau đây (liên quan đến nội dung và phạm vi nghiên cứu của đề tài)

1 Định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số

Giả sử hàm số y =f(x) xác định trên khoảng (a;b) Ta nói:

- Hàm số y =f(x) đồng biến (tăng) trên khoảng (a;b) nếu  x1; x2(a;b)

mà x1x2 f(x1)  f(x2)

- Hàm số y =f(x) nghịch biến (giảm) trên khoảng (a;b) nếu  x1; x2 (a;b) mà x1x2 f(x1)  f(x2)

Hàm số đồng biến, nghịch biến trên một khoảng gọi chung là hàm số đơn điệu trên khoảng đó

2 Tính chất của các hàm số đồng biến, nghịch biến

-Nếu f(x) và g(x) là hai hàm số cùng đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D thì tổng f(x) + g(x) cũng là hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D Tính chất này nói chung không đúng với hiệu f(x) - g(x)

-Nếu f(x) và g(x) là hai hàm số dương, cùng đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D thì tích f(x)g(x) cũng là hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D Tính chất này nói chung không đúng với tích f(x)g(x) khi f(x) và g(x) là hai hàm

số không cùng dương trên D

3 Công thức tính đạo hàm

4 Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số của hàm số

5 Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên tập D

II THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI

Trong thực tế giảng dạy tôi thấy rằng, khi học sinh học và giải các bài toán liên quan đến xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số thường gặp một

số khó khăn như sau :

1 Không nắm vững định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số trên một khoảng, không hiểu chính xác về định nghĩa điểm tới hạn của hàm số

2 Không nắm vững điều kiện để hàm số đơn điệu trên một khoảng

3 Không nắm vững về phương pháp xét dấu tam thức bậc hai

4 Không nắm vững định nghĩa về giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên một miền D để vận dụng vào giải bài toán xác định giá trị của tham

số để hàm số đơn điệu trên một khoảng cho trước

III BIỆN PHÁP THỰC HIỆN VÀ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI

1 BIỆN PHÁP THỰC HIỆN.

Để khắc phục những sai lầm mà học sinh thường gặp phải khi giải các bài toán liên quan đến xác định tính đồng biến của hàm số, khi nghiên cứu đề tài tôi

đã đưa ra các biện pháp như sau:

1.1 Bổ sung, hệ thống những kiến thức cơ bản mà học sinh chưa nắm vững

- Phân tích kỷ lưỡng các khái niệm, định nghĩa, định lí để học sinh nắm được bản chất của các khái niệm, định nghĩa, định lí đó

- So sánh giữa các khái niệm, các quy tắc để học sinh thấy được sự giống và khác nhau giữa chúng

- Đưa ra các ví dụ, chỉ rõ cách giải, hướng đi sai lầm mà học sinh thường gặp, chỉ rõ tại sao học sinh lại chọn đáp án này…

1.2 Rèn luyện cho học sinh về mặt tư duy, kĩ năng, phương pháp.

- Thao tác tư duy: phân tích, tổng hợp so sánh các kết quả,

- Kỹ năng: lập luận vấn đề, chọn phương án phù hợp để giải quyết vấn đề

- Phương pháp: phương pháp gải từng dạng toán cụ thể từ đó vận dụng vào giải các bài toán khác

1.3 Tăng cường đổi mới phương pháp dạy học

- Chia nhóm, tạo hứng thú, đam mê, yêu thích môn học cho học sinh

- Lựa chọn hệ thống các dạng bài tập và sử dụng phương pháp dạy học sát đối tượng

2 CÁC GIẢI PHÁP THỰC HIỆN ( NGUYÊN CỨU QUA THỰC TẾ GIẢNG DẠY).

2.1 Sai lầm khi xét tính đơn điệu của hàm số

Các em thường mắc phải sai lầm khi không nắm vững định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số

+ Sai lầm trong kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

Ví dụ 1: Cho hàm số yf x( ) ax3 bx2 cx d

có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên Hàm

số f x( ) đồng biến trên các khoảng nào?

A.( 1;1)  B (  ; 1) và (1;  ).

C ( ;2)2

3 D ( 1; ).

Trong ví dụ đơn giản này vẫn có một số em chọn đáp án C ( Học sinh chọn theo giá trị của hàm số tăng từ 2

3 đến 2)

* Học sinh nắm vững kiến thức sẽ nhanh chóng chọn đáp án A ( đáp án đúng)

Ví dụ 2: Xét tính đơn điệu của hàm số   3

1

x

f x

x







Một số học sinh giải bài toán này như sau:

+) Tập xác định: D R \ 1 

+) Ta có:    2

2 0, 1

x

    



+) Bảng biến thiên: x - 1 +

f’(x) + +

f(x) +

1

1 -

Kết luận: Hàm số đồng biến trên   ;1  1; 

Khi hỏi học sinh trong lớp đa số đồng ý với kết quả này Xong đây lại là đáp án sai

Phân tích:

Lời giải trên nhìn thoáng qua có vẻ như đúng rồi, nếu ta không chú ý đến kết luận của bài toán Chú ý rằng: nếu hàm số yf x đồng biến trên tập D thì với mọi x x1 , 2 D ta có x1 x2  f x 1  f x 2

Trong kết luận của bài toán, nếu ta lấy x1   1 D và x2   2 D thì x1 x2

nhưng f x  1 2 và f x  2 1

Lời giải đúng:

Qua phân tích ta thấy để có lời giải đúng thì ta phải kết luận: Hàm số đồng biến trên từng khoảng   ;1 và 1; 

-Sai lầm khi các em không chú ý đến các điểm tới hạn của hàm số, vì vậy việc xét dấu của đạo hàm y' sẽ bị sai.

Ví dụ 3: Xét tính đơn điệu của hàm số f x   x 1 1  x2

Một số học sinh trình bày như sau:

+) Tập xác định: D   1;1

+) Ta có:   1 2

1

x

f x

x

  



2

1

2 1

x

x

            



+) Bảng biến thiên: x -1 1

2

- 1

2 1 f’(x) 0 + 0

f(x) -2 2 1-

-1 0

+) Hàm số đồng biến trên khoảng ( 1 ; 1 )

2 2

- và nghịch biến trên các khoảng

1

( 1; )

2

- - và ( 1 ;1)

2

Phân tích:

Nếu để ý ở bảng biến thiên ta thấy ngay một điều vô lý là trên đoạn  1;1 Thực ra ở đây - 1

2 không phải là điểm tới hạn của hàm số

Lời giải đúng là:

+) Tập xác định: D   1;1

+) Ta có:   1 2

1

x

f x

x

  



Đạo hàm không xác định tại x 1

1

x x

x





           

 

+) Bảng biến thiên: x -1 1

2 1

f’(x + 0

f(x) 2 1-

-2 0

+) Hàm số đồng biến trên nửa khoảng 1; 1

2

 

 



 và nghịch biến trên nửa khoảng

1

;1

2

 

 

 

2.2 Phương pháp giải một số bài toán tìm giá trị của tham số m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên một miền D và khắc phục một số lỗi sai khi giải toán này:

Phương pháp: Sử dụng các kiến thức sau đây:

1 Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K

 Nếu f '(x) 0, x K   thì f(x) đồng biến trên K.

 Nếu f '(x) 0, x K   thì f(x) nghịch biến trên K.

( Lưu ý trong mỗi trường hợp dấu “=” chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm

2 Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c có biệt thức  b2  4ac Ta có:

f (x) 0, x R

0





 



f (x) 0, x R

0





 



3 Xét bài toán: “Tìm m để hàm số y = f(x,m) đồng biến trên K” Ta thực hiện theo các bước sau:

 B1 Tính đạo hàm f’(x,m)

 B2 Lý luận:

Hàm số đồng biến trên K f '(x,m) 0, x K   ( dấu ‘‘=’’ chỉ xảy

ra tại hữu hạn điểm)  m g(x), x K m g(x)     

B3 Lập BBT của hàm số g(x) trên K Từ đó suy ra giá trị cần tìm của tham số m

Khi sử dụng quy tắc 1 để xét tính đơn điệu của hàm số các em quên rằng đó là điều kiện đủ chứ không phải là điều kiện cần

Quy tắc : Định lí: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.

 Nếu f '(x) > 0,  x K thì y = f(x) đồng biến trên K.

 Nếu f '(x) < 0,  x K thì y = f(x) nghịch biến trên K

Ví dụ 4:

Cho hàm số y = 3 32 1 2 12 5 2









Một số học sinh giải bài toán này như sau:

TXĐ : D = R

y’ = 3 2 62 1 12 5







’ = 92m 12  312m 5

= 36m2  6  66m2  1

Để hàm số luôn đồng biến thì ta phải có:

y’ 0, x  R    ' 0   2  1 1

m     m

Vậy các giá trị của m cần tìm là 1 1

6 m 6

  

Phân tích:

Lời giải của học sinh như trên là sai vì

Chẳng hạn hàm số y = x3 đồng biến trên R, nhưng y’=3x2=0  x 0

Chú ý:

Giả sử y = f(x) có đạo hàm trên K Nếu f (x)  0 (f(x)  0), x  K và f(x) =

0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K.

Lời giải đúng

y’= 3 2 62 1 12 5







’= 92 12 312 5





m = 36m2  6  66m2  1

Để hàm số luôn đồng biến thì ta phải có:

y’ 0, x  R   '  0   

6

1 6

1 0

1

6 2











Vậy các giá trị của m cần tìm là

6

1 6

1





Ví dụ 5:

Với giá trị nào của m, hàm số f (x) mx 3 3mx2 m 2 x 3   nghịch biến trên R ?

Học sinh thường giải :

TXĐ: R

Ta có: f '(x) 3mx 2  6mx m 2 

Hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi

2

f '(x) 3mx  6mx m 2 0, x R     m 0 2





 



  1 m 0

Vậy, với 1 m 0   thì thỏa mãn bài toán.

( Lời giải sai do học sinh không quan tâm đến xét hệ số a= 0)

Lời giải đúng

TXĐ: R

Ta có: f '(x) 3mx 2  6mx m 2 

Hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi

2

f '(x) 3mx  6mx m 2 0, x R    

*m = 0, khi đó f’(x) = 2 0   x R

*m 0 , khi đó f '(x) 3mx 2  6mx m 2 0, x R     m 0 2





 



  1 m 0

Vậy, với 1 m 0   thì thỏa mãn bài toán

Ví dụ 6: Tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y x

x m



 nghịch biến trên 1;

A 0 m 1 B m 1 C 0 m 1 D m 0

Nhiều học sinh giải như sau

+TXĐ: D R | m     

 2

m y'



Nên học sinh chọn đáp án D (đáp án sai)

Nguyên nhân sai là học sinh không nắm vững bản chất 1;   D R m | 

* Có em lại giải như sau:

+TXĐ: D R | m     

 2

m y'





1 1

m

Nên học sinh chọn đáp án A (đáp án sai)

Nguyên nhân sai là do học sinh sử dụng định lí mở rộng về sự đồng biến, ngịch biến của hàm số (y' 0)

* Lời giải đúng:

TXĐ: D R | m     

 2

m y'





1 1

m

Chọn đáp án C

Ví dụ 7: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số 1 2sin

2sin

x y

x m





 đồng biến trên khoảng ;

2





 

Nhiều học sinh giải như sau:

Đặt t = sinx, vì ; (0;1)

2

x   t

Nên bài toán trở thành tìm m để hàm số 1 2

2

t y

t m





 đồng biến trên khoảng 0;1

0 2

2 1

2

m

m m

m













Nguyên nhân sai là do học sinh không nắm vững tính đồng biến, nghịch biến của hàm số y=sinx trên khoảng ;

2





 

 

  Lời giải đúng là:

Đặt t = sinx, vì ; (0;1)

2

x   t

Vì hàm số y sinx nghịch biến trên khoảng ;

2





 

 

 

Nên bài toán trở thành tìm m để hàm số 1 2

2

t y

t m





 nghịch biến trên khoảng

0;1

Hàm số cần xác định và ' 0y 

0 2

0 1

2

m

m m

m













Vậy m 0

Ví dụ 8 Tìm m để hàm số y  x33x2 3mx 1 nghịch biến trên khoảng

(0;  )

Nhiều học sinh quá “máy móc” sử dụng xét dấu tam thức bậc hai để giải bài toán, nên xét không hết các trường hợp xảy ra dẫn đến kết quả sai

Trong trường hợp này ta nên sử dụng ứng dụng của đạo hàm để giải

Lời giải

Ta có y'  3x2  6x  3m

Hàm số nghịch biến trên (0;  ) khi và chỉ khi y' 0   x (0;  )

2 2 ( ) (0; )

      

Xét hàm số 2

( ) 2

f x x  x trên (0;  ) có f x ( ) 2  x 2; ( ) 0f x   x 1

Bảng biến thiên: x 0 1 +

f’(x) - 0 +

f(x) 0 +

-1

Từ bảng biên thiên ta có y' 0   x (0;   ) m 1

Vậy với m 1, hàm số đã cho nghịch biến trên (0;  )

Tuy nhiên việc sử dụng ứng dụng đạo hàm để xác định tham số m để hàm

số đồng biến, nghịch biến trên khoảng D, một số học sinh vẫn mắc một số sai lầm cụ thể như ví dụ 9 sau:

Ví dụ 9: Giá trị m để hàm số 1 3   2  

3

y x  m x  m x đồng biến trên 0;3  là:

7

7

Một số học sinh giải bài toán này như sau:

Ta có: y x2 m 1x m  3