Hướng dẫn học sinh thiết kế và sử dụng tứ diện vuông giải nhanh bài toán trắc nghiệm về góc giữa hai mặt phẳn

Chương trình môn toán cấp THPT có rất nhiều nội dung, trong đó khoảng cách và góc là một trong những kiến thức quan trọng trong hình học không gian, nội dung này còn được ra trong các kỳ

PHẦN I: MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Từ năm học 2016 - 2017 trở đi kì thi THPT quốc gia môn Toán được thi theo hình thức trắc nghiệm khách quan Số lượng câu hỏi nhiều, kiến thức rộng, thời gian ngắn gây cho học sinh nhiều khó khăn trong việc làm bài Nhằm giúp học sinh rút ngắn được thời gian trong quá trình làm bài, yêu cầu phải tìm ra những cách giải nhanh, chính xác và ngắn gọn

Chương trình môn toán cấp THPT có rất nhiều nội dung, trong đó khoảng cách

và góc là một trong những kiến thức quan trọng trong hình học không gian, nội dung này còn được ra trong các kỳ thi THPT Quốc Gia, kỳ thi học sinh giỏi nhưng khi nhắc đến những câu tính khoảng cách và góc trong hình học không gian thì nhiều học sinh khá ngại ngần vì phải vẽ thêm hình cũng như xác định khoảng cách

và xác định góc Một số học sinh khá, giỏi chọn phương pháp gắn hệ trục toạ độ để giải nhưng phương pháp này khá mất thời gian ảnh hưởng đến kết quả bài thi của các em, thậm chí một số em còn có ý định bỏ phần hình học không gian

Đây là vấn đề khá nan giải song với kinh nghiệm nhiều năm giảng dạy hình học không gian và dạy học sinh giải bài tập trắc nghiệm trong thời gian qua, với tinh thần nhiệt huyết, yêu nghề, thương yêu học sinh tôi mạnh dạn chọn đề tài:

“Hướng dẫn học sinh thiết kế và sử dụng tứ diện vuông giải nhanh bài toán trắc nghiệm về góc giữa hai mặt phẳng và khoảng cách trong không gian”.

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu đề tài giúp học sinh củng cố kiến thức, tìm tòi cách giải mới về hình học không gian tổng hợp, phát triển kỹ năng giải bài toán trắc nghiệm nhanh

và chính xác Ngoài ra cũng tìm hiểu những khó khăn của học sinh trong học tập phần hình học không gian, tìm ra những biện pháp giúp các em khi thực hành giải nhanh toán trắc nghiệm góp phần nâng cao chất lượng dạy học và kết quả trong kỳ thi THPT quốc gia

3 Đối tượng nghiên cứu

Đề tài này nghiên cứu một số kỹ năng thiết kế hình mới, quy lạ về quen nhằm giải nhanh bài toán trắc nghiệm phần góc giữa hai mặt phẳng và khoảng cách trong không gian Đối tượng hướng đến là học sinh khối 12, học sinh ôn thi THPT Quốc Gia và giáo viên dạy toán bậc THPT

4 Phương pháp nghiên cứu

Để thực hiện mục đích và nhiệm vụ của đề tài, trong quá trình nghiên cứu

tôi đã sử dụng các nhóm phương pháp sau:

4.1 Nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết: Nghiên cứu các tài liệu về lý luận dạy

học, phương pháp dạy học để hiểu rõ tầm quan trọng của việc giải bài tập toán Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo, các đề thi THPT QG để thấy được vị

trí và tầm quan trọng của hình học không gian nói chung và bài toán về góc giữa hai mặt phẳng, tính khoảng cách nói riêng

4.2 Điều tra khảo sát thực tế: Khảo sát ý kiến giáo viên, học sinh để thấy được + Thực tiễn dạy học ở trường THPT khi dạy về góc giữa hai mặt phẳng, tính

khoảng cách của giáo viên

+ Những khó khăn của học sinh khi đứng trước một bài tập hình học không gian

4 3 Thống kê, xử lý số liệu: Kiểm tra, đánh giá ở các lớp khác nhau để có số liệu

nhằm: Đúc rút các kinh nghiệm thu được từ thực tiễn giảng dạy, báo cáo chuyên môn ở tổ, tham khảo các ý kiến đóng góp của tổ chuyên môn được tổ chuyên môn đánh giá cao từ đó bổ sung để có sở lý luận hoàn thiện và tổ chức triển khai áp dụng

5 Những điếm mới của sáng kiến kinh nghiệm

- Hướng dẫn học sinh biết vận dụng kiến thức căn bản, kiến thức tổng hợp vào việc thiết kế hình tứ diện vuông bằng cách nhìn ra đỉnh có ba cạnh vuông góc để giải nhanh, chính xác một số dạng bài tập trắc nghiệm về góc giữa hai mặt phẳng

và khoảng cách khi giải toán trắc nghiệm nhằm giúp học sinh có hứng thú học tập môn toán

- Đưa ra hệ thống bài tập với cách giải thông thường và vận dụng phương pháp giải trên để học sinh so sánh thấy được cái hay, cái đẹp của phương pháp

PHẦN II: NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Mục tiêu của giáo dục là phải lấy người học làm trung tâm, khơi dậy đam mê, hứng thú và khát vọng của học sinh Phải đào tạo được những con người lao động

tự chủ, sáng tạo, có năng lực giải quyết các vấn đề thường gặp

Phải đổi mới phương pháp giáo dục, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện nếp tư duy sáng tạo của người học

Trong các mục tiêu của bộ môn Toán, mục tiêu phát triển năng lực tư duy được đặt lên hàng đầu Để làm được những mục tiêu trên vai trò của người thầy, người

cô là vô cùng quan trọng Ở đó mỗi thầy cô giáo phải không ngừng học hỏi để nâng cao trình độ chuyên môn, thực sự tận tụy và tâm huyết với học trò và không ngừng đổi mới phương pháp và tìm tòi các phương pháp mới, cách tiếp cận mới sao cho đơn giản, hiệu quả tạo tinh thần phấn khởi và hứng thú ở người học

2.Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Hình học nói chung và hình học không gian nói riêng đòi hỏi ở người học khả năng trừu tượng hóa, tư duy lôgic chặt chẽ chính vì vậy hình học không gian là một nội dung khó đối với các em học sinh

Hình học không gian mà đặc biệt là các bài toán về xác định góc giữa hai mặt phẳng, tính khoảng cách là một vấn đề khó đối với học sinh, các bài toán thường đòi hỏi khả năng trừu tượng hóa, khả năng tổng hợp kiến thức rất nhiều nên với

khoảng thời gian ngắn nếu giáo viên không biết cách tổng hợp, khái quát bản chất

của các dạng toán thì sẽ lan man gây ra hiện tượng " rối kiến thức " cho học sinh.

Thực tế đa số học sinh yếu kém và trung bình thường sợ các bài toán hình nhất là hình không gian, nhiều học sinh khá cũng rất lúng túng khi xác định góc gữa hai mặt phẳng, xác định khoảng cách

Trong quá trình giảng dạy, qua các tiết dự giờ, qua trao đổi chuyên môn tôi thấy rất ít các thầy cô vận dụng tính chất của tứ diện vuông vào giải các bài toán về góc,

về khoảng cách Rất nhiều bài toán về hình học không gian khi giải bằng phương pháp hình học tổng hợp thì tương đối phức tạp, gây nhiều khó khăn cho học sinh khi phải vẽ thêm đường và có nhiều phép toán phức tạp Tuy nhiên khi vận dụng kết quả của tứ diện vuông thì lời giải của bài toán trở nên ngắn gọn, đẹp, tạo hứng thú cho học sinh và đặc biệt phù hợp với tinh thần đổi mới thi như hiện nay Đặc biệt bài toán về góc giữa hai mặt phẳng, về khoảng cách trong các đề thi trung học phổ thông quốc gia nếu áp dụng kết quả của tứ diện vuông sẽ rất đơn giản và dễ hiểu cho học sinh

3 Giải pháp thực hiện.

3.1.Cơ sở lý thuyết

3.1.1.Định nghĩa tứ diện vuông và một số tính chất.

a.Định nghĩa:

Tứ diện OABC được gọi là tứ diện vuông khi tứ diện

đó có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau.

b Tính chất:

Giả sử OABC là tứ diện vuông

OA a OB b OC c   Khi đó:

A

O

B

C

K H

b.1.H là trực tâm của tam giác ABC thế thì OH (ABC)

và 2 2 2 2

OH a b c

b.2

1 6

V  abc

b.3 1 2 2 2 2 2 2

2

ABC

S  a b a c b c

b.4 Tam giác ABC có hình chiếu lên mặt (OBC) là tam giác OBC, góc giữa hai

mặt phẳng (ABC) và (OBC) là  thì

2 2 2

os( )

OBC ABC

c



Chứng minh

AB CH

AB OCH AB OH

AB OC









AC OH Do vậy OH (ABC)

+ Giả sử CK là đường cao của tam giác ABC thế thì H CK và

OK AB (vì AB(OCH)) Trong các tam giác vuông

OCK và OAB.

OK OA OB









A

O

B

C

K H

b.2 +)

V  OA S C OA OB OC  abc

b.3.+)

1

abc

a b c

( Lưu ý có thể tính S ABC theo công thức Herong)

b.4.Hình chiếu của A lên mặt (OBC) là O => Hình chiếu của tam giác ABC là

OBC

Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (OBC) ABC có hình chiếu là

OBC



OBC

ABC



3.1.2 Góc giữa hai mặt phẳng.

Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó

Nếu hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau thì ta nói góc giữa hai mặt phẳng đó bằng 0 0

Diện tích hình chiếu:

'

S

Trong đó S là diện tích đa giác nằm trong (P) , S' là diện tích đa giác nằm trong (Q) còn  là góc giữa (P) và (Q)

3.1.3 Khoảng cách

3.1.3.1 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

+ Khoảng cách từ một điểm M đến một đường thẳng a

d(M, a) = MH, trong đó H là hình chiếu của M trên a

3.1.3.2 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

+ Khoảng cách từ một điểm A đến đến một mặt phẳng ()

( ,( ))

d A  AH, trong đó H là hình chiếu của A trên ()

Phép trượt đỉnh

Kết quả 1 Nếu đường thẳng  song song với mặt phẳng () và M, N   thì

d(M;( )) d(N;( ))   

Kết quả 2 Nếu đường thẳng  cắt mặt phẳng () tại điểm I và M, N   (M, N

không trùng với I) thì

d(M;( )) MI d(N;( )) NI







Đặc biệt: + nếu M là trung điểm của NI thì

1 d(M;( )) d(N;( ))

2

+ nếu I là trung điểm của MN thì d(M;( )) d(N;( ))  

3.1.3.3 Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng song song với nó

+ d(, ()) = d(M, ()), trong đó M là điểm bất kì nằm trên 

+ Việc tính khoảng cách từ đường thẳng  đến mặt phẳng () được quy về việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

3.1.3.4 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song ( ) / /( ) 

+ d((),( ) ) = d(M,( ) ), trong đó M là điểm bất kì nằm trên ()

+ Việc tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song được quy về việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

3.1.3.5 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

+ Đường thẳng  cắt cả a, b và cùng vuông góc với a, b gọi là đường vuông góc chung của a, b

+ Nếu  cắt a, b tại I, J thì IJ được gọi là đoạn vuông góc chung của a, b

+ Độ dài đoạn IJ được gọi là khoảng cách giữa a, b

+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó với mặt phẳng chứa đường thẳng kia và song song với nó

+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó

3.2.Các ví dụ

Ví dụ 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh SA vuông

góc với mặt phẳng ABCD, SA AB a  , AD3a Gọi M là trung điểm BC.

Tính cosin góc tạo bởi hai mặt phẳng ABCD và SDM

A

5

6

3

1 7

Hướng dẫn giải

Cách 1: Giải theo phương pháp truyền thống

Kẻ SH MD H MD,  ,

Do đó góc tạo bởi hai mặt phẳng  ABCDvà

SDM là góc giữa hai đường thẳng SH và AH

đó là SHA 

Ta lại có:

2

AMD

S  a a MD  CD CM 

B

D

C A

S

H

M

AMD

DM

6 cos

7

AH SH



Vậy chọn đáp án B

Cách 2: Thiết kế và sử dụng tứ diện vuông.

Gọi K là giao điểm của AB và DM

Khí đó ta được tứ diện vuông A.SKD

Với: AD = a; AK = 2a; AS = a

Do đó góc cần tìm là góc giữa mặt (SDK) và mặt

đáy (ADK) của tứ diện vuông và bằng 

os

( ) ( AS) (AS.AD)

7 (2 3 ) (2 ) ( 3a)

AK AD c

a a

 

A

D S

K

M

Nhận Xét:+ Khi sử dụng cách giải thông thường đi xác định góc giữa hai mặt

phẳng phải tìm được vị trí của điểm H là khá khó khăn Việc tính AH và SH cũng không đơn giản, phải sử dụng đến công thức diện tích tam giác và định lí Pitago cho tam giác SAH

+ Khi sử dụng tứ diện vuông dễ thấy đỉnh A là đỉnh của tứ diện vuông và

có sẵn hai cạnh là AS, AD do đó việc tìm AK không khó, việc tính toán cũng khá đơn giản

Ví dụ 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, có AB 2a và góc

120

BAD   Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng đáy  ABCD trùng với

giao điểm I của hai đường chéo và 2

a

SI 

Tính góc tạo bởi mặt phẳng SAB và mặt phẳng ABCD

Hướng dẫn giải

Cách 1 : Giải theo phương pháp truyền thống

Ta có BAD120  BAI 60

Suy ra:

sin 60

3 cos60

BI

BI a AB

AI AI a AB



 









Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng SAB và

ABCD

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên AB.

Ta có: ABSHI ABSH

Do đó: SHI

I B

D

C A

S

H K

Xét tam giác vuông AIB có: 2 2 2

2

IH IA  IB  

hay  30

Vậy chọn đáp án A.

Cách 2: Sử dụng tứ diện

Dễ nhận thấy tứ diện vuông I.ABS

Ta có BAD 120   BAI  60 

Suy ra:

sin 60

3 cos 60

BI

BI a AB

AB



 







  

Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng SAB và ABCD

2 2 2

0

os

2 ( ) ( S) ( S.IB) ( 3) ( ) ( 3)

30

c





 

Nhận Xét:+ Khi sử dụng cách giải thông thường đi xác định góc giữa hai mặt

phẳng phải tìm được vị trí của điểm H là khá khó khăn Việc tính IH và SH cũng không đơn giản, phải sử dụng đến tính chất đường cao của tam giác vuông ABI mới tính được IH

+ Khi sử dụng tứ diện vuông dễ thấy điểm I là đỉnh của tứ diện vuông, với các dữ kiện của đề bài thì việc tính toán cũng khá đơn giản

Ví dụ 3 Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B có

4

AB BC  Gọi H là trung điểm của AB, SH ABC Mặt phẳng SBC tạo với đáy một góc 60° Cosin góc giữa 2 mặt phẳng SAC và ABC là:

A

5

5

10

1 7

Hướng dẫn giải

Cách 1: Giải theo phương pháp truyền thống

Kẻ HPAC  SAC , ABC  SPH

   

cos SAC , ABC cosSPH HP

SP

Ta có góc giữa (SBC) và (ABC) là SBH 600

HB

góc giữa 2 mặt phẳng SAC và ABC là 

A

B

C S

H P

vuông cân P

2

2

2 2

AH HP

cos( )

HP SP



Vậy chọn đáp án D.

Cách 2: Sử dụng tứ diện vuông

Thiết kế tứ diện vuông

Gọi P là trung điểm AC => HP//BC

Ta có tứ diện vuông H.APS

Ta có góc giữa (SBC) và (ABC) là SBH 600

HB

HA = HP = 2

Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng SAC và

ABC

S

C

B

A

H

P

os

7 ( ) ( ) ( S.HP) (2.2) (2.2 3) (2.2 3)

HA HP c

HA HP HA HS H

Nhận Xét:+ Khi sử dụng cách giải thông thường để nhìn ra được điểm P và xác

định góc giữa hai mặt phẳng là khá khó khăn Thông thường vị trí của P là trung điểm, trường hợp này học sinh khó nhận ra vị trí của P

+ Khi sử dụng tứ diện vuông học sinh dễ phát hiện chỉ cần kẻ từ H đường song song với BC là có được tứ diện vuông, với các dữ kiện của đề bài thì việc tính toán cũng khá đơn giản

Ví dụ 4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường

tròn đường kính AB2 ,a SA a 3 và vuông góc với mặt phẳng ABCD Cosin của

góc giữa hai mặt phẳng SAD và SBC là:

A

2

2

2

2

5

Hướng dẫn giải

Cách 1: Giải theo phương pháp truyền thống

Gọi I là giao điểm của AD và BC

Ta có

 

BD AD

BD SAD BD SI

BD SA





















góc giữa hai mặt phẳng SAD và SBC là góc

giữa hai đường thẳng DE, BE nằm trong hai

mặt phẳng cùng vuông góc với giao tuyến đó là

góc BED Ta có

sin AIS

7

SA SI

mà



sin AIS DE

DI



S

I

E

.sin AIS

7

a

DE DI

4

BD

ED

Vậy chọn đáp án C.

Cách 2:Thiết kế tứ diện vuông.

Gọi I là giao điểm của AD và BC góc giữa hai

mặt phẳng SAD và SBC là góc giữa (DEI) và

(BEI) Do ABCD là nữa lục giác đều nên:

ADDB và

1

; DB=a 3 2

AD AB a

Khí đó ta có tứ diện vuông D.EIB Với đáy là

(DEI).

Với:

AS ; DI=a; DB=a 3

a

DE  

os

DE DI c

DE DI DE DB DI

S

I

E

Nhận Xét:+ Khi sử dụng cách giải thông thường đi xác định góc giữa hai mặt

phẳng phải tìm được vị trí của điểm E là khá khó khăn Việc tính DE khá phức tạp, phải sử dụng đến tính chất hệ thức lượng trong tam giác vuông và công thức lượng giác Như vây học sinh phải huy động một lượng kiến thức rất lớn

+ Khi sử dụng tứ diện vuông Học sinh chỉ cần xác định được mặt đáy là DEI, việc tính toán khá dễ và nhanh

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, D 600 và SA vuông góc với (ABCD) Biết thể tích của khối chóp S.ABCD bằng

3

2

a

Tính

khoảng cách k từ A đến mặt phẳng (SBC).

A

3

5

a

k 

B

3 5

k a

C

2 5

a

k 

D

2 5

k a

Hướng dẫn giải

Cách 1: Phương pháp truyền thống (Xác định hình chiếu của A lên (SBC))

Diện tích đáy

2

ABCD

a

3

2

3

2

ABCD

ABCD

a V

Hình thoi ABCD có D 600 nên

; BD=a 3

( ) (1)

BC AM

BC SAM

BC SA



BC(SBC) (2)

Từ (1) và (2) (SAM) ( SBC)

(SAM) (  SBC) SM

Kẻ AH SM  AH d A SBC ( ,( ))

M

D

B

C

S

H

A

Xét SAM vuông tại A Ta có

2 2

a

AH SA  AM  a  a     

Chọn đáp án B.

Cách 2: Sử dụng tứ diện vuông.