Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ sau khi nhân lượng liên hợp

Trong các đề thi Đại học - Cao đẳng các năm, các đề thi chọnhọc sinh giỏi cấp tỉnh từ trước đến nay hay đề thi THPT Quốc Gia, đề thi học sinh giỏi, bài toán “giải phương trình vô tỷ” bằn

B Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 3

I Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm 3

II Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng

sáng kiến kinh nghiệm

1.3 Phương pháp nhân lượng liên hợp 5

2 Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ

sau khi nhân lượng liên hợp

7

A MỞ ĐẦU

I Lý do chọn đề tài

Trong chương trình toán trung học phổ thông, bài toán “giải phương trình vô tỷ” là một trong những bài toán hay và khó Khi

gặp bài toán giải phương trình vô tỷ học sinh dựa vào công cụ

hỗ trợ là máy tính cầm tay có thể dễ dàng biết được phươngtrình có nghiệm bằng bao nhiêu nhưng việc nhìn ra cách giải thìcác em còn lúng túng và thường mắc nhiều sai sót trong quátrình giải quyết

Trong các đề thi Đại học - Cao đẳng các năm, các đề thi chọnhọc sinh giỏi cấp tỉnh từ trước đến nay hay đề thi THPT Quốc

Gia, đề thi học sinh giỏi, bài toán “giải phương trình vô tỷ” bằng

cách nhân lượng liên hợp thường xuất hiện Để giải quyết bàitoán đó học sinh thường sử dụng các cách giải của phương trình

vô tỷ Tuy nhiên khi áp dụng học sinh thường gặp phải khó khăntrong việc nhìn ra cách giải thích hợp phương trình sau khi nhân

lượng liên hợp Trong đề tài này, tôi xin trình bày “Một số

phương pháp giải phương trình vô tỷ sau khi nhân lượng liên hợp” và khắc phục những khó khăn thường của các em học

sinh khi gặp bài toán giải phương trình vô tỷ, các bài tập đưa ranhằm phục vụ cho mục đích đó

Với mục đích là giúp các em học sinh có thể giải quyết được dễ

dàng hơn đa số các bài toán “giải phương trình vô tỷ sau khi nhân lượng liên hợp” và có phương pháp vững chắc về giải

phương trình vô tỷ

II Mục đích nghiên cứu

Đề tài giúp các em học sinh Trung học phổ thông có kiến thức

và phương pháp vững chắc để giải quyết bài toán giải phươngtrình chứa căn thức bằng phương pháp nhân lượng liên hợptrong các đề thi THPT Quốc gia, thi học sinh giỏi tỉnh, Đồngthời rèn luyện cho các em kỹ năng giải và trình bày bài toánnày Góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán trongNhà trường

III Đối tượng nghiên cứu

Để hoàn thành đề tài nói trên tôi đã nghiên cứu dựa trên cácphương pháp giải phương trình chứa căn thức trong chươngtrình Đại số và Giải tích thuộc môn Toán Trung học phổ thông

IV Phương pháp nghiên cứu

Đề tài đã thực hiện các phương pháp nghiên cứu như:

- Nghiên cứu lý luận: nghiên cứu các tài liệu về phương trình

chứa căn thức trong chương trình Toán Trung học phổ thông

- Nghiên cứu thực tiễn: Khảo sát năng lực của học sinh giải

quyết bài toán có chứa căn thức bằng cách nhân lượng liên hợp

- Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành dạy thực nghiệm trên một

số đối tượng học sinh cụ thể để đánh giá tính khả thi và hiệuquả của đề tài

B NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

I Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm.

Đề tài được nghiên cứu và thực hiện trên thực tế kinhnghiệm đã giảng dạy các tiết học Tự chọn và Ôn thi Trung học

phổ thông Quốc Gia, ôn thi học sinh giỏi phần “phương trình vô

tỷ”.

Khi giải bài tập toán, học sinh phải được trang bị các kiếnthức cơ bản của lớp dưới, các kỹ năng phân tích đề bài để từ đósuy luận ra quan hệ giữa kiến thức cũ và kiến thức mới, giữa bàitoán đã làm và bài toán sẽ làm, hình thành phương pháp giảitoán bền vững và sáng tạo

Các tiết dạy bài tập phải được thiết kế theo hệ thống từ dễđến khó nhằm gây hứng thú cho học sinh, kích thích óc tìm tòi,sáng tạo của học sinh

Hệ thống bài tập phải giúp học sinh có thể tiếp cận và nắmbắt những kiến thức cơ bản nhất và dần dần phát triển khảnăng suy luận, khả năng vận dụng các kiến thức đã học mộtcách linh hoạt và sáng tạo vào giải thuật của một bài toán Từ

đó học sinh có hứng thú và tạo ra động cơ học tập tốt đối vớimôn Toán, đồng thời phát triển được năng lực và phẩm chất củangười học

II Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

Trong quá trình giảng dạy phương trình, bất phương trình

vô tỷ, các dạng bài tập ở mức độ vận dụng và vận dụng cao,phương pháp giải bằng phương pháp nhân đại lượng liên hợp,tôi thấy học sinh đã giải quyết được vấn đề nhân lượng liên hợpnhưng khi gặp phương trình sau khi nhân liên hợp đa số các emcòn lúng túng và thường giải sai hoặc không giải quyết được

tiếp bài toán, Từ đó tôi nghĩ phải nghiên cứu và trang bị chocác em một số phương pháp cơ bản để giúp các em giải quyếtđược tốt hơn phương trình vô tỷ gặp phải sau khi nhân lượngliên hợp và giúp các em bớt ngại khi gặp bài toán giải phươngtrình vô tỷ Sau một thời gian nghiên cứu tôi thấy nếu đưa rađược một hệ thống các cách giải phương trình vô tỷ gặp phảisau khi nhân lượng liên hợp có thể giải quyết được vấn đề khókhăn của các em học sinh thường gặp

Đánh giá thực trạng:

Năm học 2016-2017, tôi được phân công tiếp tục giảngdạy hai lớp đầu khối 11A; 11B của nhà trường, ngay từ đầu nămhọc để kiểm tra kiến thức các em đã tích lũy ở lớp 10, kiến thứctrong ôn đội tuyển học sinh giỏi và cũng để kiểm nghiệm sửdụng phương pháp tôi đã thực hiện khảo sát ở hai lớp 11A và11B, mỗi lớp 15 em học sinh có năng lực khá – giỏi trở lên bằng

2 bài tập sau:

Bài 1 Giải phương trình 2x 6 x 6 3 x 2 0

Bài 2 Giải phương trình 22 2 8 ( 1)( 2 2)

Giải quyết được phương trình sau nhân lượng liên hợp

2 11A11B 15/1515/15 15/1513/15 4/151/15

Từ kết quả đó tôi thấy: Rất nhiều học sinh xử lý được khâu

mở đầu, các em đã tìm ra được nghiệm hoặc một nghiệm củaphương trình bằng cách xử dụng máy tính và nhân lượng liênhợp Tuy nhiên số lượng các em học sinh không giải quyết đượctrọn vẹn bài toán sau khi nhân lượng liên hợp còn nhiều Trong

đó, chưa có kỹ năng và định hướng phương pháp giải là chủyếu

III Một số giải pháp

Trước khi trình bày về một số phương pháp giải phươngtrình vô tỷ sau khi nhân lượng liên hợp, tôi xin trình bày phươngpháp nhân lượng liên hợp trong bài toán giải phương trình chứacăn thức.

1 Kỹ thuật nhân lượng liên hợp.

1.1 Lý thuyết cơ bản: Cho hàm số yf x  xác định trên D.Nếu x x 0 là nghiệm phương trình f x   0 khi và chỉ khi x0 D;0

Sử dụng máy tính cầm tay hoặc nhẩm nghiệm ta thấy x 2 làmột nghiệm của phương trình Từ đây ta biến đổi phương trìnhnhư sau:

(3x  5x 1) (3  x  3x 3)  2x  4 2(x 2);

x2 2  x2 3x 4  3x 6 3  x 2

Từ đó ta biến đổi phương trình như sau:

Mặc dù vậy, nhưng không phải em nào cũng sử dụng mấytính có thể giải được nghiệm của các phương trình chứa căn.Vậy ta có cách nào khác để giải quyết vấn đề trên không? Đốivới những em không sử dụng máy tính có thể giải ra nghiệm thìcác em có thể sử dụng phương pháp đồng nhất hệ số để tìm ra

biểu thức cần nhân liên hợp Tôi xin quay lại Ví dụ 5 ở trên vàđưa ra cách khác để tìm nhân tử chung x2  2 – 7x như sau:

Do x 2 không thỏa mãn nên ta giả sử:

Chú ý Trước khi nhân liên hợp phải xét xem thử biểu thức dưới

mẫu sau khi nhân liên hợp có triệt tiêu hay không

Trên đây chỉ là một số ví dụ minh họa về một số cách để tìm rabiểu thức nhân liên hợp Ngoài các cách trên còn có một sốcách khác mà trong đề tài này tôi xin không đề cập hết

2 Một số phương pháp giải phương trình sau khi nhân lượng liên hợp.

Sau khi nhân liên hợp, tôi định hướng học sinh suy nghĩcách xử lý bài toán theo các hướng sau đây và đây cũng là nộidung chính của đề tài

2.1 Phương pháp đánh giá hai vế.

Đối với phương pháp này chúng ta có thể dựa vào điềukiện của bài toán để đánh giá trực tiếp hoặc đánh giá qua đạilượng trung gian, hàm số,…

Ví dụ 1 (Khối B - 2010) Giải phương trình

Suy ra phương trình  * vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhấtx 3

2 3 0 (*)

1 2

x x

x x

1 2

x x



  

 Dấu đẳng thức xảy ra khi x 1 Vậy phương trình có nghiệmx 3;1

x 

Vậy phương trình có nghiệmx 1; x 3.

Nhận xét Từ Ví dụ 3 và Ví dụ 4 nhiều em sẽ đặt ra câu hỏi: Tại

sao ta không biến đổi bài toán về tích có thừa số x 1 mà lạichọnx– 3 ? Ở đây ta thấy biểu thức x 1 nằm dưới dấu cănthức nên nếu ta đưa về nhân tử x 1 thì sẽ biến đổi phươngtrình về phương trình  * phức tạp và việc giải quyết tiếp bàitoán sẽ khó khăn hơn Nên việc chọn biểu thức liên hợp cũngảnh hưởng rất nhiều đến việc giải bài toán sau khi nhân liênhợp





  và6

4

7 3

x

x x



 

  nên phương trình (*) vô nghiệm

Thật vậy, ta sẽ lần lượt dùng chức năng Shift Solve để tìm ra 2 nghiệm củaphương trình là: x 1 0,6180339887 ; x 2 1,618033989 sau đó gán hainghiệm này vào hai biến A và B.

Bây giờ ta sẽ thử tìm xem A và B có mối quan hệ gì với nhau hay không bằngcách tình A B và AB, ta thu được kết quả “đẹp” sau: A B  1, AB 1

Điều đó đã chứng tỏA , B là hai nghiệm của phương trình: X2  X  1 0 

Và từ đây, ta có thể dự đoán được x2  x 1 chính là nhân tử của phương trình.Như vậy vấn đề khó khăn nhất đã được giải quyết

Ta viết phương trình đã cho lại thành: 3   2

2 3

Nhận xét Việc đánh giá phương trình (*) có thể trực tiếp hoặc

là gián tiếp thông qua một hằng số, một biểu thức trung gian,dùng hàm số Từ đó sẽ giúp chúng ta chứng minh được phươngtrình (*) vô nghiệm hoặc có thêm nghiệm nữa

Bài tập đề nghị Giải các phương trình sau:

2.2 Phương pháp lũy thừa hai vế.

+/ Ta có một số phép biến đổi bình phương hai vế:

a)          

0 g 0

d) f x   g x   h x  (Đặt điều kiện, lũy thừa hai vế đưa về dạng b)

+/ Thông thường khi gặp phương trình A B C  D, ta thường bìnhphương hai vế, tuy nhiên nhiều trường hợp điều đó lại gặp khó khăn

+/ Đối với phương trình dạng 3 A 3 B  3C  A B  3 3 AB3 A 3 B C, và ta

sử dụng phép thế 3 A 3 B  3C ta được phương trình A B  3 3 ABC C

 

2 x 3  x  6 3 x 2 0  2 3 8( 3) 0

x x

Ta thấy 2x 4  x 1  x 3, nên từ đây ta nghĩ tới việc nhân liênhợp, biến đổi phương trình về dạng tích có nhân tử x– 3 nhưsau:





  

 Đối chiếu điều kiện ta có x 10 thỏa mãn

Vậy phương trình đã cho có nghiệmx 3; x 10

t  thì

2

5 4

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x =1; x  1 2và x  2 3

Nhận xét Ở trong Ví dụ 3, việc đặt t  4x 5 là để cho bài toán đở phức tạphơn, còn bản chất của bài toán vẫn giải bằng cách bình phương hai vế củaphương trình * Nếu bạn nào xem 4x 5 là ẩn của phương trình thì đểnguyên bình phương hai vế vẫn giải được một cách bình thường Tất nhiên nếulàm vậy sẽ gặp khó khăn trong việc phân tích thành phương trình tích để tìmnghiệm

từ đó gợi cho ta cách biến đổi phương trình như sau:

sau đó ta bình phương giải phương trình hệ quả

Bài tập đề nghị Giải các phương trình sau:

a) 5x 1 x  1 2 x 2   5 3x

b)    2

2x 1 1 3  x x  2x 2

2.3 Phương pháp đặt ẩn phụ.

Trong phần này, tôi chỉ đưa ra một số dạng phương trình giảibằng cách đặt ẩn phụ mà các em học sinh có thể gặp phải saukhi nhân lượng liên hợp

2.3.1 Đặt ẩn phụ đưa về hệ 2 ẩn

Nếu phương trình F x   0 có dạng f x   g x  h x , mà

     

f x  g x h x , h x  có thể là hằng số, có thể là biểu thứcchứa x Ta có thể giải như sau:

x  ; 8

7

x 

Thử lại ta thấy hai nghiệm này đều thỏa mãn phương trình

Vậy phương trình có nghiệmx 0; 8

7

x 



 

Cũng bằng cách kiểm tra, ta thấy phương trình nhận x 1 làmmột nghiệm nên ta có thể đưa phương trình về dạng phươngtrình tích xuất hiện nhân tử x 1

5 x  7x 10 4  x 5

2

5

15 5 5 4

, thử lại ta thấy nghiệm này thỏa

mãn phương trình Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm

Nhận thấy phương trình có một nghiệm x 3 Ta biến đổi

Vậy phương trình đã cho có nghiệm:x 3; x 24 vàx 88

Nhận xét: Để giải phương trình (*) ta phải kết hợp với phương

trình ban đầu Ta chú ý rằng phép biến đổi này là phép biến đổi

hệ quả do đó sau khi giải xong ta phải thử lại các nghiệm đểloại đi những nghiệm ngoại lai

Đối với phương trình dạng này, có thể chúng ta không cầnđặt ẩn phụ mà để nguyên biểu thức phương trình sau khi nhânlượng liên hợp kết hợp với phương trình ban đầu để đưa về hệ.Việc đặt ẩn phụ trong trường hợp này chỉ có tác dụng làm cho

hệ phương trình gọn và dễ nhìn hơn

2.3.2 Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc hai đối với 2 ẩn.

Chúng ta đã biết cách giải phương trình a2 mab nb 2  0  1

Với b 0 thử trực tiếp vào phương trình  1

Bình phương hai vế ta được nghiệm 1 5

Ví dụ 1 (Đề thi THPT Quốc Gia năm 2015) Giải phương

Đối với bài này đa số học sinh nhận ra được x = 2 là một

nghiệm của phương trình Nhưng sau khi nhân liên hợp thì việcgiải quyết bài toán lại là một vấn đề khó mà các em gặp phải

Đa số các em đều giải được:

Với x 2, nhân liên hợp vế phải ta được phương trình:

Ta có  *  x 4  x 2 2   x 1 x2  2x 3

 x  2 2  x 22 2(x 1) 2 (    x 1)2 2 1  

Xét hàm số f t   t 2 t2  2 trên 0;

Ta có f t   3t2  4t  2 0;  t 0; , nên hàm số yf t  đồng biến trên

Nhận xét Nhìn vào phương trình này thì đa số các em học sinh không nghĩ ra

cách giải Nhưng nếu để ý thì ta thấy đề ra đã có một sự gợi ý về phương phápnhân liên hợp, đó là: 1  x x2  1 x x  1 và  2  2

5

x

  là nghiệmcủa phương trình

Vậy phương trình có nghiệm 1; 1; 1

bc  ; với a b , 0 Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khia b

+ a2 b2 x2  y2 ax by 2 Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khiay bx

+/ Bất đẳng thức côsi: Cho n số không âm a a1 , , , 2 a n Ta có:

x x

 

2

1 (t/m) 1

x x Như vậy đối với phương pháp này ta biến đổi phương trình về dạng

Vậy phương trình có nghiệmx 1.

Bài tập đề nghị Giải các phương trình sau:

Trong năm học 2016-2017 tôi đã triển khai ý tưởng của phươngpháp trong các buổi học theo yêu cầu và chọn học sinh để khảosát

- Đối tượng áp dụng: Học sinh có năng lực khá – giỏi vềmôn Toán;

- Thời gian thực hiện: 3 buổi (9 tiết)

Kết quả thực nghiệm

Sau khi thử nghiệm dạy nội dung của đề tài cho 30 em học sinhkhá – giỏi ở 2 lớp 11A và 11B (Mỗi lớp 15 em), tôi đã tiến hànhcho các em làm bài kiểm tra với nội dung 2 câu ở mức độ vậndụng Tôi thu được kết quả như sau:

Giải quyết được phương trình sau nhân lượng liên hợp

C KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ

I Kết luận

Xuất phát từ thực tế về công tác giảng dạy của bản thân vàqua quá trình học tập của học sinh, từ sự thích nghiên cứu, tìmtòi và ham học hỏi của các em trong khi giải toán, tôi thấy việcđưa ra cho học sinh những cách giải và cách nhìn khác về mộtbài toán là rất cần thiết

Qua một thời gian nghiên cứu tìm tòi, tổng hợp và đưa vàovận dụng đối với học sinh lớp 11 có năng lực khá – giỏi trong ônthi THPT Quốc Gia, Ôn thi học sinh giỏi Tôi thấy đa số các emhọc sinh có thể nắm được nội dung và phương pháp của đề tài,vận dụng thành thạo vào các bài toán cụ thể Tuy nhiên khi ápdụng vào đối tượng học sinh lớp 10, 11 thì tuy theo mức độnhận thức, học lực và kiến thức đã học của các em mà ta có thểđưa ra các bài tập áp dụng và phương pháp phù hợp

học sinh giỏi và Ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia Khôngnên giảng dạy đại trà cho tất cả các đối tượng học sinh.

Nếu đề tài được đánh giá tốt, tôi rất mong sẽ được phổ biếnrộng rãi trong học sinh và là một tài liệu tham khảo bổ ích trong

ôn thi học sinh giỏi; ôn thi Trung học phổ thông Quốc gia

Mặc dù tôi đã rất cố gắng sưu tầm, nghiên cứu và tìm tòinhưng vẫn còn nhiều vấn đề khác mà trong đề tài này chưanghiên cứu được Tôi hy vọng các đồng nghiệp sẽ nghiên cứutiếp

Tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô

đi trước và các bạn đồng nghiệp để đề tài này được hoàn thiện,

mở rộng và có ứng dụng vào thực tế nhiều hơn

XÁC NHẬN

CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 24 tháng 05 năm 2018

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,không sao chép nội dung của người khác

Lê Duy Lực