Một số phương pháp giải nhanh các bài toán về tính tổng, tích và cực trị của hàm số mũ, hàm số lôgarit nhằm giúp học sinh

Lý do chọn đề tài Hàm số mũ và hàm số lôgarit là phần kiến thức cơ bản, nhưng nếu đi sâu vào việc tính tổng, tích và các bài toán cực trị của chúng lại là một phần kiến thức khó trong ch

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài

Hàm số mũ và hàm số lôgarit là phần kiến thức cơ bản, nhưng nếu đi sâu vào việc tính tổng, tích và các bài toán cực trị của chúng lại là một phần kiến thức khó trong chương trình môn Toán lớp 12 bởi đa số học sinh không xác định được hướng giải Đặc biệt những năm gần đây trong đề thi THPT Quốc gia thì dạng toán này lại rất phổ biến

Để học sinh lớp 12 tự tin giải chính xác dạng toán này là một điều không

hề dễ vì cần phải kết hợp rất nhiều mảng kiến thức, đòi hỏi sự lập luận, suy luận cao, tư duy lôgic cộng với việc tính toán nhanh Đó là thách đối với học sinh khiến tôi luôn trăn trở tìm tòi cách giảng dạy hiệu quả nhất bằng cách đưa ra một

số bài toán tổng quát và vạch ra các bước giải cụ thể

Từ những lý do trên cùng với kinh nghiệm giảng dạy tôi đã quyết định chọn đề tài: “Một số phương pháp giải nhanh các bài toán về tính tổng, tích

và cực trị của hàm số mũ, hàm số lôgarit nhằm giúp học sinh đạt kết quả cao trong kỳ thi THPT Quốc gia” làm đề tài sáng kiến kinh nghiệm trong năm học 2018 – 2019 Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến, nhận xét và đánh giá của đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện hơn

1.2 Mục đích nghiên cứu

Đề tài tập trung vào mục đích nghiên cứu là hình thành cách giải nhanh, chính xác một số bài toán về hàm số mũ và lôgarit khó trong chương trình Giải tích 12 nhằm rèn luyện các kỹ năng toán học và định hướng phát triển cho học sinh những năng lực sau:

- Năng lực tư duy, năng lực tính toán, năng lực tự học và giải quyết vấn đề

- Năng lực sử dụng công nghệ thông tin (máy tính cầm tay casio)

- Năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học

- Kỹ năng vận dụng kiến thức về các phương pháp tính tổng, tích và cực trị của hàm số mũ, hàm số lôgarit

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là cách giải các bài toán về tổng, tích,

cực trị của hàm số mũ và hàm số lôgarit - Chương II – Giải tích 12 để rèn luyện

các kỹ năng và phát triển các năng lực Toán học của học sinh

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu sử dụng trong đề tài bao gồm:

- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết: Dựa vào sách giáo khoa Giải tích 12 - Nâng cao và Cơ bản, sách bài tập Giải tích 12 - Nâng cao và

Cơ bản, tài liệu phân phối chương trình, tài liệu về dạy học theo định hướng phát triển năng lực học sinh

- Phương pháp nghiên cứu thực tiễn:

+ Điều tra, khảo sát, phỏng vấn, dự giờ dạy học phần hàm số mũ và hàm số lôgarit ở trường THPT Triệu Sơn 3 để từ đó thấy được tầm quan trọng của việc

áp dụng phương pháp này trong việc nâng cao chất lượng dạy học

+ Thống kê, phân loại, đánh giá kết quả khảo sát và thực nghiệm

+ So sánh, đối chiếu giữa lí luận và thực tiễn dạy học, giữa thể nghiệm và

đối chứng để qua đó thấy được hiệu quả của đề tài

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Trong nghiên cứu khoa học thì việc tìm ra quy luật, phương pháp để giải quyết một vấn đề là vô cùng quan trọng Nó giúp ta có định hướng tìm được lời giải của một lớp các bài toán Trong dạy học giáo viên là người có vai trò thiết

kế và điều khiển sao cho học sinh thực hiện và luyện tập các hoạt động tương thích với nội dung dạy học Vì vậy trang bị về phương pháp, tập trung dạy cách học, rèn luyện các kỹ năng, phát triển các năng lực cho học sinh là một nhiệm

vụ quan trọng của người giáo viên

Trong phần “Hàm số mũ và hàm số lôgarit” (Chương II sách giáo khoa Giải tích lớp 12) chỉ đưa ra tính chất, tính đồng biến nghịch biến đồ thị của hàm

số mũ và hàm số lôgarit, còn việc khai thác tổng, tích, cực trị rất ít Vì vậy, tôi nhận thấy mình cần bổ sung thêm một số bài toán tổng quát về tổng, tích và cực trị giúp học sinh biết cách giải quyết dạng toán này

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Trường THPT Triệu Sơn 3 là một trường nằm ở phía tây của huyện, có nhiều xã miền núi, đặc biệt khó khăn thuộc vùng V135, V134, có nhiều học sinh

là con em dân tộc thiểu số nên điểm đầu vào thấp Tư duy của học sinh chậm, điều kiện kinh tế khó khăn, đường đi học còn xa và khó đi nên ảnh hưởng rất nhiều đến kết quả học tập của các em

Trong quá trình dạy học tôi nhận thấy một điều đó là để biết làm và làm tốt tổng, tích, cực trị của hàm số mũ và hàm số lôgarit thì cần phải nắm vững nhiều kiến thức, đòi hỏi học sinh phải có khả năng phán đoán, phân tích tốt đồng thời cần có kỹ năng trình bày chặt chẽ và tư duy logic cao, kỹ năng phân tích dạng toán Nhưng trên thực tế điều này lại là điểm yếu của không ít học sinh, kể

cả học sinh khá giỏi, do đó dẫn đến tâm lý chán, ngại làm các dạng toán khó này

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm đã sử dụng để giải quyết vấn đề

2.3.1 Ôn tập một số kiến thức cần dùng cho học sinh.

+) Tính chất của hàm số mũ và hàm số lôgarit

+) Bất đẳng thức Cauchy

+) Định lí Viét

+) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số:

1.1 Nếu hàm số f x( ) liên tục và đơn điệu trên ( ; )a b thì ta có:

f u f v  u v u v a b

1.2 Nếu hàm số f x( ) liên tục và đơn điệu trên ( ; )a b thì phương trình f x( ) k

(k là một hằng số) có nhiều nhất một nghiệm trên khoảng ( ; ).a b

1.3 Nếu hai hàm số f x( ) ; g x( ) liên tục và đơn điệu trên ( ; )a b thì phương trình ( ) ( )

f x g x có nhiều nhất một nghiệm trên khoảng ( ; ).a b

2.3.2 Hướng dẫn và rèn luyện một số dạng tổng, tích các hàm số mũ

và lôgarit thường gặp thông qua các bài toán tổng quát giúp học sinh làm toán trắc nghiệm nhanh, chính xác.

Bài toán tổng quát 1: Với hàm số ( ) ( 0) (1).

x x

a



Ta có tính chất: f x( )  f(1  x) 1 

Thật vậy:

1 1

x x

a

a





1.

x

Bài 1: Cho hàm số   25

x x

f x 

 Tính giá trị của biểu thức:

A 6059

6 B 1009 C 2019

2 D 1010

Hướng dẫn:

- Đây là hàm số dạng (1)

- Có 2019 số hạng (số lẻ), suy ra có 1009 cặp cộng với f( 1 )

- Đáp số là 1009 25 6059

  Chọn A

Bài 2: Cho hàm số ( ) 2019 .

x x

f x 

 Tính giá trị của biểu thức:

A 6011

2 D 1011

Hướng dẫn:

- Đây là hàm số dạng (1)

- Có 2018 số hạng (số chẵn), suy ra có 1009 cặp

- Đáp số là 1009 Chọn B

*Nhận xét: Khi học sinh nắm được bài toán tổng quát thì việc giải quyết bài toán trở nên dễ, đơn giản hơn nhiều và không mất nhiều thời gian cho việc tính toán Vấn đề còn lại là kiểm tra xem đề cho các số hạng là số lẻ hay số chẵn thì học sinh sẽ tính ngay kết quả.

Bài 3: Xét hàm số ( ) 9 2

9

t t

f t

m



 với m là tham số thực Gọi S là tập hợp tất cả các tham số m sao cho f x( )  f y( ) 1  với mọi số thực x, y thỏa mãn:

x y

  Tính số phần tử của S

(Trích đề thi THPT Quốc gia năm 2017 - Câu 50 - Mã đề 103)

Hướng dẫn:

Từ hàm số ( ) 9 2

9

t t

f t

m



 ta nghĩ ngay đến y  1 x Dựa vào bài toán tổng quát m2  9  m2   3 m 3  S   3 

Chọn D

Cách giải thông thường:

Theo giả thiết ta có: e x y e x y( ) e x y e x y( ) 0

Đặt u x y   g u( ) e u  eu g u, '( ) e u  e g u, '( ) 0   e u  e u 1.

Bảng biến thiên:

u   1 

g’(u) - 0 +

0

Từ BBT ta có:

x y

x y









1

x x





Chọn D

* Nhận xét: Lời giải này tương đối dài và khó, mất nhiều thời gian.

Bài toán tổng quát 2: Với hàm số

2 2

1

x x



Ta có tính chất: f x( ) f(1 x) 1

a

Thật vậy:

2

2

1

.

x

a a

a a

a







Bài 1: Cho hàm số ( ) 9 2.

x x

 Tính giá trị của biểu thức

2019)

2019 (

) 2019

2 ( ) 2019

1

f

A 4039

12 D 1010

3

Hướng dẫn:

- Đây là hàm số dạng (2)

- Có 2019 số hạng (số lẻ), suy ra có 1009 cặp cộng với f( 1 )

- Đáp số là 1009.1 7 4043

3 12  12 Chọn C

Bài 2: Cho hàm số .

4 16

3 16 ) (





x x

f Biết ab3 Tính giá trị của biểu thức

Sf(a) f(b 2)

Hướng dẫn:

- Đây là hàm số dạng (2)

- Vì ab 3  ab 2  1

- Đáp số là 41 Chọn B

*Nhận xét: Khi gặp dạng toán này nếu không nhớ bài toán tổng quát ta xét tổng f x( )  f(1  x), từ đó sẽ tính được kết quả.

Bài toán tổng quát 3: Cho hàm số ( 0 1 ; 0 1 ) ( 3 ).

1

log 2

1 )



x

ax x

Ta có tính chất: f x( )  f(1  x) 1 

Thật vậy:

2

Bài 1: Cho hàm số   2

log

x

f x

x



  Tính tổng:

2020)

2019 (

) 2020

2 ( ) 2020

1

f

A 1010 B 1009 C 2017

2

Hướng dẫn:

- Đây là hàm số dạng (3)

- Có 2019số hạng (số lẻ), suy ra có 1009 cặp cộng với (1010) ( )1

- Đáp số là 1009 1 2019

  Chọn D

Bài 2: Cho hàm số f x x x





1

6 log 2

1 ) ( 6 Tính tổng:

2018 (

) 2019

2 ( ) 2019

1

f

A 1009 B 1010 C 20192 D 20212

Hướng dẫn:

- Đây là hàm số dạng (3)

- Có 2018 số hạng (số chẵn), suy ra có 1009 cặp

- Đáp số là 1009 Chọn A

*Nhận xét:

- Chú ý quan trọng là hai giá trị trong ngoặc có tổng bằng một, từ đó ghép hai giá trị có tổng không đổi để tính kết quả.

- Nhìn vào bài toán tương đối phức tạp nhưng lại được giải quyết nhanh gọn.

Bài toán tổng quát 4: Cho hàm số   2  2

1 1 1

1

x x

 



S f(1) (2) (f f n 1) e n2n1



Thật vậy, xét các số thực x 0 ta có

2

1

1





2

(1 ) (1 ) (1 )

(1) (2) ( 1)

n n



         



Bài 1: Cho hàm số   2  2

1 1 1

1

x x

 



Tính Af    1 f 2 f 2018

A e2019

B. e2918

C.

2019 1

2019 2 

e

D.

2018 1

2018 2 

e

Hướng dẫn:

)

2018 ( )

2 ( ) 1

1

2019 2





Bài 2: Cho hàm số   2  2

1 1 1

1

x x

 



(1) (2) (3) (2009)

m n

Af f f f e với m, n là các số tự nhiên và m

n là phân số tối giản Tính m n 2

A. 2 2020.



 n m

B. 2 2020.





 n m



 n m

D.

1

2





 n

m

Hướng dẫn:

2020

1 2020 )

2019 ( )

2 ( ) 1 (

2 2020

1

2020 2













n

m e

f f f

A

Phân số 20202 1

2020



là phân số tối giản, nên 2020 2 1 , 2020 2 1













m

*Nhận xét:

- Nếu học sinh chưa gặp dạng này và không nắm được công thức tổng quát thì đây là vấn đề vô cùng khó trong lúc làm trắc nghiệm vì sẽ mất rất nhiều

thời gian Nhưng khi nắm được công thức tổng quát thì chỉ việc thay số và có kết quả ngay.

- Trên cơ sở các bài toán tổng quát ta có thể xây dựng được một lớp bài toán tương tự

2.3.3 Rèn luyện cho học sinh kỹ năng tìm cực trị các hàm số mũ và lôgarit

Phương pháp chung:

Bước 1: Kỹ năng biến đổi linh hoạt tính chất của hàm số mũ và lôgarit

Bước 2: Sử dụng một số bất đẳng thức đơn giản để tìm miền giá trị của ẩn Bước 3: Biến đổi, sử dụng tính đơn điệu của hàm số để tìm mối liên hệ giữa các ẩn

Bước 4: Dồn biến

Bước 5: Xét hàm một biến để tìm cực trị

Tùy từng bài ta có thể giảm bớt một hoặc hai bước.

Phần 1: Hàm số mũ.

Bài 1: Cho các số thực dương x y, thỏa mãn 2x 2y 4.

  Tìm giá trị lớn nhất của

A. 292 B. 18 C 272 D. 19.

Phân tích: Bài này có tính chất đối xứng ta sẽ nghĩ ngay đến việc sử dụng BĐT Cauchy hoặc có thể dồn biến để xét hàm

Hướng đẫn:

Cách 1:

4

4(4 3 ) 4xy x y 10xy 16 4x y 2xy 16 2x y 2 (xy xy 1) 18

Vậy Pmin  18  x y  1. Chọn B

Cách 2: Áp dụng BĐT Cauchy ta có 4 2x 2y 2x y x y 2 y 2 x.

















) 2 ( 9 ) ) 2 ( 2 )(

2 2



).

( 18 ) 1 ( ) ( 16 4 18 16

BBT f

x f x

x x

Bài 2: Cho a b, nguyên và lớn hơn 1, a x2  1 b x

 có hai nghiệm phân biệt x x1 , 2và

2 1 (9 )

 có hai nghiệm phân biệt x x3 , 4 thỏa mãn (x1 x2 ).(x3 x4 ) 3  Tìm giá trị nhỏ nhất của S  3a 2 b

A 12 B 44 C 46 D 32

Phân tích: Với bài này ta sẽ liên hệ đến định lí Viét Tìm điều kiện của a b, và mối liên hệ giữa a b,

Hướng dẫn:

+ x2 1 x log x2 1 log x 2 1 log 2 log 1 0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

2 2

0 (log )a b 4 0 loga b 2 b a a b( , 1)



1 2 log a

+ x2 1 (9 )x log x2 1 log (9 )x 2 1 log 9 2 .log 9 1 0

phương trình này luôn có hai nghiệm vì ac 0. Theo Viét x3 x4  log 9 b a

Từ

3

(x x ).(x x ) 3   log log 9a b b a  3 log 9a a  3 9a a  a 3 (a 1)

Do a Z a ,   3 a 4,b a 2   4 b 16,b Z  b 17.

S 3a 2 3.4 2.17 46.b    Chọn C

Bài 3: Cho các số x y , 0 thỏa mãn 2 3 5 2

5 3

xy

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x y 

A 3 2 3 B 3 2 3  C 2 3 3  D 2 3 3 

Phân tích: Với bài này ta sẽ đưa về hàm đặc trưng (bằng cách dồn cái chung về một vế) để tìm mối liên hệ giữa x và y sau đó xét hàm một biến

Hướng dẫn:

5

5 1 3

3













xy y

x

 5x2y  3(x2y) x2y5xy1 3(xy1)xy1

Xét hàm đặc trưng f t( ) 5t 3 t t f t, '( ) 5 ln 5 3 ln 3 1 0t t

( )

f t

 là hàm số đồng biến  x2y xy  1 x y(  1) 2 y 1 x2y y11.



y y

  



Bảng biến thiên

y   1 3 0 1 3 

P’ + 0 - 0 +

P

3 2 3 

Nhìn vào bảng biến thiên, ta có P min  3 2 3. Chọn B

*Nhận xét: Khi học sinh đọc đề đa số các em sẽ cảm nhận ngay là rất khó khăn và mất phương hướng Nhưng bình tĩnh lại các em thực hiện từng bước, tìm được mối liên hệ giữa các ẩn, quy về một biến và bước giải cuối cùng là xét hàm một biến lại trở thành bài toán bình thường với đa số học sinh lớp 12.

Phần 2: Hàm số lôgarít.

Dạng 1: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

Bài 1: Xét các số thực dương x y, thỏa mãn 3

1

2

xy



giá trị nhỏ nhất của P x y 

A min 9 11 19

9

P   B min 9 11 19

9

C min

18 11 29 9

P   D min 2 11 3

3

(Trích đề thi THPT Quốc gia năm 2017- Câu 47 - Mã đề 101)

Phân tích: Với bài này ta sử dụng tính chất của lôgarit đưa về hàm đặc trưng để tìm mối liên hệ gữa x và y, sau đó xét hàm một biến

Hướng đẫn:

Cách 1:

Từ

1

2

xy





log 3(1 xy) 3(1 xy) log (x 2 )y x 2y

3 ln

1 ) ( ' , log )

t t f t t t

f

( )

f t

x

x





Cách 2: Bấm máy tính tìm mối liên hệ giữa xvà y: Cho

100

x

x



x

x





2

(0;3)

(0;3) 3

x x

x











Bảng biến thiên

x   2 11

3

  0 2 11

3

  3 

P’ + 0 - 0 +

P

2 11 3

3



Nhìn vào bảng biến thiên, ta có min 2 11 3.

3

P   Chọn D

Bài 2: Bài tập tương tự: Cho a b , 0 thỏa mãn 2

1

a b



giá trị nhỏ nhất của P a  2b

A min 2 10 3

2

2

P   C min 2 10 5

2

P   D min 3 10 7

2

(Trích đề thi THPT Quốc gia năm 2017- Câu 46 - Mã đề 102)

Bài 3: Cho a b , 0 thỏa mãn 5

a b

của P a 2 b2

A 1

2 C 5

2 D 1 Hướng đẫn:

Cách 1:

log a b a 3b 4 log (4a 2b 5) log (a b) a 3b 4

a b



log (4a 2b 5) 4a 2b 5 log (5a 5 ) 5b a 5b

5 ln

1 ) ( ' , log )

t t f t t t

f

 f t( ) đồng biến trên (0;)  4a2b 5 5a5b a3b5.

Cách 2: Bấm máy tính tìm mối liên hệ giữa xvà y:

Chob 100  a 295  3b 5

2

b

Vậy min

5 2

P  Chọn C

*Nhận xét: Việc bấm máy tính để tìm mối liên hệ giữa các ẩn đối với học sinh đã trở thành một công việc đơn giản Phần xét hàm một biến các em cũng

có thể bấm máy tính mode7.

Bài 4: Cho các số x y z, , thỏa mãn x y z   0 và

).

2 )(

(

z

y

y

x













Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

4

.

P





A 1

3 C 3

4 D 1

6

Hướng dẫn:

z y

y x

2 2 )

( log ) ( log ) 2 )(

(

2 2





log (x y) (x y) log (y z) (y z) x y y z x z 2 y

Vậy

z

Xét hàm min

1 2

P

Bài 5: Cho các số x y, không âm thỏa mãn 2

2

1

y

x



 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P e2 1x 4x2 2y 1.

2

 C 1

e D e 1

Hướng dẫn:

y

x





2

2( 1) log 2( 1) 2 1 log (2 1).

Xét hàm ( ) log2 ( 0), '( ) 1 1 0 ( )

ln 2

t

2(x 1) 2y 1 P e x 4x 2(x 1) 2 e x 2x 4x f x( ).

).

1 ( 4 4 2

0 ) ( '

; 4 4 2

)

(















x

VT là hàm đồng biến, VP là hàm nghịch biến, suy ra phương trình nếu có nghiệm thì nghiệm đó là nghệm duy nhất

Nhận thấy 1

2

x  là một nghiệm của phương trình (1), vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất 1

2

x  Bảng biến thiên:

x 0 1

2 

f’(x) - 0 +

f(x) 1

1

2



Vậy min

1 2

P  Chọn B.

*Nhận xét:

- Để đưa về được hàm đặc trưng đòi hỏi học sinh phải có kỹ năng thêm bớt, biến đổi linh hoạt các biểu thức lôgarit.

- Với dạng toán trên ta có thể xây dựng được một lớp bài toán tương tự

Bước 1: Xét hàm số loga u u  loga v v

Bước 2: Chọn u v, theo x y,

Bước 3: Tính giá trị min, max của biểu thức theo x y,

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1:Chọn u  2 xy v,  3x 2 ,y a 3.